费马原理与光的反射和折射

费马原理与光的反射和折射
福建省石狮市石光中学 陈龙法
1650年法国数学家费马对光的传播传播原理作了一个概括性的叙述：光从空间一点A 到另一点B,光沿着所需的时间为极值的路径传播。

1.光的反射
光线由A 点入射，经介面MN 反射到B 点（如图）。

试求光线以最短时间所通过的路径。

分析 建立如图坐标系。

A 点B 点是已知的，
C 为界面上的任一点。

设光的传播速度是V ，光线
由A 点经C 到B 经历时间 )(1
)(CB AC V x t +=
()⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛+-++=2222121h x a h x V 式中V 、h 1、h 2及a 都是已知的，现在的问题是：光线AC 有怎样的一个已知方向（或x 取何值），才能使它由A 点出发到B 点的时间为最短。

为了求得最短时间，我们求t 对x 的导数：
()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---
+='22221
21h x a x
a h x x
V
x t
令()0='x t ，则
()
22
2
2
1
2
h
x a x
a h
x x +--=
+
若C 点的法线为CC ’,则由图知， Sin α=Sin β 所以，α=β，即入射角等于反射角。

又因为
()()
()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡+-+--+
+--
-
++-
+=
''2
2
2
2
2
22
22
2
2
122
12221
2
1h x a h x a x a h
x a h x h x x h
x V x t
()
()[
]
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣
⎡
+-+
+=2
/32222
2
2
/32
12211h x a h h x h V 式中所有值都是正的，所以()0>''x t ，故当α=β时，光线由A 点到B 点所需要的时间为最短。

2.光的折射
光线由A 点入射，经介面MN 折射到B 点（如图）。

试求光线以最短时间从A 射到B 发生折射所通过的路径。

分析 建立如图坐标系。

A 点B 点是已知的，C 为界面上的任一点。

设光在第一介质中的传播速度
2)
是V 1，在第二介质中的传播速度是V 2，则在第一介质中光线经过AC 所需要的时间为 t 1=AC/V 1
在第二介质中光线经过CB 所需要的时间为 t 2=CB/V 2
因此，光线由A 点到B 点所需要的全部时间为 2
121V CB
V AC t t t +=
+= ()()2
222
2121
1
1h x a V h x V x t +-+
+=
式中V 1、V 2、h 1、h 2、及a 都是已知的，现在的问题是：光线AC 应有怎样的一个已知方向（或x 取何值），才能使它由A 点出发到B 点的时间为最短。

为了求得最短时间，我们求t 对x 的导数： ()()
22
2
2
21
2
1
11h
x a x
a V h
x x V x t +---
+=
'
令()0='x t ，则
()
22
2
2
21
2
1
11h
x a x
a V h
x x V +--=
+
由图知， Sin α=
21
2
h
x x +，Sin γ=
()
22
2
h
x a x
a +--
可见，为使导函数()0='x t ，下列条件
γαSin V Sin V 2
11
1=，即21V V Sin Sin =γα 就必须成立，这就是已知的光的折射定律。

又因为 ()()
()[]
2
/32
2
22222
/32
122111
1
h x a h V h x h V x t +-+
+=
''
式中所有值都是正的，所以()0>''x t ，因此，当2
1
V V Sin Sin =γα时，光线由A 点到B 点所需要的时间为最短。