复变函数课件第二章习题课
第四版复变函数第二章市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
例6：反函数的求法：z cos w 1 (e iw e iw ) 2
得到关于e iw的二次方程：e i2w 2ze iw 1 0 (e iw z)2 z 2 1 e iw z z 2 1 w iLn(z z 2 1)
反双曲函数定义：z shw
则：w Arshz
Arshz Ln( z z2 1 )
三角函数性质：(5条)
周期为2的周期函数；
在复平面内处处解析；
sin z cos z, cos z sin z
欧拉公式仍然成立； e iz cos z i sin z 一些三角公式仍然成立 ； cos(z1 z2 ),sin(z1 z2 ) sin 2 z cos2 z 1, 但 sin z 1 & cos z 1不成立
- u y v
x y
定理一：f (z) u( x, y) v( x, y)i
在一点z x iy可导的充分必要条件为 ：
u( x, y), v( x, y)在点z( x, y)可导；
满足柯西 黎曼方程：u v , u v x y y x
定理二：f (z) u( x, y) v( x, y)i
则：曲线组u(
x,
y)
c1和v( x,
y)
c
互相正交。
2
证明：f
( z )
1 i uy
vy
0
u y , v y不全为0
u y , v y 都不为0，u( x, y) c1
任一条曲线斜率为：dy dx
k1
ux uy
v(x, y) c2
任一条曲线斜率为：dy dx
k2
vx vy
利用C R方程得：k1k2
模：ez e x 辐角：Arg ez y 2k
复变函数课件第二章习题课
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复变函数极限的洛必达法则
如果f (z)和g(z)在z0解析,且f (z0 )=g(z0 ) 0, g '(z0 ) 0,
f (z) f (z0 )
lim f (z) lim z z0 zz0 g(z) zz0 g(z) g(z0 )
z z0
= f '(z0 ) g '(z0 )
习题课
第二章 解析函数
1、重点和难点 2、内容总结 3、习题处理
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1、重点与难点
重点：1. 函数解析性的定义和判别； 2. 初等解析函数；
难点：1. 解析函数的概念； 2. 多值函数单值化。
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2、内容提要
它们之间的关系
极限 连续性
指数函数 三角函数 双曲函数 对数函数
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复变函数连续的四则运算
(1) 在 z0 连续的两个函数 f (z) 和 g(z)的和、差、 积、商(分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续.
复合函数的连续性
(2) 如果函数 h g(z)在 z0 连续,函数 w f (h)在 h0 g(z0 ) 连续, 那末复合函数w f [g(z)]在 z0 处 连续.
sin(iz) i sh z, cos(iz) ch z.
、csionshh((xx
yi ) yi )
cosh x cos sinh x cos
y i sinh y i cosh
x sin x sin
y, y.
、cosh2 z sinh2 z 1
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双曲函数的定义和性质
第2章复变函数与解析函数精品PPT课件
①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例
复变函数第三版习题
复变函数第三版习题第二章解析函数习题课1. 试问函数11?z2在圆盘|z|?1内是否连续？是否一致连续？ 2. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微。
3. 设函数f(z)在区域D内解析。
证明：如果对每一点z?D，有f’(z)?0，那么f(z)在D内为常数。
4. 设函数f(z)在区域D内解析。
证明：如果f(z)满足下列条件之一，那么它在D内为常数：Ref(z)或Imf(z)在D内为常数；|f(z)|在D内为常数。
5. 证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析。
6. 试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：z,e,sinz,cosz 2z而下列函数不解析：z,e,sinz,cosz。
7. 证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：?u1?v?u?v。
?,??r?rr?????r2z8. 已知任何区域D内的解析函数f(z)一定有任意阶导数。
证明：f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：22?U?x2??U?y2?0 在D内，(?i22?x??22 )|f(z)|?4|f’(z)|222?y29. 试求出的e2?i、Ln(1?i)、i、1、(?2)值。
10. z?sinw及z?cosw所定义w的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。
11. sinhz?e?e2z?z及coshz?e?e2z?z 所定义w的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：sinhz??isiniz,coshz?cosiz, 此从关于三角函数的有关公式导出：cosh2z?sinh2z?1，sinh(z1?z2)?sinhz1coshz2?coshz1sinhz2，cosh(z1?z2)?coshz1coshz2?sinhz1sinhz2，sin(x?iy)?sinxcoshy?icosxsinhy，cos(x?iy)?cosxcoshy?isinxsinhy，dsinhzdzdcoszdz。
第四版复变函数第二章精品PPT课件
定 理一 ： f (z) u(x, y) v(x, y)i
x
y
在 一点z x iy可 导的 充 分必 要 条：件 为
u(x, y),v(x, y)在 点z(x, y)可 导；
满 足柯 西 黎 曼方 程u： v , u v x y y x
定理二f(： z)u(x, y)v(x, y)i 在 区D域内 解 析 的 充 分 必为要：条 件 u(x, y),v(x, y)在D内可导； 在D内 （ CR方 程 ）： u v, u v x y y x
g ( z )2
6、 f [ g ( z )] f ( w ) g ( z ) w g ( z )
2、解析函数
w f (z)在点z0解析： f (z)在z0及z0的邻域内处处可导
在区D 域 内解析f(： z)在D内每一点解析。
f(z)在z0不解 析 z0为奇点。
定理： 1） 如果f (z)，g(z)在区域D内解析，有 :
a,b,c,d?可f使 (z)处 处 解 析 。
例 3 、 f'(z)0 在 D 内 f(z)常数
例 4、如f果 (z)： uiv为解析函 f(z)数 0 ， 则曲 ：线 u(x组 ,y)c1和 v(x,y)c2互 相 正
证明：
f (z)
1 i uy
vy
0
u y ,v y不全为
0
uy,v
都不为
f (z) g(z), f (z) g(z), f (z) , 在D内都解析。 g(z)
2） h=g(z)在D内解析，w=f(h)在G内解析， 如果函数h=g(z)的函数值集合落在G内，则 复合函数w=f[g(z)]在D内解析
有 理 函 数 （ 多 项整式个）复在平 面 上 解 析 。 wP(z)a0 a1zanzn 有理分w式 P(z)（两个多项式的分商母）不除 0的 为
复变函数第二章课件
例 判断下列函数的解析性.
1) w z ;2) f ( z ) e x (cos y i sin y );3)w z Re( z )
例 设函数
f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ).
问：常数 a, b, c, d 取何值时， ( z ) 在复平面 f 内处处解析？
注
Lnz n nLnz n 1 Ln z n Lnz
不成立！！
18
对数函数的解析性 y z
z e
w
v
i
O
w
O
x
w ln z
u
i
arg z v
ln z 在除去原点和负实轴的平面内解析，且有
d ln z 1 1 w de dz z dw (Lnz )k (k Z) 在除去原点和负实轴的平面内解析.
19
3.3 幂函数
对 z 0, ; C
w z e Lnz e (ln z 2k i ) w0e2k i (k Z), 其中 w0 e ln z 是 z 的一个主值.
(sin z )' cos z, (cos z )' sin z
iz
（3）遵从通常的三角恒等式；
22
（4）周期为 2 ; （5） sin z 0 z n , n Z; ； 1 ; ; cos z 0 z (n ) , n Z; ； 2 (6) sin z 1 和 cos z 1不成立； (7) cos( z ) cos z , sin( z ) sin z ; (8) e cos z i sin z.
复变函数与积分变换课堂PPT第二章
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
复变函数课件(二)
f ′(z) = ux + ivx = vy −iuy .
例题1
已 f ( z) = x2 − y2 + i2xy = u + iv， f ′( z) 知 求
解： 因为 u = x2 − y2 , v = 2xy 处处可微，且
∂u ∂v ∂u ∂v = 2x = , = −2y = − . ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒ f ′(z) = ux + ivx = vy −iuy .
∂u ∂v ∂v ∂u 为 Cauchy-Riemann方 程 称 = , =− ∂x ∂y ∂x ∂y
即 = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 内 点( x,y) 解 ⇒ w D 一 析
u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足
z
( ez+2kπi = eze2kπi = ez ( cos2kπ +i sin2kπ ) = ez , k ∈Z)
( lim ez = +∞ , lim ez = 0) (5)lime 不 在 z=x→+∞ 存 . z=x→−∞
z z→∞
2、 三角函数
e −e 定义： sin z = 2i
iz −iz
2
2 2 ∆w f (z + ∆z) − f (z) = = z + ∆z − z 解： ∆z ∆z ∆z (z + ∆z)(z + ∆z) − z z ∆z = = z + ∆z + z ∆z ∆z
所以
∆w z = 0: = ∆z → 0 (∆z → 0) ⇒ f ′(0) = 0 ∆z ∆w z ≠ 0 : 取∆z = ∆x → 0 ⇒ ∆z → z + z ∆w 取 z = i∆y →0 ⇒ ∆ →z − z ∆z 2
复变函数课件第二章
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
y 1 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， lim z 0 x iy i y lim ∴ z 0 不存在，即处处不可导。 x iy
y lim 0 当 z 0(x 0, y 0) 时， z 0 x iy
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换
在定义中应注意: z0 z z0 (即z 0)的方式是任意的.
Complex Analysis and Integral Transform
即z0 z在区域D内以任意方式趋于 0时, z f ( z0 z ) f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . z
y 1 f f ( z z ) f ( z ) lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0
当点沿不同的方向使z 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导.
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis and Integral Transform
2
研究函数 f ( z ) z 2 , g( z ) x 2 yi 和
h( z ) z 的解析性.
解 由本节例1和例3知:
f ( z ) z 2 在复平面内是解析的 ;
复变函数第二章
第二章全纯函数§2.1习题1.研究下列函数的可微性： （i ）();f z z = 解： 0z ≠时00000()()limlim z z z z z z f z f z z z z z →→--=--不存在 这是因为当0z x iy =+时，000limlimy y y y →→=当0z x iy =+时，000limlimx x x x →→==故0z ≠时，()f z 不可导.当0z =时，有()(0)i i z f z f r e z z reθθ-∆∆-∆===∆∆∆ 即知()f z z =在0z =也不可导. 从而()f z z =处处不可导. (ii) 2();f z z = 解：0z ≠时00220000()()lim lim z z z z z z f z f z z z z z →→--=--显然不存在. 这是因为当0z x iy =+时0022220000000000()()lim lim 2x x x x x y x y x x x x x x iy x iy x x →→+---+==+--- 当0z x iy =+时，0022220000000000()()2lim lim ()y y y y x y x y y y y y y x iy x iy y y i i→→+---+==+--- 0z =时可导，(0)0f '=.（iii ）()Re ;f z z =00000()()Re Re limlimz z z z f z f z z z z z z z →→--=--显然不存在. 这是因为当0z x iy =+时，000lim1x x x x x iy x iy →-=+--.当0z x iy =+时，00000lim0y y x x x iy x iy →-=+--从而()Re f z z =处处不可导 (v) ()f z 为常数不妨设(),f z C =显然'()0f z = 故()f z C =在处处可导.2.设f 和g 都在0z 处可微，且'000()()0,()0f z g z g z ==≠证明：0'0'0()()lim()()z z f z f z g z g z →= 提示：0000()()()limlim ()()()z z z z f z f z f z g z g z g z →→-=- 0000000()()()lim()()()z z f z f z z z f z z z g z g z g z →'--=⋅='--4．设域G 和域D 关于实轴对称，证明：如果()f z 是D 上的全纯函数，那么()f z 是G 上的全纯函数. 提示：00()()()()limlim (),z z f z z f z f z z f z f z z G z z →→⎡⎤+-+-'==∈⎢⎥⎣⎦§2.2习题1.设D 是域,).(D H f ∈如果对每个,D z ∈都有'()0f z =,证明f 是一常数. 证明:因为'()0f z =,而'()f z =u vi x x∂∂+∂∂=0(定理2.2.4) 所以u x ∂∂=0, v x ∂∂=0,而u x ∂∂=v y ∂∂,u y ∂∂=vx∂-∂.故u y ∂∂=0, v y ∂∂=0.因此f 是一个常数.3.设iy x z +=,证明xy z f =)(在z=0处满足Cauchy-Reimann 方程,但f 在z=0处不可微.提示: u =,0v =.直接算偏导.8.设D 是域, ()f H D ∈,f 在D 中不取零值,证明: 对于任意p>0,有2222()p f z x y ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭=2p 2()p f z -2'()f z . 提示:∆=2222x y ∂∂+∂∂= 42z z∂∂∂,将()f z 写成12()()f z f z ⎡⎤⎣⎦,利用f z∂∂=0, f z ∂∂=0, fz ∂∂='f , f z ∂∂='f ,计算.11.设D 是域,(]:D \ ,0f →-∞ 是非常数的全纯函数,则log ()f z 和Arg ()f z 是D 上的调和函数,而()f z 不是D 上的调和函数.提示: 2221log ()log ()2log |()|2f z f z f z z z∂∆=∆=∂∂ 21()()2|()|f z f z z f z z ⎛⎫∂∂= ⎪∂∂⎝⎭2()()2|()|f z f z z f z ⎛⎫'∂= ⎪∂⎝⎭ ()20()f z z f z ⎛⎫'∂== ⎪∂⎝⎭2a r g ()()()i f z f z e f z =对z 求偏导(a r g ())f z z ∂∂=12i '()()f z f z 2z z∂∂∂(a r g ())f z =0 42z z∂∂∂(())f z =12()'()f z f z - 如果()f z 调和,则'()f z ≡0,从而f 是常数,矛盾.12.设D,G 是域, :f D G →是全纯函数,证明:若u 是G 上的调和函数,则u f 是D 上的调和函数.证明: 因为u 是G 上的调和函数,局部存在全纯函数g ，s.t. Re u g =, 则g f 局部全纯,于是局部有Re()u f g f = ，从而u f 调和.15.举例说明:存在B(0,1)\{0}上的调和函数,它不是B(0,1)\{0}上全纯函数的实部. 解: ()log ||u z z =是B(0,1)\{0}上的调和函数,它不是B(0,1)\{0}上全纯函数的实部. (反证) 假设存在B(0,1)\{0}上的全纯函数()f z ,使得Re ()log f z z =, 设()log ||()f z z iv z =+,()v z 是实值函数.则()()||f z iv z ez e =⋅,从而()()1,(0,1)\{0}f z iv z e e z B z==∀∈. 由题2.(iv) 可知()f z e z≡常数, 故存在θ∈ s.t. ()f z i e ze θ= 即()||iv z i z e ze θ⋅=()(arg )iv z i z e e θ+⇒=()2v z argz k θπ⇒=++.由()v z 的连续性可知k 是常数.于是()2argz v z k θπ=--在B(0,1)\{0}连续,不可能.16.设f u iv =+, 000z x iy =+.证明: (i) 如果极限000()()lim Rez z f z f z z z →--存在,那么()00,ux y x ∂∂和()00,v x y y ∂∂存在,并且相等. (ii) 如果极限000()()l i m Imz z f z f z z z →--存在,那么()00,u x y y ∂∂和()00,vx y x∂∂存在,而且()00,u x y y ∂∂=-()00,vx y x∂∂.证明:(i)()00,ux y x∂∂=00000(,)(,)limx x u x y u x y x x →-- ()0z x i y =+ ()()000,z x y = =00000(,)(,)lim Rex x f x y f x y x x →--=000()()lim Rez z f z f z z z →--()00,vx y y∂∂=00000(,)(,)lim y y v x y v x y y y →-- =00000(,)(,)lim Imy y f x y f x y y y →-- ()0z x iy =+=()000()()lim Imz z f z f z i z z →---=()00()()lim Im z z f z f z iz z →--=000()()lim Rez z f z f z z z →--(ii)利用[]Im ()Re ()f z if z =-,由(i)即得.1．求映射i z iz w +-=在11-=z 和i z =2处的转动角和伸缩率. 解：因为 z if z i-=+222()()f z i z i iz z i z i ∂+-+==∂++ 122'()(1)if z i =-+=1 1arg '()f z =arg(1)-=π 2221'()(2)22i i f z i ===- 2a r g '()2f z π=-2．设f 是域D 上的全纯函数，且'()f z 在D 上不取零值，试证：（i ）对每一个00()u iv f D +∈，曲线0Re ()f z u =和曲线0Im ()f z v =正交； 证明：（i ）0u u =和0v v =是uv 平面中的正交直线.因为()0f z '≠,故f 是保角的. 从而曲线0Re ()f z u =和曲线0Im ()f z v =的夹角等于直线0u u =和0v v =的夹角,等于2π1.验证zze e =证明：令z x iy =+,则z x iy =-(cos sin )z x e e y i y =+(cos sin )z x e e y i y ⇒=- (cos sin )z x e e y i y =-所以z ze e =.3.证明：若1ze =，则必有2,0,1,.z k i k π==±… 证明：1ze =||1xze e ⇔==,20zArge y k π=+=0,2,x y k k π⇔==∈Z2z k i π⇔=，k ∈Z .4.设f 是整函数，()0 1.f =证明：(i)若'()(),();zf z f z z f z e =∈≡ 对每个成立则(ii) 若对每个,z ω∈ ,有()()()f z f z f ωω+=,且'(0)1f =,则()zf z e ≡. 证明（i ）''(())()()()()0.z zz z z f z e f z ef z e f z e f z e -----=-=-=()z f z e c -=,11,1c c ⨯==，故()z f z e ≡(ii) ()()()f z f z f ωω''+=,令0()()z f f ωω'=⇒=7.设f 在\(,0]-∞ 中全纯，(1)0.f =证明： （i ）若(]'()(),\,0,()log f z f z ez f z z -=∈-∞≡ 则；(ii)若()()()f z f z f ωω=+,(]\,0z ∈-∞ ,()0,ω∈∞,且'(1)1f =,则()log f z z ≡.证明：（i ）令()()f z F z ez =-,则'()'()()10f z F z e f z =⋅-=()F z c ⇒=(常数)令z=1,则(1)0110f e c -=-==F(1)=e.故()()log (1)1f z e z f z z f ⎫=⇒=⎬=⎭(ii)提示()()f z f z ωω''=,令1z =得1()f ωω'=.8．证明：32)(2++=z z z f 在()1,0B 中单叶.证明： 取()12120,1,z z B z z ∀∈≠，12()()f z f z -=1212()(2)z z z z -++()12121212,0,1()()0()()z z z z B f z f z f z f z ≠∈⇒-≠⇒≠，故)(z f 在()0,1B 中单叶.12．设f 在(]\,0-∞ 上全纯，(1)1,0.f μ=>证明：)(i 若(]'()(),\,0f z f z z zμ=∈-∞C ，则arg ();i z f z z e μμ≡ )(ii 若()()()f z f z f ωω=，(]\,0z ∈-∞C ,()0,ω∈∞,且'(1),f μ=则arg ()i z f z z e μμ≡证明：(i) 要证arg ()i zf z z eμμ=，即证log ()z f z e μ=()log ()0zf z eμ'=,及(1)1f =log ()||z i Argz f z e z e μμμ⇒==⋅.(ii) ()()()zf z f z f ωω'=令1ω=得()()zf z f z μ= 即()()f z f z zμ'= 14.证明:)(i cos()cos cos sin sin ;z z z ωωω+=⋅-⋅ )(ii sin()sin cos cos sin ;z z z ωωω+=⋅+⋅证明:(i) cos()sin()z i z ωω+++()i z e ω+=()cos cos sin sin sin cos cos sin z z i z z ωωωω=-++ (1 ) 在上式中以z -，ω-代入，得cos()sin()z i z ωω+-+()cos cos sin sin sin cos cos sin z z i z z ωωωω=--+ （2）(1)+(2)得 cos()cos cos sin sin z z z ωωω+=-(1)(2)得 sin()sin cos cos sin z z z ωωω+=+19.证明:sin z ω=将半条形域:Re ,Im 022z z z ππ⎧⎫∈-<<>⎨⎬⎩⎭一一地映为上半平面. 证明: sin cos()cos()22z z z ππω==-=-令2u z π=-,则cos w u =是由指数,(Re 0,Im 0),iuz e u u π=-<<>与Rokovsky 函数{}11(),((0,1)\0,0),2zz z B argz ωπ=+∈-<<的复合.故sin w z =将半条形区域{:Re ,Im 0}22z z z ππ∈-<<> 一一映成上半平面.20.证明(0,1)B 是2()(1)zf z z =-的单叶性域,并求出((0,1))f B . 证明: []1212122121()()()(1)(1)z z f z f z z z z z --=--- 给出f 的单叶性0z ≠时,112()z f z z=+-由Rokovsky 函数的性质易得 1((0,1))\(,]4f B =-∞-21.当z 按逆时针方向沿圆周{:2}z z =}旋转一圈后,计算下列函数辐角的增量:(iii) 124(23);z z +- (iv) 1211z z -⎛⎫⎪+⎝⎭. 解:(iii) 124(23)z z +-14[(3)(1)]z z =+⋅- 3-在圆周||2z =外,1在圆周||z =内所以当z 按逆时针方向沿圆周旋转一圈后, 辐角的增量为2π(iv) 11122221(1)(1)1(1)(1)1|1||1|z z z z z z z z ⎡⎤⎡⎤--+⎛⎫==-+⎢⎥⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦1z =±均在圆周||2z =内,所以辐角的增量为0.22.设1(),0 1.(1)p p z f z p z -=<<-证明:f 能在域[]\0,1D = 上选出单值的全纯分支.证明: 11()(1)1pp i p i z z f z e z e z z ππ-⎛⎫== ⎪+-⎝⎭只需考虑()1pz g z z ⎛⎫= ⎪-⎝⎭设γ是D 中的简单闭曲线,则当z 沿γ逆时针绕行一周时, 若γ内部不含[0,1],则辐角增量为0, 若[0,1]位于γ内部,则辐角增量为22()0p p ππ+-=. 故g 从而f 能在域[]\0,1D = 上选出单值的全纯分支.23.证明: 21()z f z Log z ⎛⎫-= ⎪⎝⎭能在域(][]()\,10,1D =-∞-⋃ 上选出单值的全纯分支.证明: 21z z-将(][]()\,10,1-∞-⋃ 映入(]\,0-∞ ，而对数函数在(]\,0-∞ 上能选出全纯分支.24.设单叶全纯映射f 将域D 一一地映为G,证明:G 的面积为2'().f z dxdy ⎰⎰证明:令iy x z +=,),(),()(y x iv y x u z f +=变换行列式(,)(,)uu v xvx y x∂∂∂=∂∂∂ u y v y∂∂∂∂= u v v u x y x y ∂∂∂∂⋅-⋅∂∂∂∂ = 22()()u v x x∂∂+∂∂= 2u v i x x ∂∂+∂∂ = 2'()f z∴ 2'(,)||()(,)G D Du v S dxdy f z dxdy x y ∂==∂⎰⎰⎰⎰.25.设f 是域D 上的单叶全纯映射,)(),(βαγ≤≤=t t z 是D 中的光滑曲线, 证明:(())f t ωγ=的长度为''(())()f t t dt βαγγ⎰证明:''(())()d f t t dtωγγ= 故(())w f t γ=的长度为''(())()f t t dt βαγγ⎰26.设D 是z 平面上去掉线段[][]1,,1,i i -和射线z it = ()1t ≤<∞后得到的域,证明函数2(1)Log z -能在D 上分出单值的全纯分支.设f 是满足0)0(=f 的那个分支,试计算)2(f 的值.解: 取D 中任一简单闭曲线γ,则1±都不在γ内部,从而z 沿γ逆时针绕行一周时,21(1)(1)z z z -=-+辐角的增量为0,故能选出全纯分支.设22()log |1|(1)2f z z iarg z k π=-+-+. 由(0)00f k =⇒=, 故(2)log3(3)log3f iarg i π=+-=+.§2.5习题1. 试求把上半平面映为上半平面的分式线性变换,使得∞,0,1分别映为0,1,∞.解: 1()1T z z ω-==-2. 证明: 分式线性变换az b cz dω+=+把上半平面映为上半平面的充要条件是d c b a ,,,都是 实数,而且0>-bc ad .证明: 必要性：因为线性变换把实轴映为实轴, 故az b cz dω+=+中d c b a ,,,都是实数； 因为2()()ac bd ad bc i i cω++-=属于上半平面，故0>-bc ad . 充分性：对0,1,,z =∞都有()z ω∈R ,从而ω将实轴映为实轴,又Im ()0i ad bc ω=->,故将上半平面映为上半平面.4.试求把单位圆盘的外部{}1:>z z 映为右半平面{}:Re 0ωω>的分式线性变换,使得 (i)1,-i,-1分别变为i,0,-i;(ii)-i,i,1分别变为i,0,-i.解:(i)()z i T z z i ω+==- (ii)()(2)21z i T z i z i ω-==-+- 10.设()az b T z cz d +=+是一个分式线性变换,如果记a c ⎛ ⎝ 1b d -⎫⎪⎭=αγ⎛ ⎝ βδ⎫⎪⎭,那么1()z T z z αβγδ-+=+. 证明:a c ⎛ ⎝ 1b d -⎫⎪⎭=dc ⎛ -⎝ b a -⎫⎪⎭=αλ⎛ ⎝ βδ⎫⎪⎭ ()az b T z cz d+=+()()czT z dT z az b ⇒+=+ 1()b dz z T z cz a z αβγδ--+⇒==-+ 从而证得1()z T z z αβγδ-+=+.11.设11111)(d c b a z T ++=,=)(2z T 2222d c b a ++是两个分式线性变换,如果记11a c ⎛ ⎝ 11b d ⎫⎪⎭22a c ⎛ ⎝ 22b d ⎫⎪⎭=a c ⎛ ⎝ b d ⎫⎪⎭那么12()()az b T T z cz d +=+ . 证明: 12()()T T z =1212121212121212a a z ab bc z bd c a z c b d c z d d ++++++ 又 11a c ⎛ ⎝ 11b d ⎫⎪⎭22a c ⎛ ⎝ 22b d ⎫⎪⎭=a c ⎛ ⎝ b d ⎫⎪⎭∴121212121212a a b c a a b b d c c b d d d +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩⇒1212121212121212a a z a b b c z b d az b c a z c b d c z d d cz d ++++=++++ 从而12()()az b T T z cz d +=+ .12.设Γ是过-1和1的圆周,z 和w 都不在圆周上.如果,1=zw 那么z 和w 必分别于Γ的内部或外部.证明:由圆的对称性知Γ的圆心必然在虚轴上，设圆周与虚轴交个交点为12z z ，. 又由平面几何知识知12||||1z z ⋅=,从而211z z =. 设z 在Γ内部，则z 位于走向1，1z ,-1的左边,因此分式线性变换1(x)T x =，将1()z T z =映为走向1(1)()(1)T T z T -，，，即1，2z ，-1的左边.注意()T Γ=Γ，走向1，2z ，-1的左边即Γ的外部，故1z 在Γ外部.15.求一单叶全纯映射,把除去线段[]i +1,0的第一象限映为上半平面.提示: 先作变换41z z =,再作412+=z z ,最后作变换23z z =可得.16. 求一单叶全纯映射,把半条形域:Re ,Im 022z z z ππ⎧⎫-<<>⎨⎬⎩⎭映为上半平面,且把2π,0,2π-分别映为1,-1,0. 提示: 先作变换1z iz = ,再作12z e z =,)1(21,33423z z z iz z +=-=.即11()2iz iz w ie ie=-+- 17.求一单叶全纯映射,把除去线段[]hi a a +,的条形域{}:0Im1z z <<映为条形域{}:0Im 1w w <<,其中,a 是实数, 01h <<提示:先作变换1z z e π=,再作变换ππa a e z e z z +-=112便可得结论.19.求一单叶全纯映射,把除去线段[]2,1的单位圆盘的外部映为上半平面.提示:先作变换111z z z -=+,再作变换221324351,,,9z iz z z z z z ===+=即w =.。
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如果存在一个复数0 ( 0 )，使得 0， 0
对满足0 | z z0 | (0 )的一切z，都有 | f ( z ) 0 | ，
则称 0为函数f ( z )当z趋于z0时的极限。
记作 lim f ( z ) 0或f ( z ) 0 (当z z0 ).
[ f ( z ) g( z )]' =f '( z ) g( z ) f ( z ) g '( z )
f (z) g( z )
'=
f '( z ) g ( z ) f ( z ) g '( z )
g ( z )
2
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复变函数解析的四则运算
如果f ( z )和g( z )在区域D上解析，则
同理可以定义其他双曲函数：
sinh z cosh z tanh z , coth z , cosh z sinh z 它们解析且
1 1 (tanh z )' , (coth z )' . 2 2 cosh z sinh z
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对数函数等的定义和性质
定义 : w Lnz {ln | z | i arg z i 2k : k 0, 1...}
习题课
第二章 解析函数
1、重点和难点 2、内容总结 3、习题处理
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1、重点与难点
重点：1. 函数解析性的定义和判别； 2. 初等解析函数； 难点： 1. 解析函数的概念；
2. 多值函数单值化。
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2、内容提要
它 们 之 间 的 关 系
极限 连续性
指数函数 三角函数 双曲函数
复变函数
记 : wk ln | z | i arg z i 2k 是一个单值分支
、Lnz定义域z C \ {0, }, 值域w C 、对数函数w Lnz是无穷多值函数, 非周期函数 、对数函数w Lnz没有解析性 、对数函数的代数性质： Ln(z z ) Lnz ＋Lnz Ln(z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2
解析函数 初等解析函数
导数 微分
它们的关系 解析判别命题
对数函数
幂函数
单 值 函 数 的 定 义 和 性 质 多值函数的定义和单值化
第一部分 复变函数极限、连续、 可导、可微和解析
定义
性质及运算 它们之间的关系 判别命题 常见复变函数此类性质总结
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复变函数极限定义
设函数w f ( z )在0 | z z0 | 内有定义。
z Re( z ) Im( z ) 、 、 在z 0 时的极限不存在 z z z arg z在z a (a 0) 时的极限不存在
z、 Re( z )、 Im( z )、 z 、P ( z )、P ( z ) / Q( z ) 在定义域内连续
z、 Re( z )、 Im( z )、 z 在定义域内不可导 P ( z )、P ( z ) / Q( z )在定义域内可导
zz0
注意: 定义中 z z0 的方式是任意的 .
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复变函数连续定义
如果 lim f ( z ) f ( z0 ), 那末我们就说 f ( z )
z z0
在 z0 处连续.
如果 f ( z ) 在区域 D 内处处连续, 我们说 f ( z ) 在D 内连续.
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6
复变函数的导数定义
1 2 1 2
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特别 : ln z=w0 ln | z | i arg z是主值分支
、lnz定义域z C \ {0, }, 值域w {- Im(ln z) } 、对数函数主值w lnz是单值函数, 非周期函数
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同理可以定义其他三角函数：
sin z cos z tan z , cot z , (周期 ) cos z sin z 1 1 sec z , csc z , (周期2 ) cos z sin z
它们解析且
(tan z )' sec 2 z , (cot z )' csc 2 z , (sec z )' sec z tan z , ( csc z )' csc z cot z .
'( z )＝ux iv x u( x , y ), v( x , y )可微
x
u v y x
二元函数偏导数存在 u
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v y Re f '( z ),
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u y v x Im f '( z )
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常见函数的“性质”小总结
解析
可导 可微 连续 极限存在
设单值函数w f (z )在点z0的某邻域内有定义， z0 z是邻域内任意一点 f ( z0 z ) f ( z0 ) w 如果极限 lim lim 存在 z 0 z z 0 z （假设为A，有限的复数）
则称函数f ( z )在z0处可导，A称为函数f ( z ) dw 的导数，记为f '( z0 )，或 dz .
sin(iz ) i sh z , cos(iz ) ch z.
cosh( x yi ) cosh x cos y i sinh x sin y, 、 x yi ) sinh x cos y i cosh x sin y. sinh( 、 cosh2 z sinh2 z 1 上页 下页 返回
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复变函数解析的定义
如果f ( z )在z0 及z0的邻域内处处可导， 则称f ( z )在z0处解析；
我们也说f ( z )是D内的解析函数；
如果f ( z )在区域G内处处解析，而闭区域 D上每一点 都属于G , 那么称f ( z )在闭区域 D内解析. 返回
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如果f ( z )在区域D内处处解析，则称f ( z )在D内解析，
f (z) f ( z ) g( z )、f ( z ) g( z )、 ( g( z ) 0) g( z )
在区域D上解析，并且有
( f ( z ) g( z ))' =f '( z ) g '( z )
[ f ( z ) g( z )]' =f '( z ) g( z ) f ( z ) g '( z )
、指数函数w e 是周期为2 i的周期函数:
z
、指数函数在定义域内解析，且有: (e z )' e z 、 | e z | e x , Arge z y 2k，k 0, 1, 2,
z2
、e
z1 z2
e e
z1
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三角函数的定义和性质
e e 定义 : cos z 2
极限存在 解析
且C-R方程成立
u( x , y ), v ( x , y ) 可微 且C-R方程成立
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Cauchy-Riemann方程
设复变函数 f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )
u( x, y )和v( x, y )满足柯西-黎曼方程即：
u x
v y
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第二部分 初等解析函数
单值函数：指数、三角、双曲函数； 多值函数：对数、反三角、反双曲、一 般幂函数和一般指数函数、根式函数。
定义及性质
根式函数单值化计算
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指数函数的定义和性质
定义 : e e (cos y i sin y ).
z x
、定义域z C , 值域w C \ {0, }
f (z) g( z )
'=
f '( z ) g ( z ) f ( z ) g '( z )
g ( z )
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复合函数及反函数求导法则
设函数 f ( z )在区域D内解析，函数 w g ( )在区域G内解析，又f ( D ) G ,
则复合函数w g( f ( z )) h( z )在内解析， 并且有: h '( z ) [ g( f ( z ))]' g '( f ( z )) f '( z )
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复变函数极限的四则运算
设 lim f ( z ) A, lim g( z ) B, 那末
z z0 z z0
(1) lim[ f ( z ) g( z )] A B;
z z0 z z0
(2) lim[ f ( z ) g( z )] AB; f (z) A (3) lim ( B 0). z z0 g ( z ) B
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复变函数极限的洛必达法则
如果f ( z )和g( z )在z0解析,且f ( z0 )=g( z0 ) 0, g '( z0 ) 0,
f ( z ) f ( z0 ) z z0 f (z) lim lim z z0 g ( z ) z z0 g ( z ) g ( z ) 0 z z0 f '( z0 ) = g '( z0 )
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复变函数连续的四则运算
(1) 在 z0 连续的两个函数 f ( z ) 和 g( z ) 的和、差、 积、商 (分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续.