第五课时 三角函数图像与性质
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质在数学中，三角函数是一种基本的函数类型，其中的很多图像和性质对理解数学十分重要。
它们有助于理解各种模型的表示和应用，增强数学思维的能力和加深数学知识。
本文就三角函数的图像与性质做一些简单的介绍。
I、三角函数图像1、正弦曲线：正弦曲线是由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线。
它是圆的切线，有一定的规律性，并且把圆分为一个完整的一个周期，表现的曲线是一个“s”字形，形成有节奏的变化形式。
2、余弦曲线：余弦曲线是一条由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线，它也是圆的切线，有一定的规律性，但是它把圆分为两个半周期，比较起来更加缓和，表现的曲线是一个“v”字形，形成有节奏的变化形式。
3、正切曲线：正切曲线可以由参数0到π（π是将一个周期跨越一次）形成的曲线。
它也是一个椭圆的切线，有一定的规律性，把椭圆分为一完整周期，表现的曲线是一个“z”字形，形成有节奏的变化形式。
II、三角函数的性质1、周期性：三角函数的周期性就是说其值的变化是有如左图5000式的一个循环周期，在实际应用中可以利用该性质进行参数估计。
2、增减性：三角函数具有明显的增减性，具体表现为当参数逐渐增加时，函数值会自动增大，而当参数逐渐减小时，函数值则会自动减小。
3、几何性：三角函数有一个令人惊讶的性质，即在几何上其值就等于一定参数的弧度，而且参数的变化也不会影响该弧度。
4、极限性：参数π/2处的正切函数的值无穷大，表示非常接近的范围内函数的变化是接近无穷大的，而参数为0处的余弦函数为1，表示函数在某一点的取值趋势没有了变化，变成一个规定值。
总结来说，三角函数可以说是数学之中一个基本的概念，其图形和性质极其重要，可以帮助我们更深入的理解数学，增进数学的应用能力，因此，值得我们认真好好的学习。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的图像与性质，并通过图像展示它们的特点。
一、正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，常用符号为sin(x)。
它的图像是一条连续的曲线，表现出周期性的波动。
正弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即在每个2π的区间内，函数的值会重复。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。
这意味着它的图像关于原点对称。
3. 取值范围：正弦函数的值域在[-1, 1]之间，即函数的值不会超过这个范围。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是另一个常见的三角函数，常用符号为cos(x)。
它的图像也是一条连续的曲线，与正弦函数的图像非常相似。
余弦函数的性质如下：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。
这意味着它的图像关于y轴对称。
3. 取值范围：余弦函数的值域也在[-1, 1]之间，与正弦函数相同。
三、正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中的另一个重要概念，常用符号为tan(x)。
正切函数的图像也是一条连续的曲线，但与正弦和余弦函数有所不同。
正切函数的性质如下：1. 周期性：正切函数的周期为π，即在每个π的区间内，函数的值会重复。
2. 奇点：正切函数在π/2和-π/2处有奇点，即函数在这些点上无定义。
3. 取值范围：正切函数的值域为整个实数轴，即它可以取到任意的实数值。
四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数，还有许多衍生的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等。
它们的图像和性质与前面介绍的三角函数类似，只是在计算和应用中有一些特殊的情况。
五、图像展示为了更好地理解三角函数的图像与性质，下面是一些图像展示：（插入正弦函数、余弦函数和正切函数的图像）从图中可以清楚地看出正弦函数和余弦函数的周期性和对称性，以及正切函数的特殊性。
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是数学中的一类特殊函数，以其图像的周期性和性质的多样性而被广泛研究和应用。
本文将介绍三角函数的图像特点和基本性质。
一、正弦函数的图像和性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示。
其图像为周期性曲线，其周期为2π。
在一个周期内，正弦函数的值在[-1,1]之间变化。
图像在x轴上的零点是正弦函数的特殊点，记为x=kπ，其中k为整数。
正弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
正弦函数的性质：1. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，即正弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。
3. 对称性：sin(π-x)=sin(x)，即正弦函数关于y轴对称。
二、余弦函数的图像和性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos(x)表示。
余弦函数的图像也是周期性曲线，其周期同样为2π。
在一个周期内，余弦函数的值同样在[-1,1]之间变化。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
余弦函数的性质：1. 周期性：cos(x+2π)=cos(x)，即余弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
3. 对称性：cos(π-x)=-cos(x)，即余弦函数关于原点对称。
三、正切函数的图像和性质正切函数是三角函数中另一个常见的函数，用tan(x)表示。
正切函数的图像为周期性曲线，其周期为π。
正切函数的图像在x=kπ+π/2时会出现无穷大的间断点，即tan(x)在这些点是无界的。
正切函数的性质：1. 周期性：tan(x+π)=tan(x)，即正切函数在过一个周期后会重复。
2. 奇偶性：tan(-x)=-tan(x)，即正切函数关于原点对称。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他与它们密切相关的三角函数。
1. 反正弦函数：用arcsin(x)表示，表示一个角的正弦值等于x，返回值在[-π/2, π/2]之间。
三角函数图像与性质
三角函数图像与性质在数学中，三角函数是研究角与角度关系的一类函数。
其中最重要的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学和科学领域中有着广泛的应用，尤其是在研究周期性现象时起到了关键作用。
本文将详细介绍三角函数的图像特征和性质。
正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用符号$\\sin$表示。
它的图像是一条连续的波浪线，呈现出周期性的特点。
正弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。
在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，正弦函数的取值分别为0、1、0、-1和0。
正弦函数是奇函数，即$\\sin(-x)=-\\sin(x)$，具有对称性。
余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个重要的三角函数，通常用符号$\\cos$表示。
它的图像类似于正弦函数，也是一条连续的波浪线，同样呈现周期性。
余弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。
在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，余弦函数的取值分别为1、0、-1、0和1。
余弦函数是偶函数，即$\\cos(-x)=\\cos(x)$，具有对称性。
正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，通常用符号$\\tan$表示。
它的图像是一组相互平行的直线，具有间断点。
正切函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，在某些特殊角度上可能不存在定义，例如在90度和270度时。
正切函数的值域为整个实数集$\\mathbb{R}$。
正切函数是奇函数，即$\\tan(-x)=-\\tan(x)$。
三角函数的性质除了上述基本性质外，三角函数还有一些重要的性质：1.周期性：正弦函数和余弦函数的周期为$2\\pi$，即在$[0, 2\\pi]$范围内图像重复；2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数；3.最值：正弦函数和余弦函数的最大值为1，最小值为-1；正切函数在定义域内取值范围较广；4.单调性：正弦函数、余弦函数和正切函数在各自的定义域上具有不同的单调性特点。
第五节 三角函数的图象和性质
⑤单调性：在每个闭区间_____π2__2_k_π_, π2___2_k_π__k__Z__ _上是
增函数；
在每个闭区间____π2__2_k_π_, 3_2π___2k_π___k__Z___上是减函数．
在每个闭区间__[_2_k_π_，__(2_k_＋__1_)_π_](_k_∈__Z_)__上是减函数．
典例解析
【例1】 函数 y 2sin x 1 的定义域是( B )
A.
π 6
,
π 6
C.
π 3
,
π 3
B.
π 6
2kπ,
5π 6
2kπ
(k∈Z)
D.
π 3
2kπ,
π 3
2kπ(k∈Z)
【解析】 要使函数有意义，则2sinx－1≥0，
【提示】 要使函数有意义，则1＋cosx≠0，∴cosx≠ －1，由余弦函数的图象可知x≠π＋2kπ，k∈Z，即函数 的定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}．
同步精练
10．函数 y 1 的定义域是
1 2sin x
___ _π_6___2_kπ__, 76_π___2_k_π__(_k___Z_)__．
x
|
x
2
2k ,
k
Z.
同步精练
一、单项选择题 1．函数y＝4－2sin2x 的最大值、最小值和周期分别 为( A ) A．6，2，π B．3，2，π C．2，4，2π D．5，2，2π
【提示】 由正弦函数的图象和性质可知．
2．若sinx＝a－2，则实数a的取值范围是( A ) A．[1，3] B．[0，3] C．[－3，1] D．[1，4]
三角函数的图象与性质_课件
知识探究
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在
…
与
y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
知识探究
五个关键点
利用五个关键点作图--------五点 法
知识梳理
单位圆上 向左、向右
(0,0)
向左、向右
知识探究 形状完全相同只是位置不同
知识探究
五点作图法步骤: (1)列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标 )(2)描点(定出五个关键点) (3)连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
同理，使函数y=-3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合 是 函数y=-3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是3.
4.不通过求值，比较下列各组数的大小
变式.
6.求下列函数的值域 ：
6.求下列函数的值域 ： (2)y＝cos2x－4cos x＋ 5. 解:
当t＝-1，函数取得最大值10； t＝1时，函数取得最小值2 ，所以函数的值域为 [2,10].
知识探究
问题1：如何研究正切函数的性质
？先利用正切线作出一个周期内的图
问象题2：先作哪个区间上的图象好呢
？
为什么？
问题3：为什么不选区间（0，π） ？
知识探究
知识探究
1、以x负半轴上任一点为圆心作单位
1
圆2、把单位圆右半圆8等
T
分3、转化正切值为AT线段长
A
O
0
度4、平移描
1
点5、用光滑的曲线连接各终
知识梳理 (0,1)
例题精讲
解：（1）按五个关键点列表：
（）按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-6） ：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-7） ：
第5节 三角函数的图象与性质课件
3．[思想方法]换元思想在求单调区间上的应用 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把 ωx ＋φ 看作一个整体，比如：由 2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出 x 的范围， 所得区间即为增区间．若函数 y＝Asin(ωx＋φ)中 A＞0，ω＜0，可用诱导公 式将函数变为 y＝－Asin(－ωx－φ)，则 y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数 的减区间，减区间为原函数的增区间．对函数 y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上．
所以 2kπ<x≤π3＋2kπ(k∈Z)，
所以函数的定义域为x2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z.
3．函数 y＝ sin x－cos x的定义域为________． 答案：x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z 解析：方法一：要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0.利用图象，在同一 坐标系中画出[0，2π]上 y＝sin x 和 y＝cos x 的图象，如图所示．在[0，2π] 内，满足 sin x＝cos x 的 x 为π4，54π，再结合正弦、余弦函数的周期是 2π，所 以原函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.
特训点2 三角函数的单调性(师生互动类)
典例 1 (1)(2020·河北省衡水中学高三临考模拟)已知函数 f(x)的图象可看作
是由函数 g(x)＝sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度得到的，则函数 f(x)的一
个单调递减区间为( )
A.－π4，π4
B.π4，78π
C.－π8，38π
D.－58π，－π8
方法二：sin x－cos x＝ 2sinx－π4≥0，将 x－π4视为一个整体，由正弦函数 y ＝sin x 的图象和性质可知 2kπ≤x－π4≤π＋2kπ(k∈Z)，解得 2kπ＋π4≤x≤2kπ ＋54π(k∈Z)．所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.
第5讲三角函数的图像与性质
第5讲 三角函数的图像与性质★知 识 梳理正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R （2）值域：都是[-1，1] 对于sin y x =，当()22x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；对于cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。
（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω= （4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈（5）单调性：sin y x=在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减； cos y x =在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增，在区间[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，。
（6）正切函数tan y x =的图象和性质： （1）定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈。
（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：周期是π.（4）奇偶性与对称性：奇函数，对称中心是,02k π⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈， （5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内都是增函数。
★重 难 点 突 破1.重点：熟练掌握利用三角恒等变换化简三角函数解析式式，熟悉正弦函数和余弦函数的图象与性质。
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第五课时 三角函数的图像与性质
主备：王恒先 审核：周天亮 日期：
班级： 姓名： 学号：
【学习目标】
1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像。
2. 了解0),sin(>+=ϕϕωx A y 的实际意义。
3. 了解函数的周期性
4. 以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。
【学习重点】
三角函数的图象变换
【学习难点】
三角函数的图象变换
[自主学习]
1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．
“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状．
注：⑴ 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ．
⑵ 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ．
⑶ 正切函数的对称中心为 ．
3．“五点法”作y ＝Asin(ωx＋ϕ)(ω>0)的图象．
令x'＝ωx ＋ϕ转化为y ＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象． ４．函数y ＝Asin(ωx＋ϕ)的图象与函数y ＝sinx 的图象关系．
振幅变换：y ＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y ＝sinx 的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍（横坐标不变）而得到的．
周期变换：y ＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y ＝sinx 周期为2π，故y ＝sinωx(ω>0)的周期为 ．
相位变换：y ＝sin(x ＋ϕ)(ϕ≠0)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点向 (ϕ>0)或向 (ϕ<0)平移 个单位而得到的．
由y ＝sinx 的图象得到y ＝Asin(ωx＋ϕ)的图象主要有下列两种方法：
或
说明：前一种方法第一步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．
[典型例析]例1. 已知函数y ＝Asin(ωx＋ϕ)(A>0，ω>0)
⑴ 若A ＝3，ω＝21，ϕ＝－3
π，作出函数在一个周期内的简图． ⑵ 若y 表示一个振动量，其振动频率是
π2，当x ＝24π时，相位是3
π，求ω和ϕ．
例2.已知函数y=3sin )421
(π-x （1）用五点法作出函数的图象；
（2）说明此图象是由y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的；
（3）求此函数的振幅、周期和初相；
（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.
例3．已知函数23cos sin 3)(2+
-=x x xcox x f ϖϖϖ ),(R x R ∈∈ϖ的最小正周期为π且图象关于6π=x 对称；
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若函数y ＝1－f(x)的图象与直线y ＝a 在]2
,0[π上中有一个交点，求实数a 的范围．
例4 设关于x 的方程cos2x ＋
3sin2x ＝k ＋1在[0，2
π]内有两不同根α，β，求α＋β的值及k 的取值范围．
[当堂检测] ⒈把函数x x y sin cos 3-=的图象向右平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________________________
⒉把函数x y cos =的图象上的所有点的坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移4
π个单位，则所得图形表示的函数的解析式为___________ 3函数)2
52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴为___________________
4. 把函数)3sin 3(cos 2
2x x y -=的图象适当变换就可以得到)3sin(x y -=的图象，这种变换可以是______________________
[学后反思]____________________________________________________ _______
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_____________________________________________________________。