(完整版)一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践随着中国教育制度的不断改革，无论是教育目的还是方式方法，都是为了让学生拥有更加合理更加有效的学习环境而做出改变。
其中高中数学的教育目标，也不再单是让学生学会如何运用数学公式进行计算，除了针对学生对数学的学习兴趣以外，在实际解题方面，要求培养学生拥有更多更灵活的解题思路和方式，以改变统一性的教学模式。
就高中数学解题中“一题多解”与“多题一解”的解题方式加以分析研究。
高中数学解题方式思维模式学生在进入高中后，改变的不仅仅是学习的内容，学生自身的心智和思维模式也有较大的改变。
学生在思想成长的阶段，会出现种种的问题，这些问题会直接影响学生的学习情况，特别是数学。
因为高中阶段数学的难度将进一步加大，内容增多，因此学生解题的方式应更加的多样化。
因此，高中数学教学，首先要从学生解题过程中的思维模式入手，同时改变课堂教学的方式和内容，以此提高学生的学习成果。
一、“一题多解”在数学教学中的价值与实践（一）价值与实践在未来的社会发展中需求的人才将是多元化、多样化的，统一性思维的教育模式已经不再适用于现代社会。
因此，在高中数学教学中，“一题多解”的教学理念，是以学生学习为主，改变以老师为主导地位的教学模式。
因为每一个学生的受教育情况、性格、思维模式都不相同，因此一个固定性的解题方式不能最有效的适用于每一个学生，所以在数学教学的解题过程中，老师应引导学生多角度的去分析问题，让学生去探究、发现多样化的解题方式。
“一题多解”的根本在于问题本身，老师在创设和选择问题时，首先应考虑到问题自身是否具备多样化的解答模式。
同时，在培养学生多样化解题思维时，应注意调动学生解题的积极性，被动、消极的解题态度很难让学生产生多样化的解题思维。
所以针对这方面数学问题的内容应结合学生平时感兴趣的东西，让学生自觉的参与到多样化的解题中。
如有的学生喜欢足球，老师就把其融入习题中，让学生用原本感到枯燥的公式，运算他喜欢的与足球相关的问题。
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用-精品文档
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。
所谓“一题多解”，就是尽可能用多种不同方法去解决同一道题，更重要的是可以培养学生的思考能力和创造能力。
所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。
一、利用一题多解训练学生的思维能力发散思维是从同一来源材料中探求不同答案的思维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。
通过一题多解，引导学生就不同的角度、不同的观点审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
二、利用一题多变培养学生的广阔思维提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的重要教学手段。
通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。
在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。
即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。
这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变（一）在例题讲解中运用一题多解一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。
一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x= 时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用
探索篇誗方法展示在高中数学课标中，要求数学教师注重培养学生的数学思维能力，并把它作为重要的教学内容。
培养思维能力，既能提高学生的理解能力，又能提高学生分析解决问题的能力，还能提高教学效益。
“一题多解与一题多变”是培养高中学生的数学思维能力，特别是发散思维能力的好方法。
数学教师在讲解数学例题时，不仅要讲解题方法，最重要的是教给学生如何正确理解题意，抓住解题的关键，如何开拓解题思路，也就是培养学生的思维能力。
一、“一题多解与一题多变”的教学价值1.“一题多解”的教学价值“一题多解”就是从多个视角去分析思考数学问题，用多种方法途径去解答数学问题。
这种方法可以拓宽解题思路，增强数学知识之间的联系，培养学生学会运用多种方式多种方法解题和灵活多变的思考方式，而灵活的思维方式正是创新能力的基础。
教师在教学中，要运用“一题多解”的方式进行教学，就要培养学生在解答数学问题时善于从多角度观察感知和思考问题，运用多种方法推导验证问题，多方面寻找运用关联条件，不但要考虑条件本身，还要考虑条件之间的联系，用多种方式进行表述，只有这样才能培养学生数学思维的灵活性。
2.“一题多变”的教学价值“一题多变”是指在数学解题练习中，将原来数学题目中的一些已知条件进行变换，或者把要求解答的问题与题目一个或者几个条件变换后，再去求解问题的结果；也可能是给出问题的部分条件，让学生去补充另外一些条件；也可能是对数学问题的拓展，增加问题的难度或背景来训练学生的发散思维能力。
采用“多变”的方式进行教学，主要是对数学例题或习题进行多种变换，让学生从不同方面、不同情形、不同层次下对该数学问题进行重新求解或认识。
它是教学反思的一种方式，它要求学习者从出题人的视角去看问题，并对原来的数学问题有一个深刻的理解，才能做到“多变”。
“多变”解题能培养学生观察问题、归纳类比、概括抽象、运算能力、空间想象、构建与反思等多种数学思维能力。
二、“一题多解与一题多变”在培养数学思维能力上的应用1.培养开放性思维方式数学教学离不开数学解题，搞“题海战术”仅能得到“一对一”的解题方法和思路，不是科学的解题方法。
一题多解与一题多变在数学中的应用
一题多解与一题多变在数学中的应用摘要：数学这门学科在当代素质教育和学术教育统一的义务教育中占有重要地位，它是一门自由学科，但同时也是既复杂困难又富有逻辑的学科。
也许对大部分学生来说，数学这门学科是一道难题。
因此，数学学科的教育传授者在教学中如何传授这门学科的方法、方式，就显得尤为重要。
关键词：一题多解；一题多变；数学一、一题多解与一题多变在数学中的应用的重要性数学学习最重要的是逻辑性问题，并且经过对比分析，发散思维，一题多解与一题多变的方法的应用恰恰能达到这个目标和目的，他们能够不断提高学生们的逻辑思维能力，数学分析能力。
一题多解指的是面对一道数学题，因为有不同的角度进行思考，在脑海中搜寻不相同的解决方法，多种多样的思路，从而有多种多样的可用的解决方案，这样能够提高学生们的数学分析和解决能力。
在解决实际问题的过程中需要我们进一步掌握分析的方法，能用多种的方法思考问题，从中找到不同的解决策略。
下面我将用具体的习题，更好地解释一题多解。
一题多解案例分析例题：已知：f（某）=某3+a某2+（a-1）某+1，若在区间[1，4]单调递减，求a范围？方法一：解题思路问题转化为导函数f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立，f"（某）≤0解集为A，只需[1，4]是集合A的子集解：f"（某）=某2+a某+（a-1）因为f（某）在区间[1，4]单调递减所以f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立某2+a某+（a-1）≤0（某+1）[某+（a-1）]≤01.当a<2时，f"（某）≤0解集为[-1，1-a]所以[1，4]是[-1，1-a]的子集4≤1-a解得a≤–32.当a≥2时，f"（某）≤0解集为[1-a，-1]不满足[1，4]是[1-a，-1]的子集所以解集是空集综上所述：a≤-3方法二：解题思路问题转化为导函数f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立，导函数y=f"（某）为开口向上的二次函数，只需f"（4）≤0，f"（1）≤0同时成立即可解：f"（某）=某2+a某+（a-1）因为f（某）在区间[1，4]单调递减所以f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立由二次函数图像可知，只需即解得所以a≤–3一题多变例题例题：已知椭圆标准方程+=1，A（0，3），直线l：y=k某-3与椭圆相交于C，D两点，若|AC|=|AD|，求k的值？解题思路：直线与椭圆联立，消元，设C（某1，y1）D（某2，y2），韦达定理：因为|AC|=|AD|，取C，D中点M，则AM垂直CD，即KAMKCD=-1解：消y得：（9+25k2）某2-150k某=0，Δ>0设C（某1，y1）D（某2，y2），由韦达定理得：某1+某2=某1某2=0y1+y2=k（某1+某2）-6=k2-6=设M（某0，y0）为CD中点，则某0=（某1+某2）=，y0=（y1+y2）=因为|AC|=|AD|，所以AM垂直CD，即KAMKCD=-1k=-1整理得：=-，k2=，k=在一题多变的思维下，我们可以将|AC|=|AD|改成以下两种形式：1.以AC，AD为邻边做平行四边形为菱形2.（AC+AD）CD=0这两种已知虽然与原例题有很大区别，但通过转化最终都能转化为AM垂直CD，解题思路与过程非常相似，结果一样。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用一题多解和一题多变是高中数学教学中常常运用的教学策略。
它们旨在培养学生的创新思维能力和解决问题的能力，并激发学生的兴趣，提高学习效果。
接下来，我将探讨这两种教学策略的具体运用和重要性。
一题多解是指在一个数学问题中，可以有多种方法或角度来解决问题。
这样的设计可以激发学生的创造力和解决问题的能力。
通过多样的解法，学生能够体验到数学的多样性，培养他们的思维灵活性和创新思维能力。
例如，对于一个简单的方程题，学生可以选择代入法、消元法或配方法等多种解法来解决，而不仅仅依赖于固定的解题顺序。
这样，学生在解题中会产生一种自主思考和探索的意识，从而提高他们的创造力和解决问题的能力。
一题多变是指通过改变题目中的条件或参数，从而使得问题具有不同的情境和挑战性。
这样的设计可以提高学生的应变能力和灵活思维。
通过处理不同版本的问题，学生能够培养他们的思维逻辑，培养他们从不同角度思考和解决问题的能力。
例如，在一个几何问题中，通过改变图形的形状、增加限制条件或改变性质，可以设计出多个相关的问题，从而激发学生不同层次的思考和解决问题的能力。
在高中数学教学中，一题多解和一题多变的运用是十分重要的。
首先，它们可以激发学生的自主学习兴趣和主动学习探索的能力。
通过多种不同的解法和问题情境，学生可以展开自主思考和探索，从而培养他们的学习兴趣和学习动力。
其次，它们能够提高学生的解决问题的能力和思维能力。
通过面对多样的解法和不同版本的问题，学生需要灵活运用知识和技巧，培养他们的应变能力和解决问题的能力。
同时，这种培养的能力也是他们今后在现实生活中解决问题的重要能力之一要充分运用一题多解和一题多变的教学策略，教师需要合理设置问题，鼓励和引导学生思考。
教师可以设计一些具有挑战性的问题，引导学生尝试不同的解法和思路。
此外，教师还可以通过提供不同版本的问题，或者给定一些开放式的问题，鼓励学生从不同的角度思考和解决问题。
《一题多解与一题多变在中学数学中的应用开题报告2000字》
[4] 黄跃惠. 一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用[J]. 试题与研究：高考版, 2019(28):1.
[5] 宫代印. 浅谈"一题多解"和"一题多变"在高中数学教学中的应用[J]. 试题与研究：教学论坛, 2019(2):1.
[6] 王菊香. 一题多变和多解成就智慧课堂[J]. 考试周刊, 2019(87):2.
[13] 江猷敏. "一题多解和一题多变"在培养学生数学思维能力的应用策略探析[J]. 考试周刊, 2020(66).
[14] 章勇. "一题多解"与"一题多变"在培养学生思维能力中的应用[J]. 新教育时代电子杂志（学生版）, 2020(24):2.
八．指导教师意见
指导教师签字：
年 月 日
九．系意见
系主任签字：
年 月 日
十．学院毕业论文（设计）工作领导小组意见
负责人签字：
年 月 日
[7] 颜天伦. 初中数学教学中"一题多变","一题多解"渗透[J]. 中学课程辅导:教学研究, 2019.
[8] 张海玲. 谈利用"一题多解与一题多变"培养学生的思维能力[J]. 新智慧, 2021(6):2.
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的应用实践
住 数 学教 学 精髓 。 “ 一 题 多解 ”与 “ 多题 一 解 ”
当 且仅当÷ ＝ ＝ ， 也就是 ｘ ＝ ２ ， ｙ ＝ ４ 时 取得
是 目前 教 学 中 常 见 的 用 于 实 施 过程 性 变 式 的 方式 ，即教学理论 中的 “ 问 题 变 式 ”。 “ 一
化原则。 ２ ．教 学模 式
题 多解 ’ ’与 “ 多题一解＂ 在 高 中数学教学 中的应用实践
一
“
５ ３ ３ ６ ０ ０ 广 西 百 色市 田阳 高 中 广西
【 摘
百色
梁静 斌
覃俊 明
＝
要】 在新 时期高 中数 学教 学模 式 题难关 的智囊 妙计。但是 ，再有效 的方法 也
需 要 经 过 长 期 的探 索 、应 用 、反 思 ， 才 能 扫
“
一
解法 ４ ：因为 ｘ ＞ Ｏ ， ｙ ＞ Ｏ ，÷ ÷ ＝ １ ，故可使
ｔ
， 一 ｃ ｏｓ
，
１
’
题多解” 中是将 原有 问题作 为思路的核心 ， 借助于不 同解 题思维拓展 出来 的各种各样 的 解题方式 ，用 于展现数学学科 中的本质属性 与非本 质属性。高 中数学教 学中运用 “ ～题 多 解 ” ，不 但 可 以 实 现 解 题 过 程 的 步 骤 化 、 层 次 化 ，深 化 学 生 对 题 目的 理 解 与 认 知 ，帮 助学生短 时间 内扩展思 维与思路 ，还可 以促 使学生集 中精神挖掘题 目本质。 （ ２ ） “ 多 题 ～ 解 ” 的 概 念 。数 学 中有 不 少 题 目具 有 相 同 特 性 与解 题 模 式 ，一 种 解 题 方 式 可 以 广 泛 应 用 于 多 种 问 题 解 答 。学 术 界 经 过 长期 观 察 ，找 出一 部 分 问 题 的 “ 题根 ” 具体通 性 ，只要抓住 这类问题 的 “ 题根 ”， 解题方 法 自然而然就 找到了。人们将归纳 出 来 的通性 解题方法用 于实践 ，最终得 出 “ 多 题 一 解 ” 。实 际上 ， “ 一 题 多解 ” 源 自于 “ 一 题 多 变 ”变 式 和 “ 一 法 多 用 ” 变 式 ，ｗ ＿ Ａ ＿ 威 克尔格伦将其称之为万能的 “ 通用解题法”。 二、 “ 一题多解 ”与 “ 多 题 一 解 ”在 高 中教 学应用现状 首 先 ，变 式 理 念 已 广泛 得 到 认 可。新 时 期 的 教 学 中心 理 念 为 “ 教 为 主 导 ，学 是 主 体 ”，由此 可见 ，高 中数学教 学中需要将学 生置 于重要位置 ，而 “ 一 题 多 解 ”与 “ 多题 解 ”的中心理念——变式 理念体现的正是 学生 “ 学 ”与 “ 教师 ”教 之间 的辩 证 统 一 关 系 ， 能够为提升数学教学质量提供有效途径。 其次 ，逐渐 成为变式教 学的主流方 式。 据相关 调查资料显示 ，大部 分高 中数学教 师 都倾 向于 “ 一题 多解 ”与 “ 多题一解”两 种 教 学 方 式 ，尤 其 是 习题 讲 解 时 ，通 常 会 通 过 以上 两 种 方式 引 导 学生 。此 外 ，调 查 显示 “ 一
“一题多解”与“多题一解”在高中数学解题中的应用
教学研究“一题多解”与“多题一解”在高中数学解题中的应用李凤悦（青海省湟中县多巴中学，青海西宁811601）摘要：“一题多解”与“多题一解”是提高数学教学质量和培养学生解题能力的有效途径和方法，本文对该教学方法的应用原则和模式、以及在新授课和复习课中的应用方式进行了探索。
关键词：一题多解；多题一解；解题应用为了提高高中数学教学的有效性，开展数学教学要以学生发展为中心，通过设计和运用符合学生身心特点的教学方法，就能高效地实现教学目标，完成教学任务。
但是在目前的高中数学教学中，面对高考的压力，许多教师仍然采用“题海战术”的方式进行教学，这样不但无助于提高教学有效性，而且增加了学生的负担，使学生失去对数学的学习兴趣。
而“一题多解”与“多题一解”教学方法的运用，能有效提高教学质量，培养学生的数学解题能力。
一、“一题多解”与“多题一解”教学原则和模式（一）教学原则在高中数学教学中，运用“一题多解”与“多题一解”进行教学应坚持以下原则：一是目标导向原则，以教学目标为牵引来选择和使用该教学方法，将渗透新课改的教学理念，就能较好完成教学目标；二是分层教学原则，运用该教学方式，要能满足不同层次学生的学习需要，使所有学生的学习能得到提高；三是选题典型原则，在教学中要发挥每个习题的作用，就要选择具有典型的题目根据学情开展变式教学；四是主体参与原则，运用该方式进行教学，要注重发挥学生的主体作用，让学生在积极的参与过程中提高解题能力；五是探究学习原则，利用该方式进行变式教学，要有利于学生开展自主、合作探究学习，使学生的学习能力得到增强。
（二）教学模式运用“一题多解”与“多题一解”进行教学，应坚持如下基本模式：“设置例题———引导探究———培养思维———变式拓展———变式训练”这样五个基本环节，这几个环节不是简单的递进关系，它是复合交叉，从学情出发，进行分层教学和因材施教的有效教学模式。
例1在研究y=A sin（ωx+φ）图像的画法时，可启发学生理解该函数图像与y=sin x的图像之间的关系，并把该题目设计成“题组”的形式，开展变式解题研究：如，（1）y=sin（x+1）如何是从y=sin x的图像变换出来的？（2）y=2sin x如何是从y=sin x的图像变换出来的？（3）y=sin2x如何是从y=sin x的图像变换出来的？（4）y=sin（2x-1）如何是从y=sin2x的图像变换出来的？（5）y=2sin（2x-1）如何是从y=sin x的图像变换出来的？通过这样进行“一题多解”就能让学生完整掌握正弦函数的图像变换过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(完整版)一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用 数学，是一门自然学科。
对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。
大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。
但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。
“怎样才能学好数学”成了学子们问得最多的问题。
而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。
很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。
熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。
但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。
众所周知，数学题是做不完的。
我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。
要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。
在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。
这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。
另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。
对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。
下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。
一、在公式的推导中运用一题多解数学的公式在数学的解题中的作用是非常巨大的。
并且，要学好数学，就必须熟练的运用公式。
但很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法，对公式的推导往往不够重视。
其实，公式的推导过程就是一种解题的方法，或是一种解题技巧。
我们如果在公式的推导过程中运用一题多解的话，就会让学生在学习知识的产生过程中同时掌握解题的规律和方法，也便于公式的理解记忆。
例如：在学习等差数列通项公式a n =a 1+(n-1)d 时，方法一：21a a d =+3212a a d a d =+=+4313a a d a d =+=+…………………由此得到 方法二：有等差数列定义知： 1n n a a d --=所以有 12n n a a d ---=23n n a a d ---=……………32a a d -=21a a d -=累加得 ()11n a a n d -=-从而得到方法二就是我们常用的求数列通项公式的方法—累差法。
这样的话，学生对这个公式的产生过程印象就更深刻，对公式也就更难忘。
另外，在记忆公式的同时，也学到了重要的数学方法和思路，更有助于学生数学思维的发展。
这种实例在高中阶段的新课教学中还有很多，就不一一列举。
二、在例题讲解中运用一题多解和一题多变一题多变和一题多解的变式在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸。
一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力。
一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论，积极开展多种变式题的求解，哪怕是不能解决，有助于学生应变能力的养成，培养学生发散思维的形成，增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
在例题讲解中运用一题多解和一题多变，就不用列举大量的例题让学生感到无法接受。
而是从一个题中获得解题的规律，技巧，从而举一反三。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x 、y ≥0且x+y=1，求x 2+y 2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x ，则x 2+y 2= x 2+（1-x ）2=2x 2－2x+1=2（x －12 ）2+12由于x ∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x=12 时，x 2+y 2取最小值12；当x=0或1时，x 2+y 2取最大值1。
评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。
对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。
解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。
解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x 、y ≥0，则可设x=cos 2θ，y=sin 2θ 其中θ∈[0，π2] 则x 2+y 2= cos 4θ+sin 4θ=（cos 2θ+sin 2θ）2－2 cos 2θsin 2θ=1－12 （2sin θcos θ）2=1－12 sin 22θ =1－12 ×1－cos4θ2 =34 +14cos4θ于是，当cos4θ=－1时，x 2+y 2取最小值12； 当cos4θ=1时，x 2+y 2取最小值1。
评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。
解法三：（对称换元思想）由于x+y=1，x 、y ≥0，则可设x=12 +t ， y=12 －t ，其中t ∈[－12 ，12] 于是，x 2+y 2= （12 +t ）2+（12 －t ）2=12 +2t 2 t 2∈[0，14] 所以，当t 2=0时，x 2+y 2取最小值12 ；当t 2=14时，x 2+y 2取最大值1。
评注：对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。
这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同，教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。
解法四：（运用基本不等式）由于x 、y ≥0且x+y=1则 xy ≤（x+y ）24 =14 ，从而0≤xy ≤14于是，x 2+y 2=（x+y ）2－2xy=1－2xy所以，当xy=0时，x 2+y 2取最大值1；当xy=14 时，x 2+y 2取最小值12。
评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。
解法四：（解析几何思想）设d=x 2+y 2 ，则d 为动点C （x ，y ）到原点（0，0）的距离，于是只需求线段⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=+001y x y x 上的点到原点的最大和最小距离就可。
当点C 与A 或B 重合时，d max =1，则（x 2+y 2）max当OC ⊥AB 时d min = 2 2 ，则（x 2+y2）min =12 评注：在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。
事实上，有许多解析几何最值问题和代数中许多最值问题都可以用类似的方法解决，这对学生数学思维能力的培养，有着很积极的作用。
解法五：（数形结合思想）设x 2+y 2=r 2（r ＞0），此二元方程表示以坐标原点为圆心、半径为r 的动圆，记为⊙F 。
于是，问题转化为⊙F 与线段⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=+001y x y x有公共点，求r的变化范围。
当⊙F经过线段AB端点时rmax =1；当⊙F与线段AB相切时rmin=22则12≤x2+y2≤1评注：此解法与解法四并无本质区别，关键是数形结合思想的形成。
至此，解答本题的几种常见方法介绍完毕，下面展示对本题的变式和推广。
变式1：已知a、b为非负数，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值。
变式2：已知x、y≥0且x+y=1，能求x8+y8的取值范围吗x8+y6呢x7+y7的范围能求吗变式3：若x、y≥0且x+y=1，能求得12n－1≤x n+y n≤1的结论吗这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程，加强了学生思维能力的培养，通过这样一系列的一题多解和一题多变，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，渗透了一些数学方法，体现了一些数学思想，也提供了一个推向一般性的结论。
在数学教学中,若将经典例题充分挖掘，注重对例题进行变式教学,不但可以抓好基础知识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力；不仅能让教师对例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣。
当然，在新课的教学中有些方法所用的知识，学生还未学到，此时，我们可从中挑选学生学过的知识。
其他方法可在今后的总复习中给出。
三、在练习和习题中训练学生运用一题多解和一题多变在数学教学中，很多老师在课后给学生布置除书上练习题和习题以外的大量习题。
使学生感到负担很重。
很多学生根本无法完成，便出现了抄作业的现象。
对数学的厌恶感便油然而生。
还有老师从网上寻找各种各样的所谓的新颖题布置给学生做。
这样也只会挫伤学生的自信心。
我们为什么不能从书上的习题入手，进行演变，逐渐加深。
让学生有规律可寻，循序渐进。
日积月累过后，学生解题能力自然提高，对于从未见过的新题也会迎刃而解。
另外，我们在把变式题布置给学生的同时，便可要求学生运用一题多解，甚至可以要求学生自己对题型进行变式。
这样的作业方式不只可以达到复习巩固的目的，还可以提高学生的探究能力及学习数学的兴趣。
例如，在学习抛物线后，在习题中出现了以下一题：过抛物线y2=2px 焦点的一条直线和这条抛物线相交，设两个交点纵坐标为y1，y 2，求证：y1y2=-p2。
（设线段AB为过抛物线焦点的弦）此题证明并不难，但其结论却很有用，关键是运用其结论。
在布置此题给学生时我们便可以有针对性的演变。
如变成（1）证明：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三点共线。
（2）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。
（3）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半，并且被这条抛物线平分。
另外，我们还可以让学生自己变式，便还可能出现如下变式：（4）证明：抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。
（5）证明：抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。
（6）证明：过抛物线焦点一端，作准线的垂线，那么垂足、原点以及弦的另一端点，三点共线。
在数学习题教学中，一题多变也得循序渐进，步子要适宜，变得自然流畅，使学生的思维得到充分发散，而又不感到突然。
总之，在数学习题教学中，选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题，采用一题多解与一题多变的形式进行教学，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入胜境，从而使学生开拓知识视野，增强能力，发展创造思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。