圆锥曲线培优1

合集下载

2021届高三数学精准培优专练圆锥曲线综合(理) 教师版

b a
x，
∴点 F2 到渐近线的距离 d
bc a2 b2
b ，即
PF2
b，
∴ OP
OF2 2 PF2 2
c2
b2
a ， cos PF2O
b c
，
∵ PF1 6 OP ，∴ PF1 6a ，
在三角形 F1PF2 中，
由余弦定理可得 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF2 F1F2 cos PF2O ，
y 轴交于
OP
点 M ， BM 与 PP 的交点 N 恰为线段 PP 的中点，则椭圆 C 的离心率为（）
A． 3 2
B． 2 2
C． 2 3
【答案】D
【解析】设 P(x0, y0 ) ，则 P(x0,0) ，
OP OP
(1, 0) ，
由题意 OP
OP
c ，得
P
的横坐标为 c ，
OP
D． 1 3
MF
MF
对点增分集训
一、选择题
1．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a,b
0)
的渐近线被圆 (x 2)2
y2
4
截得的弦长等于 2
3 ，则双曲线两条渐近
线相夹所成的锐角为（）
A． π 6
B． π 3
C． π 2
D． 2π 3
【答案】B
【解析】过圆心 A(2, 0) 作渐近线 y b x 的垂线， a
2021 届高三精准培优专练
培优点圆锥曲线综合
一、圆锥曲线综合
例
1：已知 O 为坐标原点，
A
，
B
分别是椭圆
C
:
x2 a2

高中数学压轴培优教程—圆锥曲线篇

高中数学压轴培优教程圆锥曲线篇目录第一章基础篇1.1曲线与方程 (1)1.2顶角最大问题 (19)1.3渐近线性质 (25)1.4共焦点问题 (35)1.5面积问题 (49)1.6抛物线的性质 (67)1.7定点问题 (83)1.8定值问题 (111)1.9最值与范围问题 (161)第二章技法篇2.1垂径定理与第三定义 (189)2.2点差法与定比点差法 (205)2.3点乘双根法 (225)2.4齐次化巧解双斜率问题 (233)2.5同构式方程简化运算 (251)2.6非对称韦达定理 (265)第三章观点篇3.1椭圆的共轭直径 (279)3.2圆锥曲线等角定理 (293)3.3蒙日圆及其应用 (307)3.4阿基米德三角形 (321)3.5椭圆中的蝴蝶模型 (335)3.6曲线系及其应用 (347)3.7极点极线与调和点列 (363)参考文献 (411)第二章技法篇2192.2 点差法与定比点差法一、知识纵横1、点差法的原理（1）假设点1111(,),(,)A x y B x y 在有心二次曲线22221±=x y a b 上，且弦AB 的中点为00(,)M x y ．,A B 代入曲线，有22112222222211⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩x y a b x y a b ，两式作差，得1212121222()()()()0+−+−±=x x x x y y y y a b ；左右两边同除以1212()()++x x x x ，得1212221212110+−±⋅⋅=+−y y y y a b x x x x ．变形得220201⋅=±=−AB y b k e x a ，其中e 为有心二次曲线的离心率(圆的离心率0=e )．（2）抛物线22=y px ，任意弦AB 的中点为00(,)M x y ，,A B 代入曲线，有21122222⎧=⎪⎨=⎪⎩y px y px ，两式作差，得121212()()2()+−=−y y y y p x x ，左右两边同除以12()−x x ，得0⋅=AB k y p ．2、有心二次曲线实仿射平面的有一个对称中心的常态二次曲线称为有心二次曲线，所有有心二次曲线都是椭圆或双曲线． 3、点差法基本题型（1）求以定点为中点的弦所在直线的方程（2）过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程（4）圆锥曲线上两点关于某直线对称问题与中点有关的的几何特征：对称、垂直平分、等腰三角形、菱形、平行四边形等． 4、点差法在双曲线中的适用条件已知双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b，任意弦AB 的中点00(,)M x y ，若当中点00(,)M x y 满足22002201−x y a b ≤≤，则这样的双曲线的中点弦不存在（如图阴影部分）；若当中点00(,)M x y 满足2200221−>x y a b 或2200220−<x y a b，则这样的双曲线的中点弦存在．高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇5、定比分点若λ=AM MB ，则称点M 为点,A B 的λ定比分点．当0λ>时，点M 在线段AB 上，称为内分点；当0(1)λλ<≠−时，点M 在线段AB 的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点1122(,),(,)A x y B x y ，λ=AM MB ，则点M 的坐标为1212(,)11λλλλ++++x x y y M ． 6、定比点差法原理：若λ=AM MB ，λ=−AN NB ，则称,M N 调和分割,A B ，根据定义，那么,A B 也调和分割,M N ．定理：设,A B 为有心二次曲线22221±=x y a b上的两点，若存在,M N 两点，满足λ=AM MB ，λ=−AN NB ，则一定有221⋅⋅±=M N M Nx x y y a b ．证明：（1）设点1122(,),(,)A x y B x y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，因为λ=AM MB ，λ=−AN NB ，则由定比分点坐标公式可得1212(,)11λλλλ++++x x y y M ，1212(,)11λλλλ−−−−x x y y N (1)λ≠±，将,A B 代入曲线，有221122222222 1 1 ⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩①②x y a b x y a b ，2222222222 λλλλ⨯±=②③得x y a b ①-③，得21212121222()()()()1λλλλλ+−+−±=−x x x x y y y y a b．这样就得到了12121212221111111λλλλλλλλ+−+−⋅⋅±⋅⋅=+−+−x x x x y y y y a b ，则221⋅⋅±=M N M N x x y y a b ．（2）若点(,)M M M x y 为异于原点的定点，则点N 在直线221⋅⋅±=M M x x y ya b 上． 7、定比点差法基本题型（1）求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围；（2）简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题；二、典型例题第二章技法篇2211、点差法关于点差法的研究，在解析几何中有着广泛的应用，主要有以下四种基本题型． 1．1、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1．已知双曲线2212−=y x ，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于,P Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【解析】假设这样的直线存在，设点11(,)P x y 、22(,)Q x y 点B 是线段PQ 的中 121222+=⎧⎨+=⎩x x y y ，221122221212⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩y x y x 两式相减得：121212121()()()()02+−−+−=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得121212121102+−−⋅⋅=+−y y y y x x x x ，即001111022−⋅⋅=−⋅=PQ PQ y k k x ，解得2=PQ k ，又直线l 过,,P Q B 三点，所以l 的方程为12(1)−=−y x ，即210−−=x y ．联立直线与双曲线2212210⎧−=⎪⎨⎪−−=⎩y x x y ，消去y 得22430,162480−+=∆=−=−<x x ，此方程无实数解，与假设矛盾，所以满足题设的直线不存在．【注】本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心．由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要．若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在． 1．2、求过定点的弦或平行弦的中点轨迹例2．已知椭圆22143+=x y 的弦AB 所在直线过点(1,1)E ，求弦AB 中点F 的轨迹．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则弦AB 的中点(,)F x y ，若直线AB 的斜率存在，将,A B 代入椭圆，的22112222143143⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式作差，得12121212()()()()043+−+−+=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇得1212121211043+−+⋅⋅=+−y y y y x x x x ，即121211043−+⋅⋅=−y y y x x x ，又四点,,,A B E F 共线，所以直线EF 的斜率11−−y x 等于直线AB 的斜率1212−−y y x x ，则1110431−+⋅⋅=−y y x x ，整理得2234340+−−=x y x y ．若直线AB 的斜率不存在，则AB 的方程为1=x ，代入椭圆方程解得,A B 的坐标为33(1,),(1,)22−，所以(1,0)F 也满足上述方程．故2234340+−−=x y x y 为所求点F 的轨迹方程．【注】不难看出，在求满足一定条件的动弦的中点轨迹方程时，利用点差法可以大大减少计算量，简化推理过程．1．3、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例3．已知中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线:32=−l y x 截得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的方程．【解析】设椭圆的方程为22221+=y x a b ，则2250−=a b ┅┅①设弦端点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，弦PQ 的中点00(,)M x y ，则012=x ， 001322=−=−y x 所以12021+==x x x ，12021+==−y y y ,P Q 两点代入椭圆方程，得22112222222211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x a b y x a b ，两式相减得1212121222()()()()0+−+−+=y y y y x x x x a b ，即221212()()0−−+−=b y y a x x ，所以 212212−=−y y a x x b ，即 223=a b┅┅② 联立①②解得275=a ，225=b ，故所求椭圆的方程是2217525+=y x ． 1．4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例4．已知椭圆22143+=x y ，试确定的m 取值范围，使得对于直线4=+y x m ，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称．【解析】设111(,)P x y ，222(,)P x y 为椭圆上关于直线4=+y x m 的对称两点，00(,)P x y 为弦12PP 的中点，第二章技法篇223则22112222143143⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式作差得：12121212()()()()043+−+−+=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得1212121211043+−+⋅⋅=+−y y y y x x x x ，由题意可知：1202+=x x x ，1202+=y y y ，121214−=−−y y x x ，所以003=y x ，即00(,3)P x x ．由P 在直线4=+y x m 上得00034=+⇒=−x x m x m ，即(,3)−−P m m ．因为弦12PP 的中点P 必在椭圆内，所以22()(3)143−−+<m m，解得<m ．例5．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y E a b a b的离心率=e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（1）求椭圆E 的方程．（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点(,0)−A a ，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4⋅=QA QB ，求0y 的值．【解析】（1）由==c e a ，得2234=a c ．由222=−c a b ，得2=a b ．由题意可知12242⋅⋅=a b ，即2=ab ．解方程组22=⎧⎨=⎩a b ab ，得2,1==a b ．所以椭圆E 的方程为2214+=x y ．（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点为33(,)M x y ，当直线l 与x 轴重合时，(2,0),(2,0)−A B ，于是00(2,),(2,)→→=−−=−QA y QB y ．由2000(2,)(2,)44⋅=−−⋅−=−+=QA QB y y y，解得0=±y 当直线l 不过原点O 且不平行于x 轴时，于是321213,−==−l OM y y y k k x x x ，又221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减，得121212121()()()()04+−++−=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得2112211214−+⋅=−−+y y y y x x x x ，所以3314⋅=−l y k x ，则3314=−⋅l xk y ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇又333330330333124114⎧==−⋅⎪+⎪⎨−−⎪⋅=−⋅⋅=−⎪⎩l ly x k x y y y x y y k x y x ，所以30223330134(2)49⎧=−⋅⎪⎪⎨⎪+=−=−⋅⎪⎩y y x x y y ，因为M 为线段AB 的中点，所以2322=+x x ，231302223=−==−⋅y y y y y ，20303055(2,)(22,)2(22)433⋅=−−⋅+−=−++=QA QB y x y x y ，解得2305212=−x y ，所以22203300455(2)(2)(22)91212−⋅=+=−−+y x x y y，解得0=y ，综上所述：0=±y05=±y ． 2、定比点差法关于点差法的研究，在解析几何中有着广泛的应用，下面主要从三方面来研究． 2．1求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围例6．已知椭圆22194+=x y ，过定点(0,3)P 的直线与椭圆交于两点,A B （可重合），求PA PB 的取值范围．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，λ=AP PB ，则12120131λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，即120λ+=x x ，123(1)λλ+=+y y ，将,A B 两点代入椭圆方程：221122222221,(1)94,(2)94λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 2(1)(2)λ−⋅得212121212()()()()194λλλλλ+−+−+=−x x x x y y y y ，即124(1)3λλ−=−y y所以：132135(1)(1)2366λλλ=++−=+y ，又因为1[2,2]∈−y ，则1[5,]5λ∈−−，1[,5]5∈PA PB．【注】根据两个调和调和定比分点的联立，将坐标求出与比值的关系式，两个定比分点的式子将问题解决，这就是定比点差法的核心．例7．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b b a的上下两焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于,M N 两点，2∆MNFC ．第二章技法篇225（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知O 为坐标原点，直线:=+L y kx m 与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4λ+=OA OB OP ，求m 的取值范围．【解析】（1）由题设条件得椭圆的方程为：2214y x +=．（2）当0m =时，1λ=−，显然成立；当0m ≠时，4OA OB OP λ+=144OP OA OB λ⇒=+，因为,,A P B 三点共线，所以3λ=；所以3AP PB =，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以121233(,)1313x x y y P ++++，所以1234y y m +=，将,A B 两点代入椭圆方程：22112222 1 4 1 4y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②得：12121212(3)(3)(3)(3)84y y y y x x x x +−+−+=−，即1283y y m−=−，由上可知：224(2,2)33y m m =+∈−，所以2(3,3)m m+∈−，解得：(2,1)(1,2)m ∈−−，综上所述：m 的取值范围为(2,1)(1,2){0}−−．2．2简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题例8．设椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b过点M，且左焦点为1(F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足⋅=⋅AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．【解析】（1）由题意：222222212,1,=+==−c c a b a b，解得224,2==a b ，所以椭圆C 的方程为22142+=x y ．（2）证明：设点为(,)Q x y ，12(,)A x y ，22(,)B x y ．由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零，记λ==AP AQ PBQB，则01λλ>≠且，又,,,A P B Q 四点共线，将点(4,1)P 代入椭圆方程得2241142+>，则点P 在椭圆外，又因为点Q 在线段AB 上，从而λ=−AP PB ，λ=AQ QB ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇于是12124,1(1)1,1λλλλ−⎧=⎪⎪−⎨−⎪=⎪−⎩x x y y 1212,1(2),1λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x x y x y 又点AB 在椭圆C 上，即221122221,(3)421,(4)42⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(3)(4)λ−⋅，得212121212()()()()142λλλλλ+−+−+=−x x x x y y y y ，即12121212()()()()111411211λλλλλλλλ+−+−⋅⋅+⋅⋅=+−+−x x x x y y y y ，将（1），（2）代入得1,2202+=+−=即yx x y ．综上所述，点(,)Q x y 总在定直线220+−=x y 上．例9．已知12(,0),(,0)−F c F c 为有心二次曲线2222:1(0)±=>>x y E a b a b 的左、右两个焦点，P 为曲线上任意一点，直线12,PF PF 分别交曲线E 异于P 的点,A B ，设11λ=PF F A ，22μ=PF F B ，证明：λμ+为定值．【解析】证明：设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，因为11λ=PF F A ，可得011101λλλλ+⎧=−⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x c y y ，将1100(,),(,)A x y P x y ，代入曲线方程有2200222211221,(1)1,(2)⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩x y a b x y a b ，2(2)λ⨯得222221122,(3)λλλ+=x y a b ，(1)(3)−得20101010122()()()()1λλλλλ+−+−±=−x x x x y y y y a b．两边同除以21λ−整理得01010101221111111λλλλλλλλ+−+−⋅⋅±⋅⋅=+−+−x x x x y y y y a b ，所以01211λλ−−⋅=−x x c a ，即201(1)λλ−=−a x x c ．又01,1λλ+−=+x x c即01(1)λλ+=−+x x c ．两式相加得：222202λ−+=−a c a c x c c同理：222202μ+−=−a c a c x c c ，所以22222λμ++=⋅−a c a c．【注】若将11λ=PF F A ，22μ=PF F B ，换成11λ=AF F B ，22μ=BF F P ，则有2222112λμ++=⋅−a c a c 为定值，11()()24μλλμλμλμ++=++≥，得22min 22()2λμ−+=⋅+a c a c ．第二章技法篇227例10．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为23，半焦距为(0)>c c ，且1−=a c ，经过椭圆的左焦点F ，斜率为11(0)≠k k 的直线与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当11=k 时，求∆AOB S 的值；（3）设(1,0)R ，延长,AR BR 分别于椭圆交于,C D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值．【解析】（1）由题意：得231⎧=⎪⎨⎪−=⎩c a a c 解得32=⎧⎨=⎩a c 所以2225=−=b a c ，故椭圆C 的标准方程22195+=x y ． (2)由（1），知(2,0)−F 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12187+=−x x ，12914=−x x ，12|||=−=AB xx 307=，设O 点到直线AB 的距离为d，则=d1130||227∆=⋅=⨯AOB S AB d ． (3)设AB 直线方程：(2)=+y k x ，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，λ=AR RC ，μ=BR BD ，将,,,A B C D 坐标代入椭圆得：221122331,(1)951,(2)95⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，222222441,(3)951,(4)95⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(1)(2)λ−得：213131313()()()()195λλλλλ−+−++=−x x x x y y y y ，2(3)(4)μ−得：224242424()()()()195μμμμμ−+−++=−x x x x y y y y ，13131101λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，24241101μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，所以1391λλ−=−x x ，2491λμ−=−x x ，由上式得：125445λλ=−⎧⎪⎨=−⎪⎩x x ，245445μμ=−⎧⎪⎨=−⎪⎩x x ，所以12123434224444(5)(5)λμλμλμλμ−−++−−+−==−−−−−+y y kx kkx ky y x x (54)2(54)2117()7441144()λμλμλμλμλμ−+−+−+−−===−+−−k kk kk k ．【注】综上可知，若出现相交弦共点在坐标轴上的时候，常规联立非常繁琐，那么将坐标变换成比值，达到事半功倍的效果，其结果就是几步秒杀．例11．已知椭圆22143+=x y ，点(4,0)P ，过点P 作椭圆的割线PAB ，C 为B 关于x 轴的对称点，求证：直线AC 恒过定点．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)−C x y ，设AC 与x 轴的交点为(,0)M m ，λ=AP PB ，μ=AM MC ，则1212(,)11λλλλ++++x x y y P ，1212(,)11μμμμ+−++x x y y M ，于是124(1)λλ+=+x x ，120λ+=y y ，12(1)μμ+=+x x m ，120 (1)μ−=y y ，则μλ=−，由点,A B 在椭圆上得：221122221,(1)431,(2)43⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 2(1)(2)μ−⨯得：212121212()()()()143μμμμμ+−+−+=−x x x x y y y y ，所以124(1)μμ−−=x x m ，124(1)λλ++=x x m，由(1)可知：1=m ，综上可知：直线AC 恒过定点(1,0)．【注】因为,,A B P 三点共线，,,A C M 三点也共线，且,,A B C 三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．例12．（2018·全国卷Ⅰ）设椭圆22:12+=x C y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程．（2）设O 为坐标原点，证明：∠=∠OMA OMB ．【解析】（1）由已知得(1,0),F l 的方程为1=x ，由已知可得点A的坐标为或(1,，所以AM的方程为2=−y x2=−y x （2）当l 与x 轴重合时，00∠=∠=OMA OMB ．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠=∠OMA OMB ．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，点B 关于x 轴对称的点22(,)'−B x y ，229根据几何性质可得：令ON 为∠ANB 的角平分线，AB 与x 轴交点为2F ，下面通过证明N 与M 重合来证明∠=∠OMA OMB ，根据角平分线定理有：22=='AF AN AN F B NB NB ，令λ'=AN NB ，则12(,0)1λλ++x x N ，由122211λλλ−=−⇒=−x x AF F B ，,A B 代入椭圆方程221122221,(1)21,(2)2⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(1)(2)λ−⨯得：212121212()()()()12λλλλλ+−++−=−x x x x y y y y ，即21212121011(2,0)21112λλλλλλ+−−⋅⋅+⋅=⇒=⇒+−−F N x x x x x x y y N ，即N 与M 重合，所以∠=∠OMA OMB ．例13．（2018·北京文）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y M a b a bk 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B ，（1）求椭圆M 的方程．（2）若1=k ，求||AB 的最大值．（3）设(2,0)−P ，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若,C D 和点71(,)44−Q 共线，求k ．【解析】（1）由题意得2=cc=c e a=a 2221=−=b a c ，所以椭圆M 的标准方程为2213+=x y ．（2）设直线AB 的直线方程为=+y x m ，由2213=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y x m x y ，消去y 可得2246330++−=x mx m ，则2223644(33)48120∆=−⨯−=−>m m m ，即24<m ，1122(,),(,)A x y B x y ，1232+=−mx x ，212334−=m x x ，12|||=−=AB x x=，易得当20=m时，max ||=AB ||AB．（3）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，λ=AP PC ，2424(,)(2,0)11μμμμ++=−++x x y y P ，有22112233 1 (1)3 1 (2)3⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，2(1)(2)λ−⨯得：213131313()()()()13λλλλλ+−++−=−x x x x y y y y ，即13(2)()13(1)λλ−−=−x x ，1311333171244(3)172441λλλλλλ−⎧⎧=−=−−⎪⎪⎪⎪−⇒⎨⎨+⎪⎪=−−=−⎪⎪⎩+⎩x x x x x x ，同理2422443171244(4)172441μλλλλλ−⎧⎧=−=−−⎪⎪⎪⎪−⇒⎨⎨+⎪⎪=−−=−⎪⎪⎩+⎩x x x x x x 故121()(5)4λμ−=−−x x ，同时1324λμ⎧=⎪−⎪⎨⎪=⎪−⎩y y y y ，由于CD 过定点71(,)44−Q ，故21341234111114444()(6)711144444μλλμλμ−−−−−−=⇒=⇒−=−−+−−−y y y y y y x x ，结合（5）（6）可得12121−=−y y x x ，即1=k ．例14．已知点(0,1)P ，椭圆22:(1)4+=>x C y m m 上两点,A B 满足2=AP PB ，则当m 为何值时，点B 横坐标的绝对值最大．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,),(0,1)B x y P ，则22112222,(1)4,(2)4⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y m x y m ，由2=AP PB 得121220122112+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+x x y y ， 2(1)(2)2−⋅得222222212122(2)(12)4−⋅+−⋅=−x x y y m ，即1212121222221412121212+−+−⋅⋅+⋅=+−+−x x x x y y y y m ，则，122−=−y y m ，1223+=y y ，则234+=my ，所以2223()44++=x m m ，即2221094−+−=m m x ，当5=m 时，()22max 4=x ，则2max2=x ．三、方法总结点差法是解决圆锥曲线与直线的关系中常用到的一种方法．当直线与圆锥曲线相交的问题涉及到相交弦的中点时，宜应用点差法求解，即将直线被圆锥曲线截得的弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，得到两个等式，再将两个等式作差，转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系，进而解决问题．在解答圆锥曲线231的某些问题时，若果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程．当1λ=时，点M 为弦AB 的中点．若1λ≠时，点M 不再是中点，就成了定比分点．这时就会出现12λ+x x 这样形式的式子，若果再凑出12λ−x x ，我们就会想到222121212()()λλλ+−=−⋅x x x x x x ，则在有心二次曲线的方程上乘以2λ再作差，就会得到这样的式子，因此我们想到了“定比点差法”．定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式，只不过将其中的t 变作了λ，也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法．定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用．但定比点差法无法应用于抛物线，并且它采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦(当然，求坐标还是很简便的)，所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决．综上所述，在研究点差法及定比点差法时，主要核心思想统一体现为减元、消元以及方程的思想．四．巩固练习1．已知椭圆()222210+=>>x y a b a b 的一条准线方程是1=x ，有一条倾斜角为4π的直线交椭圆于、A B 两点，若AB 的中点为11,24⎛⎫− ⎪⎝⎭C ，则椭圆方程为．【答案】2211124+=x y【解析】设()()1122,,、A x y B x y ，则121211,2+=−+=x x y y ，且2211221+=x y a b ①， 2222221+=x y a b②， −①②得：2222121222−−=−x x y y a b ，()()221212221212112+−−∴=−=−⋅−+b x x y y b x x a y y a ，21221221−∴===−AB y y b k x x a，222∴=a b ③又21=a c ，2∴=a c ④ 而222=+a b c ⑤由③④⑤可得212=a ，214=b ，所求椭圆方程为2211124+=x y ． 2．已知椭圆221259+=x y 上不同的三点()()11229,,4,,,5⎛⎫⎪⎝⎭A x yBC x y 与焦点()4,0F 的距离成等差数列．（1）求证：128+=x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．【解析】（1）略；（2）解128+=x x ，∴设线段AC 的中点为()04,D y ．又、A C 在椭圆上，∴22111259+=x y ①，22221259+=x y ②，−①②得：22221212259−−=−x x y y ， ()()1212121200998362525225+−∴=−=−⋅=−−+x x y y x x y y y y ． ∴直线DT 的斜率02536=DT y k ，∴直线DT 的方程为()0025436−=−y y y x ．令0=y ，得6425=x ，即64,025⎛⎫ ⎪⎝⎭T ，∴直线BT 的斜率9055644425−==−k ． 3．若抛物线2:=C y x 上存在不同的两点关于直线():3=−l y m x 对称，则实数m 的取值范围是．【答案】(【解析】当0=m 时，显然满足．当0≠m 时，设抛物线C 上关于直线():3=−l y m x 对称的两点分别为()()1122,,、P x y Q x y ，且PQ 的中点为()00,M x y ，则211=y x ①，222=y x ②， −①②得：221212−=−y y x x ，1212120112−∴===−+PQ y y k x x y y y ，又1=−PQ k m ，02∴=−m y ．中点()00,M x y 在直线():3=−l y m x 上，()003∴=−y m x ，于是052=x ．中点M 在抛物线2=y x 内部，200∴<y x ，即2522⎛⎫−< ⎪⎝⎭m，解得<m综上可知，所求实数m的取值范围是(．4．（2011浙江理）设1F ，2F 分别为椭圆2213+=x y 的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若125=F A F B ，则点A 的坐标是．233解答：记直线1F A 反向延长交椭圆于1B ，由125=F A F B 及椭圆对称性得1115=AF F B ，设11(,)A x y ，22(,)B x y，(F ．①定比分点公式得：12125155015+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x yy 1212550⎧+=−⎪⇒⎨+=⎪⎩x x y y ②又⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩221122221(1)31(2)3x y x y 221122221(1)4252525(3)3x y x y ⎧+=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩③由（1）-（3）得+−++−=−12121212(5)(5)(5)(5)243x x x x y y yy ⇒−=125x x ，又+=−125x x ⇒=10x ⇒±(0,1)A ．5．（2009江理）双曲线()222210,0−=>>x y a b a b的右顶点A 作斜率为1−的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ．若12=AB BC ，则双曲线的离心率是（）ABCD【答案】C【解析】设11(,)C x y ，22(,)B x y ，(,0)A a ，由12=AB BC ，由12=AB BC 得121212112102112⎧+⎪=⎪⎪+⎪⎨⎪+⎪=⎪+⎪⎩a x x y y 12123230−=−⎧⇒⎨−=⎩x x a y y ．又22112222222200⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩x y a b x y a b 2211222222220 990 ⎧−=⎪⎪⇒⎨⎪−=⎪⎩①②x y a b x y a b ，由①-②得：1212121222(3)(3)(3)(3)0+−+−−=x x x x y y y y a b 1230⇒+=x x ，又1232−=−x x a所以1=−x a ，所以(,)−C a b ，所以01−=−=−−AC b k a a2⇒=ba ⇒=e 6．已知椭圆22162+=x y 的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11λ=PF F A ，22μ=PF F B ．若2λ=，求μ的值．【解析】设()00,P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由11λ=PF F A 得()0101010111001λλλλλλλ+⎧−=⎪⎧+=−+⎪⎪+⇒⎨⎨++=⎪⎩⎪=⎪+⎩x x c x x c y y y y 由22μ=PF F B 得()02020********μμμμμμμ+⎧=⎪⎧+=−++⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎩⎪=⎪+⎩x x c x x c y y y y由22002222112211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y a bx y a b ⇒2200222222211221 λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②x y a bx y ab235由①-②得：()()()()010*******21λλλλ−+−++=−x x x x y y y yx ab()()()()()()20101201111λλλλλλ−+⇒=⇒−=−−−+x x x x a a x x c ，又()()011λλ+=−+x x c所以222202λ−+=−a c a c x c c ，同理可得222202μ−+=−+a c a c x c c 所以()()2222222222108λμλμμ−+++=⋅⇒+=⋅=⇒=−a c a c a c c c a c ． 7．已知椭圆22:12+=xy C ，设过点()2,2P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B ，点Q 是线段AB 上的点，且112+=PA PB PQ，求点Q 的轨迹方程．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，()00,Q x y ，由112+=PA PB PQ 22−+⇒+=⇒+=PQ PQ PA AQ PB QB PA PB PA PB0−⇒+=⇒=AQ QB PA AQ PAPBPBQB，记()0λλ==>AP AQ PBQB，即λ=−AP PB ，λ=AQ QB ．由λ=−AP PB 得:()()1212121222112121λλλλλλλλ−⎧=⎪⎧−=−⎪⎪−⇒⎨⎨−−=−⎪⎪⎩=⎪−⎩x x x x y y y y由λ=AQ QB 得:()()1201201212001111λλλλλλλλ+⎧=⎪⎧+=+⎪⎪+⇒⎨⎨++=+⎪⎪⎩=⎪+⎩x x x x x x y y y y y y又221122222222⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x y x y 221122222222 222 λλλ⇒⎪⎧+=⎪⎨+=⎩①②x y x y 由①-②得：()()()()()212121212221λλλλλ+⋅−+⋅+⋅−=−x x x x y y y y ()()()()()20021141121λλλλλ⇒+⋅−+⋅+⋅−=−x y 00242⇒+=x y ，即00210+−=x y ．注意到在椭圆内，故点Q 的轨迹方程为()2221022+−=+<x y x y ．8．（2019全国卷理）已知抛物线2:3=C y x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点分别为，A B ，与x 轴的交点为P ．（1）若4+=AF BF ，求直线l 的方程；（2）若3=AP PB ，求AB ．【答案】（1）3728=−y x ；（2）=AB 【解析】（1）设直线l 的方程为：32=+y x m ，与抛物线方程联立可得：()22239330342⎧=⎪⇒+−+=⎨=+⎪⎩y xx m x m y x m ，设()()1122,,，A x y B x y ，故()12413+=−x x m 由抛物线定义可得：()12431432+=++=−+=AF BF x x p m ，解得78=−m ．故直线方程为：3728=−y x ．（2）设直线l 的方程为：32=+y x m ，联立22322032⎧=⎪⇒−+=⎨=+⎪⎩y xy y m y x m设()()()11220,,,0，，A x y B x y P x ，则1212 2 2 +=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩①②y y y y m 由3=AP PB 可得()12030−=−y y ，即123=−y y ③237由①②解得1231=⎧⎨=−⎩y y ，代入③式得32=−m ，故直线方程为3322=−y x ．解得：()53,3,13⎛⎫− ⎪⎝⎭，A B，故=AB ．联系2675512809购买。

圆锥曲线培优

高三培优专题圆锥曲线一.离心率与焦点三角形1. 已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且，则此椭圆的离心率的取值范围为________2. 已知是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D,且2BF FD ,则椭圆C 的离心率为 3.直线l 经过.双曲线22221x y a b-=的右焦点F ，与一条渐近线垂直且垂足为A ，与另一条渐近线交于B ，且12AF FB ，则双曲线的离心率为 4 .若椭圆221x y m （1)m 与双曲线221(0)x y n n有公共焦点12,F F ，P 是椭圆与双曲线的一个公共交点，则12PF F 的面积为5（2016年浙江高考）已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<16.在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点(5,0)A -和(5,0)C 。

顶点B 在双曲线221169x y -=上，则sinB sinA sin C-为 ( ) A. 32 B. 23 C. 54 D . 457.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )（A ）（-3，3）（B ）（-6，6）（C ）（）（D ）（） 8.（2010全国卷1）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上， 1F 2F 1:2222=+by a x C a b P C 21PF PF ⊥1F 2F 221x y -=∠P =，则P 到x 轴的距离为(A) (B) (C) (D) 9（2013浙江卷）如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是A ．2B ．3C ．23D ．26 10[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C ．3D ．2 11.【2016高考浙江理数】如图，设椭圆（a ＞1）. （I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围1F 2F 0603262362221x y a+=Ox yABF 1 F 2二．圆锥曲线的切线问题12．[2014·辽宁卷] 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.4313【2013年大纲全国理】已知抛物线2:8C y x =与点(2,2)M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A B 、两点，若0MA MB •=，则k =（）A ．12 B．2 C．214..已知抛物线px y 22=（0P ），过其焦点F 的直线与抛物线交与,A B 两点，该抛物线在,A B 两点处的切线交于C ，设AF a ，BF b ，则CF （）ABC 2a bD15．（2013新课标2卷）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为（）A ．或B ．或C ．或D ．或16.过点M ()p 22-，作抛物线py x 22=()0>p 的两条切线，切点为A B 、.若线段AB 的中点纵坐标为6.则实数=p17.在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与轴的交点分别为A 、B ，且向量。

高考数学专题十八圆锥曲线综合精准培优专练文-人教版高三全册数学试题

培优点十八圆锥曲线综合例1：过双曲线221916x y -=的右焦点2F 作倾斜角为45的弦AB ，求：（1）弦AB 的中点C 到点2F 的距离；（2）弦AB 的长．【答案】（1（2）1927．【解析】（1）双曲线的右焦点2(5,0)F ，直线AB 的方程为5y x =-．联立2251916y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得27903690x x +-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12907x x +=-，123697x x =-．设弦AB 的中点C 的坐标为(,)x y ，则124527x x x +==-，8057y x =-=-．所以2||CF ==（2）由（1），知||AB =一、弦长问题1927==．例2：设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||1AF -．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，证明：11||||AF BF +为定值．【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线1x =-的距离，由抛物线的定义得12p=，即2p =．故抛物线C 的方程为24y x =．（2）易知焦点F 的坐标为(1,0)，若直线l 的斜率不存在，即直线l 方程为1x =，此时令(1,2)A ，(1,2)B -，∴11111||||22AF BF +=+=；若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知1||1AF x =+，2||1BF x =+．二、定值问题由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得22222(2)0k x k x k -++=，根据韦达定理得121x x =，所以121212121212121222211111||||11(1)(1)12x x x x x x AF BF x x x x x x x x x x +++++++=+====++++++⋅+++，综上可得，11||||AF BF +为定值．例3：已知两定点(A ，B ，O 为坐标原点，动点P 满足：直线PA ，PB 的斜率之积为12-．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点(1,0)D -的直线l 与（1）中曲线C 交于M ，N 两点，求OMN △的面积的最大值．【答案】（1）221(0)2x y y +=≠；（2）2．【解析】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，则PA k =，PB k =，所以22122PA PBy k k x ⋅==--，化简得22220x y -+=，所以所求轨迹方程是221(0)2x y y +=≠．三、最值问题（2）设直线l 的方程为1x my =-，联立曲线C 的方程得22(2)210m y my +--=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由韦达定理得12222m y y m +=+，12212y y m -=+，所以OMN △的面积121||||2S OD y y =⋅-==，(1)t t =≥，则S t t==≤+，上式当1t =即0m =时取等号，所以OMN △的面积的最大值是2．例4：已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点1)2A ，且点F 为其右焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l 与椭圆C 交于B ，D 两点，满足225OB OD ⋅=，且原点到直线l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析．【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则左焦点为(F '，四、存在性问题在直角三角形AFF 'Rt △中，可求7||2AF '=，∴2||||42a AF AF a '=+=⇒=．又c =2221b a c =-=．故椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y kx m =+，由原点到l223(1)m k =⇒=+．联立方程2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=．则2216(2)02Δk k =->⇒>．设11(,)B x y ，22(,)D x y ，则122814mk x x k-+=+，21224(1)14m x x k -=+，则22212121212211(1)22(1)()145k OB OD x x y y k x x mk x x m k +⋅=+=++++==+，解得21(2,)k =∉+∞．当斜率不存在时，l的方程为x =112245OB OD ⋅=≠．综上，不存在符合条件的直线．对点增分集训一、选择题1．已知经过椭圆2215x y +=的右焦点且与x 轴正方向成60︒的直线与椭圆交于A ，B 两点，则||AB =（） ABCD【答案】C【解析】由已知条件可知直线为2)y x =-，由222)15y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得21660550x x -+=，∴126016x x +=，125516x x =，∴12|||AB x x =-=． 2．已知双曲线221mx ny -=与直线12y x =+交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的m n的值是（） A．BC．-D【答案】B【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y ，中点坐标00(,)A x y ，代入双曲线方程中，得到22111mx ny -=，22221mx ny -=，两式相减得到12121212()()()()m x x x x n y y y y -+=-+，结合12122y y x x -=-，1202x x x +=，1202y y y +=，且002y x =，代入上面式子，得到mn=． 3．等边三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22(0)y px p =>上，O 为坐标原点，则这个三角形的边长为（）AB． C． D ．2p【答案】C【解析】∵抛物线22y px =关于x 轴对称，∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，则A ，B 点关于x 轴对称，∴直线OA 倾斜角为30︒，∴直线OA方程为y x =．由232y x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩，得6x p y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴(6,)A p，(6,)B p -，∴||AB =，∴这个正三角形的边长为．4．若过椭圆2212516x y +=上一点P 作圆22(3)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值为（） A ．30︒ B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】B【解析】如图，因为椭圆2212516x y +=与圆22(3)1x y -+=关于x 轴对称，并且圆的圆心坐标(3,0)为椭圆右焦点，所以过椭圆2212516x y +=上一点P 作圆22(3)1x y -+=的两条切线，要使APB ∠的最大，则PC 取最小，所以P 为右端点．因为1AC =，2PC =，AC AP ⊥，所以260APB APC ∠=∠=︒．5．已知双曲线22:14y C x -=，P 是双曲线C 上不同于顶点的动点，经过P 分别作曲线C 的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形OAPB ，则四边形OAPB 的面积是（）A ．2B ．1C ．2D【答案】B【解析】设(,)P m n ，则2244m n -=，设PA 和渐近线2y x =平行，PB 和渐近线2y x =-平行，由:2()PA y x m n =-+，:2()PB y x m n =--+，且PA 和渐近线2y x =的距离为d =由2y x =和2()y x m n =--+，求得22(,)42m n m nB ++，可得|||2|4OB m n =+，∴四边形OAPB 的面积是2211|||2||4|41444d OB m n m n =+=-=⋅=． 6．00(,)P x y 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一定点，A ，B 是C 上异于P 的两点，直线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k 满足PA PB k k λ+=(λ为常数，0λ≠)，且直线AB 的斜率存在，则直线AB 过定点（）A ．00022(,)x px y λλ--B ．0002(,)x x y λ--C ．00022(,)y px y λλ--D ．0002(,)y x y λ--【答案】C【解析】设2(,)2a A a p ，2(,)2b B b p ，则直线AB 的方程为222222b x y b p ba b a p p--=--，整理得2p aby x b a b a=+++，又00002222220000222222PA PB a y b y a y b y k k a b y y a b x x p p p p p pλ----+=+=+=----，化简得0022p p a y b y λ+=++，则00022()2y p x ab p y b a b aλλ-=--++．则直线AB 的方程为000222[()]y p py x x y b a λλ=--+-+，直线AB 过定点00022(,)y p x y λλ--．二、填空题7．已知抛物线1C ：2(0)y ax a =>的焦点F 也是椭圆2C ：2221(0)4y x b b +=>的一个焦点，点M ，3(,1)2P 分别为曲线1C ，2C 上，则MP MF +的最小值为．【答案】2【解析】由点3(,1)2P 在椭圆2C 上，且0b >，所以223()1214b b+=⇒=F 的坐标为(0,1)．又由抛物线1C 方程得1(0,)4F a ，所以11144a a =⇒=，则211:4C y x =，由抛物线定义知MF 等于点M 到其准线:1l y =-的距离d ．过点P 作准线:1l y =-的垂线3:2l x '=，则垂直3:2l x '=与抛物线211:4C y x =的交点即为所求M 点，所以MP MF MP d +=+，其最小值为1(1)2--=．8．若椭圆221(15)1015x y t t t +=>+-与双曲线221169x y -=在第一象限内有交点A ，且椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别是12,F F ，12120F F A ∠=︒，点P 是椭圆上任意一点，则12PF F △面积的最大值是___________．【答案】【解析】依题意有122510F F =⨯=，设2AF m =，18AF m =+，由余弦定理得222(8)10210cos120m m m +=+-⋅⋅⋅︒，解得6m =．故对与椭圆来说12202AF AF a +==，10a ∴=，90t =，275b =，b ∴=椭圆方程为22110075x y +=．当p 为短轴上顶点时，面积取得最大值为1102⨯⨯=三、解答题9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点1)2P（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为11(,)22M ，求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】（1）2214x y +=；（2）2532S =．【解析】（1）依题意可知c a =223114a b+=，222c a b =-，解得2a =，1b =， ∴椭圆的方程为2214x y +=．（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，代入椭圆方程得221114x y +=，222214x y +=，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=，由中点坐标公式得121x x +=，121y y +=．∴121214AB y y k x x -==--，可得直线AB 的方程为111()242y x -=--．令0x =，可得58y =；令0y =，可得52x =，则直线l 与坐标轴围成的三角形面积为1552528232S =⨯⨯=． 10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，O 为坐标原点，A 、B 是抛物线C 上异于O 的两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线OA 、OB 的斜率之积为14-，求证：直线AB 过定点．【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点坐标为(1,0)，所以12p=，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =．（2）证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设2(,)4t A t ，2(,)4t B t -，因为直线OA ，OB 的斜率之积为14-，所以2224161444t t t t t t --⋅=-，化简得264t =，所以(16,)A t ，(16,)B t -，此时直线AB 的方程为16x =；②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx b =+，(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，联立得24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，化简得2440ky y b -+=，根据根与系数的关系得4A B b y y k =，因为直线OA ，OB 的斜率之积为14-，所以14A B A B y y x x =-⋅，即40A B A B x x y y +=，即224044A B A B y y y y ⋅+=，解得0A B y y =（舍去）或64A B y y =-，所以464A B by y k==-，即16b k =-，所以16y kx k =-，即(16)y k x =-．综上所述，直线AB 过x 轴上一定点(16,0)．11．如图，已知A ，B 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1x y C a b-=的公共顶点，且4AB =，两曲线离心率之积为4．M 为2C 上除顶点外一动点，AM 交椭圆1C 于点P ，点Q 与点P 关于x 轴对称．（1）求椭圆1C 的方程；（2）证明：存在实数λ，使MB BQ λ=．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析．【解析】（1）由题可知2a =，两曲线的离心率之积为4，则224=，解得1b 2=，所以椭圆1C 的方程为2214x y +=．（2）设00(,)M x y ，直线AM 的斜率为k ，∵(2,0)A -，(2,0)B ，双曲线方程为2214x y -=，∴2000200012244AM BMy y y k k x x x ⋅=⋅==+--，所以14BM k k =，联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=，所以22164(2)14P k x k -⋅-=+，即22814P k x k2-=+，所以24(2)14P P ky k x k =+=+，则22241142824214P BQBM Pk y k k k k x k k +====---+，所以M ，B ，Q 三点共线，即存在实数λ，使MB BQ λ=．12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率为2，P 是椭圆C 上的动点，当1260F PF ∠=︒时，12PF F △（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求1ABF △面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）4．【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为椭圆C的离心率为2，所以2c a =．① 在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理，得222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==，得222121212PF PF F F PF PF +-=，得22121212()3PF PF F F PF PF +-=，即2212(2)(2)3a c PF PF -=，所以21143PF PF b =，所以12PF F △的面积212121sin 2S PF PF F PF =∠== 所以21b =，即1b =，②又222a b c =+，③由①②③，解得a =1b =，1c =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设直线AB 的方程为(2)y k x =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立得22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)8820k x k x k +++-=，由28160Δk =->，得212k <，根据韦达定理有212812k x x k 2+=-+，21228212k x x k -=+．由弦长公式，得12AB x =-== 又点1F 到直线AB的距离为d =，所以11122ABF S AB d ∆=⋅===261(1,4)t k=+∈，则216tk-=，所以1ABFS∆==≤=4tt=，即2t=，k=时取等号，所以1ABF△。

高考数学压轴培优教程—圆锥曲线 pdf

高考数学压轴培优教程—圆锥曲线 pdf引言概述：高考数学是每个学生都需要面对的一项重要考试，其中圆锥曲线是高考数学中的重点内容之一。

为了帮助学生更好地掌握圆锥曲线知识，提高数学成绩，特推出了一份名为《高考数学压轴培优教程—圆锥曲线》的PDF教材。

本文将从六个大点分别阐述该教程的详细内容，帮助读者了解该教程的特点和优势。

正文内容：1. 圆锥曲线基础知识1.1 椭圆的定义和性质1.2 双曲线的定义和性质1.3 抛物线的定义和性质1.4 圆锥曲线的方程及其一般性质1.5 圆锥曲线的参数方程及其应用2. 圆锥曲线的图形性质2.1 椭圆的图形性质2.1.1 长轴、短轴和焦点的关系2.1.2 椭圆的离心率和焦点的位置2.1.3 椭圆的切线和法线方程2.2 双曲线的图形性质2.2.1 双曲线的渐近线和渐近距离2.2.2 双曲线的离心率和焦点的位置2.2.3 双曲线的渐近线方程2.3 抛物线的图形性质2.3.1 抛物线的焦点和准线2.3.2 抛物线的切线和法线方程2.3.3 抛物线的顶点和对称轴3. 圆锥曲线的应用3.1 椭圆的应用3.1.1 椭圆的几何性质在实际问题中的应用3.1.2 椭圆的参数方程在物理问题中的应用3.2 双曲线的应用3.2.1 双曲线的几何性质在实际问题中的应用3.2.2 双曲线的参数方程在物理问题中的应用3.3 抛物线的应用3.3.1 抛物线的几何性质在实际问题中的应用3.3.2 抛物线的参数方程在物理问题中的应用4. 圆锥曲线的解析几何方法4.1 椭圆的解析几何方法4.1.1 椭圆的坐标平移和坐标旋转4.1.2 椭圆的标准方程和一般方程的相互转化4.2 双曲线的解析几何方法4.2.1 双曲线的坐标平移和坐标旋转4.2.2 双曲线的标准方程和一般方程的相互转化4.3 抛物线的解析几何方法4.3.1 抛物线的坐标平移和坐标旋转4.3.2 抛物线的标准方程和一般方程的相互转化5. 圆锥曲线的题型讲解与解题技巧5.1 椭圆的题型讲解与解题技巧5.1.1 椭圆的参数方程题型讲解与解题技巧5.1.2 椭圆的标准方程题型讲解与解题技巧5.2 双曲线的题型讲解与解题技巧5.2.1 双曲线的参数方程题型讲解与解题技巧5.2.2 双曲线的标准方程题型讲解与解题技巧5.3 抛物线的题型讲解与解题技巧5.3.1 抛物线的参数方程题型讲解与解题技巧5.3.2 抛物线的标准方程题型讲解与解题技巧6. 圆锥曲线的习题与答案解析6.1 椭圆的习题与答案解析6.2 双曲线的习题与答案解析6.3 抛物线的习题与答案解析总结：通过《高考数学压轴培优教程—圆锥曲线》的学习，学生们可以全面掌握圆锥曲线的基础知识、图形性质、应用和解析几何方法。

高三培优圆锥曲线专题(一)

第十七讲圆锥曲线专题（一）【知识要点】1.圆锥曲线中的面积问题2.圆锥曲线中的动直线过定点问题3.圆锥曲线中的动直线斜率为定值问题【典型例题】1.设F 是抛物线G:24x y =的焦点，设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C,D ，求四边形ABCD 面积的最小值。

2. P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。

3.A 、B 是抛物线24y x =上的两点，且满足()为原点O OB OA ⊥，求证：直线AB 经过一个定点。

4.已知离心率为25的双曲线C 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1、F 2在x 轴上，双曲线C 的右支上一点A 使021=⋅AF AF 且21AF F ∆的面积为1。

（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线m kx y l +=:与双曲线C 相交于E 、F 两点（E 、F 不是左右顶点），且以EF 为直径的圆过双曲线C 的右顶点D ,求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

y P O x A B 5.如图，过抛物线24y x =上一定点()1,2P ，作两条直线分别交抛物线于A （）， B （22,y x ），当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线AB 的斜率为定值。

6.已知，椭圆C 以过点A （1，32），两个焦点为（－1，0），（1，0）（1）求椭圆C 的方程（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值【课堂练习】1.以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为 ( )A.430x y --=B.430x y ++=C.430x y +-=D.430x y ++= 2.抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,, 成等差数列，则（）A.321,,x x x 成等差数列B.231,,x x x 成等差数列C.321,,y y y 成等差数列D.231,,y y y 成等差数列3.已知抛物线y =2x 2上两点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称, 且x 1x 2=12-, 那么m 的值为 ( ) A.25 B.23 C. 2 D.3 4.已知抛物线24y x =-上存在关于直线0x y +=对称的两点A 、B ，则|AB|等于5.过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为____ __6.1F 、2F 是椭圆C ：22184x y +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为 7.知P 是椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为_______8.椭圆22143x y +=的两个焦点为12,F F ，点P 为左准线上的任意一点，当12F PF ∠取到最大值时，点P 的坐标为9. 直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2＝3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_______ ___。

[高考总复习资料]数学一轮复习名校尖子生培优大专题圆锥曲线训练1 新人教A版

1、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0），P （1）若α=∠21F PF ，β=∠21F PF （2）若θ221=∠PF F ，求证：21PF F ∆证明：（1）在21F PF ∆βαβαsin sin ||||)sin(221++=+PF PF c ∴βαβαsin sin 2)sin(2+=+ac ∴2cos 2cos2cos 2sin 22cos 2sin 2sin sin )sin(22βαβαβαβαβαβαβαβα-+=-++⋅+=++==a c e （2）在21F PF ∆中由余弦定理可知--+=⋅⋅-+=||||2|)||(|2cos ||||2||||)2(212212122212PF PF PF PF PF PF PF PF c θ)2cos 1(||||2)2(2cos ||||221221θθ+⋅⋅-=⋅⋅PF PF a PF PF∴θθ2cos 122cos 14421||||22221+=+-⋅=⋅b c a PF PF∴θθθθtan 2cos 12sin 2sin ||||21222121⋅=+⋅=⋅⋅=∆b b PF PF S F PF 。

1. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足1||2.FQ a =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足220,||PT TF TF ⋅=≠。

（1）设x 为点P 的横坐标，证明1||cF P a x a=+；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由．解：（1）设点P 的坐标为（x,y ）,由P （x,y ）在椭圆上，得1||(F P x ==又由,x a ≥-知0c a x c a a +≥-+>，所以1||.c F P a x a=+ （2）当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上．当||0PT ≠且2||0TF ≠时，由2||||0PT TF ⋅=，得2PT TF ⊥．又2||||PQ PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点．在△QF 1F 2中，11||||2OT FQ a ==，所以有222.x y a += 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是222.x y a +=（3） C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是2220020,12||.2x y a c y b ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩③④由③得a y ≤||0，由④得.||20cb y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M ．当cb a 2≥时，100200(,),(,)MF c x y MF c x y =---=--，由2222221200MF MF x c y a c b ⋅=-+=-=， 121212||||cos MF MF MF MF F MF ⋅=⋅∠，212121||||sin 2S MF MF F MF b =⋅∠=，得.2tan 21=∠MF F 2.的中心为原点，较长的对称轴为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆的标准方程；（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A 、B 两点上，且已知C （－4，0），求CA → ·CB →的取值范围．解答：（1）设椭圆方程是x 2a 2 + y 2b 2 = 1 ，由题知b2aa =2所求椭圆的标准方程是x 24 + y 23= 1 ．（2）设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），A 、B 关于坐标原点O 对称， CA → =（x 1＋4,y 1），CB →=（x 2＋4,y 2）， CA →·CB →=（x 1＋4,y 1）·（x 2＋4,y 2）=x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2= x 1x 2＋16＋y 1y 2 AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程是y=kx ，代入椭圆方程x 24+ y 23= 1 得21212221212,3434k x x y y k k --==++ ，CA → ·CB → =231334k -+ 由于k 可以取任意实数，故CA → ·CB →∈[12，13），AB 与x 轴垂直时，|CA → |=|CB →ACB 2=1319CA →·CB →=13，∴CA →·CB →∈[12，13]．3. 已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。

圆锥曲线培优讲义

圆锥曲线培优讲义(总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除一原点三角形面积公式 1. 已知椭圆的离心率为，且过点．若点M（x 0，y 0）在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积． 2. 己知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点，和，．记的面积为．（1）设，．用，的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设，，，求的值．（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变．3. 已知椭圆()0,01:2222>>=+b by x C αα的左、右两焦点分别为()()0,1,0,121F F -,椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的21F AF ∆中，满足.127,121221ππ=∠=∠F AF F AF （1）求椭圆C 的方程；（2）设点D C B ,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC OB CD BC ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k ，且4321k k k k ⋅=⋅，求22OC OB +的值.4. 在平面直角坐标系xoy 内，动点(,)M x y 与两定点(2,0),(2,0)-，连线的斜率之积为14-(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设点1122(,),(,)A x y B x y 是轨迹C 上相异的两点．(I)过点A ，B 分别作抛物线243y x =的切线1l 、2l ，1l 与2l 两条切线相交于点 (3,)N t -，证明：0NA NB =；(Ⅱ)若直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，证明：AOB S ∆为定值，并求出这个定值· 5.已知、分别是轴和轴上的两个动点，满足，点在线段上，且（是不为的常数），设点的轨迹方程为．（1）求点的轨迹方程；（2）若曲线为焦点在轴上的椭圆，试求实数的取值范围；（3）若，点，是曲线上关于原点对称的两个动点，点的坐标为，求的面积的最大值．6. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．7.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．（1）若，求直线的斜率；（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值．8. 设椭圆：的左、右焦点分别是、，下顶点为，线段的中点为（为坐标原点），如图．若抛物线：与轴的交点为，且经过，点．（1）求椭圆的方程；（2）设，为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于、两点，求面积的最大值．二定点定值问题9. 动点P 在圆E ：22(1)16x y ++=上运动，定点(1,0)F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q ．（Ⅰ）求Q 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线1l ，2l 分别交轨迹E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥．证明：过AB 和CD 中点的直线过定点．10. 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是双曲线D ：22123y x -=的中心，抛物线C 的焦点与双曲线D 的焦点相同．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若点(,1)P t (0)t >为抛物线C 上的定点，A ，B 为抛物线C 上两个动点．且PA ⊥PB ，问直线AB 是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．11. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于两点．当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为．x yNM AO（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连接点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；（3）是否存在点，使得为定值?若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．12. 已知椭圆的左焦点为F ，不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．（1）如果直线FA ，FB 的斜率之和为0，则动直线l 是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．（2）如果FA ⊥FB ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围．13. 如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+对称的直线为1l ，直线1,l l 与椭圆22:14x E y +=分别交于点A 、M 和A 、N ，记直线1l 的斜率为1k .（Ⅰ）求1k k ⋅的值；（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由. 14. 如图，椭圆（）的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于，两点．当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．15. 已知动圆过定点，且与直线相切，其中．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设、是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．16. 已知抛物线的准线与轴交于点，过点做圆的两条切线，切点为，，．（1）求抛物线的方程；（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）．①求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标； ②过点作的垂线与抛物线交于，两点，求四边形面积的最小值．17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M(x0，y0)是椭圆C ：2212x y +=上一点，从原点O 向圆M:22002()()3x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q ，直线OP 、OQ 的斜率分别记为k1，k2(1)求证：k1k2为定值;(2)求四边形OPMQ 面积的最大值.18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12 k k ，的值；（3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.三中点弦问题19. 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为22，P 为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，2A 为椭圆C 的右顶点，点M 为线段2PA 的中点，且直线2PA 与直线OM 的斜率之积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于两点,A B ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，N 点的横坐标的取值范围是1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，求线段AB 的长的取值范围.20. 在平面直角坐标系xoy 中，过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点的直线20x y +-=交椭圆C 于,M N 两点，P 为,M N 的中点，且直线OP 的斜率为13．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设另一直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，原点O 到直线l 的距离为3，求AOB ∆面积的最大值．21. 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>左右顶点为A 、B ，左右焦点为1212,,4,23F F AB F F ==，直线(0)y kx m k =+>交椭圆E 于点C 、D 两点，与线段12F F 椭圆短轴分别交于M 、N 两点（M 、N 不重合），且CM DN =. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线,AD BC 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的取值范围. 22. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（Ⅲ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||OM AE AD +的最小值.23. 已知椭圆过点，且离心率．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上存在点关于直线对称，求的所有取值构成的集合，并证明对于，的中点恒在一条定直线上．24. 如图，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为．点是上的定点，，是上的两动点，且线段被直线平分．（1）求，的值；（2）求面积的最大值．25. 已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点，和点，，线段，的中点分别记为，．（1）求面积的最小值；P DMA Oy E（2）求线段的中点满足的方程．26. 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是3，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．四定比分点27. 已知点)0,2(-E ，点P 是椭圆F ：36)2(22=+-y x 上任意一点，线段EP 的垂直平分线FP 交于点M ，点M 的轨迹记为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线交曲线C 于不同的A ，B 两点,交y 轴于点N ，已知m =，n =，求n m +的值.28. 在直角坐标系xOy 上取两个定点12(6,0) ,(6,0),A A - 再取两个动点1(0 , )N m ，2(0 , )N n ，且2mn =．（Ⅰ）求直线11A N 与22A N 交点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过(3 , 0)R 的直线与轨迹C 交于P ,Q ，过P 作PN x ⊥轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若(1)RP RQ λλ=>，求证：NF FQ λ=.29. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=()0a b ＞＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=．（1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF △的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率12,22e ∈⎡⎤⎢⎥⎣，求实数λ的取值范围．五结论30. 已知椭圆 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()2 2，且离心率等于2，点 A B ，分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2） M N ，是椭圆C 上非顶点的两点，满足 OM AP ON BP ∥，∥，求证：三角形MON 的面积是定值. 31. 过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于，两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线是否过定点若过定点，求出点的坐标，若不过点，请说明理由．32. 已知椭圆的两个焦点为()15,0F -，)25,0F ，M 是椭圆上一点，若120MF MF ⋅=，128MF MF ⋅=． 33. （1）求椭圆的方程；34. （2）点P 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12PA PA ，与直线35x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.35. 已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q,且5.4QF PQ = （1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A,D 两点，与圆()2211x y +-=相交于B,C 两点（A ，B 两点相邻），过A,D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M,求ABM ∆与CDM ∆的面积之积的最小值.36. 已知椭圆，其右准线与轴交于点，椭圆的上顶点为，过它的右焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于点，直线恰经过线段的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的左、右顶点分别是、，且，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设是椭圆右准线上异于的任意一点，直线，与椭圆的另一个交点分别为、，求证：直线与轴交于定点．37. 已知点(1,0)A -，(1,0)B ，直线AM 与直线BM 相交于点M ，直线AM 与直线BM 的斜率分别记为AM k 与BM k ，且2AM BM k k ⋅=-．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过定点(0,1)F 作直线PQ 与曲线C 交于,P Q 两点，OPQ ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出OPQ ∆面积的最大值；若不存在，请说明理由．38. 已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程； (2) 过点F （0,2)做两条可相垂直的直线21,l l ，设1l 与曲线C 交于A,B 两点, 2l 与曲线 C 交于C,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，M,N 两点。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

宁师中学“五三二”教学模式高三数学(文)学科训练稿主编人：曾小玲审稿人：高三文科数学组使用日：2016.12.13班级：学号：姓名：课题:圆锥曲线一、选择题1、已知双曲线2222x y a b-=1的渐近线方程为y=13x ±，则此双曲线的离心率为（）A.3 BC ．3 D2、已知抛物线2x =-的焦点与双曲线1422=+y a x 的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（） A ．25B ．5 CD3、已知F 1、F 2为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，以P 为圆心，|PF 1|为半径的圆与以F 2为圆心，12|F 1F 2|为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（） A ．B ．2C ．3D ．44、己知直线ax+by 一6=0（a>0,b>0）被圆x 2+ y 2—2x - 4y=0截得的弦长为ab 的最大值是(A)52 (B) 4 (C) 92(D) 9 5、设M 、N 是抛物线C: y 2=2px (p>0)上任意两点，点E 的坐标为（一λ，0）（λ≥0）若EM EN ⋅的最小值为0，则λ=(A)0 (B) 2p(C) p (D) 2p6、已知双曲线12222=-by a x （a>0,b>0）的渐近线方程y=x 21±，且焦点到渐近线的距离为3，则双曲线的方程为A.1422=-y xB.112322=-y xC.131222=-y xD.1422=-y x 7、已知抛物线22(0)y px p =>上一点M (0x ,4) 到焦点F 的距离|MF |＝540x ，则直线 MF 的斜率MF k =（A ）2 （B ）43 （C ）34 （D ）128、已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点是圆22(3)4x y -+=的圆心，则抛物线的方程是 A ．212x y =B ．26x y =C ．212y x =D ．26y x =9、已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =，则该双曲线的方程为（）A.224515y x -= B.22154x y -= C.22154y x -= D.225514y x -= 10、已知21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠F 1PQ ＝45°，｜PQ1|PF ，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．22C1 D ．211、已知(0,2πθ∈，则曲线222194sin x y θ-=与曲线222194cos 4x y θ-=-的（） A ．离心率相等 B ．焦距相等 C ．虚轴长相等 D ．顶点相同12、12,F F 分别为椭圆2221x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点为M ，且11211()2F M F F F P =+，则点M 到坐标原点O 的距离是（）A. 14B. 12C. 1D. 213、设直线l ：y ＝3x-2与抛物线x y 42=Γ：交于A,B 两点，过A,B 两点的圆与抛物线Γ交于另外两个不同的点C,D ，则直线CD 的斜率k 为A.-6B.-2C.-3D.13－二、填空题1、已知抛物线y 2= 2px(p>0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A 、B 两点（A 点位于x 轴上方），若△AOF 的面积为p= ．2、已知抛物线方程为x y 42-=，直线l 的方程为042=-+y x ，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则n m +的最小值为．3、到两定点F 1(-1，0)，F 2(1，0)距离之和为2的点的轨迹的长度为．4、双曲线C ：22221(0,0)y xa b a b-=>>的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于．5、抛物线24y x =的准线方程是．三、解答题1、已知椭圆C: 2222x y a b +=1（a>0，b>0）的离心率为2，点A(1，2)在椭圆C 上．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交于两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．4、已知圆心为H 的圆x 2+ y 2 +2x -15=0和定点A(1，0)，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M,当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为椭圆，记为C ． (I)求C 的方程；(II)过点A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE QF ⋅的取值范围．8、已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且|1F 2F |=2，点（1，23）在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若∆A 2F B 的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．10、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已知AB ，且△AOB（1）求椭圆的方程；（2）直线2y =上是否存在点M ，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由一、1－5 BABCB 6－10 CBCDC 11－13 BAC二、1、2、1556- 3、2 4、8 5、116y =-三、1、（Ⅰ）解：由题意，得，，又因为点在椭圆上，所以221314a b +=，解得2a =，1b =，c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . …………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ，因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ……7分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=，则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)Px y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+，设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++===222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+，将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.……10分 12 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-.……12分 2.3、解：（Ⅰ）因为|1F 2F |=2，所以1c =. 又点（1，23）在该椭圆上，所以24a ==．所以22,3a b ==.所以椭圆C 的方程为13422=+y x ……………．．（4分）（Ⅱ）①当直线l ⊥x 轴时，可得A （-1，-23），B （-1，23），∆A 2F B 的面积为3，不符合题意．…………（6分）②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k （x+1）．代入椭圆方程得：01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然∆＞0成立，设A ),(11y x ，B ),(22y x ，则2221438k k x x+-=+，222143128k k x x +-=⋅，可得|AB|=2243)1(12kk ++ ……………．．（9分）又圆2F 的半径r=21||2k k +，∴∆A 2F B 的面积=21|AB| r=22431||12k k k ++=7212，化简得：174k +2k -18=0，得k=±1，∴r =2，圆的方程为2)1(22=+-y x ………（12分）注：其它解法可酌情给分。

4、解：（I ）由已知得12S ab ⎨==⎪⎩ ,即为ab ⎨=⎪⎩，解得b ⎨=⎪⎩ 故椭圆的方程为22142x y +=.........................4分（II ）假设直线2y =上存在点M 满足题意，设(),2M m ，显然，当2m =±时，从点M 所引的两条切线不垂直，...... ...................5分当2m ≠±时，设过点M 所引的切线l 的斜率为k ，则l 的方程为() 2.y k x m =-+.........................6分由()22224,y k x m x y ⎧=-+⎨+=⎩消y 得()()()22212422240k x k mk x mk +--+--=.......8分 ()()()22221624122240k mk k mk ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦所以()()224420,m k mk --+=*...............10分设两条切线的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程()*的两根，故122214k k m ==--，解得m =，...............11分所以直线2y =上存在两点和(满足题意. ...............12分。