2021高三数学(理)精准培优专项训练《19圆锥曲线综合》教师版
n2 4b2
1 ，可得 2cm 3c2
a2 ，
即有 m a2 3c2 a ，解得 e 1 ，
2c
3
又 0 e 1 ，所以 e (1 ,1) ． 3
4
4．已知过抛物线 C : y2 4x 焦点 F 的直线与 C 交于 P,Q 两点，交圆 x2 y2 2x 0 于 M ， N 两点，
∴ 6a2 b2 4c2 2 b 2c b 4c2 3b2 4c2 3(c2 a2 ) ， c
即 3a2 c2 ，即 3a c ，∴ e c 3 ，故选 C． a
例 3：已知定点 A(1, 3) ，点 M 是抛物线 C : y2 4x 上的动点，则 MA （其中 F 为抛物线 C 的焦点）的
y 轴交于
OP
点 M ， BM 与 PP 的交点 N 恰为线段 PP 的中点，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A． 3 2
B． 2 2
C． 2 3
D． 1 3
【答案】D
【解析】设 P(x0, y0 ) ，则 P(x0,0) ，
OP OP
(1, 0) ，
由题意 OP
OP
c ，得
P
的横坐标为 c ，
2021 届高三精准培优专练
培优点十九 圆锥曲线综合
一、圆锥曲线综合
例
1：已知 O 为坐标原点，
A
，
B
分别是椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右顶点，点 P 在椭圆 C 上且
位于第一象限，点 P 在 x 轴上的投影为 P ，且有 OP
OP
c （其中 c2
a2
b2 ）， AP 的连线与
ac
ac
a(a c)
∵直线 PP 的方程为 x c ，∴点 N (c, b2 (a c)) ， a(a c)
∵ N 恰为线段 PP 的中点，∴ 2 b2 (a c) b2 ， a(a c) a
整理可得 a 3c ，则 e c 1 ． a3
例
2：设 F1 ， F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1（a ，b
0 ）的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F2 作 C 的一
1
条渐近线的垂线，垂足为 P ，若 PF1 6 OP ，则 C 的离心率为（ ）
A． 5
B． 2
C． 3
D． 2
【答案】C
【解析】双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1 （ a ， b 0 ）的一条渐近线方程为 y
b a
x，
∴点 F2 到渐近线的距离 d
bc a2 b2
b ，即
PF2
b，
∴ OP
OF2 2 PF2 2
c2
b2
a ， cos PF2O
b c
，
∵ PF1 6 OP ，∴ PF1 6a ，
在三角形 F1PF2 中，
由余弦定理可得 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF2 F1F2 cos PF2O ，
设垂足为 B ，由题意知圆心 A(2, 0) 到渐近线的距离 d 4 3 1，则易知 AOB π ， 6
所以两渐近线相夹所成的锐角为 π ． 3
2．如图，过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A ，B 两点，交准线 l 于点 C ，若 CB 2BF ，
2
3．已知点
F1
，
F2
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
的左右焦点，椭圆上存在不同两点 A ， B 使得 F1A 2F2B ，
则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． (1 ,1) 3
B． (0, 1) 3
C． (1 ,1) 2
D． (0, 1) 2
【答案】A
【解析】极限法：当 A, B 重合于右顶点时，有 a c 2(a c) ，此时 e 1 ， 3
当 e 1 时，椭圆越扁，显然存在，故 e (1 ,1) ．
3
3
或：如图，
E
为线段
AF1
中点，设
A(m,
n)
，则
E
(
m
2
c
,
n 2
)
，
F1 A
2F2 B
，
可知
F1E
F2 B
，则
B
(
m
2
3c
,
n 2
)
，
点
A, B
在椭圆上，有
m2 a2
n2 b2
1 ，代入
m2 4a2
6cm 9c2 4a2
k2
取最大值，由 lMA
:
y
3 2
k(x
1)
，可得
x
y k
3 2k
1，
代入抛物线 y2 4x ，得 y2 4( y 3 1) ， k 2k
2
即
y24 kຫໍສະໝຸດ y6 k4
0
，
Δ
0
，可得
16 k2
4( 6 k
4)
0
，解得
k
2
或
k
1 2
，
故 k2 的最大值为 4 ，即 ( MA )2 k 2 1 的最大值为 5 ，即 MA 的最大值为 5 ．
2
MF
最大值为（ ）
A． 2
B． 5 2
【答案】C
C． 5
D． 3
【解析】如图，作 MN 准线 l 于点 N ，则 MA MA 1 ， MF MN cosNMA
设 MA 的倾斜角为
，则
1 cos2NMA
1 cos2
sin2 cos2 cos2
k2
1（ k
kAM
），
当
MA
与
y2
4x
相切时，
其中 P, M 位于第一象限，则 1 4 的值不可能为（ ） PM QN
A． 3
B． 4
【答案】A
【解析】如图，设 PF m ， QF n ，
OP
由
c2 a2
y2 b2
1 ，得
y
b2 a
，∴ P(c, b2 ) ， a
∵ A(a,0) ， B(a,0) ，∴直线 PA 的方程为 y b2 (x a ) ， a(a c)
令 x 0 ，则 y b2 ，∴ M (0, b2 ) ，∴直线 BM 的方程为 y b2 (x a ) ，
MF
MF
对点增分集训
一、选择题
1．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a,b
0)
的渐近线被圆 (x 2)2
y2
4
截得的弦长等于 2
3 ，则双曲线两条渐近
线相夹所成的锐角为（ ）
A． π 6
B． π 3
C． π 2
D． 2π 3
【答案】B
【解析】过圆心 A(2, 0) 作渐近线 y b x 的垂线， a
AF 6 ，则抛物线的方程为（ ）
3
A． y2 x 【答案】C
B． y2 3x
C． y2 6x
D． y2 9x
【解析】作 AM ， BN 垂直准线 l ，垂足分别为 M ， N ， CB 2BF ，即 BC 2 BF ，可得 BC 2 BN ，
则 BCN 30 ， AF AM 6 ， AC 2 AM 12 ， 所以 F 是线段 AC 中点，所以 2 OF p 1 AM 3 ，则 y2 6x ．
2021届高三数学精准培优专练 圆锥曲线综合(理) 教师版
b a
x，
∴点 F2 到渐近线的距离 d
bc a2 b2
b ，即
PF2
b，
∴ OP
OF2 2 PF2 2
c2
b2
a ， cos PF2O
b c
，
∵ PF1 6 OP ，∴ PF1 6a ，
在三角形 F1PF2 中，
由余弦定理可得 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF2 F1F2 cos PF2O ，
y 轴交于
OP
点 M ， BM 与 PP 的交点 N 恰为线段 PP 的中点，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A． 3 2
B． 2 2
C． 2 3
【答案】D
【解析】设 P(x0, y0 ) ，则 P(x0,0) ，
OP OP
(1, 0) ，
由题意 OP
OP
c ，得
P
的横坐标为 c ，
OP
D． 1 3
MF
MF
对点增分集训
一、选择题
1．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a,b
0)
的渐近线被圆 (x 2)2
y2
4
截得的弦长等于 2
3 ，则双曲线两条渐近
线相夹所成的锐角为（ ）
A． π 6
B． π 3
C． π 2
D． 2π 3
【答案】B
【解析】过圆心 A(2, 0) 作渐近线 y b x 的垂线， a
2021 届高三精准培优专练
培优点 圆锥曲线综合
一、圆锥曲线综合
例
1：已知 O 为坐标原点，
A
，
B
分别是椭圆
C
:
x2 a2
专题09圆锥曲线-2021年新高考数学尖子生培优题
2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）专题09 圆锥曲线姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．椭圆22154x y +=的长轴长是（ ）A ．2B ．4C ．D ．10【答案】C【解析】因为椭圆的方程是22154x y +=， 所以25a =，解得a =，所以长轴长是2a =2．双曲线22221124x y m m−=+−的焦距是（ ）A ．4B ．C ．8D ．【答案】C【解析】由题意可得，c 2�a 2+b 2�m 2+12+4�m 2�16 �c ＝4 焦距2c �8 3．抛物线214y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,016B ．()1,0C ．1-,016D ．()0,1【答案】D 【解析】214y x =即24x y =，所以其焦点在y 轴正半轴，坐标为()0,1 4．抛物线212x y =的准线方程为（ ） A ．18y =− B ．18y =C ．12x =−D ．12x =【答案】A【解析】解：由于抛物线22x py =的准线方程为2p y =−， 则有抛物线212x y =的准线方程是18y =−． 5．已知12F F 、是双曲线2222:1x y E a b−=的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）．A B ．2C ．1+D ．2+【答案】C【解析】由题意得222222210,11b c c a ac e e e e a=⇒−=⇒−−=>⇒=6．焦点在x 轴上的椭圆222125x y a +=焦距为8，两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF 的周长为（ ）A ．20B ．28C ．D ．【答案】D【解析】解：因为焦点在x 轴上的椭圆222125x y a += 焦距为8，所以22254a −=，解得a =如图，根据椭圆的定义可得122AF AF a +=，122BF BF a +=，所以22211224ABF C AB AF BF AF BF AF BF a =++=+++== 故选：D7．抛物线24y x =的焦点到双曲线221x y −=的渐近线的距离为（ ）A ．12BCD ．2【答案】B【解析】因为抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为0x y ±=，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d8．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点（设点A 在第一象限），分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为11,A B ，若1AFA 为等边三角形，1BFB 的面积为1S ，四边形11A B BF 的面积为2S ，则12S S =（ ）A ．13B ．14C ．16D ．17【答案】D【解析】由条件可得1160AFx AFA A FO °∠=∠=∠=，1130BFB OFB °∠=∠=，直线AB的方程为2p yx − ，与22y px =联立，消去y ，整理得2233504p x px −+=，解得6p x =或32p x =，故3,,26p pA B ，则1|2|||623p p p BF BB ==+=，则1BFB的面积为11262p p S =×+ 11A B BF的面积为2S p p=+−⋅=，故1217S S =．二、多选题9．已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和p 的值可以是( ) A ．2 B ．6C ．4D ．8【答案】AC【解析】设M 的横坐标为x ，由题意，32px +=，28px =，解得2p =或4p =. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y −=，则（ ）A ．实轴长为2 B．渐近线方程为y =C ．离心率为2D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3【答案】BC【解析】由双曲线方程221412x y −=，得2a =，b =4c ==，所以实轴长24a =，故选项A 错误；渐近线方程为b y x a=±，故选项B 正确； 离心率2cea==，故选项C 正确； 准线方程21a x c=±=±，取其中一条准线1x =，y =与1x =的交点(A ，点A到直线y =的距离dD 错误.11．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则（ ）A ．C 的准线方程为4x =−B ．F 点的坐标为()0,4C ．12FN = D．三角形ONF 的面积为（O 为坐标原点）【答案】ACD【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F ′，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A . 由抛物线的解析式可得准线方程为4x =−，F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF ′=，在直角梯形ANFF ′中，中位线62AN FF BM′+==，由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==，故6612FN FM NM =+=+=，ON =，142QNF S =×=△.12．已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；三、填空题13．双曲线2213x y −=的焦距长为_______．【答案】4【解析】1,a b==，222c a b =+ ，2c ∴=，焦距长24c=.14．以双曲线22145x y −=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．【答案】22195x y +=【解析】由双曲线的相关性质可知，双曲线22:145x y C -=的焦点为(3,0)±，顶点为(20)±,，所以椭圆的顶点为(3,0)±，焦点为(20)±,，因为2225b a c =-=，所以椭圆的方程为22195x y +=15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，C ：()(2216x a y −+−=过点F 且与l相切，则p =______. 【答案】2或6【解析】解：02p F，在()(2216x a y −+−=上所以(220162p a −+−=，即22pa −=（1）， ()(2216x a y −+−=和与l 相切，42pa +=（2）， 由（1）（2）得，所以2p =或6p =16．如图，椭圆E 的左右焦点为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆E 在第一象限交于点P ，若过P ､1F 的直线l 与圆2F 相切，则直线l 的斜率k =______；椭圆E 的离心率e =______.1 【解析】连接2PF ，由于l 是圆2F 的切线，所以12PF PF ⊥.在12Rt PF F 中，212PF OF OF c ===， 所以21212PF F F =，所以126PF F π∠=，所以直线l的斜率6tan πk ==. 1PF =，根据椭圆的定义可知1212212F F c cea aPF PF ====−+.四、解答题17．求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2（2）经过(2,(A B 两点 【解析】（1）椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a ==，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n+=+= ，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．18．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b−=>>的一个焦点在直线:3120l y ++=上，且其一条渐近线与直线l 平行，求该双曲线的方程.【解析】依题意得，双曲线的焦点在y 轴上，又直线l 与y 轴的交点为(0,4)−，所以双曲线的一个焦点坐标为(0,4)−，即4c ==.又因为直线l的斜率为a b =224,12a b ==， 故双曲线的方程为221412y x −=.19．已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程为1x =−. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）直线:1l y x =−交抛物线于A 、B 两点，求弦长AB .【解析】（Ⅰ）依已知得12p =，所以2p =； （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x =− =消去y ，得2610x x −+=， 则126x x +=，121x x =，所以AB =8=. 20．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b −=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，且经过点(2,3)． （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程和其渐近线方程； （Ⅱ）设直线l 经过点(0,1)−，且斜率为k ．求直线l 与双曲线C 有两个公共点时k 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由已知，双曲线的焦点为(2,0)−和(2,0)根据定义有：221a a −⇒= 故21a =，24c =，23b =，从而所求双曲线C 的方程为2213y x −=其渐近线方程为：y =.（Ⅱ）由22133y kx x y =− −= 得：()223240k x kx −+−=当230k −≠，即k ≠时，若>0∆，即()()22244(4)31240k k k ∆=−−−=−>24022k k ⇒−>⇒−<<时， 直线与双曲线相交，有两个公共点；所以，当22k −<<，且k ≠时，直线与双曲线有两个公共点．21．已知椭圆M ：22219x y b+=（0b >）的一个焦点为()2,0，设椭圆N 的焦点恰为椭圆M 短轴上的顶点，且椭圆N 过点． （1）求N 的方程；（2）若直线2y x =−与椭圆N 交于A ，B 两点，求AB ．【解析】（1）由椭圆M ：22219x y b+=（0b >）的一个焦点为()2,0，得2c =，且222945b a c =−=−=，∴椭圆N 的焦点为(0,，(．又椭圆N 过点，∴椭圆N∴椭圆N 1．∴N 的方程为2216y x +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立22216y x y x =− +=消去y ，整理得27420x x −−=， 则1247x x +=，1227x x =−， ∴127AB =. 22．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =−相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？ （2）设点P 的坐标为()0,a −，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠.【解析】（1）设(),Q x y，由题意得y a =+，化简得24x ay =， 所以动圆圆心Q 的轨迹方程为24x ay =， 它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线.（2）不妨设()2,04t A t t a >. 因为24x y a=，所以2x y a ′=， 从而直线PA 的斜率为2402t a t a t a+=−，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=. 设直线m 的方程为y kx a =−，代入24x ay =并整理， 得22440x akx a −+=.所以()221610a k ∆=−>，解得1k <−或1k >. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x ak +=，2124x x a =. ()()2112121212FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x −+−−−+=+= ()()()21121212122222x kx a x kx a a x x k x x x x −+−+==− 224204a ak k a ⋅=−=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠， 此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,−∞−∪+∞.。
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.如图，已知椭圆，双曲线(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5B．C．D．【答案】C【解析】由已知，|OA|＝a＝设OA所在渐近线的方程为y＝kx(k＞0)，于是A点坐标可表示为A(x0，kx)(x＞0)于是，即A()，进而AB的一个三分点坐标为()该点在椭圆C1上，有，即，得k＝2即＝2，于是，所以离心率，选C【考点】圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.2.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．3.已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标.试题解答：（1），又.（2）椭圆方程化为.（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（ⅱ），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4.已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）根据抛物线方程为，写出焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，把代入求得点的坐标，再由求得点的坐标；（2）设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，先求出的中点的坐标，再由，得出，用弦长公式表示，构造函数，用导数法求的面积的最大值.（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，所以或，由得或，（2）设直线的方程为，，，，由得，于是，所以，，所以的中点的坐标，由，所以，所以，因为，所以，由，，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，，令解得，，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积公式，平面向量的坐标运算.5.如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线方程为或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a和b的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明，解出k的值.（1）由题意，，即，，即 2分又得：∴椭圆的标准方程：． 5分(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为联立，解得或，不妨令，，所以对应的“椭点”坐标，．而所以此时以为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为消去得，设，则这两点的“椭点”坐标分别为由根与系数关系得： 9分若使得以为直径的圆过坐标原点，则而，∴即，即代入，解得：所以直线方程为或． 12分【考点】椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB 的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果＝t，求实数t的值．【答案】（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝【解析】(1)设椭圆C的方程为：(a＞b＞0)，则，解得a＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－＜x＜，且m≠0)．将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，所以S△AOB＝|m| ＝.解得m2＝或m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，又点P在椭圆上，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝.又因为t＞0，所以t＝2或t＝.7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．8.已知双曲线＝1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于()A．4B．2C．1D．【答案】A【解析】设双曲线左焦点为F1，由双曲线的定义知，|MF2|－|MF1|＝2a，即18－|MF1|＝10，所以|MF1|＝8．又ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF1|＝4，所以选A．9.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．10.如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．（1）求椭圆及圆的方程；（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）试问：，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.【解析】（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心，，所以圆的方程为（2）（ⅰ）本题关键分析出比值暗示的解题方向，由于点在轴上，所以，因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，联立，消去并整理得，，解得点,因此当且仅当时，取“=”，所以的最大值为．（ⅱ）求出点的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，所以、两点的横坐标之和为．试题解析：（1）由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为， 2分易得圆心，，所以圆的方程为．4分（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 6分联立，消去并整理得，，解得点，9分（ⅰ），当且仅当时，取“=”，所以的最大值为． 12分（ⅱ）直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 14分所以、两点的横坐标之和为．故、两点的横坐标之和为定值，该定值为． 16分【考点】椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． 【答案】（1）x ＝（2）（3）见解析【解析】(1)解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝，故所求点P 的轨迹为直线x ＝. (2)解：将x 1＝2，x 2＝分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M 、N.直线MTA的方程为，即y ＝x ＋1.直线NTB 的方程为，即y ＝x －.联立方程组，解得所以点T 的坐标为.(3)证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为，即y ＝(x ＋3)．直线NTB 的方程为，即y ＝(x －3)．分别与椭圆＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得 M、N(证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为，令y ＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)． (证法2)若x 1＝x 2，则由及m>0，得m ＝2，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m≠2.直线MD 的斜率k MD ＝，直线ND 的斜率k ND ＝，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)．12.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.13.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）试判断圆与轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在【解析】（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k 来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，则M点需满足，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.试题解析：解：（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即， 2分由，∴椭圆：. 4分（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分得：，∴. 6分得：，∴， 7分∴. 9分．设，，令，得．又，∴在单调递增，在单调递减. 11分∴当时，，即的最大值为. 13分法二：依题意射线的斜率存在，设，设 5分得：，∴. 6分= 9分.设，则.当且仅当即.法三：设点，，6分= . 7分又，设与联立得： . 9分令. 11分又点在第一象限，∴当时，取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.【考点】抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；（2）设圆M的半径为,连结，显然有根据椭圆的标准方程知,所以，从而找到符合条件的定圆.解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二：设，因为圆过原点，所以所以，所以，所以点于是点的坐标为或，易求圆的半径所以圆的方程为或 6分（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为 8分探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．（13分）【考点】1、椭圆的定义与标准方程；2、圆的定义与标准方程.5.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故对称中心的点坐标为（）；由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.【考点】双曲线的几何性质，直线方程，两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．8.已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。
2021届高三数学精准培优专练 圆锥曲线综合(文) 学生版
2021届高三精准培优专练例1：过双曲线221916x y -=的右焦点2F 作倾斜角为45的弦AB ，求：（1）弦AB 的中点C 到点2F 的距离； （2）弦AB 的长．例2：设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||1AF -． （1）求抛物线C 的方程；（2）已知经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，证明：11||||AF BF +为定值． 培优点 圆锥曲线综合一、弦长问题二、定值问题例3：已知两定点(2,0)A -，(2,0)B ，O 为坐标原点，动点P 满足：直线PA ，PB 的斜率之积为12-． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点(1,0)D -的直线l 与（1）中曲线C 交于M ，N 两点，求OMN △的面积的最大值．三、最值问题例4：已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点1(3,)2A ，且点(3,0)F 为其右焦点． （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l 与椭圆C 交于B ，D 两点，满足225OB OD ⋅=，且原点到直线l 的距离为3？ 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．四、存在性问题一、选择题1．已知经过椭圆2215x y +=的右焦点且与x 轴正方向成60︒的直线与椭圆交于A ，B 两点，则||AB =（ ） A ．51+ B ．10 C ．5 D ．10或51+ 2．已知双曲线221mx ny -=与直线12y x =+交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的 斜率为3，则m n的值是（ ） A ．3-B ．3C ．3-D ．3 3．等边三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22(0)y px p =>上，O 为坐标原点，则这个三角形的边长 为（ ） A ．3pB ．23pC ．43pD ．2p4．若过椭圆2212516x y +=上一点P 作圆22(3)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠的 最大值为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒5．已知双曲线22:14y C x -=，P 是双曲线C 上不同于顶点的动点，经过P 分别作曲线C 的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形OAPB ，则四边形OAPB 的面积是（ ） A ．2B ．1C ．5 D ．56．00(,)P x y 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一定点，A ，B 是C 上异于P 的两点，直线PA ，PB 的 斜率PA k ，PB k 满足PA PB k k λ+=(λ为常数，0λ≠)，且直线AB 的斜率存在，则直线AB 过定点对点增分集训（ ） A ．00022(,)x px y λλ--B ．0002(,)x x y λ--C ．00022(,)y px y λλ--D ．0002(,)y x y λ--二、填空题7．已知抛物线1C ：2(0)y ax a =>的焦点F 也是椭圆2C ：2221(0)4y x b b +=>的一个焦点，点M ，3(,1)2P 分别为曲线1C ，2C 上，则MP MF +的最小值为 ．8．若椭圆221(15)1015x y t t t +=>+-与双曲线221169x y -=在第一象限内有交点A ，且椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别是12,F F ，12120F F A ∠=︒，点P 是椭圆上任意一点，则12PF F △面积的最大值是___________．三、解答题9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点1)2P ，离心率是2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为11(,)22M ，求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积．10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，O 为坐标原点，A 、B 是抛物线C 上异于O 的两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线OA 、OB 的斜率之积为14-，求证：直线AB 过定点．11．如图，已知A ，B 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1x y C a b-=的公共顶点，且4AB =，两曲线离心率之积为4．M 为2C 上除顶点外一动点，AM 交椭圆1C 于点P ，点Q 与点P 关于x 轴对称．（1）求椭圆1C 的方程；（2）证明：存在实数λ，使MB BQ λ=．12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，P 是椭圆C 上的动点，当1260F PF ∠=︒时，12PF F △的面积为3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求1ABF △面积的最大值．例1：【答案】（1）8027；（2）1927．【解析】（1）双曲线的右焦点2(5,0)F ，直线AB 的方程为5y x =-．联立2251916y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得27903690x x +-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12907x x +=-，123697x x =-． 设弦AB 的中点C 的坐标为(,)x y ， 则124527x x x +==-，8057y x =-=-． 所以2224580802||(5)()777CF =++=． （2）由（1），知221212||(11)[()4]AB x x x x =++-2290369192(11)[()4()]777=+⨯--⨯-=． 例2：【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线1x =-的距离， 由抛物线的定义得12p=，即2p =． 故抛物线C 的方程为24y x =．（2）易知焦点F 的坐标为(1,0)，若直线l 的斜率不存在，即直线l 方程为1x =， 此时令(1,2)A ，(1,2)B -，∴11111||||22AF BF +=+=； 若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-，培优点十八 圆锥曲线综合 答案设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知1||1AF x =+，2||1BF x =+．由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得22222(2)0k x k x k -++=， 根据韦达定理得121x x =， 所以121212121212121222211111||||11(1)(1)12x x x x x x AF BF x x x x x x x x x x +++++++=+====++++++⋅+++， 综上可得，11||||AF BF +为定值． 例3：【答案】（1）221(0)2x y y +=≠；（2）2．【解析】（1）设点P 的坐标为(,)x y，则PA k =，PB k =，所以22122PA PBy k k x ⋅==--，化简得22220x y -+=， 所以所求轨迹方程是221(0)2x y y +=≠． （2）设直线l 的方程为1x my =-，联立曲线C 的方程得22(2)210m y my +--=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由韦达定理得12222m y y m +=+，12212y y m -=+， 所以OMN △的面积121||||2S OD y y =⋅-==，(1)t t =≥，则S t t==≤+， 上式当1t =即0m =时取等号，所以OMN △． 例4：【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析．【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则左焦点为(F '，在直角三角形AFF 'Rt △中，可求7||2AF '=，∴2||||42a AF AF a '=+=⇒=．又c =2221b a c =-=．故椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y kx m =+， 由原点到l223(1)m k ==+．联立方程2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=．则2216(2)02Δk k =->⇒>．设11(,)B x y ，22(,)D x y ，则122814mkx x k-+=+，21224(1)14m x x k -=+， 则22212121212211(1)22(1)()145k OB OD x x y y k x x mk x x m k +⋅=+=++++==+， 解得21(2,)k =∉+∞．当斜率不存在时，l的方程为x =112245OB OD ⋅=≠． 综上，不存在符合条件的直线．一、选择题 1．【答案】C【解析】由已知条件可知直线为2)y x =-，由222)15y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得21660550x x -+=，∴126016x x +=，125516x x =，∴12|||AB x x =-= 2．【答案】B【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y ，中点坐标00(,)A x y ，代入双曲线方程中，得到22111mx ny -=，22221mx ny -=，两式相减得到12121212()()()()m x x x x n y y y y -+=-+， 结合12122y y x x -=-，1202x x x +=，1202y y y +=，且002y x =，代入上面式子，得到mn=． 3．【答案】C【解析】∵抛物线22y px =关于x 轴对称，∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点， 另外两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，则A ，B 点关于x 轴对称， ∴直线OA 倾斜角为30︒OA方程为y x =．由22y x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩，得6x p y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴(6,)A p，(6,)B p -，∴||AB =，∴这个正三角形的边长为．4．【答案】B【解析】如图，因为椭圆2212516x y +=与圆22(3)1x y -+=关于x 轴对称，并且圆的圆心坐标(3,0)为 椭圆右焦点，所以过椭圆2212516x y +=上一点P 作圆22(3)1x y -+=的两条切线， 要使APB ∠的最大，则PC 取最小，所以P 为右端点．因为1AC =，2PC =，AC AP ⊥，所以260APB APC ∠=∠=︒．5．【答案】B【解析】设(,)P m n ，则2244m n -=，设PA 和渐近线2y x =平行，PB 和渐近线2y x =-平行， 由:2()PA y x m n =-+，:2()PB y x m n =--+， 且PA 和渐近线2y x =的距离为d =， 由2y x =和2()y x m n =--+，求得22(,)42m n m nB ++，可得|||2|OB m n =+，∴四边形OAPB 的面积是2211||2||4|4144d OB m n m n =+=-=⋅=． 6．【答案】C【解析】设2(,)2a A a p ，2(,)2b B b p ，则直线AB 的方程为222222b x y b p ba b a p p--=--， 整理得2p aby x b a b a=+++， 又00002222220000222222PA PB a y b y a y b y k k a b y y a b x x p p p p p pλ----+=+=+=----， 化简得0022p p a y b y λ+=++，则00022()2y p x ab p y b a b aλλ-=--++．则直线AB 的方程为000222[()]y p py x x y b a λλ=--+-+， 直线AB 过定点00022(,)y p x y λλ--．二、填空题 7．【答案】2【解析】由点3(,1)2P 在椭圆2C 上，且0b >，所以223()1214b b+=⇒=F 的坐标为(0,1)．又由抛物线1C 方程得1(0,)4F a ，所以11144a a =⇒=， 则211:4C y x =，由抛物线定义知MF 等于点M 到其准线:1l y =-的距离d ． 过点P 作准线:1l y =-的垂线3:2l x '=，则垂直3:2l x '=与抛物线211:4C y x =的交点即为所求M 点， 所以MP MF MP d +=+，其最小值为1(1)2--=．8．【答案】【解析】依题意有122510F F =⨯=，设2AF m =，18AF m =+， 由余弦定理得222(8)10210cos120m m m +=+-⋅⋅⋅︒，解得6m =．故对与椭圆来说12202AF AF a +==，10a ∴=，90t =，275b =，b ∴=椭圆方程为22110075x y +=．当p 为短轴上顶点时，面积取得最大值为1102⨯⨯=三、解答题9．【答案】（1）2214x y +=；（2）2532S =．【解析】（1）依题意可知c a =，223114a b+=，222c a b =-，解得2a =，1b =， ∴椭圆的方程为2214x y +=．（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，代入椭圆方程得221114x y +=，222214x y +=， 两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=，由中点坐标公式得121x x +=，121y y +=．∴121214AB y y k x x -==--，可得直线AB 的方程为111()242y x -=--． 令0x =，可得58y =；令0y =，可得52x =， 则直线l 与坐标轴围成的三角形面积为1552528232S =⨯⨯=． 10．【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点坐标为(1,0)， 所以12p=，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =． （2）证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设2(,)4t A t ，2(,)4t B t -，因为直线OA ，OB 的斜率之积为14-，所以2224161444t t t t t t --⋅=-，化简得264t =， 所以(16,)A t ，(16,)B t -，此时直线AB 的方程为16x =；②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx b =+，(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，联立得24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，化简得2440ky y b -+=，根据根与系数的关系得4A B b y y k =，因为直线OA ，OB 的斜率之积为14-，所以14A B A B y y x x =-⋅，即40A B A B x x y y +=，即224044A B A B y y y y ⋅+=，解得0A B y y =（舍去）或64A B y y =-， 所以464A B by y k==-，即16b k =-，所以16y kx k =-，即(16)y k x =-． 综上所述，直线AB 过x 轴上一定点(16,0)．11．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题可知2a =，则224⋅=，解得1b 2=， 所以椭圆1C 的方程为2214x y +=． （2）设00(,)M x y ，直线AM 的斜率为k ，∵(2,0)A -，(2,0)B ，双曲线方程为2214x y -=， ∴2000200012244AM BMy y y k k x x x ⋅=⋅==+--，所以14BM k k =， 联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=，所以22164(2)14P k x k -⋅-=+，即22814P k x k 2-=+，所以24(2)14P P ky k x k =+=+，则22241142824214P BQBM Pk y k k k k x k k +====---+， 所以M ，B ，Q 三点共线，即存在实数λ，使MB BQ λ=．12．【答案】（1）2212x y +=；（2）4．【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为椭圆C的离心率为2，所以2c a =．① 在12PF F △中，1260F PF ∠=︒， 由余弦定理，得222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==， 得222121212PF PF F F PF PF +-=，得22121212()3PF PF F F PF PF +-=，即2212(2)(2)3a c PF PF -=，所以21143PF PF b =， 所以12PF F △的面积212121sin 233S PF PF F PF =∠==， 所以21b =，即1b =，② 又222a b c =+，③由①②③，解得a =1b =，1c =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． （2）设直线AB 的方程为(2)y k x =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立得22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(12)8820k x k x k +++-=，由28160Δk =->，得212k <，根据韦达定理有212812k x x k 2+=-+，21228212k x x k -=+．由弦长公式，得12AB x =-== 又点1F 到直线AB的距离为d =所以11122ABFS AB d∆=⋅===261(1,4)t k=+∈，则216tk-=，所以1ABFS∆==4≤=4tt=，即2t=，k=所以1ABF△面积的最大值为4．。
圆锥曲线综合训练题(分专题-含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -=（2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． （2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 】解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+b y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程.解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-k y k x . ,由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为∴所求椭圆方程为1315422=+yx 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即（1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程． — 解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=，<即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=， 2224(1)40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去）， 又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ） e c a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即;则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] OP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. ,9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
2021届高三数学精准培优专练 圆锥曲线综合(文) 教师版
由
y
y2 4x k(x 1)
，得
k 2 x2
2(k 2
2)x
k2
0
，
x2 2 x1 x2 2 x1 x2 2 1 ， | AF | | BF | x1 1 x2 1 (x1 1)(x2 1) x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 2
| AF | | BF |
【答案】（1） y2 4x ；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x 1 的距离， 由抛物线的定义得 p 1，即 p 2 ．
2 故抛物线 C 的方程为 y2 4x ．
（2）易知焦点 F 的坐标为 (1, 0) ，若直线 l 的斜率不存在，即直线 l 方程为 x 1 ，
综上可得， 1 1 为定值． | AF | | BF |
三、最值问题 2
例 3：已知两定点 A( 2, 0) ，B( 2, 0) ，O 为坐标原点，动点 P 满足：直线 PA ，PB 的斜率之积为 1 ． 2
（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）设过点 D(1, 0) 的直线 l 与（1）中曲线 C 交于 M ， N 两点，求 △OMN 的面积的最大值．
故椭圆 C 的方程为 x2 y2 1． 4
（2）假设存在符合题意的直线 l ，其方程为 y kx m ，
由原点到 l 的距离为 3 ，得 | m | 3 m2 3(1 k 2 ) ． 1 k2
联立方程
x2
4
y2
1 ，得 (1
4k 2 )x2
8kmx
4(m2
1)
0．
y kx m
A． 5 1 4
【答案】C
B． 10 3
2021年新高考数学专题复习-圆锥曲线专项练习(含答案解析)
2021年新高考数学专题复习-圆锥曲线专项练习1．已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆Γ相交于两点M N 、，各点互不重合，且满足12PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值；（3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.2．已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1. （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点.3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且离心率2e =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 且不过点P 的直线l 交C 于,A B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，求直线l 的斜率k .4．如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点()10B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.5．已知双曲线C 的方程为：22186x y -=，其左右顶点分别为：1A ，2A ，一条垂直于x轴的直线交双曲线C 于1P ，2P 两点，直线11A P 与直线22A P 相交于点P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）过点)Q的直线，与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，试探讨ABMQ是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由. 6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(l 与x 轴不重合)，1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8. （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点T ，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T 的坐标；若不存在，请说明理由.7．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =10x +-=被以椭圆C . （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围.8．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：2y x a =+与抛物线C 交于A ，B 两点.（1）若1a =-，求FAB 的面积；（2）若抛物线C 上存在两个不同的点M ，N 关于直线l 对称，求a 的取值范围. 9．如图，直线l 与圆22:(1)1E x y ++=相切于点P ，与抛物线2:4C x y =相交于不同的两点,A B ，与y 轴相交于点(0,)(0)T t t >.（1）若T 是抛物线C 的焦点，求直线l 的方程；（2）若2||||||TE PA PB =⋅，求t 的值.10．在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，设动圆的圆心Q 的轨迹为曲线Γ. （Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点F 的两条直线1l 、2l 与曲线Γ相交于A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别为AB 、CD 的中点.设1l 与2l 的斜率依次为1k 、2k ，若121k k +=-，求证：直线MN 恒过定点.11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且直线1x y a b +=与圆222x y +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ﹐B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上．记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围． 12．已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为,F 点Р在抛物线E 上，点Р的横坐标为2,且2PF =.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若,A B 为抛物线E 上的两个动点(异于点P )，且AP AB ⊥，求点B 的横坐标的取值范围.13．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2=2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |=3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点G (-1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线.14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2.（∠）求椭圆C 的方程；（∠）设过定点()02T ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．参考答案1．（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【分析】（1）由题意，得到2b =和222(2)(2)2(2)a b c +=，结合222a b c =+，求得2a 的值，即可求得椭圆Γ的标准方程；（2）由直线l 的方程为1y x =-+，根据12PM MQ PN NQ λλ==，，求得12121211x x x x λλ==--，，得到121212112x xx x λλ++=-，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解；（3）设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，由1PM MQ ，得到111x m x λ=-和222xm xλ=-，联立方程组，结合根与系数的关系和123，求得2m =，得到直线l 的方程，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =， 设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列， 可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c +=又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =-+，可得而(01)(10)P Q ，，，，设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，， 从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，，可得(0,)(,0)P km Q m -，，由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，， 所以()111x x m λ=-，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-， 又123，∠212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=， 则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③∠代入∠得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∠2m =，(满足∠)故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 2．（1）24y x =；（2）证明见解析，定值1-；（3）证明见解析.【分析】（1）根据题意转化为动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，结合抛物线的定义，即可求得曲线C 的方程；（2）由:2(1)PA l y k x -=-和2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组，求得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合斜率公式，即可求解； （3）由：:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()222,22k k B k k ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭，求得2(2)22AB k k k k k -=-+，求得直线AB l 的方程，即可求解. 【详解】（1）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1，等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C 的轨迹时以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的方程，且2p =，所以曲线C 的方程为24y x =.（2）设直线PA 的斜率为k ，因为直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为k -，则:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:联立方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭联立方程组22(1)4y k x y x-=--⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k +--=，即()()2+420ky k y +-=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()22224242122ABk kk k k k k k k ----==-+--，即直线AB 的斜率为定值1-. （3）设直线PA 的斜率为k ，所以直线PB 的斜率为2k -， 则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--：两类方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 联立方程组()222(1)4y k x y x⎧-=--⎨=⎩，可得()22440k y y k --+=，即()()2220k y k y ---=⎡⎤⎣⎦，可得()222,22k k B k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭所以()()22222242(2)22222ABk kk k k k k k k k k k k ----==-+---， 所以()2222(2)2222AB k k k k l y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪ ⎪--+-⎝⎭:，整理得()2(2)122k k y x k k -=+-+ 所以直线AB 恒过()1,0-.3．（1）2212x y +=；（2. 【分析】（1）由题意可得222221112a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组即可求得,,a b c 的值，进而可得椭圆C 的标准方程；（2））设直线PA的方程为()112y k x -=-，()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立消元可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得1x ，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得2x ，再利用1212y y k x x -=-即可求得直线l 的斜率k .【详解】（1）因为1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，所以221112a b +=，又2c e a ==，222a b c =+，由上述方程联立可得22a =，21b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）设直线PA的方程为()112y k x -=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由122(1)12y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得： ())222111111222210k xk k x k +++--=，所以21112121112k x k --⨯=+，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得21122121112k x k +-⋅=+，因为2112214212k x x k -+=+，1122112x x k --=+，所以()111121112112121212222k x k k x k k x x k y y k x x x x x x ⎛-+--++ +--⎝⎭===---2242212k k k k --+=== 4．（1）22143x y+=（2）存在，(4)6y x =-或4)6y x =--．【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同. 【详解】（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =．因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =． 所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）存在直线2l 使得2DN DM =．方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=． 则21223234k x x k +=+， ① 2122641234k x x k-=+， ② 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 因为2DN DM =，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③把③代入①得21241634k x k +=+，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得6k =±，满足1122k -<<．所以直线2l的方程为：(4)6y x =-或4)6y x =--． 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-，(2,0)DM =-此时2DN DM ≠．因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)24360t y ty +++=． 由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t >，则1222434ty y t +=-+， ① 1223634y y t =+， ②因为2DN DM =，所以212y y =． ③把③代入①得12834t y t =-+，221634ty t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，t =±2t <-或2t >． 所以直线2l的方程为4)y x =-或4)y x =-． 5．（1）22186x y +；（2）为定值，4.【分析】（1）设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y，利用三点共线得到==，两式相乘化简得22022088y y x x =---，再利用点1P 在双曲线上代入整理即可得到答案；（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，易证4ABMQ=，②当0k ≠时，利用点斜式设出直线l 方程，联立直线l 与椭圆的方程消y ，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理以及弦长公式求出AB ，求出AB 的中点坐标，利用点斜式求出线段AB 的垂直平分线的方程，求出点M 的坐标，利用两点间的距离公式求解MQ ，即可得出答案. 【详解】（1）由题意知：()1A -，()2A ，设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y ， 由11,,A P P 三点以及22,,A P P 三点共线，则==，两式相乘化简得：22022088y y x x =---， 又2200186x y -=， 代入上式得轨迹E 的方程：22186x y +.（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，直线l 的方程为：0y =，线段AB 为椭圆的长轴，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，则AB =，()0,0M,MQ =所以4ABMQ=； ②当0k ≠时，设方程为：(y k x =，联立方程得(22186y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，化简整理得：()2222348240kxx k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，212221223482434x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，)2122143k AB x k +=-==+，线段AB的中点的坐标为222,3434P k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，线段AB的垂直平分线的方程为：22213434y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪ ⎪++⎝⎭， 令0y =，则M ⎫⎪⎪⎝⎭，)22134k MQ k +==+，∴4ABMQ=. 综上：4ABMQ=. 6．（1）22198x y ；（2）存在，坐标为(3,0)-和(3,0).【分析】（1）由1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8，可求椭圆基本量，进一步确定方程. （2）设直线代入消元，韦达定理整体代入定点满足的关系，探求恒成立的条件. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2(0)c c >，由题意可得412228a a c =⎧⎨+=⎩，解得31a c =⎧⎨=⎩，所以b =因此椭圆C 的方程为22198x y .（2）因为直线l 过点2(1,0)F 且不与x 轴重合，所以设l 的方程为1x my =+，联立方程221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()228916640m y my ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12212216896489m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以()1212218289x x m y y m +=++=+， ()()()2212121212272911189m x x my my m y y m y y m -+=++=+++=+. 设(,0)T t ，则直线TM 与TN 的斜率分别为11TM y k x t =-，22TN y k x t=-， 则()()1212TM TN y y k k x t x t ⋅=--()2122221212226489729188989y y m m x x t x x t t t m m -+==-+-++-⋅+++ ()222648729189t m t t -=-+-+.所以当28720t -=，即当3t =-时，m ∀∈R ，49TM TN k k ⋅=-； 当3t =时，m ∀∈R ，169TM TN k k ⋅=-. 因此，所有满足条件的T 的坐标为(3,0)-和(3,0).7．（1）2214x y +=；（2）2]3.【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得1b =.由椭圆的离心率可得2a =，则椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）当直线l 的斜率为0时，求出MA ，MB ，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 方程为4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程可得()2248120m y my +++=，满足题意时212m >，结合韦达定理以及弦长公式，化简整理，结合不等式的性质，据此即可所求范围. 【详解】（1）因为原点到直线10x +-=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =. 又22222314c b e a a ==-=，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=,所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >，所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y y +=+=+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<<.23λ<≤，即2]3.8．（12）12a <- 【分析】（1）联立直线与抛物线，根据弦长公式求出||AB ，根据点到直线的距离公式求出点F 到直线的距离，根据三角形面积公式可求得结果；（2）设直线MN 的方程为12y x m =-+代入抛物线，利用判别式大于0可得2m >-， 根据韦达定理求出MN 的中点坐标，将其代入直线l 得到m 与a 的关系式，根据m 的范围可得a 的范围. 【详解】抛物线C ：24y x =的焦点为F (1,0)，（1）当1a =-时，直线:21l y x =-，联立2214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得21204x x -+=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x +=，1214x x =，所以||AB ===点F 到直线:21l y x =-的距离d ==，所以FAB的面积为11||22AB d ==. （2）因为点M ，N 关于直线l 对称，所以直线MN 的斜率为12-， 所以可设直线MN 的方程为12y x m =-+， 联立2124y x m y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 并整理得22(416)40x m x m -++=， 由22(416)160m m ∆=+->，得2m >-，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，所以34416x x m +=+，所以343411()2(416)2822y y x x m m m +=-++=-⨯++=-， 所以MN 的中点为(28,4)m +-，因为点M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点(28,4)m +-在直线:2l y x a =+上，所以42(28)m a -=++，得420a m =--，因为2m >-，所以12a <-.9．（1）1y =+；（2）12. 【分析】（1）由(0,)(0)T t t >为抛物线焦点，即可设直线l 的方程为1y kx =+，根据直线l 与圆相切可求k 值，写出直线方程.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由直线上两点距离公式可知()()0022||||14PA PB kxy ⋅==+-，根据直线l 与圆相切、2||||||TE PA PB =⋅求0y ，切线性质：直线l 与PE 互相垂直及00t y kx =-即可求t 的值.【详解】（1）因为(0,)(0)T t t >是抛物线2:4C x y =的焦点，所以1t =，即(0,1)T ，设直线l 的方程为1y kx =+，由直线l 与圆E1=，即k =，所以，直线l的方程为1y =+.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx tx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx t --=，124x x k +=，124x x t ⋅=-，∴1020||||PA PB x x ⋅=-⋅-()()221201201kx xx x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()220014k x kx t ⎡⎤=+-+⎣⎦()()220014k x y =+-. 由直线l 与圆E1=，即221(1)k t +=+.由||1TE t =+，2||||||TE PA PB =⋅，得()()2220014(1)kxy t +-=+.所以20041x y -=，又()220011x y ++=，解得03y =-+.由直线l 与PE 互相垂直，得0011PE xk k y =-=-+， 200001i x t y kx y y =-=++220000001112x y y y y y ++-===++. 10．（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）设(,)Q x y，根据题意得到|1|x +=Γ的方程；（Ⅱ）设1l ，2l 的方程为12(1),(1)y k x y k x =-=-，联立方程组分别求得2121122,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，和2222222,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而得出MN k ，进而得出()111MN k k k =+，得出直线MN 的方程，即可判定直线MN 恒过定点. 【详解】（Ⅰ）由题意，设(,)Q x y ，因为圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，可得|1|x +=24y x =.（Ⅱ）设1l ，2l 的方程分别为1(1)y k x =-，2(1)y k x =-，联立方程组12(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得()2222111240k x k x k -++=， 所以21122124k x x k ++=，则2121122,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2222222,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 所以121222121222122222MNk k k k k k k k k k k -==+++-， 由121k k +=-，可得()111MN k k k =+，所以直线MN 的方程为()2111211221k y k k x k k ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭ 整理得()1121(1)y k k x +=+-，所以直线MN 恒过定点(1,2)-.11．（1）22163x y +=；（2）,33⎣⎦． 【分析】（1）依题意得到c a ==，再根据222c b a +=解方程即可；（2）由M 为线段AB 的中点，可得12OM S S OP=，对直线l 的斜率的斜率存在与否分两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，根据0OA OB ⋅=，即可得到12120x x y y +=，从而得到m 与k 的关系，即可求出面积比的取值范围； 【详解】解：（1）∵椭圆的离心率为2，∴2c a =（c 为半焦距）． ∵直线1x y a b+=与圆222x y +==．又∵222c b a +=，∴26a =，23b =．∴椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△． （ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，由OA OB ⊥及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22A x =．则22M x =，26P x =，∴123OM S S OP ==． （ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222214260k x kmx m ++-=＋． ∴()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22630k m -+>．∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+． ∵点O 在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=． ∴()()221212121210x x y y kx xkm x x m +=++++=． ∴()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭． 化简，得2222m k =＋．经检验满足0∆>成立．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭． 当0k =时，22m =．此时123S S ==． 当0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-．由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得2221221P k x k =+，22321P y k =+． ∴M P OM y OP y == ∴12S S ==12,33S S ⎛∈ ⎝⎭． 综上，12S S的取值范围为33⎣⎦．12．（1）24x y =；（2）[)(,)610--⋃∞+∞，. 【分析】()1由抛物线的定义可得022p y =-，再代入可求得p ，可得抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由直线垂直的条件建立关于点A 、B 的坐标的方程，由根的判别式可求得范围.【详解】解：()1依题意得0,,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭设()002,,22p P y y =-， 又点Р是E 上一点，所以4222p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =， 所以抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由题意知()2,1P ， 设221212,,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()2111114224APx k x x -==+-，因为12x ≠-，所以142AB k x =-+，AB 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立24x y =. 因为1x x ≠，得11(216(0))x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()224216)0(x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-经检验，当6x =-时，不满足题意.所以点B 的横坐标的取值范围是[)(,)610--⋃∞+∞，. 13．（1）y 2=4x ；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用抛物线定义，由|AF |=2+2p=3求解. （2）根据点A (2，m )在抛物线E 上，解得m ,不妨设A (2，)，直线AF 的方程为y(x -1)，联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，然后论证k G A +k G B =0即可 【详解】（1）由抛物线定义可得|AF |=2+2p=3，解得p =2. ∠抛物线E 的方程为y 2=4x .（2）∠点A (2，m )在抛物线E 上， ∠m 2=4×2，解得m，由抛物线的对称性，不妨设A (2，)，由A (2，，F (1，0)，∠直线AF 的方程为y (x -1)，由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 得2x 2-5x +2=0，解得x =2或12，∠B 1,2⎛ ⎝.又G (-1，0)，∠k G A =3，k G B =3-∠k G A +k G B =0， ∠∠AGF =∠BGF . ∠GF 为∠AGB 的平分线. 【点睛】关键点点睛：由GF 为∠AGB 的平分线，即∠AGF =∠BGF ，转化为 k G A +k G B =0结合韦达定理证明.14．（∠）23x +y 2＝1；（∠）11k ⎛⎫⎛∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 【分析】（∠）根据椭圆短轴长公式、离心率公式，结合椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；（∠）根据平面向量数量积公式，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】（∠）由已知得 2b ＝2，所以1b =，又因为c a =所以有：2223c a =，而222c a b =-， 解得23a =，即椭圆C 的方程为23x +y 2＝1．（∠）直线l 方程为y ＝kx +2，将其代入23x +y 2＝1，得（3k 2+1）x 2+12kx +9＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴△＝（12k ）2﹣36（1+3k 2）＞0，解得k 2＞1，由根与系数的关系，得x 1+x 2＝21213kk -+，x 1x 2＝2913k + ∵∠AOB 为锐角， ∴OA ⋅OB ＞0， ∴x 1x 2+y 1y 2＞0，∴x 1x 2+（kx 1+2）（kx 2+2）＞0， ∴（1+k 2）x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4＞0，化简得2213313k k -+＞0，解得2133k <，由21k >且2133k <，解得1133k ⎛⎫⎛∈--⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，．。
专题19 圆锥曲线综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题19 圆锥曲线综合【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |． 【答案】（1）3728y x =-；（2【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-．（2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =．323AP PB =【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）2y x =-y x =-（2）见解析. 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,)2-，所以AM 的方程为y x =+y x =． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠．综上，OMA OMB ∠=∠．【母题来源三】已知椭圆C ：22221()0x y a b a b +=>>，四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–12），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故C 的方程为2214x y +=．（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，2），（t，2-）．则121k k +==-，得2t =，不符合题设，从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）． 将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+． 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=．由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-， 当且仅当1m >-时0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．【命题意图】（1）了解椭圆或抛物线的实际背景，了解椭圆或抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆或抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解圆锥曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想. 【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. 【方法总结】（一）求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且. （二）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. （三）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． （3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（四）圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．【河北省保定市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知抛物线E ：28y x =，直线l ：4y kx =-. （1）若直线l 与抛物线E 相切，求直线l 的方程；（2）设(4,0)Q ，0k >，直线l 与抛物线E 交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，若存在点C ，使得四边形OACB 为平行四边形（O 为原点），且AC QC ⊥，求2x 的取值范围. 【答案】（1）142y x =--；（2）201)x <≤. 【解析】（1）由248y kx y x=-⎧⎨=⎩得228(1)160k x k x -++=， 由0k ≠及2264(1)640k k ∆=+-=，得12k =-. ∴所求的切线方程为142y x =--. （2）由248y kx y x=-⎧⎨=⎩得228(1)160k x k x -++=，2264(1)640,k k ∆=+->且0k ≠，12k ∴>-，1228(1),k x x k+∴+= ∴12128()8y y k x x k+=+-=， ∵四边形OACB 为平行四边形，1212=(,)OC OA OB x x y y ∴+=++28(1)8(,)k k k +=，即C 28(1)8(,)k k k+， ∵AC QC ⊥，0QC AC ∴⋅=，又222228(1)8(4,),(,)(,4)k QC AC OB x y x kx k k+=-===- 2228(1)8[4](4)0k QC AC x kx k k+∴⋅=-+-=，即2822k x k =++， ∵0k >，∴2821)x ≥=，当且仅当k =此时，201)x <≤.【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，根与系数关系的应用，也考查平行四边形的性质、数量积和不等式的运算，属于中档题. （1）由248y kx y x =-⎧⎨=⎩得228(1)160k x k x -++=，由题意得00k ≠⎧⎨∆=⎩，解出k 即可. （2）由四边形OACB 为平行四边形，得1212=(,)OC OA OB x x y y +=++，利用根与系数的关系得点C ，又由AC QC ⊥，0QC AC ⋅=，通过数量积和不等式的运算，求出2x 的范围即可.2．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试数学试题】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C，且离心率为2. （1）求椭圆E 的方程； （2）若直线1:3l y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，是否存在常数λ，使∠∠AMC ABC =⋅λ恒成立，并说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在. 【解析】（1）由题意知1b =，2c a =. 又因为222a b c =+，所以解得a =所以椭圆方程为2212x y +=.（2）存在常数λ，使∠∠AMC ABC =⋅λ恒成立. 理由如下：由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160k x kx +--=，且>0∆. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221221291816918k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，又因为()11,1CA x y =-，()22,1CB x y =-，()()()()2121212121212444161113339CA CB x x y y x x kx kx k x x k x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+--=+-++⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22216412161091839189k k k k k -=+-⋅+=++，所以CA CB ⊥.因为线段AB 的中点为M ，所以MC MB =， 所以2AMC ABC ∠=∠.所以存在常数2=λ，使∠∠AMC ABC =⋅λ恒成立.【名师点睛】本题主要考查求椭圆的方程以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程与椭圆的简单性质即可，属于常考题型.（1）根据题意得到1b =，2c a =，求出a = （2）先由题意判断出结果，再证明，联立直线与椭圆方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，根据根与系数的关系，以及向量数量积运算，得到0CA CB ⋅=，进而可得出结果.3．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学试题】已知△ABC 的周长为6，B ，C 关于原点对称，且(1,0)B -，点A 的轨迹为Γ. （1）求Γ的方程；（2）若(2,0)D -，直线l ：(1)(0)y k x k =-≠与Γ交于E ，F 两点，若1DE k ，k λ，1DFk 成等差数列，求λ的值.【答案】（1）()221243x y x +=≠±；（2）2. 【解析】（1）依题意，(1,0)B -，(1,0)C ，故2BC =， 则42AB AC BC +=>=，故点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），故Γ的方程为221(2)43x y x +=≠±.（2）依题意，112DE DF kk k ⋅=+λ，故2DE DFk kk k =+λ. 联立22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，整理得()22223484120k x k x k +-+-=. 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.故()()121222DE DF k x k x k kk k y y +++=+ ()()()()12122211k x k x k x k x ++=+--1233211x x =++-- ()()()121232211x x x x +-=+--()()1212123221x x x x x x +-=+-++222222832342412813434k k k kk k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--+++ ()2222238682412834k k k k k--=+--++2242=+==λ，则2=λ.【名师点睛】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力、推理论证能力. （1）由椭圆定义得轨迹方程即可； （2）依题意得112DE DF kk k ⋅=+λ，得2DE DF k k k k =+λ，联立22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩消去y ，整理()()121222DE DF k x k x k kk k y y +++=+结合根与系数关系得λ的值即可. 4．【安徽省泗县第一中学2019届高三高考最后一模数学试题】已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆上一点P的坐标为2⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1625. 【解析】（1）由已知c e a ==又222a b c =+，则2a b =.∴椭圆方程为222214x y b b +=，将)2代入方程得1b =，2a =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）不妨设直线AB 的方程为x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -⋅=+，①又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0)C ， ∴0CA CB ⋅=，由11(2,)CA x y =-，22(2,)CB x y =-得()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式得()()2212121(2)(2)0k y y k m y y m ++-++-=，将①代入上式求得65m =或2m =（舍）， 则直线l 恒过点6(,0)5D .∴1211||22△ABCS DC y y =-==， 设211(0)44t t k =<≤+，则△ABCS =1(0,]4t ∈上单调递增， 当14t =时，△ABC S 取得最大值1625.【名师点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆相交的弦长公式，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积最大值的求法，运算量较大，属于中档题.（1）将P 点坐标代入椭圆方程，结合椭圆的离心率列方程，解方程求得,a b 的值，由此求得椭圆方程. （2）设直线AB 的方程为x ky m =+，联立直线AB 的方程和椭圆的方程，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，写出根与系数关系，根据0CA CB ⋅=列方程，解方程求得m 的值.由此判断出直线l 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，由121||2△ABC S DC y y =-求得三角形面积的表达式，利用换元法，结合二次函数的单调性，求得三角形面积的最大值.5．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019()2222:10x y C a b a b+=>>过点2⎫⎪⎪⎭，,A B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，点P 在椭圆C 上且不与四个顶点重合． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线PA 与y 轴交于N ，直线PB 与x 轴交于M ，试探究AM BN ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）AM BN ⋅是定值，定值为4. 【解析】（1）由题意得：2222222112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2241a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）点P 不与四个顶点重合，∴直线,PA PB 的斜率存在且不为0，设()00,P x y ，且()2,0A ，()0,1B ，∴直线PA 的方程为：()0022y y x x =--，则0020,2y N x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 直线PB 的方程为：0011y y x x -=+，则00,01xM y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2200000000000000244448211222x y x y x y x y AM BN y x x y x y +++--∴⋅=+⋅+=----+，P 在椭圆上，220044x y ∴+=.0000000000000000844822442222x y x y x y x y AM BN x y x y x y x y +----+∴⋅==⨯=--+--+.4AM BN ∴⋅=，为定值.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题的求解.解决定值类问题的关键是将所求量利用变量进行表示，通过变量间的关系进行化简、消元，从而整理出所求的定值.（1）根据离心率、点⎭在椭圆上和222a b c =+建立方程组，解方程求得结果，从而得到椭圆方程；（2）设()00,P x y ，从而可得,PA PB 方程，求得,M N 的坐标，从而可得AM BN ⋅，根据点()00,P x y 在椭圆上得到220044x y +=，代入AM BN ⋅整理可得定值.6．【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学试题】如图，椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，直线n ：x ＝4与x 轴相交于点E ，点M 在直线n 上，且满足BM ∥x 轴．（1）当直线l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）证明：直线AM 经过线段EF 的中点． 【答案】（1）直线AM 的方程为y ＝－x ＋52或y ＝x －52；（2）见解析. 【解析】（1）由c＝1，得F (1，0)， ∵直线l 与x 轴垂直， ∴x ＝1，由221143x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：113322或x x y y ==⎧⎧⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩， 当点A 坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 坐标为34,2⎛⎫-⎪⎝⎭， 此时直线AM 的斜率为33()22114--=--，∴直线AM 的方程为31(1)2y x -=-⋅-，即y ＝－x ＋52；当点A 坐标为31,2⎛⎫-⎪⎝⎭，则点M 坐标为34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时直线AM 的斜率为33()22141--=-，∴直线AM 的方程为31(4)2y x -=⋅-，即y ＝x －52.故直线AM 的方程为y ＝－x ＋52或y ＝x －52.（2）当AB 直线方程为0y =时，直线BM 与x 轴重合，不满足题意；故可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得3(my ＋1)2＋4y 2＝12，即(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由根与系数关系可得，y 1＋y 2＝2634m m -+，y 1y 2＝2934m -+， ∵EF 的中点N 502，⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M (4，y 2)， ∴NA ＝11112533,,,,222x y my y NM y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵132my ⎛⎫- ⎪⎝⎭×y 2－32y 1＝my 1y 2－32(y 1＋y 2)＝2934m m -+－32×2634m m -+＝0. ∴∥NA NM ， 故A ，N ，M 三点共线，所以直线AM 经过线段EF 的中点.【名师点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系问题，直线与圆锥曲线问题常见解法是借助根与系数的关系，将多元问题转化为少元（单元）问题，属于中档题.（1）由直线l 与x 轴垂直，可得直线l 的方程，从而求解出点、A B 的坐标，由BM ∥x 轴可得M 点坐标，从而得出直线AM 的方程；（2）要证直线AM 经过线段EF 的中点N ，即证A ，N ，M 三点共线，即证∥NA NM ，设出、A B 两点，联立直线与椭圆的方程，借助根与系数关系，从而得证.7．【湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测（二模）数学试题】已知抛物线()2:20E y px p =>经过点()1,2A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线1x =对称. （1）求抛物线E 的方程及准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于、B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.【答案】（1）24y x =；准线方程为1x =-；（2）10x y +-=.【解析】（1）∵抛物线E 过点()1,2A ， ∴24p =，解得2p =，∴抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．（2）方法一：不妨设B 在C 的左边，从而可设直线AB 的方程为()12(0)x m y m -=->，即21x my m =-+，由2214x my m y x=-+⎧⎨=⎩消去x 整理得24840y my m -+-=． 设(),B B B x y ，则24B y m +=，故42B y m =-，∴2441B x m m =-+，∴点()2441,42B m m m -+-．又由条件得AB 与AC 的倾斜角互补，以m -代替点B 坐标中的m ， 可得点()2441,42C m m m ++--．∴BC ==，且BC 中点的横坐标为2412B Cx x m +=+， ∵以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，∴24112BC m ++==，解得2m =∴()32B -，()32C +-， ∴1BC k =-，∴直线BC 的方程为()(23y x -=--+，即10x y +-=．方法二：设()()1122,,,B x y C x y ， 因为直线12,l l 关于1x =对称， 所以AB 与AC 的倾斜角互补， 所以12122212121222224411221144AB AC y y y y k k y y x x y y ----+=+=+=+=--++--， 所以124y y +=-，所以1212221212124144BC y y y y k y y x x y y --====--+-． 设直线BC 的方程为y x m =-+，由24y x m y x=-+⎧⎨=⎩消去y 整理得()22240x m x m -++=， 所以2121224,x x m x x m +=+=，所以12BC x =-=BC 中点D 的横坐标为1222x x m +=+． 因为以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线1x =-相切， 所以12122BC x x ++=，即3m +=1m =，所以直线BC 的方程为1y x =-+，即10x y +-=．【名师点睛】由于在解答圆锥曲线问题中需要涉及大量的计算，所以在解题时要注意“设而不求”、“整体代换”等方法的利用，另外还应注意巧设直线的方程，以达到简化运算的目的，考查直线和圆锥曲线的位置关系及计算能力，属于中档题．（1）将点()1,2A 坐标代入曲线方程求出2p =，于是可得曲线方程．（2）方法一：由题意设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立消元后，根据根与系数的关系求出点B 的坐标，同理得到点C 的坐标，然后根据以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切可求得点,B C 中的参数，进而可得所求方程．方法二：由题意得AB 与AC 的倾斜角互补，由此可得1BC k =-，于是可设直线BC 的方程为y x m =-+，与曲线方程联立消元后，再根据题意求得参数m ，进而得到直线方程．8．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学试题】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F与椭圆22143x y +=的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M .（1）求抛物线的标准方程； （2）求AB MF的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）2.【解析】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为()1,0， ∴抛物线的焦点为()1,0F ， ∴2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =.（2）①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时，易得：24AB p ==，2MF =，2AB MF=.②当动弦AB 所在直线的斜率存在时，易知AB 的斜率不为0. 设AB 所在直线方程为()1y k x =-，且()11,A x y ，()22,B x y .联立方程：()241y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222220k x k x k -++=，∴()212222k x x k ++=，121x x ⋅=，()21610k ∆=+>，∴12AB x =-=()2241k k +=. ∵FM 所在的直线方程为()11y x k =--，联立方程()111y x kx ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，得点21,M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴MF ==∴()22412kABMF+==>，综上所述：ABMF的最小值为2.【名师点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．。
圆锥曲线专项训练 高三数学解析几何专项训练(含例题答案) 高三数学解析几何专
心尺引州丑巴孔市中潭学校第十二章 圆锥曲线专项训练【例题精选】： 例1：一圆过点p x y (,)2110---=和直线相切，圆心在直线y x =-2上，解：设圆方程为()(),x a y b r -+-=222由例2：一动点在圆x y 221+=上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点的轨迹的方程是 。
分析：设点M()''x y ,为圆x y 221+=上一动点，P (x , y )为MA 的中点〔如图12-1〕小结：以上两例分别用待定系数法，轨迹法，这是求曲线方程常用的方法。
例3：圆xy x y x y 222430102+++-=++=上到直线的距离为的点共〔A 〕1个 〔B 〕2个〔C 〕3个〔D 〕4个答案：C分析：将圆方程化为()()xy +++=12822， 此圆的圆心半径(,),--=1222r又圆的半径r =22，如图12-2，圆到直线x y ++=10距离是2的点有M 、N 、P 、三个，应选C小结：此题是用数形结合法，数形结合要在结合上下功夫，通过画图建立几何直观，通过计算对数量关系的分析，才能准确判断满足条件的点有3个。
例4：圆xy 228+=及定点P (4,0)，问过点P 的直线倾斜角在什么范围内取值时，该直线与圆相交？相切？并求出切线方程。
解：设点P (4,0)的直线l 的方程为y k x =-()4即kx y k --=40，圆心O 到直线l 的距离直线l 与圆相交⇔+<-<<4122112k k k ,解得，直线l 与圆相切⇔+==±==412214342k k k ,,,解得倾斜角或切线方θπθπ当斜率k 不存在时，θπ==+=24822,直线为与x x y 相离。
小结：此题是直线与圆的位置关系的典型题，由于平面几何对圆的性质进行研究，因此解这类题用“几何法〞较好，这种方法是通过圆心到直线的距离与半径的大小关系求解。