人教版初三数学上册实际问题中的二次函数的最值问题
人教版九年级上册数学实际问题与二次函数最值问题课件
t h=30t-5t2
0 1 234 5 6
00 25 40 45 40 25 0
人 教 版 九 年 级上册 数学 2 2.3 实 际问 题与二 次函数 （1）最 值问题 课 件
人 教 版 九 年 级上册 数学 2 2.3 实 际问 题与二 次函数 （1）最 值问题 课 件
h 30t 5t2 0 t 6
人 教 版 九 年 级上册 数学 2 2.3 实 际问 题与二 次函数 （1）最 值问题 课 件
人 教 版 九 年 级上册 数学 2 2.3 实 际问 题与二 次函数 （1）最 值问题 课 件
三、研学教材
• 分析：
• 画出 h 30t 5t2 0 t 6 的图象，借助函数
图象解决实际问题：
• 3、已知当x＝1时，二次函数有最大值为5 ，且图象过点(0，－3)，此函数关系式
是 y=-8(x-1)2+5
。
人 教 版 九 年 级上册 数学 2 2.3 实 际问 题与二 次函数 （1）最 值问题 课 件
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人 教 版 九 年 级上册 数学 2 2.3 实 际问 题与二 次函数 （1）最 值问题 课 件
人 教 版 九 年 级上册 数学 2 2.3 实 际问 题与二 次函数 （1）最 值问题 课 件
从函数的图象看是一条抛物线的一部分可 以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象 的 最高 点，也就是说，当t取顶点的横坐 标时，这个函数有最 大 值
实际问题与二次函数
（1）最值问题
教学目标：
1．经历探索实际问题中两个变量的变化过程， 使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路．
人教版数学九年级上册实际问题与二次函数——利润最大(小)值问题课件
即房价为180+170=350时，利润 y 有最大值。
分析题目的两个变量
解：设房租涨价10x元，则利润为y元，
y写 出(18函0 数10关x)系(50式 x) 20(50 x) (0 x 5写0)出等量关系
利润=房价×入住数量—支出
9000180x 500x 10x2 1000 20x
三、总结提升
实际问题
目 标
实际问题 的答案
归纳
二次函数
抽象
y ax2 bx c
图象 性质
利用二次函数的 图像和性质求解
变式1 原条件不变，旅游局为了促进低碳 环保，规定宾馆空房率不能超过20%，房 价定为多少的时候，利润最大？
y (18010x)(50 x) 20(50 x) (0 x 10) y
本题是以文字信息情势出现，求最大 利润的实际应用问题，要抓住题目中的关 键词来审题，对信息进行梳理、分析 。
二、解题过程
问题一：题目研究的是哪两个变量的关系？ （利润随房价的变化而变化）
问题二：能根据题意列出等量关系吗？
（利润=房价×入住数量—支出） 问题三：等量关系中各数据关系是什么？
房价=180+涨价 入住数量=涨10元空一间 支出=20 ×入住数量
x 设涨价 元，利润为 y 元.
y (180 x)(50 x ) 20(50 x ) 0 x 50
10
10
9000 1 x2 32x 1000 2x
1
10
x2 34x 8000
10
当 x b 34 170 时，利润y 有最大值。
2a 2 ( 1 ) 10
一、题目分析
四、自我评价
1、数学教育要使学生掌握现代生活和学习中 所需要的数学知识与技能。题目的解决体现 了知识对日常生活的重大作用，学生对数学 知识实用性的有更深一层认识。
二次函数与实际问题之最值问题课件人教版九年级数学上册
9 4
壹 抛物线最值问题
例1
求下列函数的最大值与最小值： y x2 3x 2 (3 x 1)
x3
2y
解：y (x 3)2 2 9
2
4
①先配方为顶点式
−3
1
0x
y (x 3)2 4 1 24
②画图，开口和顶点
3 3 1
③对称轴在范围内，则对应y值为一个最值
2
当x 3
2
ym2．（1）求y与x之间的函数关系式h和自变量的取值范
围？（2）当x为何值时，绿化带的面积最大？
解：（1）∵BC=xm，∴AB=40 x m.
2
∴y=
40 2
x
x
1 2
x2
20x(0
x
25).
(2)y= 1 x2 20x 1 x 202 200.
2
2
∵0＜x≤25，
∴当x=20时，绿化带的面积取得最大值，最大值为200 m2.
2
∵x＞0，6 3x ＞0 ∴0＜x＜2.
2
∴y x 6 3x 即
2
∴当x=1时，y最大值=
6
y 3x
3( 2
1.5.
x
1)2
3 2
.
x
2
∴矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，最大面积是1.5 m2.
课堂练习
1.二次函数y=(x+1)2−2的最小值是（ A ）
A．−2 B．−1 C．1
D．2
2.二次函数y=−2x2−4x+3（x≤−2）的最大值___3_____.
3.已知直角三角形的两直角边之和为8，则该三角形 的面积的最大值是___8_____.
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩
人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数(几何面积最值问题)课件
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并 求出这个费用.
解：(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形 面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
.
b 2a
时，二次函数有最小
考点探究 利用二次函数求几何图形的面积的最值
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面 积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场 地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
4
1 2
x(1
x
)
2
x
1 2
2
1 2
(0
x 1)
当x 12时, y有最小值12.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅
栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．
解： 矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为（60 l）m.
l
场地的面积
2
S=l(30-l)
S
即S=-l2+30l (0<l<30)
因此，当
l
b 2a
30 2 (ห้องสมุดไป่ตู้)
数学人教版九年级上册实际问题中的二次函数的最值问题
数学人教版九年级上册实际问题中的二次函数的最值问题教学目标1、知识目标让学生重拾二次函数的一些基本性质，能够利用性质画出草图找到二次函数的最值。
将二次函数最值问题运用到实际问题中。
掌握基本的实际的最值问题解决步骤和方法。
2、情感态度目标在实际问题的解决中形成解题思路和方法，能够巧妙利用学的二次函数性质解决实际问题，从中提高学生分析问题解决问题的能力。
教学重难点1、重点二次函数的基本性质，把二次函数最值思想运用到实际问题中2、难点在解决实际二次函数最值问题时建立二次函数关系课前准备1、将需要的一些知识清单和解题思路列出来发给学生。
2、把要画二次函数需要的直角坐标系提前画到黑板上。
教学设计过程一、复习引入1.复习填写下列空格回忆有关二次函数的基本性质二次函数y=a某2+b某+c(a≠0)①开口方向:当a>0时,______,当a<0时,_____;②顶点坐标是(___,___)③对称轴是直线_____;④函数的最大值或最小值:当a>0,某=___时,y有最___值,为y=____;当a<0,某=____时,y有最__值,为y=____。
发课前准备的知识清单，让学生快速填写，点学生回答，对照ppt所给的答更改自己的错误。
让学生在填写知识清单时形成二次函数性质的知识框架。
2.画出草图，找到最值点，说出最值:①y=某-2某+32②y=－2某+4某-92根据回忆的知识画出给出的两个二次函数的图，并利用图说出最值点。
分别请学生上台画出草图。
3.加入给定某的取值范围找出二次函数的最值，同样是利用图形引导找到最值。
请学生上台画出较准确的图。
比较ppt所给的解答过程重点强调某取值范围最最值上起到的作用。
已知二次函数y=2某2-4某-3，若-1≤某≤5，求y的最大值和最小值。
二、知识结合探究1、在实际问题中有很多和二次函数有关，而且都会解决最大值和最小值问题。
给出实际问题和二次函数有关的图片。
人教版初三数学上册利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题
人教版初中数学九年级上册 22.3 实际问题与二次函数（第1课时）【教学目标】【重点】 探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题的方法. 【难点】 1、读懂题意，找出相关的数量关系，正确构建数学模型。
2、理解与应用函数图像顶点、端点与最值的关系。
【教学过程】一、情景导入，初步认识问题1: 从地面竖直向上抛出一个铅球，铅球的高度y （单位：m ）与铅球的运动时间x （单位：s ）之间的关系是y =30x -5x ²（0≤x ≤6）。
铅球运动的时间是多少时，铅球最高？铅球运动中的最大高度是多少？师生活动：教师提出问题，学生尝试回答。
（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这个抛物线的顶点是否是铅球运动的最高点？ （3）铅球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为铅球运行轨迹的顶点坐标是什么？ 师生活动：教师追问：如何求出球的最大高度呢？ 学生回答：当x =3时 y 最大=45设计意图：通过追问为学生提供解决此类问题的思路，让学生在问题解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系。
二、结合问题 ，拓展一般问题 2 对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如何求出它的最小（大）值呢？当a ﹥0时，函数图像开口向上，y 取最小值。
当a ﹤0时，函数图像开口向下，y 取最大值。
设计意图：让学生得出求二次函数的最小（大）值的结论，体会由特殊到一般的思想方法。
三、 类比引入 ， 探究问题2b x a =-当时，244ac b y a-有最小（大）值为．问题：如图，用总长为24米的篱笆，围成长方形养鸡场.设养鸡场的长BC 为x 米，面积为y 平方米. 试问：(1)求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围？ (2)x 取何值时所围成的面积最大，最大值是多少？师生活动:教师引导学生整理上面解决问题的一般步骤，分析出利用二次函数解决实际问题的一般方法，学生思考后回答，然后师生共同总结。
数学人教版九年级上册二次函数最值问题
二次函数（专题二）：最值和特殊几何图形存在性问题一．二次函数中几何图形最值问题（线段长度和与差、三角形或四边形的周长和面积等）例1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.练习.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，已知抛物线的对称轴为x＝1，B（3，0），C（0，-3）。
（1）求抛物线的解析式。
（2）在对称轴上是否存在一点P，使得点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若线段MN的中点到x轴的距离刚好等于的MN长的一半，求此这条直线的解析式。
二．二次函数中特殊几何图形问题（直角三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形等）例1.已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)，设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点，问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形，如果存在求m;若不存在说明理由。
练习.一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．(1)若m为常数，求抛物线的解析式；(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．例2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．（1）求抛物线的解析式．（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t 的取值范围．②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．练习.已知抛物线y=x 2－2x+a （a＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线y=0.5x－a 分别与x 轴，y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线AM 相交于点N.(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M (,),N (,)；(2)如图，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P,A,C,N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.三．二次函数的图像和性质的综合运用例1.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D，交y 轴于C.（1）求该抛物线的解析式。
数学人教版九年级上册二次函数最值问题
试判断函数y 3 x 2 4的顶点坐标
2
并判断当x为何值时抛物线的最值是多少
y
2
o -4
x
(2,-4)
当x 2时抛物线有最小值为-4
试判断函数y 3 x 2 4的顶点坐标
2
并判断当x为何值时抛物线的最值是多少
y
(-2,4)
在下列取值范围内求出函数 y=-2(x-10)2+200 的最大值和最小值
y
① (
② (
0《 x《15
0 《 x《 5 x《 20
) 对称轴在取值范围内
) 对称轴不在取值范围内
200 150 o
③ (15《
5 10 15 20
x
)
当函数有自变量取值范限定时，此时图象就是抛物线的一部分， 就有可能同时有最大值和最小值。
3.根据对称轴和取值范围确定二次函数的最值。
数形结合和分类讨论的方法可以帮助我们求出二次函数的最值
努力造就实力
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
态度决定高度
o
x
y
x
B
解：由题意得：y=x· (40-2x) y= - 2 x2+40x y=-2(x-10)2+200
( 5《 x《 20 )
o5 10 15 20
x
用
小区居民要在一块一边靠墙（墙长18米）的空地上修建一个矩 形花坛ABCD，花坛的一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成， 设AB边长为x米，长方形的面积为y平方米 （1）求y和x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. （2）当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
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实际运用中的二次函数的最值问题
教学目标
1、知识目标让学生重拾二次函数的一些基本性质，能够利用性质画
出草图找到二次函数的最值。
将二次函数最值问题运用到实际问题中。
掌握基本的实际的最值问题解决步骤和方法。
2、情感态度目标在实际问题的解决中形成解题思路和方法，能够
巧妙利用学的二次函数性质解决实际问题，从中提高学生分析问题解决问题的能力。
教学重难点
1、重点二次函数的基本性质，把二次函数最值思想运用到实际问
题中
2、难点在解决实际二次函数最值问题时建立二次函数关系
课前准备
1、将需要的一些知识清单和解题思路列出来发给学生。
2、把要画二次函数需要的直角坐标系提前画到黑板上。
教学设计过程
一、复习引入
1.复习填写下列空格回忆有关二次函数的基本性质
二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)
①开口方向:当a>0时,______,当a<0时,_____;
②顶点坐标是( ___ , ___ )
③对称轴是直线_____;
④函数的最大值或最小值:
当a>0,x=___时,y有最___值,为y=____;
当a<0,x=____时,y有最__值,为y=____。
发课前准备的知识清单，让学生快速填写，点学生回答，对照ppt所给的答更改自己的错误。
让学生在填写知识清单时形成二次函数性质的知识框架。
2.画出草图，找到最值点，说出最值:
①y=x2-2x+3②y=－2x2+4x-9
根据回忆的知识画出给出的两个二次函数的图，并利用图说出最值点。
分别请学生上台画出草图。
3.加入给定x的取值范围找出二次函数的最值，同样是利用图形引导找到最值。
请学生上台画出较准确的图。
比较ppt所给的解答过程重点强调x取值范围最最值上起到的作用。
已知二次函数y=2x²-4x-3，若-1≤X≤5，求y的最大值和最小值。
二、知识结合探究
1、在实际问题中有很多和二次函数有关，而且都会解决最大值和最小值问题。
给出实际问题和二次函数有关的图片。
让学生觉得生活中的二次函数无处不在。
马上给出一个实际的问题，引导学生构建二次函数模型，并利用二次函数解决实际是问题的最值问题。
问题1：要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，
怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?
2、从问题中总结和发现解题步骤和方法
回顾解题过程，讨论、交流，归纳解决实际问题的解题步骤有哪些？需要注意哪些问题？
引导学生回忆我们的解题给思路和步骤，从ppt上给出解题步骤和注意点。
3、学以致用，让学生分组讨论，试试自己能否利用所学知识解决实际问题
首先让学生注意审题，大家齐读两遍加深对题目的理解。
某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有一间客房空闲。
如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价增加多少时利润最大？
引导学生完成知识清单第三部分的提示从而得到解题思路。
设定价增加x元（x的取值范围），y为利润，则
客房的入住量可表示为
每间客房的利润可表示为
所获得的总利润y= 用含x的式子表示。
通过学生的分析最终说出解题过程，老师在评价学生解题过程中提出容易忽视的x的取值范围。
三、小结
让学生自由发言，回想自己“我学了什么，我学到了什么，我还有待
加强什么”。
四、中考链接
给出一个实际的二次函数最值问题，让学生课后思考，拓展知识面。
五、作业。