3.2 离散傅里叶变换的基本性质
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
离散傅里叶变换性质
X [m] X [ N m]
实序列 实部周期偶对称，虚部 周期奇对称
当x[k]是实序列周期偶对称时：X [m] X [ N m]
实序列，周期偶对称 实序列，周期偶对称
当x[k]是实序列周期奇对称时： X [m] X [ N m]
实序列，周期奇对称 纯虚序列，周期奇对称
第2章 离散傅里叶变换(DFT)
问题的提出
有限长序列的傅里叶分析
离散傅里叶变换的性质 利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
2. 循环位移
3. 对称性 4. 序列的循环卷积 5. 序列DFT与z变换的关系
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
X1[m] DFTx1[k ]
k
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x[(k 2) 5 ]R N [k ]
k
0 1 2 3 4
DFT时域循环位移特性
mn ~ ~ DFS {x[k n]} WN X [m]
DFTx[( k n) N ]RN [k ]
mn WN X [m]
时域的循环位移对应频域的相移
DFT{ x [k ]} X [(m)N ]RN [m] X [ N m]
时域共轭 频域周期共轭 ~ DFT{x [(k ) N ]RN [k ]} X [m] 时域周期共轭 频域共轭
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
3. 对称性 (symmetry)
当x[k]是实序列时：
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
序列的循环卷积步骤： （1）补零
（2）周期延拓
离散傅里叶变换(DFT)
sin( k ) 2 , k 0,1, ,7 sin( k ) 8
kn 16
设变换区间N=16， 则
X (k ) x(n)W
n 0
15
e
N 0
3
j
2 kn 16
e
3 j k 16
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16
具体而言，即：
(1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓
(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓 (3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值 区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。
（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同 周期序列）
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (1)周期序列的主值区间与主值序列
DFT 矩阵方程为:X WN x 即: 1 X (0) 1 X (1) 1 WN 1 WN 2 X (2) ＝ 1 ( N 1) X ( N 1) 1 W N 1 WN 2 WN 4 WN 2( N 1)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
一. 引言
3.1 离散傅里叶变换的定义
我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信 号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号 处理领域中重要的数学变换。本章讨论离散傅里叶变换 (DFT)，其开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可 以在频域进行。DFT存在快速算法，使信号的实时处理得 以实现。DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理 中也起着核心作用。
离散傅里叶变换(DFT)
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) = x(( n)) N 将
~
x(n) = x((n)) N 左移m位得到 x(n + m)
(3.2.4)
例： ( n) = 3e n , o ≤ n ≤ 15 ，求 f ( n) = x(( n + 5))15 R15 (n) x
的16点离散傅立叶变换DFT。
N=16; n=0:N-1; xn=3*exp(n); m=5; fn=xn(mod((n+m),N)+1); XK=fft(xn, N); subplot(2, 2, 1); stem(n,xn); subplot(2, 2, 2); stem(n,abs(XK)); FK=fft(fn,N); subplot(2, 2, 3); stem(n,fn); subplot(2, 2, 4); stem(n,abs(FK));
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x (n ) =
~
~
m =∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x ( n ) RN (n )
~
~
主值区间：周期序列 x( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
~
主值序列：而主值区间上的序列称为 x( n) 的主值序列。
m
~2 m )) N) R x 2 (( (( m )) N ( n ) x (m x
2
《离散傅里叶变换-第三章》
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
离散傅里叶变换(DFT)
课程名称：数字信号处理 （Digital Signal Processing）课程性质: 专业基础课 授课专业: 计算机科学与技术、自动化第3章 离散傅里叶变换（DFT）电子与信息工程学院 金海红数字信号处理引 言DFT: Discrete Fourier Transform 离散傅里叶变换是有限长序列的离散频域表示，不 仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用 计算机处理。
但是，直至上个世纪六十年代，由于 数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的 计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应 用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现 出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于 各种数字信号处理系统中。
2数字信号处理引 言Fourier Fourier变换的几种可能形式 变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换3数字信号处理1、连续时间、连续频率—傅里叶变换定义X ( jΩ) = ∫ x(t )e − jΩt dt−∞ ∞ ∞1 x(t ) = 2π∫−∞X ( jΩ)e jΩt d Ω结论： z 时域连续函数造成频域是非周期的谱 z 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数4数字信号处理2、连续时间、离散频率—傅里叶级数 义定1 T0 / 2 − jk Ω0t X ( jk Ω0 ) = ∫ x(t )e dt − T / 2 T0 0 x(t ) =k =−∞∑∞X ( jk Ω0 )e jk Ω0t结论： z 时域连续函数造成频域是非周期的谱 z 频域的离散对应时域是周期函数。
5数字信号处理3、离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换定义X (e jω ) = 1 x ( n) = 2πn =−∞∑π−∞x(n)e − jωn X (e jω )e jωn dω∫π结论： z 时域的离散化造成频域的周期延拓 z 时域的非周期对应于频域的连续6数字信号处理4、离散时间、离散频率—离散傅里叶变换定义N −1 −j2π nk N 2π nk NX ( k ) = ∑ x ( n)e 1 x(n) = Nn =0 N −1 k =0∑ X ( k )ej结论： 一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离 散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的7数字信号处理四种傅里叶变换形式的归纳频率函数非周期和连续 非周期和离散(Ω0=2π/T0) 周期(Ωs=2π/T)和连续 周期(Ωs=2π/T)和 离散(Ω0=2π/T0)8时间函数连续和非周期 连续和周期(T0) 离散(T)和非周期 离散(T)和周期(T0)数字信号处理Contents1. 2. 3. 4.离散傅里叶变换（DFT）的定义 离散傅里叶变换（DFT）的基本性质 频率域采样 DFT的应用举例9数字信号处理3.1离散傅里叶变换的定义1. 1.余数运算表达式 余数运算表达式预备知识如果n = n1 + mN ，0 ≤ n1 ≤ N − 1 ，m为整数；则( (n ) )N= ( n1 ) ，此运算符表示 n 被 N 除，商为 m，余数为 n1 。
离散傅立叶变换
（2）x(n)的4点DFT
X 1 (k ) x(n)W
n 0 3 kn 4
W
n 0
3
kn 4
4, 0,
k 0 k 1, 2, 3
9
（3）x(n)的8点DFT
X 2 (k ) x(n)W8kn W8kn e
n 0 7 3
3 j
2 kn 81610例题 Nhomakorabea图形显示
从图可见，同一 序列不同点数的 DFT是不相同的。 比较可以发现， 对原序列尾部补 零后增加的谱线 只是有规律地插 在频谱的一个周 期内。
11
DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系
设序列x(n)的长度为N，其Z变换、傅里叶变换和DFT分别为
X ( z ) Z [ x(n)] x(n) z n
X (k ) X ( z) z W k e j 2k / N
N
0≤k≤ N-1 0≤k≤ N-1
X (k ) X (e jw ) w 2k / N
第一式表明，序列x(n)的N点DFT相当于是在x(n)
的z变换的单位圆上进行N点等间隔取样，同时第 一个取样点应取在z= 1处。 第二式说明，X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区 间[0，2π]上的N点等间隔取样。
m 0
N 1
23
循环卷积定理证明
证明
X (k ) DFT [ x(n)]
kn x1 (m) x2 (( n m)) N RN (n)WN n 0 m 0
N 1 N 1
kn x1 (m) x 2 (( n m)) N WN m 0 n 0
N 1
数字信号处理第3章 离散傅里叶变换(DFT)
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1(3.2.1)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
其中 XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］
(3.2.17)
X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)+jXI(k) (3.2.18)
jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］
设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT［x(n)］，则
(1) X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1 (2) 如果 x(n)=x(N-m) 则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3.2.19)
如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点
数N≥M时， 才有
xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时 域混叠现象。 这就是频域采样定理。
下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内
插函数。设序列x(n)长度为M，在频域0~2π之间等间隔 采样N点，N≥M，则有
的值。
图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对
称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对 称分量和共轭反对称分量之和，即
x(n)=xep(n)+xop(n)
0≤n≤N-1
(3.2.11)
(3.2.13) (3.2.14)
离散傅里叶变换及其性质
离散傅⾥叶变换及其性质1 ⼀维与⼆维离散傅⾥叶变换以周期对函数 f(t) 采样可表⽰为，对采样函数进⾏傅⾥叶变换得，整理得。
由于对函数 f(t) 的采样周期为，采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期为，同样的，也是采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期，只是这个周期不是以原点对称的。
在区间中取 M 个点，则第 m 个点的频率为，带⼊公式得，其中，为连续函数 f(t) 对应的 M 个离散值，为取样函数的傅⾥叶变换对应的 M 个离散值，整理公式得（由于函数仅在 [0,M-1] 上有⾮零值，故真实求和区间为 [0,M-1]）。
因此，⼀维离散傅⾥叶变换对为，。
类似的，⼆维离散傅⾥叶变换对为，。
2 傅⾥叶变换的性质1）傅⾥叶变换平移特性，⽤指数项乘以 f(t) 使得傅⾥叶变换后原点移动到处，使⽤负指数乘以使得反傅⾥叶变换后原点移动到处，证明如下：，使⽤替换得，因此有，类似推导可得。
将平移特性扩展到⼆维离散变量上有。
2）离散傅⾥叶变换⼀定具有周期特性，因为离散傅⾥叶变换的频率取值在区间内，有限频率导致必然具有周期性，连续傅⾥叶变换频率取值为⽆穷⼤，所以连续傅⾥叶变换⼀般不具有周期性（但也有所有频率都⼀样的函数）。
离散傅⾥叶变换周期性可表⽰为。
观察公式 或，发现频率取值在之间，⽽⼀个完整的频率应该在之间，如下图：如果直接应⽤公式进⾏傅⾥叶变换，得到的频率为 [0,M-1]区间，这是两个半周期组成的⼀个周期。
在图像中则表现为低频信号分布在4个⾓落，这显然不便于观察频率信息。
结合傅⾥叶变换的平移特性，可以将原函数乘以⼀个正指数项，使得平移后傅⾥叶变换再 [0,M-1]区间正好是⼀个完整的周期。
将原函数平移 M/2 可以实现该⽬标，具体分析如下： 原函数平移 M/2 得 ，由于 x 为⾮负整数，,最终得到。
对于⼆维离散变量有相似结论 。
3）原函数（⼆维及以上）旋转⼀定⾓度，其傅⾥叶变换也旋转对应⾓度。
令 为原函数变量的列向量， 为傅⾥叶变换函数变量的列向量，对的傅⾥叶变换可表⽰为，对 旋转⼀定⾓度可表⽰为，其中 R 为旋转矩阵，对 的傅⾥叶变换可表⽰为 ，由 得 ，并将其带⼊上式得，由于，因此 ，使得傅⾥叶变换旋转相应⾓度。
离散傅里叶变换的基本性质
x(5 )
A(6 )
W
0 N
x(3 )
A(7 )
x(7 )
W
0 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
W
0 N
A(3 )
W
2 N
A(4 )
A(5 )
A(6 )
W
0 N
A(7 )
W
2 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
A(3 )
A(4 )
W
0 N
A(5 )
W
1 N
A(6 )
W
2 N
A(7 )
W
3 N
N点DIT―FFT运算流图(N=8)
A(5 )
A(6 )
W
0 N
A(7 )
W
2 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
A(3 )
A(4 )
W
0 N
A(5 )
W
1 N
A(6 )
W
2 N
A(7 )
W
3 N
N点DIT―FFT运算流图(N=8)
A(0 ) X(0 ) X(1 ) X(2 ) X(3 ) X(4 ) X(5 ) X(6 )
A(7 ) X(7 )
m N
WN 2
WNm
2. 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法基本上分为两大类：
时域抽取法FFT(Decimation In Time FFT,简称DITFFT)和频域抽取法FFT(Decimation In Frequency FFT,简 称DIF―FFT)。下面先介绍DIF―FFT算法。
设序列x(n)的长度为N，且满足
N 2M , M 为自然数
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第3章 离散傅里叶变换(DFT)
例如实数序列及其DFT
xn = 1 1 2 -2 4 2 2 xn = 1 1 1 2 3 4 3 2 1
Xk = 11.0000 -1.5858 + 2.8284i 1.0000 - 4.0000i -4.4142 + 2.8284i 7.0000 + 0.0000i -4.4142 - 2.8284i 1.0000 + 4.0000i -1.5858 - 2.8284i
21
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Xk = 17.0000 -5.8284 - 0.0000i 1.0000 + 0.0000i -0.1716 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i -0.1716 - 0.0000i 1.0000 - 0.0000i -5.8284 - 0.0000i
X
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
利用DFT的共轭对称性， 通过计算一次N点DFT， 可以得到两个不同实序列的N点DFT. 设x1(n)和x2(n)为两个实序列，构成新序列x(n)如 下： x(n)=x1(n)+jx2(n) 计算x(n)的DFT， 得到 X(k)=DFT［x(n)] 利用对称性，有 DFT[x1(n)]= Xep(k) =[X(k)+X*(N-k)]/2 DFT[x2(n)] =Xop(k) = - j[X(k)-X*(N-k)]/2
22
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X
例如，利用DFT的对称性求两个实序列的DFT。
π π 求 x(n) = cos( n), y (n) = sin( n), 0 ≤ n ≤ N − 1 两序列的DFT。
3 3
令
π j n π π f (n) = cos( n) + j sin( n) = e 3 3 3
F (k ) = ∑ e
n =0
N −1
π 2π j n −j kn 3 N
e
= ∑e
n=0
N −1 − j 2π ( k − N ) n N 6
N = N δ (k − ) 6 由DFT对称性，
0 ≤ k ≤ N −1
π 1 N −1 − j 2N n ( k − m ) ∑e N n =0 = δ ( k − m − MN )
M 为整数
1 DFT [ x(n)] = [ F (k ) + F * ( N − k )] 2 1 DFT [ y ( n)] = − j [ F (k ) − F * ( N − k )] 2
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第3章 离散傅里叶变换(DFT)
取N=6
F(k)
F (k ) = 6δ (k − 1)
k = 0,1, 2,...,5
F(6-k)
k
0 3 5 0 3 5
k
1 DFT [ x( n)] = [ F (k ) + F ( N − k )] 2 = 3[δ (k − 1) + δ (k − 5)]
1 DFT [ y ( n)] = − j [ F (k ) − F ( N − k )] 2 = − j 3[δ (k − 1) − δ (k − 5)]
24
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N的选取
k = 0,1, 2,...,5
X
结论：在用DFT计算离散周期序列的频谱时， 截取长度应为其周期的整数倍。
不同计算点数的DFT比较
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例 用性质求DFT和IDFT P107 习题15 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25, 0.125j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。
（1）求X(k)的其余3点的值； （2） x1 ( n) = [ m∑ x ( n + 5 + 8m )]R8 ( n), 求 X 1 ( k ) = DFT [ x1 ( n)]; =−∞ （3） x2 ( n ) = x ( n)e , 求 X 2 ( k ) = DFT [ x2 ( n )]; ∴ DFT [ x(n)] = X * ( N − k ) 解：（1） Q x (n) 实序列 即， X ( N − k ) = X * (k )
X (7) = X * (1) = 0.125 + j 0.3018 X (6) = X * (2) = 0 X (5) = X * (3) = 0.125 + j 0.0518
X(k)={0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0, 0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018}
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∞
jπ n 4
（2） x1 (n) = [ ∑ x( n + 5 + 8m)]R8 (n) = x((n + 5))8 R8 (n)
m =−∞
∞
X 1 (k ) = DFT [ x1 (n)] = e
j
2π 5k 8
X (k )
X(k)={0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0, 0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018}
（3）
x2 (n) = x( n)e
jπ n 4
= x ( n )e
j
2π n 8
X 2 (k ) = DFT [ x2 (n)] = X ((k − 1))8 R8 (k )
X(k)={0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0, 0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018,} X2(k)={0.125+j0.3018 , 0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0, 0.125+j0.0518, 0}
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第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1节、3.2节小结
一、离散傅里叶变换（DFT）的定义及与Z变换、序列傅 里叶变换（DTFT）、离散傅里叶级数（DFS）的关系。
DFT Z变换 DTFT DFS
28
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X ( k ) = DFT [ x ( n )] = ∑ x ( n ) e
n =0
N −1
−j
2π kn N
, k = 0,1,......, N − 1
X ( z ) = ZT [ x ( n)] = ∑ x ( n) z − n
n =0
N −1
X (e ) = DTFT [ x ( n)] = ∑ x ( n)e − jωn
jω
N −1 n =0
% % % X ( k ) = DFS [ x ( n ] = ∑ x ( n ) e
n=0
N −1
−j
2π kn N
−∞ < k < ∞
X
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
关系：
X (k ) = X ( z )
z =e
j 2π k N
,
0 ≤ k ≤ N -1 0 ≤ k ≤ N -1
X ( k ) = X (e jω )
∞
2π ω= k N
,
X (k ) =
~
m =−∞
∑
X (k + mN )
% X (k ) = X (k ) ⋅ RN (k )
DFT隐含周期性
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X
。