傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。
这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。
性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。
这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。
这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。
性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。
这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。
设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。
这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。
以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。
这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。
这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。
傅里叶变换及其应用
傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具和数学分析方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、量子力学等领域。
通过将一个函数表示成一组正弦和余弦函数的叠加，傅里叶变换能够将时域中的信号转化为频域中的信号，从而使得复杂的信号处理问题变得更加简单。
本文将介绍傅里叶变换的原理、性质以及其在实际应用中的几个重要方面。
一、傅里叶变换的原理和基本定义傅里叶变换是将一个函数f(x)表示成指数函数的叠加的过程。
设f(x)在时域上是以周期T为基本周期的连续函数，那么其傅里叶变换F(k)在频域上将成为以1/T为基本周期的连续函数。
傅里叶变换的基本定义如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-i2πkx/T)]dx其中，i是虚数单位，k是频率变量。
通过这样的变换，我们可以将时域上的函数转换为频域上的函数，从而可以更加清晰地分析信号的频谱特征。
二、傅里叶变换的性质傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具。
1. 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则对应线性组合的傅里叶变换为aF(k) +bG(k)，其中a和b为常数。
2. 时移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(x - a)的傅里叶变换为e^(-i2πak/T)F(k)，即时域上的平移将对频域上的函数进行相位调制。
3. 频移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则e^(i2πax/T)f(x)的傅里叶变换为F(k - a)，即频域上的平移将对时域上的函数进行相位调制。
4. 尺度变换性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(ax)的傅里叶变换为1/|a|F(k/a)，即函数在时域上的尺度变换会对频域上的函数进行缩放。
5. 卷积定理：若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则f(x) * g(x)的傅里叶变换为F(k)G(k)，即在频域上的乘积等于时域上的卷积。
傅里叶变换的性质
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
信号分析与处理——傅里叶变换性质
1. 线性 2. 奇偶性 3. 对偶性 4. 尺度变换特性 5. 时移特性
6.
频移特性
7.
微分特性
8.
积分特性
9. 帕斯瓦尔定理
10. 卷积定理
1、线性（叠加性）
若:
x1 (t) X1 ()
x2 (t) X 2 ()
则: a1x1 (t) a2 x2 (t) a1 X 1 () a2 X 2 ()
Sa(t0
)e
j t0 2
2
由积分性质，可得 的x频2 (谱t)为
X 2 ()
X1() j
X1(0) ()
又因为： 所以得：
X1(0) 1
X 2 ()
1
Sa(
t0
)e
j
t0 2
j 2
()
9、帕斯瓦尔定理
若: x(t) X ()
则:
x(t) 2 dt 1 X () 2 d
2
式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式
2
)
由线性和时移特性，有:
X
2
()
3Sa(
3
2
)
X
()
1 2
e
j
5 2
X 1 ( )
e
j 5 2
X
2
()
e
j 5 2
1 2
Sa(
2
)
3Sa( 3
2
)
例：求三脉冲信号的频谱
g (t为)P36页的标准矩形脉冲信号
求如下三脉冲信号的频谱函数
x(t) g(t) g(t T ) g(t T )
解：
X () G()(1 e jT e jT ) G()(1 2 cosT ) E Sa( )(1 2 cosT )
信号分析与处理——傅里叶变换性质
信号分析与处理——傅里叶变换性质傅里叶变换是信号处理中常用的分析方法，通过将信号在频域上进行分解，可以获得信号的频谱信息，并对信号进行频谱分析，从而实现对信号的处理与改变。
傅里叶变换具有以下几个重要的性质，这些性质对于信号处理的理解和实际应用至关重要。
1.线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意两个信号x(t)和y(t)，以及对应的傅里叶变换X(f)和Y(f)，有以下关系：a) 线性叠加：傅里叶变换对于信号的叠加是可线性的，即如果有h(t) = cx(t) + dy(t)，则H(f) = cX(f) + dY(f)。
b) 变换的线性组合：如果有z(t) = ax(t) + by(t)，则Z(f) =aX(f) + bY(f)。
这种线性性质为信号的分析和处理提供了很大的方便，可以通过分别对不同组成部分进行变换，再进行线性组合，得到最终的处理结果。
2. 平移性质：傅里叶变换具有平移性质，即如果一个信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则x(t - t0)的傅里叶变换为e^(-j2πft0)X(f)，其中t0为平移的时间。
这意味着信号在时域上的平移将对应于频域上的相位变化，而频域上的平移则对应于时域上的相位变化。
4.卷积定理：傅里叶变换还具有卷积定理，即信号的卷积在频域上等于信号的傅里叶变换之积。
具体来说，如果两个信号x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的卷积y(t)=x(t)*h(t)的傅里叶变换为Y(f)=X(f)×H(f)。
这个性质在实际的信号处理中有着重要的应用。
通过将两个信号在时域上的卷积转化为频域上的乘法操作，可以方便地进行信号处理的设计和实现。
5. Parseval定理：傅里叶变换还具有Parseval定理，即信号的能量在时域和频域上是相等的。
具体来说，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则有∫，x(t)，^2dt = ∫，X(f)，^2df。
这个性质意味着通过傅里叶变换可以实现信号的能量分析和功率谱估计，从而对信号的能量进行定量的测量。
信号与系统-傅里叶变换的基本性质.
通信中调制与解调，频分复用。
七．微分性质
时域微分性质
f (t) F ( )，则f (t) jF ( )
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
1．时域微分
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
八．时域积分性质
若f t F ，则
F 0
0时，t
f
d
π
F 0
F
j
F 0
0时，t
f
d
F
j
也可以记作：
F
(
)
1
j
π
(
)
当f t 为实函数时, F F * 共轭 R 为偶函数, X 为奇函数
F ( ) R( ) j X ( ) R( ) j X ( ) F F ( ),
则f (t t0 ) F ( )e jt0 ;
若F ( ) F ( ) ej ( ) 则f (t t0 ) F ( ) ej ( ) t0
可以得到
F f (t) f (t)ej t d t f (u)ej u d u F ( )
若f (t) F ( )，则f (t) F ( )
四．尺度变换性质
若f (t) F ( ),则f at 1 F , a为非零函数
a a
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
傅里叶变换的性质
1 0 1
21 31
即：
T
t
1 e jn1t T n
再求这个级数的傅氏变换
F
1 T n
e
j
n1t
2
T
n
n1
1 n1
n
T t 的频谱函数如图2-25b所示。 F
1
1
0 1
21 31
单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列。
9、奇、偶、虚、实性
f t为实函数时， F 的模与幅角、实部与虚部表示形式
-1
0
0
0
/2
0
0
0
/2
例2-5 求如图2.-18所示
f t 的 F 并作图。
f t
A
t
2
2
-A
解 令 f1t Ag t ， f t f1tcos0t 0 2 /
图 2 .
F1 ASa / 2
3
4
则
F
1 2
F1
0
F1
0
A
2
S
a
0 2
Sa
0 2
其中 0 2 /
F1以及 F 如图2-19所示。
a a
特别地，当 a 1 时，得到 其频谱亦为原频谱的折叠，即
f t 的折叠函数 f t ，
f t F 。
尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反 之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号 的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频 宽无限，反之亦然。
可以理解为信号波形压缩（扩展）
为
F f te jtdt
f
t co std t
j
f tsin tdt
傅里叶变换性质
四．尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
2
0
F
0
通信中调制与解调，频分复用。
X
七．微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F()，则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1．时域微分
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、 奇函数
若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的傅里叶变换
。
所以根据频域卷积定理 有
即
十三、帕塞瓦尔定理 若
则
/jp2005/…/3-5.htm
9/11
2012/2/8
可推广 若 为实函数，则 若 , 为实函数，则
3-5傅里叶变换的基本性质
例3-19 求
。
解： 因
又
由帕塞瓦尔定理可得
十四、奇偶性 若 (1) 当 为实函数时，则
理是将信号 乘以所谓载频信号
或
，即
/jp2005/…/3-5.htm
4/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
七、时域微分性 若
则
证明 因为 两边对t求导数，得 所以 同理，可推出
例3-10 求 解: 因为
的频谱函数
。
由时域微分性
例3-11 图3-22所示信号 为三角形函数
例3-13 根据 解: 因为
又
和积分性求
根据时域积分性
/jp2005/…/3-5.htm
的频谱函数。
6/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
例3-14 求图3-23所示信号 的频谱函数
。
解:
对 求两次微分后，得
且
由时域积分性
十、频域积分性 若
则
例3- 15 已知 解: 因为
求其频谱函数 解: 将
。 微分两次后，得到图3-22(c)所示函数，其表达式为
由微分性
所以
/jp2005/…/3-5.htm
5/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
八、频域微分性 若
则
例3-12 求 解: 因为
的频谱函数
。
根据频域微分性
九、时域积分性 若
则
的频谱函数
。
解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有
六、频移性 若
则
证明
证毕
频移性说明若信号 乘以 ，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以 ，这就使频
谱中的每条谱线都必须平移 ，亦即整个频谱相应地搬移了 位置。频谱搬移技术在通信系统得到
了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原
，则
若 为实偶函数，即
，则
若 为实奇函数，即
，则
(2) 当 为虚函数，即
时，则
傅里叶变换的基本性质归纳如表3-3所示。
表3-3傅里叶变换的基本性质
/jp2005/…/3-5.htm
10/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
性质名称 1. 线性 2. 对称性 3. 折叠性 4. 尺度变换性
则
证明 因a＞0，由
令
，则
，代入前式，可得
函数
表示 沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而
则表示
沿频率轴扩
展(或频率尺度压缩) a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频
带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8 已知
,求频谱函数
。
解 前面已讨论了
的频谱函数，且 根据尺度变换性，信号 比 的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数
1/11
20所12以/2/8
证毕 若
是一个偶函数，即
3-5傅里叶变换的基本性质
，相应有
，则式(3-56)成为
可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关 系，其幅度之比为常数 。式中的 表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如
例3-7 若信号 的傅里叶变换为
试求 。 解将
中的 换成t，并考虑
为 的实函数，有
该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为
根据对称性 故
再将
中的 换成t，则得
为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性 若
则
/jp2005/…/3-5.htm
2/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
四、尺度变换性 观看动画 若
，求
。
根据频域积分性
十一、时域卷积定理 若
则
/jp2005/…/3-5.htm
7/11
20则12/2/8 证明
3-5傅里叶变换的基本性质
例3-16 图3-24(a)所示的三角形函数
可看做为两个如图3－24(b)所示门函数
卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数
。
解： 因
又 所以
例3-17 一个信号 的希伯特变换 是 和 的卷积，即 解： 因为 则对称性
/jp2005/…/3-5.htm
8/11
2012/2/8
有
3-5傅里叶变换的基本性质
由时域卷积定理
即
十二、频域卷积定理 若
则
或 例3-18 利用频域卷积定理求 解： 因为
由对称性 有
5. 时移性 6. 频移性 7. 时域微分
8. 频域微分
9. 时域积分
10. 频域积分
11. 时域卷积 12. 频域卷积
13. 帕塞瓦尔定理
时域
频域
跳转至第六节
/jp2005/…/3-5.htm
11/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
3-5 傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的 时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基 本性质，并说明其应用。
一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若
则
其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数
。
解
因
由式(3-55)得
二、对称性 若
证明 因为 有
将上式中变量 换为x，积分结果不变，即
再将t用 代之，上述关系依然成立，即
最后再将x用t代替，则得
所以
/jp2005/…/3-5.htm
两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
/jp2005/…/3-5.htm
3/11
2012/2/8
3-5傅里叶变换的基本性质
五、时移性 若
则
此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域 的振幅并不改变，但其相位却将改变 。
平移时间 ，则其频谱函数
例3-9 求