傅里叶变换的性质
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。
这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。
性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。
这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。
这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。
性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。
这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。
设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。
这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。
以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。
这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。
这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。
第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
信号分析与处理——傅里叶变换性质
信号分析与处理——傅里叶变换性质傅里叶变换是信号处理中常用的分析方法，通过将信号在频域上进行分解，可以获得信号的频谱信息，并对信号进行频谱分析，从而实现对信号的处理与改变。
傅里叶变换具有以下几个重要的性质，这些性质对于信号处理的理解和实际应用至关重要。
1.线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意两个信号x(t)和y(t)，以及对应的傅里叶变换X(f)和Y(f)，有以下关系：a) 线性叠加：傅里叶变换对于信号的叠加是可线性的，即如果有h(t) = cx(t) + dy(t)，则H(f) = cX(f) + dY(f)。
b) 变换的线性组合：如果有z(t) = ax(t) + by(t)，则Z(f) =aX(f) + bY(f)。
这种线性性质为信号的分析和处理提供了很大的方便，可以通过分别对不同组成部分进行变换，再进行线性组合，得到最终的处理结果。
2. 平移性质：傅里叶变换具有平移性质，即如果一个信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则x(t - t0)的傅里叶变换为e^(-j2πft0)X(f)，其中t0为平移的时间。
这意味着信号在时域上的平移将对应于频域上的相位变化，而频域上的平移则对应于时域上的相位变化。
4.卷积定理：傅里叶变换还具有卷积定理，即信号的卷积在频域上等于信号的傅里叶变换之积。
具体来说，如果两个信号x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的卷积y(t)=x(t)*h(t)的傅里叶变换为Y(f)=X(f)×H(f)。
这个性质在实际的信号处理中有着重要的应用。
通过将两个信号在时域上的卷积转化为频域上的乘法操作，可以方便地进行信号处理的设计和实现。
5. Parseval定理：傅里叶变换还具有Parseval定理，即信号的能量在时域和频域上是相等的。
具体来说，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则有∫，x(t)，^2dt = ∫，X(f)，^2df。
这个性质意味着通过傅里叶变换可以实现信号的能量分析和功率谱估计，从而对信号的能量进行定量的测量。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段。
傅里叶变换具有唯一性。
傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。
讨论傅里叶变换的性质，目的在于：1. 了解特性的内在联系2. 用性质求3. 了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。
§3.7.1对称性质1．性质2．意义例3-7-1例3-7-2例3-7-3§3.7.2 线性1．性质2．说明§3.7.3 奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§3.4的“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过。
1.证明：由定义可以得到2.若，则证明：设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然§3.7.4 尺度变换性质1. 性质：2. 证明：综合上述两种情况3．意义(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
脉冲持续时间增加a倍，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩a倍。
因此高频分量减少，幅度上升a倍。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化加快。
信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。
§3.7.5 时移特性性质幅度频谱无变化，只影响相位频谱，例3-7-8求下图所示函数的傅里叶变换。
解：由对称关系求，又因为得幅频、相频特性分别如下图所示。
幅度频谱无变化，只影响相位频谱§3.7.6 时移+尺度变换1.性质：2. 证明：(仿的证明过程)当时，设，则例3-7-9方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换§3.7.7 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.8 频移特性1．性质2．证明3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用§3.7.9 时域微分性质2. 证明即3. 特别注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出直流分量单独求傅里变换，余下部分再用微分性质。
傅里叶变换的性质解析
3.微分性质
如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去
间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则
F [f '(t)]=jwF [f(t)].
(1.17)
• 推论
• F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)].
(1.18)
5
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
F [f(t)]=F(w), 则
d
dw
F (w ) F
[- jtf (t)].
一般地, 有
dn
dw n
F (w )
(-
j) n F
[t n f (t)]
jn
dn
dwn
F (w) F
[t n f (t)]
6
4. 积分性质
如果当t 时, g(t) t f (t )d t 0 -
则
F
t -
f
(t
)d
t
1
jw F
[ f (t)].
2j
2j
则g(t) e j2t
G(w
-
2)
1
1
j(w
-
2)
g (t) e- j2t
G(w
2)
1
1
j(w
2)
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
15
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
-
j 2
1 j(w (1 jw
傅里叶变换的性质
a 1
dx
j b a
, dt
t
1
t 1
2f1
(b)
且由图(b)可得 f1 (t ) Sa(t )
第
幅频、相频特性
幅频、相频特性分别如图（c)(d)所示。
| F ( ) |
28 页
( )
1
0
0
(c)
(d)
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
退出
3.时移加尺度变换
（1）性质
2
t
4 E
退出
解 F f t
2E 4E 2E j t t t t e dt 2 2
第 15 页
e 1 2E E 2E 4 j j 2 2 F e e 2 e
则F ( t )的频谱函数形状与 f t 形状相同，t , 幅度差2
3.例题
退出
第
例3-7-1
t 1 , F t 1 2
4 页
例3-7-2
已知F [sgn( t )] 则 2 jt 2 j ,
2 sgn( )
相移全通 网络
j t
dt
f ( u)e j
u
du F ( )
若f ( t ) F ( )，则f ( t ) F ( )
证明
退出
证明
设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）
F ( )
傅里叶变换性质
四．尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
2
0
F
0
通信中调制与解调，频分复用。
X
七．微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F()，则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1．时域微分
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、 奇函数
若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt
6.4 傅里叶变换的性质
1 a
F
a
.
3. 位移性质:
像原函数的位移 设 F() F [ f (t)], 则 F [ f (t t0 )] eit0 F ( ) (其中t0为常数).
时移性质
像函数的位移
设 F() F [ f (t)], 则
F f (t )ei0t F ( 0 )(其中w0为常数).
频移性质
答案：
(1) F g(t) F() F '()
(2) F g(t) i d F( ) 或 = i F( )
2 d 2
42
(3) F g(t) eiF ()
(4) F g(t) iei d F() 或 =ieiF()
d
例6 利用像函数的导数公式，求 f (t) et2
的傅里叶变换.
答案：
第六章 傅里叶变换
第四讲 Fourier变换的性质
06
CHAPTER
1. 线性性质:
设a, b 是常数，F1( ) F [ f1(t)], F2( ) F [ f2(t )], 则
F [ f1(t) f2(t)] F1( ) F2( ) F [ f1(t)] F [ f2(t)].
例1
计算F 2sin2 3t .
解 运F行下2s面in的2 3Mt A TFL[1ABc语os句6t].
>> syFm[s1]twF [cos6t]
>> f=2*(2sin((3)*t))^(2;F=6)four(ier(f6) ).
F=
-pi*Dirac(w-6)+2*pi*Dirac(w)-pi*Dirac(w+6)
i
tu(t)
i
d
d
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由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
以 代替 ，有
若将上式中变量 与 互换，可以得到
显然，上式就是 的傅里叶变换式，即
根据对偶性质，若已知 的频谱函数为 ，为求得 之
频谱就可以利用
给出。当 为偶对称函数时，进一步有
例如，单位冲激函数 的傅里叶变换等于 ，即 对偶性质就意味着常数 1 的傅里叶变换为
4-2）
（5.
可见，直流信号的傅里叶变换是一个出现在 5.4-2 所示。
图 5.4-3 给出了矩形脉冲尺度变换的几种情况。
图 5.4-3 矩形脉冲的尺度变换 四、移位
若
，有
-5）
（5.4
（5.4-6）
式（5.4-5）称为傅里叶变换的时移性质，式（5.4-6）称为傅里叶变换的频 移性质。
时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位 谱产生附加相移 。
处的冲激函数。频谱如图
图 5.4-2 常数 1 的频谱 若直接利用傅里叶变换式求解，由于常数 1 不满足绝对可积条件，傅里叶积 分需要用极限的方法求解。常数 1 可看作双边指数函数当 a 趋近于零的极限， 即
由式（5.3-8）
当
时，由第一章冲激函数的内容，上式极限为
性质求得的结果一致。
，它与利用对偶
频率的正弦或余弦信号相乘使信号 的频谱搬移到不同频率处实现的通信
方式称为频分复用。通信系统中的调制、解调及频分复用等都是应用傅里叶变 换的频移特性才得以实现的。
五、微分
时域微分性质：若
，则
（5.4-7）
证明 两边对 t 求导，得
所以
同理可推出 对 t 求 n 阶导数的傅里叶变换为
例 5.4-4 利用时域微分性质求符号函数
求出，即
解 设 表示中间的矩形脉冲信号，相应的频谱函数前已
由图可知 应用时移性质可得其频谱函数为
假设
， 的频谱如图 5.4-4(b)所示。
例 5.4-2 求
和
的频谱函数。
解 由欧拉公式
利用傅里叶变换的线性性质和频域移位性质，有
类似地，还可得到
图 5.4-5 示出了
的频谱。
图 5.4-5
的频谱
例 5.4-3 已知信号 的频谱为 ，求
的傅里叶变换。 解 由于符号函数的导数为
因此，根据式（5.4-7）
由该式得
这里
项只有在 处不为零，它是 的时域平均值。一般情况下，
在 中应考虑
项的存在，这是由于时域微分运算意味着表达式
将失去时域平均值的信息。在本例中，符号函数的时域平均值为零，
即 。故
图 5.4-7 给出了符号函数的频谱，它为虚奇对称函数。
频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上右移 单位，在时域就对 应于其时间信号 乘以 。
证明如下：
移位性质容易由傅里叶变换的定义式证明。例如频移性质可
由移位性质可得
例 5.4-1 试求图 5.4-4（a）所示三个矩形脉冲信号 的 频谱，设脉宽为 ，脉冲重复间隔为 。
(a) (b)
图 5.4-4 三矩形脉冲及其频谱
解
可表示为
根据频域移位性质有
的频谱。
图 5.4-6 示出了信号 的频谱 被搬移的情况。
(a) (b)
图 5.4-6 频谱搬移特性示例
例 5.4-3 中的 与
相乘得到的信号
在通信系统中称为
幅度调制信号。信号 与频率较高的正弦或余弦信号相乘的过程称为调制，
已调信号再次与正弦或余弦信号相乘的过程又称为解调。信号 通过与不同
利用对偶性质还可求得
的傅里叶变换。根据式（5.3-9），当矩形脉冲
的高度 E=1，宽度 时，有
应用对偶性质得
则 （5.4-3）
即 三、尺度变换
若
信号的频谱为矩形脉冲。 ，对于任意不等于零的实数 ，有
（5.4-4） 根据傅里叶变换的定义式，读者可自行证明之。
将 变换为 是一种在时域对信号进行压缩或扩展的运
算。如果 ，信号 表示 在时间轴上压缩；如果
，信号
表示 在时间轴上展宽。信号的压缩意味着信号波形以较快的速率变化，信 号的展宽则表示信号的波形比原来的变化要慢。
在频域，如果 ，
表示频谱函数
在频率轴上扩
展 倍；如果
，
表示频谱函数 在频率轴上压缩。
尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频 谱函数的扩展与压缩。由于时域信号的压缩或扩展影响信号的总能量，对应于 频域频谱函数的幅度将有相应的 1/|a|的改变。
给上式时域和频域同乘以常数 j，则
（5.4-12）