傅里叶变换性质傅里叶变换的性质证明
傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明性质一:线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。
这个性质的证明非常简单,我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。
性质二:时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换,则有:F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数,ω是角频率。
这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数,并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质三:频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换,则有:F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数,ω0是角频率。
这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。
性质四:尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换,则有:F[f(a*t)]=,a,^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。
这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数,并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质五:卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。
设f(t)和g(t)是两个函数,f(t)*g(t)表示它们的卷积,F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换,则有:F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积,乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。
这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式,然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。
以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。
这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力,在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。
这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。
傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和,则对于任意的常数a和b,有将其推广,若,则其中为常数,n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性和叠加性。
均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即叠加性表明,几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和?2.6.2 反褶与共轭性设f(t)的傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号的傅里叶变换。
(1)反褶f(-t)是f(t)的反褶,其傅里叶变换为(2)共轭(3)既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明:设g(t)=f(-t),h(t)=g*(t),则在上面三条性质的证明中,并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数,因此,无论f(t)为实信号还是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。
在一般情况下,是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即?根据定义,上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得()f(t)是实的偶函数,即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故这时X()=0,于是可见,若f(t)是实偶函数,则F()也是实偶函数,即左边反褶,右边共轭()f(t)是实的奇函数,即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故这时R()=0,于是可见,若f(t)是实奇函数,则F()是虚奇函数,即左边反褶,右边共轭有了上面这两条性质,下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号,又不是奇信号,反正不清楚,或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。
傅里叶变换的性质

由于 满足绝对可积条件,其傅里叶变换不含冲激函数,故
10) 频谱如图 5.4-8(d)所示。
(5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导,可得频域微分性质:
(d) (5.4-11)
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质,有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上, 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的,重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化,或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换,不仅计算过程简单,而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性,若
,
则
(5.4-1)
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算,相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示,其中
,
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
(5.4-8)
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换,可求得阶跃函数的变换。由于
故有
(5.4-9)
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
,在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数,波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
傅里叶变换的基本性质和应用

傅里叶变换的基本性质和应用傅里叶变换,是20世纪初法国数学家傅里叶的发明,是将一个时间函数或空间函数的复杂波形分解成一系列简单的正弦波的工具。
它是信号处理和图像处理领域非常重要的一种数学变换,广泛应用于通信、图像、音频等领域。
一、傅里叶变换的基本概念傅里叶变换是一种将时域信号(即关于时间的函数)转换为频域信号(即关于频率的函数)的数学工具。
在时域中,信号可以表示为一个随着时间变化而变化的函数;在频域中,信号可以表示为它的频谱分布,即各个频率成分的大小。
傅里叶变换是互逆的,也就是说,将一样以频率表示的信号进过傅里叶逆变换,可以得到原始的时域信号。
傅里叶变换和傅里叶逆变换的基本公式分别如下:$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt $$$$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega $$其中,$f(t)$ 是时域信号,$F(\omega)$ 是频域信号,$\omega$ 是角频率。
傅里叶变换可以看作一种基变换,将时域信号换到频域进行分析,从而可以更好地理解信号的性质。
二、傅里叶变换的基本性质1. 线性性质傅里叶变换是线性的,即对于一个常数乘以一个时域信号进行傅里叶变换,等价于将该常数乘以该信号的傅里叶变换。
即:$$ F(cf(t)) = cF(f(t)) $$其中,$c$ 是常数。
此外,傅里叶变换具有加权叠加的特性,也就是说,将两个时域信号求和再进行傅里叶变换,等价于分别对这两个信号进行傅里叶变换后再相加。
即:$$ F(f(t) + g(t)) = F(f(t)) + F(g(t)) $$2. 时移性质傅里叶变换具有时移性质,也就是说,在时域中将一个信号向右或向左平移 $\tau$ 个单位,它的傅里叶变换相位也会相应发生$\tau$ 的变化。
傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质

傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质傅里叶级数和傅里叶变换是数学中很重要的概念,它们在物理学、通信工程、信号处理等领域中得到广泛的应用。
傅里叶级数是将周期函数分解为无穷多个简单的正弦函数和余弦函数的和,而傅里叶变换则是将信号在频域上分解为各个频率分量的和。
本文将从数学的角度探讨傅里叶级数和傅里叶变换的数学性质。
一、傅里叶级数的性质傅里叶级数是将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无限和,因此它具有一些很有趣的性质。
首先,傅里叶级数是周期函数,其周期与原函数相同。
其次,傅里叶级数是线性的,即如果有两个函数的傅里叶级数分别是a_n和b_n,那么它们的线性组合c_n=a_n+b_n的傅里叶级数就是这两个函数的线性组合。
第三,若原函数为偶函数,则傅里叶级数只包含余弦项,若原函数为奇函数,则傅里叶级数只包含正弦项。
傅里叶级数的性质还包括Parseval定理,它是对傅里叶级数的能量守恒原理的定量表述。
具体而言,Parseval定理指出,如果S是傅里叶级数的系数,则原函数在一个周期内的平方积分与各个傅里叶系数的平方和相等,即∫|f(x)|^2 dx=∑|S_n|^2。
二、傅里叶变换的性质傅里叶变换是将信号在频域上分解的方法。
在实际应用中,我们通常将连续时间信号离散化,因此离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)的应用更为广泛。
傅里叶变换也具有许多重要的性质。
首先,傅里叶变换是线性的,它满足叠加原理。
具体而言,若x和y分别是两个信号的傅里叶变换,则它们的线性组合z=ax+by的傅里叶变换就是ax的傅里叶变换和by的傅里叶变换的和。
其次,傅里叶变换具有频移性质。
如果x(t)的傅里叶变换是X(f),则x(t)cos(2πf0t)的傅里叶变换是X(f-f0)/2+X(f+f0)/2。
这个性质表明,将一个信号乘上一个不同频率的正弦波,等价于将原信号在频域上移动到新的频率处。
最后,傅里叶变换还有卷积定理。
傅里叶变换性质

傅里叶变换性质证明1. 线性变换 F {fc f c 2211+}=c 1F {f1}+c 2F {f2} (1.1)证明: F {fc f c 2211+}=[]dx x x efc fc iwx-∞∞⎰+-2211)()( =dx x dx x efc efc iwxiwx⎰⎰∞∞---∞∞-+)()(2211=c 1F {f1}+c 2F {f2}2. 尺度变换性质如果f(x)的傅里叶变换存在且为F(w),则f(ax)的傅里叶变换为⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1。
(也可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1) 证明:因为 F {()ax f }=()dx ax f e iwx-+∞∞-⎰则,令du adx u a x ax u 1,1,===当a>0时, F {()u f }=()du u f ae ua wi -+∞∞-⎰1即,F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 (或记为f(ax)↔⎪⎭⎫⎝⎛a w F a 1)当a<0时,a a -= 则,u adx u a x x a ax u 1,1,-=-=-== F {()u f }=()()du u f adu u f a ee u awi ua wi -+∞∞---∞∞+⎰⎰=11-综上所述,F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 (亦或可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1)物理意义:(1)0<a<1时域扩展,频带压缩; (2)a>1时域压缩,频域扩展; (3)a=-1,f(t)→f(-t);F(w)→F(-w)。
举个例子,1 -1≤t ≤1 f(t)=0 其他而函数f(t)的傅里叶变换F(w)为()()dt dt dt dt t f w F eeeeiwtiwtiwtiwt⎰⎰⎰⎰+∞----∞---+∞∞-∙++∙==111100()()ww w w sin 20sin 20∙=+∙+= f(t)图像为附属matlab代码:x=-10:0.01:10y=1.*(x>=-1&x<=1)+0.*(x<-1)+0.*(x>1)plot(x,y,'r','linewidth',2)axis([-10 10 0 2.1]) %在x取值[-10,10]内作图,在值域[0,1]内以0.2分度取值grid onF(w)的图像:附属代码:x=-10:0.01:10y=2.*sin(x)./xplot(x,y,'r','linewidth',2)grid on(1)当0<a<1时,我们任意取a=0.5,则1 -2≤t≤2f(0.5t)=0 其他同理,()() www F2sin=。
函数的傅里叶变换和反变换的性质

函数的傅里叶变换和反变换的性质傅里叶变换和反变换是函数分析中非常重要的概念,它们在信号处理和通信领域等多个应用中都有广泛的应用。
在本文中,我们将讨论傅里叶变换和反变换的性质,以期对函数分析、信号处理以及数学等领域更深入的了解。
一、傅里叶变换的性质傅里叶变换的定义是:任何函数可以表示成以时间为自变量的正弦和余弦函数的无穷级数的形式。
也就是说,将任何函数分解成一系列的正弦和余弦函数后,我们就可以用傅里叶变换来进行函数的处理和操作。
傅里叶变换可以分为离散和连续两种形式,而它们都具有一些很重要的性质。
下面将分别介绍这些性质:1. 线性性傅里叶变换具有线性性,也就是说如果对于两个函数 f(t) 和g(t),它们的傅里叶变换分别是F(ω) 和G(ω),那么对于函数 a ×f(t) + b × g(t)(其中 a 和 b 是任意实数),它的傅里叶变换就是 a × F(ω) + b × G(ω)。
2. 卷积定理卷积定理说明了傅里叶变换中频域的卷积运算可以通过时域中的乘积运算来实现。
如果函数 f(t) 和 g(t) 的傅里叶变换分别是F(ω) 和G(ω),那么它们在时域的卷积 f(t) * g(t) 的傅里叶变换就是F(ω) × G(ω)。
3. 改变函数的时间和频率如果函数 f(t) 的傅里叶变换是F(ω),而f(t − τ) 表示 f(t) 向右平移τ 个单位,那么f(t − τ) 的傅里叶变换就是F(ω) × e^{- iωτ}。
同样的道理,如果 f(t) 的傅里叶变换是F(ω),而 f(at) 表示将 f(t) 的时间宽度缩小到原来的 a 倍,那么 f(at) 的傅里叶变换就是 (1/a) ×F(ω/a)。
二、傅里叶反变换的性质与傅里叶变换相对应的是傅里叶反变换,它可以将函数由频域转换到时域。
傅里叶反变换的定义是:如果一个函数的傅里叶变换为F(ω),那么它的傅里叶反变换就是:f(t) = (1/2π) × ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{iωt} dω同样的,傅里叶反变换也有一些很重要的性质:1. 线性性傅里叶反变换与傅里叶变换一样具有线性性,也就是说,如果一个函数的傅里叶变换为F(ω),而另一个函数的傅里叶变换为G(ω),那么对于函数a × F(ω) +b × G(ω),它的傅里叶反变换就是a × f(t) + b × g(t)。
傅里叶变换的性质

a 1
dx
j b a
, dt
t
1
t 1
2f1
(b)
且由图(b)可得 f1 (t ) Sa(t )
第
幅频、相频特性
幅频、相频特性分别如图(c)(d)所示。
| F ( ) |
28 页
( )
1
0
0
(c)
(d)
幅度频谱无变化,只影响相位频谱,
退出
3.时移加尺度变换
(1)性质
2
t
4 E
退出
解 F f t
2E 4E 2E j t t t t e dt 2 2
第 15 页
e 1 2E E 2E 4 j j 2 2 F e e 2 e
则F ( t )的频谱函数形状与 f t 形状相同,t , 幅度差2
3.例题
退出
第
例3-7-1
t 1 , F t 1 2
4 页
例3-7-2
已知F [sgn( t )] 则 2 jt 2 j ,
2 sgn( )
相移全通 网络
j t
dt
f ( u)e j
u
du F ( )
若f ( t ) F ( ),则f ( t ) F ( )
证明
退出
证明
设f(t)是实函数(为虚函数或复函数情况相似,略)
F ( )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
F ( ) R ( ) j X ( ) R () jX () F * ()
五.时移特性
若 f(t) F (),
则 f(t t0 ) F ()e j t0 ;
若 F ()F ()ej() 则 f ( t t 0 ) F () e j ( ) t 0
utF 直流 12
余下部 f2(t)分 u(t)1 21 2sgtn),( utj1
f2t微f分 2tt1, f2(t)j1
ut
f1 t
dut f1t
1
dt
1 2
1
o
t
o
t
o
t
2.频域微分性质
若 f(t) F (),则 t( t f ) jF d d
或 j t( t f ) d F d
显然
R ftc ostdt
X
fts
intdt
R R
关于 的奇函数
X X
F F
已 F f t 知 F
F f t F
证明
当 F 1 a 0 时 ,设 f(a a b b t)t e j x t,d 则 tt x b ,d t 1 d x
aa
F 1 f(x )e j axeja ba 1d xa1Faejab
2 E ej24 E 2 E e j2 j2 F 2 F
F 1 2 2 E e j 2 4 E 2 E e j 2
122 E ej2 2 e j2
2 E 2 e j 4 e j 4 2 2 E 2 2 jsi4 n 2
2
对压 所 2 : f缩 2 有 t 5 E S a e j 5 2
24
例3-7-6(教材例3-4)
已知矩形调幅信号 ft G tco 0 t,s f t
其 中 Gt为 矩 形 脉 冲 , 脉 为E冲 ,幅 度E
脉 宽为 ,试
解:
求
其
频
谱
函
数
。 2
o
t 2
已知矩 G t的 形频 G 脉 为 谱 冲(a)矩 形 调 幅 信 号 的 波 形
已f知 例t 3-F 7-9ESa,f求 2t5的 频 谱 密
2
方法一:先标度变换,再时延
a2, f2 t 1F E S a b5,对 t时移 52(2向2 右 ) f2 2t5 4 E 2 S a 4 e j5 2
方法二:先时延再标度变换
相同
对 t时 5 ( 移 向 ft 右 5 E ) S a : e j5
求三角函数的频谱密度函数.
f t
E
2 o 2 t
E 2F
4 o 4
f t
分析 E
2 o 2 t
f t
三角形 函 求 导 数 方波
2E
2 o
2 t
方 波 求 导 冲 激 函 数
2 E
f t
2 E
2 o 2 t
4 E
X
F f t 2 E t 2 4 E t 2 E t 2 e j td t 2第页9
说明……
(2) a>1 时域压缩,频域扩展a倍。
说明……
( 3 ) a 1 f t f t , F F 说明……
3.意义
F
E
2 o 2
(1) 0<a<1 时域扩展,频带压缩。
f t 2
E
o
t
2E 2F 2
o
脉冲持续时间增加a倍,变化慢了,信号在频域的频 带压缩a倍。高频分量减少,幅度上升a倍。
GESa
因为
2
ft1G tej0tej0t 2
根据频f移 t频 性 F 谱 质 为,
F 1 G 1 G
2
02
0
频谱图
F1G 1G
2
02
0
E 2Sa2 0E 2Sa2 0
将包络线的频二 谱, 一向 分左 为、右 0 各平移
F
E
2
0 O
0
0
2
(b)矩形调幅信号的频谱
例3-7-5
4.应用
通信中调制与解调,频分复用。
七.微分性质
时域微分性质
f ( t) F () , f ( t) 则 jF ()
频域微分性质
若 f(t) F (),则 t( t f ) jF d d j( t t) fd F d
jtnf(t) dn d F n
或
tn f(t) jn F n
E 2 cS a 2 ct
宽 度 为20
的方波
若c 20,则S有 a0t)( 0G 20()
例3-7-4(时移性质,教材3-2)
求图(a)所示三脉冲信号的
f t
频谱。
E
解:
T
Tt
令f0t表示矩形单脉冲
22 (a)三脉冲信号的波形
信号,其频谱 F0函 ,数
F0
F0ESa2
E1 f 1 ( t) c 2 f 2 ( t) c 1 F 1 () c 2 F 2 () c 1 ,c 2 为常
2.例
ut11sgntF
22
j1
三.奇偶虚实性
若 f ( t) F () , f ( t) 则 F ( )
证明: 由定义
F f( t) f( t) e j td t F ()
8E 2si n42 42 2
ESa2
2 4
4
X
例3-7-8
已 f ( t ) F ( 知 ) , F t 2 f t 求 ?
解:
F t 2 ft F tt f 2 f t
jdd F 2F
例求 F 3-t7n-9
解:
tntn1
1 2 F
t1jdF d t t 1jjdF d 22
a a
等效脉冲宽度与等效频带宽度
f0 ft
F F0
O
t
O
B
ftdtf0
F d F 0B
f0 1 Fejt d
2
t0
F0ftdt
等效脉冲宽
21
Fd
B 2
1
Bf
度与占有的 等效带宽成
反比。
例3-7-1
t 1, F t 1 2
例3-7-2
已F 知 [sgtn )](j2,
(2)a>1 时域压缩,频域扩展a倍。
f 2t
E
o
t
44
1F
2 2
E
2
4 o 4
持续时间短,变化快。信号在频域高频分量增加,频 带展宽,各分量的幅度下降a倍。 此例说明:信号的持续时间与信号占有频带成反比, 有时为加速信号的传递,要将信号持续时间压缩,则 要以展开频带为代价。
( 3 ) a 1 f t f t , F F F *
即先求时移的单位阶跃 信号的傅里叶变换
对 积 分 变量而 言 为
常数,移到积分外
……续
j1 fejd
j1F
ftu t F j1
Fj1 F
F0F j
如F 果 00,则第一项为
t f d F j 1 F 0 F j
证明
f(t)21 F()ejtd
一.对称性质
1.性质
若 f(t) F() 则 F t 2 f
若ft为偶函数 则 F t 2 f
2. 意义
若 F ( t) 形 F (状 ) 相 与 同 t ,
则 F (t)的频谱函 ft形 数 状 形 t相 状 ,同 与 幅度 2 差
二.线性性质
1.性质
若 f 1 ( t ) F 1 () ,f 2 ( t ) F 2 ()
§4.3 傅里叶变换的性质
主要内容
对称性质 奇偶虚实性 时移特性 微分性质
线性性质 尺度变换性质 频移特性 时域积分性质
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质,目的在于:
•了解特性的内在联系; •用性质求F(ω); •了解在通信系统领域中的应用。
tn 1 j n d n d F n j n d n 2 dn
例3-7-10
1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换
解:已u 知 (t)t (t)dt (t)1 则 u (t) j1 ( )1j1 ( )
2.求门函 Gt数 积分的频谱函数。
G (t) 1
解:G(t)Sa2
由 S0 )a , (F 0 知 0
推广
jtnf(t) dn d F n
或
tn f(t) jn F n
八.时域积分性质
若 ft F ,则
F 0 0 时 t f, d F j
F 0 0 时 t f d , F 0 F j
也可以记作:
F()j1
()
证明
因为
F fa t fae tj td t
a
aa
证明
tfdejtdt
fu td e jtd t
变上限积分用带时移的 单位阶跃的无限积分表
示,成为 ftut
f u te jtd t d
f j1 ejd j1 fejd
续……
交换积分顺序 先t 后,
可以得到
F f ( t ) f ( t ) e jt d t f ( u ) e j u d u F ( )
若 f( t) F () , f( t) 则 F ()
四.尺度变换性质
若 f(t) F()则 , fat 1F,a为非零函
a a
意义
(1) 0<a<1 时域扩展,频带压缩。