自动控制原理第八章非线性控制系统分析
精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
自动控制原理非线性控制系统分析
y
0
a
x
-M
y M7
2、死区特性 当输入|x|≤ ∆ 时，输出y=0，当输入|x|> ∆ 时，y与x呈线性关系。∆ 死区范围，K=tgβ 是死 区特性线性段的斜率。
死区特性对系统最直接的影响是造成系统的 稳态误差。死区的存在相当于降低了系统的开环 增益，从而提高了系统的稳定性，减弱了过渡过 程的振荡性。另外死区可以滤除输入端做小幅度 振荡的干扰信号，从而提高系统的抗干扰能力。
81非线性控制系统概述研究非线性控制理论的意义实际上理想的线性系统并不存在组成系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性
自动控制原理
第八章 非线性控制系统分析
8-1 非线性控制系统概述
1. 研究非线性控制理论的意义
实际上，理想的线性系统并不存在，组成 系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同 程度的非线性。
y M -a K 0 a -M x
13
8
3、饱和特性 当输入|x|≤ a 时， y与x呈线性关系， 即y=Kx；当输入|x|> a时，输出y保持为 一常值 。a为线性区，K是饱和特性线性 区的斜率。 饱和特性对系统的影响比较复杂，随 系统的结构和参数的不同而不同。但一般 来说，饱和特性往往促使系统稳定，但会 减小系统的放大系数，降低系统的稳态精 度。
y y y
0
x
0
x
0
x
3
2. 非线性系统的特征 稳定性分析复杂，系统可能存在多个平衡状态； t x0 e x x( x 1) x(t ) 1 x0 x0 et
4
可能存在自激振荡现象； 频率响应发生畸变。
3. 非线性系统的分析与设计方法
自动控制原理 胡寿松 第八章 非线性控制系统分析
k ( x b) y c k ( x b)
当x y / k b 当 b x y / k b 当x y / k b
式中， b 为常数，它等于主动轮改变方向时的值。
间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动 态、稳态特性都不利。
虚线可用动态非线性微分方程来描述 死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态 误差加大；
死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提 高抗干扰能力。
2. 饱和特性
可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大。 实际的饱和特性一般如图中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图中 的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。 理想饱和特性的数学描述为：
3. 非线性系统的分析与设计方法
系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以解决稳定性问题为中 心，对系统实施有效的控制。 由于非线性系统形式多样，受数学工具限制，一般情况下难以求得非线性微 分方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法。 本章重点介绍两种方法：（考研） 1）相平面法
2）描述函数法
2) 非线性系统的分类
非本质非线性 ：能用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 ： 不能用小偏差线性化方法解决的非线性。
3）研究非线性控制理论的意义 随着生产和科学技术的发展，对控制系统的性能和精度要求越来越高，建 立在线性化基础上的分析和设计方法已经难以解决高质量的控制问题。 为此，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。 此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑非线性控制器 的设计。
8-3 相平面法
自动控制原理第八章非线性控制系统
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
自动控制原理第八部分非线性控制系统分析
8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响
在一个控制系统中,包含有一个以上的非线性元件，
就构成了非线性系统。 控制系统中的典型非线性特性有：
8.2.1 饱和特性 饱和非线性的输入输出关系及数学表达式如下：
xa ka y kx x a ka x a
对系统的影响：
y
上的斜率应大小相等，符号相同。
( x , x )
x
图8-15
相轨迹对称于原点
f ( x, x ) f ( x, x )
(8-14)
2.相平面上的奇点
由相轨迹的斜率方程
x dx dx f ( x, x) 可知,相上的
点
只要不同时满足x 0, f ( x, x ) 0 ( x, x )
例8-1.设系统的微分方程为：
x
x x 0 x
其相平面图如右图所示 （绘制方法在下节介绍）
D
0
E
C
图中的箭头表示系统的 状态沿相轨迹的移动方向。
1 A B
x
p
图8-9 例8-1的相平面图
18
由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一条相轨迹），系统都趋向原点（0,0）,说 明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。
f ( x, x )
x(t), 也可以写成以t为参变量的形式，用 这个 来表示。
x f (x )
x(t)
x
x
t 图8-8 方程的解
1.相轨迹：如果我们取 x 和 作为平面的直角坐标，则 x 系统在每一时刻的 均相应于平面上的一点。当 t 变化时， ( x, x ) 这一 点 x x 平面上将绘出一条相应的轨迹-----相轨迹。 在 它描述系统的运动过程。 2.相平面: x 平面称为相平面。对于一个系统，初始条件 x 不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可以绘出不同的相轨迹。 若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到一组相轨迹族。
自动控制原理ZKYL08-03教材
输出仅有一次谐波分量，即：
y(t) y1(t) A1 cost B1 sint Y1 sin(t 1)
Y1
A12 B12
，
1
arctan
A1 B1
A1
1
2 y(t) costdt
0
,
B1
1
(4) 非线性输出的高次谐波的振幅要比基波的振 幅小。
4
❖ 描述函数的定义
对于典型非线性系统，设非线性环节的输入 x(t)=Asinωt , 通常输出y(t) 是非正弦周期函数，将 此函数展开成傅氏级数的形式
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt)
n 1
A0 Yn sin(nt n )
N ( A) N ( A) e jN ( A) Y1 e j1 B1 jA1
A
A
7
例：设继电特性为
y(x)
M
M
, ,
x0 x0
计算该非线性特性的描述函数。
解：x(t) Asint ,
y(t)
M M
, ,
0 t t 2
A0
1
2
2
0
y(t)dt
M
2
0
dt
2
dt
0
A1
1
2
0
y(t ) cos tdt
10
2、典型非线性特性的描述函数
1、死区特性的描述函数
N(A) 2K arcsin
2
AA
1
2 A
,
A
11
2、饱和特性的描述函数
《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析
K G jw = ( ) S 0.1S+1)( 0.2S+1) ( K −0.3w− j(1−0.02w2 )] [ = 4 2 w 0.0004w + 0.05w +1) (
S= jw
令 ImG(jw) = 0 即 1 – 0.02w2 = 0 ，可得 G(jw) 曲线与负实轴交点的频率为：
1 wx = = 50 = 7.07rad / s 0.02
C(t)
∆2 ∆3 ∆ = ∆1 + + k k k2 1 1
K1 ，k2 ，k3 为传递函数各自的增益
处于系统前向通路最前边的元件，其死区所 造成的影响最大，而放大元件和执行元件的影响 可以通过提高这些元件前几项的传递函数来减小。 死区对系统的直接影响是造成稳态误差，降 低了定位精度。
≤ 时，输出量 y 与 x 是线 饱和：当输入量 x≤ a x> a > 时，输出量不再 性关系 y = kx ，当 随着输入量线性增长，而保持为某一常值。
两条曲线在交点处的幅值相等，即： −π
1 1 1 2 [arcsin + 4 1−( ) ] A A A = −1
得：A = 0.5 应用奈氏判据可以判断交点对应的周期运动 2.5sin7.07t 是稳定的，故当 k = 15 时，非线性系统 工作在自振状态，自振振幅 A = 2.5 ，频率 w = 7.07rad/s （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于 G(s) 的极点均在右半平面，故根据奈氏判据
相对负倒描述函数为：
A A2 ( ) 1 π π h h − =− =− NA ( ) 4 4 A2 h2 1−( ) ( ) −1 h A
采用相对描述函数后，系统的特征方程改写为：
自动控制原理-第8章非线性控制系统
8非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u为电机的控制电压，纵坐标为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A1OA2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B1OB2区段•那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件（如晶体管、铁心等）都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。
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第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
2 非线性系统的特征2.1 不能用线性(微分)方程描述；方框图中，非线性环节不能随意移动(不能保持信号等效)； 2.2 运动形式)(t c 不仅与系统特性和)(t r 有关，而且还与系统的初始状态有关；有的系统会出现自振荡； 自持振荡：系统在无外部信号作用下维持的振荡，又称自激振荡，简称自振荡。
线性系统只有在临界阻尼情况下才可能有自振荡。
2.3 稳定性分析复杂；系统的稳定性不仅与系统结构参数有关还与系统的初始状态有关； 2.4 频率响应有畸变；输入信号是正弦信号时，系统的稳态输出不是正弦信号，而是多种频率的正弦信号组合。
3 非线性系统的分析与设计方法 3.1 ☆相平面法 3.2 ☆描述函数法 3.3 逆系统方法这三种方法将在8-3、8-4和8-5节讨论。
8-2 典型非线性特性及其对系统运动的影响非线性特性千差万别，在工程上允许用折线近似替代曲线，只要直线线段足够短，就有满意的近似精度。
那么，通常的非线性环节都可以用多个典型非线性特性串联和并联组合而成。
非线性特性的数学表达式和输入输出关系曲线都很重要。
1 非线性特性的等效增益设非线性环节的输出为y ，输入为x ；输入输出关系为)(x f y =，是非线性函数； 等效增益记为： x x f x y k /)(/==。
有人将非线性系统看作是“变增益的线性系统”，简化非线性系统稳定性的分析过程。
2 ☆典型非线性特性对系统运动的影响(1) ☆饱和特性 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤>=00000||x x x k x x x k x x x k y ；⎪⎩⎪⎨⎧-=x x k k x x k x y //00 线性区； 系统工作范围：X x X <<-，)max(x X =； k —线性增益；0x —表示线性区宽度的参数，线性区宽度为02x ，简称0x 为线性区宽度。
若0x X <，则该元件是线性元件。
对系统稳定性的影响：系统进入饱和区，等效增益降低。
若)(s G 的全部极点均在S 平面左半部，只要)(s kG 的开环增益x k 小于临界增益c k ，饱和特性不改变系统的稳定性。
若)(s G 的极点不全在S平面左半部，一旦系统进入饱和区，可能导致系统不稳定。
实际系统工作时，为充分利用系统性能，在大偏差情况下大多工作在饱和状态。
工程界有“大偏差，小增益；小偏差，大增益”的工作经验。
兼顾了充分利用系统性能和较高的控制精度要求。
(2) ☆死区(不灵敏)特性 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤>-=00000)(||0)(x x x x k x x x x x x k y 死 区； 对系统稳定性的影响：系统进入死区，等效增益为零。
若)(s区特性不改变系统的稳定性，只是降低了控制精度。
若)(s G 的极点不全在S 平面左半部，通常会产生自振荡，这是工程中不满意的状态。
在工程实践中，只要系统满足控制精度要求(稳态误差在允许误差范围内)，尽可能利用死区特性减少控制器的动作，其实际物理意义是减少能量损耗和设备磨损。
(3) ☆继电特性 (3-1)理想继电特性 ⎩⎨⎧<->=0x MxM y ； 理想继电器： (3-2)⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤>00||0x x M x x x x M (3-3)仅具有滞环的继电特性⎩⎨⎧<->=00xx M x x M y 或00&0&0x x xx x x <>->< ；(3-4) 一般继电特性 ⎪⎧-<-≤>hx M mh x h x M ||0或x x ><( 0=h ：理想继电特性；1=m ：仅具有死区的继电特性；1-=m ：仅具有滞环的继电特性。
(4) 间隙(齿隙)特性 ⎪⎩⎪⎨⎧<+==>-=0)(000)(00y x x k y y yx x k y ； (5) 摩檫特性 ⎩⎨⎧>-<=00xM x M y ；8-3 相平面法相平面法是在非线性系统线性部分的阶次小于等于二阶时的图解分析方法，该方法将系统(非线性环节的输入信号)运动姿态绘制在相平面上，直观清、楚地反映系统的稳定性、平衡状态、稳定精度和有无自振荡；使用相平面法分析系统的稳定性很方便。
在应用相平面法分析系统稳定性时，都将典型输入的作用等价为系统的初始状态，假定系统输入恒为零，即分析系统的自由运动特性。
1相平面的基本概念☆二阶非线性系统： 0),(=+x x f x，0)0(x x =，0)0(x x =； 式中 ),(xx f 是x 和x 的非线性函数或线性函数 ☆ 相平面法： 求解二阶非线性系统的图解方法，用于分析系统稳定性。
☆ 相变量： 二阶系统中的x 和x称为相变量 。
☆ 相平面： xx -平面；横坐标为相变量x ；纵坐标为相变量x 。
☆相轨迹：xx -平面上的点表示系统在给定初始状态时，某一时刻的状态。
系统运动在相平面上留下的轨迹，是一条具有方向的曲线，称为相轨迹。
△相轨迹斜率：x x t d x d t d x d x d x d ==/。
可得xd xd x x =，代入系统(运动)方程，得到相轨迹方程。
☆相轨迹方程(斜率)：x x x f x d x d ),(-=。
x 轴上某点使得00=x d x d ，其斜率值不确定，称为奇点。
相轨迹特点：(1) 相平面上半部，0>x，相轨迹都是向右方运动； (2) 相平面下半部，0<x，相轨迹都是向左方运动； (3) 在x 轴上，除奇点外，±∞=x d xd / ，相轨迹垂直穿过横轴； (4) 同一个系统的不同起点的相轨迹互不相交；若一条相轨迹的起点在另一条相轨迹上，该条相轨迹是那条相轨迹的一部分。
若能够得到非线系统0),(=+x x f x的解)(t x 和)(t x ，则以t 为参变量在相平面上绘出相轨迹。
多数情况下，求解)(t x 很烦琐，绘制相轨迹也是件令人讨厌的事情，幸亏我们只是分析非线性系统的稳定性，只需要相轨迹的趋势和终点。
若0),(=+x x f x是变量可分离的微分方程，能够采用以下解法： x d x d x x=；)()(),(xg x h x x f =-； dx x h x d x x g )()(= ，⎰⎰=x x x x x d x h x d x xg 00)()(。
说明：解得)(t x 和)(t x，就可以得知系统的稳定性、平衡状态和稳定精度，不必绘制相轨迹图。
绘制相轨迹的基本方法：(仅含典型非线性环节的系统，能方便地解得)(t x ) 根据)(t x 和)(t x的表达式，逐点描绘，∞→0:t 。
概略绘制相轨迹要点：(1) 相轨迹起点),(00xx ； (2) 与横轴的交点)0)((=i t x； (3) 与纵轴的交点)0)((=j t x ；(4) 在讨论非线性系统时，与分区边界的交点：=)(t x 边界值，计算)(t x值，或=)(t x 边界值，计算)(t x 值； (5) 按相应的线性系统相轨迹连接标出的各点。
2绘制相轨迹的等倾线法等倾线法是绘制相轨迹的近似方法，避免求解非线性微分方程。
在相轨迹方程x x x f x d x d ),(-=中令α=x d x d ，。
得等倾线方程α=-xxx f ),(；等倾线—在相平面上相轨迹斜率相同点的连线。
例 系统0=++x x x，00=x ，B x =0 ；试用等倾线法绘制相轨迹。
解：相轨迹斜率方程x x x x d x d +-=；等倾线方程α=+-x x x ；整理得x x α+-=11，这是一条斜率为α+-11的直线，α取不同值时，是一簇过原点的直线。
参见P362页图8-17。
作图：选取适当的一系列α值，使等倾线在相平面上分布均匀，并具有合适密度。
若要分析系统稳定性可在等倾线上均匀画出与其α值对应的短直线，若短直线相连就会形成相轨迹簇。
本例，起点在x轴上，开始画一1-=α的短线，直到下一条等倾线，再按对应的α值，画短线，循此继进，直到画不清楚或画不出为止。
3线性系统的相轨迹研究线性系统的相轨迹是用相平面法分析非线性系统的基础。
(1) 线性一阶系统的相轨迹：(a) 0=-c cT ；相轨迹簇在两条起始于原点斜率为T /1的直线上，见图8-14(a)，系统不稳定； (b) 0=+c cT ；相轨迹簇在两条起始于原点斜率为T /1-的直线上，见图8-14(b)，系统稳定。
(2) 线性二阶系统的相轨迹：022=++x x x n n ωζω ，相轨迹形状与阻尼比ζ有关；相轨迹斜率xx x x d xd n n 22ωζω+-=；相轨迹起点),(00x x ；奇点)0,0(； (a) 10<<ζ：)sin()(φωσ+=-t Ae t x d t ，)cos()sin()(φωωφωσσ+++-=-t A t e A t x d d d t ；式中 n ζωσ=，2/12)1(ζωω-=n d ；0sin x A =φ，0cos sin xA A d =+-φωφσ。