第8章 非线性系统
第8章 非线性系统分析
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)
自动控制原理第八章非线性控制系统
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
感谢您的观看
THANKS
自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
第8章非线性控制系统
即有 f ( x, x) f ( x, x) 。
自动控制原理
24
1.相平面图的特点 :相平面图上的奇点和普通点
相平面上任一点( x, x) ，只要不同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 ， 则由式(8-8)确定的斜率是唯一的，通过该点的相轨迹有且 仅有一条，这样的点称为普通点。在相平面上，同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点，由于
自动控制原理
18
8.3.1相平面的基本概念
考虑二阶线性系统 (8-2) 式中 与 n 是阻尼比和无阻尼自然振荡频率。 设系统仅由初始条件激励。这一系统的状态可以用两 个变量， 和 来描述。若令，则方程(8-2)可化为 x1 x, x2 x (8-3) 2 2 n x1 2n x2 x (8-4) x x2 只要给定初始条件 x1 (0)、(0) 或 x(0) 、(0)，由这两个 一阶联立微分方程便可唯一地确定系统的状态。如此 定义的变量和称为相变量(或状态变量)。图8.9(a)绘 出了初始条件为及时，和在不同阻尼下的时间响应曲 线。
自动控制原理
5
8.2.1典型非线性特性
y
1. 饱和特性 2. 死区特性 3.间隙特性
y
M 近似饱和特性 -b 0 -M b
实际饱和特性 x
图8.1 饱和非线性特性
y
KБайду номын сангаас
- 0 K
-b
x
0
b
x
图8.2 死区非线性特性
图8.3 间隙非线性特性
自动控制原理
6
4. 继电器特性
y M y M
自动控制原理第8章
f(x, x) f(x, x) 或 f(x, x) f(x, x)
即 f(x, x)是关于 xx
x
自动控制原理
9
(2)相平面图上的奇点和普通点
相平面上任一点(x, x)，只要不同时满足 x 0和 f(x, x) 0 ， 则该点的斜率是唯一的，通过该点的相轨迹有且仅有一条， 这样的点称为普通点。
中心点
jω
vortex or center
σ
x
x
中心点
鞍点
jω
x
saddle point
σ
鞍点
x
自动控制原理
21
j λ2 λ1 0
节点 node
j 0
j
0 λ1 λ2
不稳定节点 unstable node
j
0
稳定焦点 stable focus
j
不稳定焦点 unstable focus
j
0
λ1 0 λ2
此系统将具有振荡发散状态。
终将趋于环内平衡点，不会产生自振荡。
自动控制原理
25
例8-3 x 0.5x 2x x2 0
解： x dx 0.5x 2x x2 0 dx
试分析稳定性。
则：
dx dx
0.5x 2x x
x2
0 0
有:
0.5x 2x x2 0
x 0
-2
x
0x
奇点位置：
如果把相变量x视为位移，于是 x 和 x 可以理解为速度和
加速度。在奇点处，由于系统的速度和加速度均为零，因
此奇点就是系统的平衡点equilibrium point 。
自动控制原理
20
系统奇点的分类
第8章 非线性系统分析
不稳定节点
x 2 n x n x 0
2
1 0
相轨迹振荡远离原点，为不 稳定焦点。
dx/dt x
不稳定焦点
x 2 n x n x 0
2
0
相轨迹为同心圆，该奇点为中心 点。
dx/dt x
中心点
x 2 n x n x 0
R(s) 例8-7 继电控制系统， + 阶跃信号作用下，试用 相平面法分析系统运动。
e
+M -M
m
C(s) K s(Ts 1)
解 （1）作相平面图 线性部分 T c c Km 误差方程 e(t ) r (t ) c(t ) ———— 阶跃信号 r (t ) 1(t ), r (t ) 0, r(t ) 0 误差方程 T e e Km
x x sin x 0
奇点为
f ( x, x) x sin x 0
x0 无穷多个。 x k
4、奇点邻域的运动性质
由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。
dx 0 dx 0
相轨迹在奇点邻域的运动可以分为
1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
（4）滞环特性
滞环特性为正向行程与反向行程不重叠，输入输出曲 线出现闭合环路。又称换向不灵敏特性。通常是叠加 在其它传输关系上的附加特性。
f(e) k +M -e +e0 e -e0 0 +e -M f(e) +M -e 0 -M +e e 0 f(e) e
饱和滞环
继电滞环
第8章非线性系统分析PPT课件
• 此时相轨迹如右图所示。奇
点称为鞍点，该奇点是不稳
x定的2。nx n2x 0
-
24
特征根和奇点的对应关系
-
25
二、相轨迹作图法
1 等倾线法
设系统微分方程如 xf(x,x)
化为
dx dx
f (x, x) x
令
f
(x, x
x)
a
其中 a为某个常数
表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点
A1
x0 x0 2 1 2
A2
x0 x01 1 2
x(t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
-
22
（4）负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示，此时相
轨迹仍是对数螺旋线，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
-
23
1
• 系统的相轨迹图如右图所示，
-
53
饱和特性及其输入-输出波形
-
54
三、间隙特性的描述函数
A / 1 1 2 K ( 2 X b 0 ) c / 21K ( t /o 2 X ( d st ) a s ir t n c1 K sb 1( ) X ic ns 2Xb(o )tt i d ( s b n ) tc ) t o ( d t ) s
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性
自动控制原理第8章非线性控制系统
自动控制原理第8章非线性控制系统在自动控制系统中，线性控制系统一直被广泛应用，因为线性系统的行为可预测且易于分析。
然而，在实际的控制系统中，往往存在着一些非线性特性，如非线性环节、非线性传感器和非线性负载等。
非线性系统的行为往往更为复杂，因此需要采用特殊的控制方法来进行控制。
8.1非线性系统的特性非线性系统与线性系统相比，具有以下几个特点：1.非线性特性：非线性系统的输入和输出之间的关系不符合线性定律，而是非线性关系。
这种非线性关系可能是由于系统内部的非线性元件或非线性行为导致的。
2.非线性行为：在非线性系统中，系统的行为经常出现不可预测的情况。
当输入信号的幅值较小时，系统的行为可能是线性的，但是当幅值增大时，系统的行为可能会发生剧烈的变化。
3.非线性耦合：在非线性系统中，不同输入变量之间可能存在耦合关系。
当一个输入变量发生改变时，可能会影响到其他输入变量的行为。
4.非线性稳定性：在非线性系统中，稳定性分析比线性系统更为困难。
非线性系统可能存在多个平衡点或者极限环，而且稳定性分析需要考虑到非线性因素的影响。
8.2非线性系统的建模对于非线性系统的控制，首先需要对系统进行建模，以便进行后续的分析和设计。
非线性系统的建模可以采用两种常用的方法：数学建模和仿真建模。
1.数学建模：数学建模是利用数学模型来描述非线性系统的行为。
非线性系统的数学建模可以采用微分方程、差分方程、泰勒级数展开、输入输出模型等多种方法。
2.仿真建模：仿真建模是利用计算机仿真软件来模拟非线性系统的行为。
通过建立系统的数学模型，并利用计算机进行仿真，可以得到系统的输出响应和稳定性分析。
8.3非线性控制方法在非线性控制系统中，常用的控制方法包括自适应控制、模糊控制和神经网络控制等。
1.自适应控制：自适应控制用于处理未知或难以测量的非线性系统。
自适应控制方法通过不断调整控制器的参数，以适应系统的变化。
2.模糊控制：模糊控制利用模糊逻辑和模糊推理来处理非精确和不确定的输入量。
第8章 非线性控制系统
3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0
传动机构的间隙和铁磁元件中的磁滞现象都是很常见的非 线性特性。
在齿轮传动中，由于间隙的存在，当主动轮方向改变时， 从动轮保持原位不动，直到间隙消除后才改变方向。铁磁元 件中的磁滞现象是一种回环特性，又称磁滞特性。
2)非线性特性的存在，并不总是对系统产生不 良影响。
2 非线性系统的特点
1. 线性系统描述其运动过程的数学模型是线性微分 方程，故可以采用叠加原理。而非线性系统，其数 学模型为非线性微分方程，不能采用叠加原理，必 须研究不同输入所引起的输出响应。
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本 身的结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。 而非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取 决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的初始 状态有关。
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的放 大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较小的放 大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
§8.3 相平面法
1 相平面的基本概念
相平面、相轨迹和相轨迹图
相平面：
由系统某变量及其导数(如 c, c )
构成的用以描述系统状态的平面。
相轨迹：
具滞环的继电特性
具磁滞回环和死区的继电特性
M x(t) 0 M
•
•
e 0, e e0; e(t) 0, e me0
•
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章非线性系统1．基本要求通过本章学习，应该达到：（1）正确理解描述函数的基本思想和应用条件。
（2）准确理解描述函数的定义、物理意义和求法，并会灵活应用。
（3）熟练掌握理想继电特性、死区继电特性、滞环继电特性和死区特性等典型非线性环节的描述函数，并会运用典型非线性特性的串并联分解求取复杂非线性特性的描述函数。
（4）熟练掌握运用描述函数法分析非线性系统的稳定性和自振荡的方法和步骤，并能正确计算自振荡的振幅和频率。
（5）正确理解相平面图的基本概念。
（6）熟练掌握线性二阶系统的典型相平面图及其特征。
（7）会画出非线性系统工程的典型相平面图。
（8）熟练掌握运用相平面法分析非线性系统的动态响应的方法和步骤。
2．内容提要本章介绍了非线性系统的两种基本分析方法：描述函数法和相平面法。
（1）描述函数法这是一种频域法，基于谐波线性化的近似分析方法。
其基本思想是首先通过描述函数将非线性环节线性化，然后应用线性系统的频率法对系统进行分析。
描述函数法在应用时是有条件限制的，其应用条件是：（i）非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环节和一个线性部分串联的典型负反馈结构。
若不是这种典型结构，则必需首先利用系统中信号间的传递关系简化成这种典型结构，才能应用描述函数法做进一步的分析。
（ii）非线性环节的静特性曲线是奇对称的。
（iii）线性部分应具有良好的高频衰减特性。
（iv）只能用来分析非线性系统的稳定性和自振荡。
（2）描述函数N(A)的计算及其物理意义描述函数N(A)可以从定义式（7-15）出发求得，一般步骤是：（i）首先画出非线性特性在正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形的数学表达式。
（ii）利用付氏级数求出输出的基波分量。
（iii）将求得的基波分量代入定义式（7-15），即得N(A)。
对于复杂的非线性特性也可以将其分解为若干简单的典型非线特性的串并联，然后再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线性特性的描述函数。
描述函数的物理意义是描述了一个非线性元件对基波正弦量的传递能力。
（3）描述函数法分析稳定性和自振荡的一般步骤是：（i）首先求出非线性环节的描述函数N(A)。
（ii）分别画出线性部分的G(jω)曲线和非线性部分的-1/ N(A)曲线。
（iii）用奈氏判据判断稳定性和自振荡，若存在稳定的自振荡，则进一步求出自振荡的振幅和频率。
特别强调的是，应用描述函数法分析非线性系统，其结果的准确程度取决于线性部分高频、衰减特性的强弱。
在对数坐标图上，取决于L(ω)曲线高频段的斜率和位置，其高频段斜率越负，位置越低，高频衰减特性越强，分析结果就越准确。
（4）相平面法是分析非线性系统的一种时域法、图解法，不仅可以分析系统的稳定性和自振荡（极限环），而且可以求取系统的动态响应。
这种方法只运用于二阶系统，但由于一般高阶系统又可用二阶系统来近似，因此相平面法也可用于高阶系统的近似分析。
关于相平面法应着重掌握以下两个问题：（5）相平面图的基本概念：对于绘制和理解相平面图，以及进一步分析系统的动态响应是至关重要的。
相平面图的基本概念有：相轨迹和相平面图的定义；奇点的类型、性质和求法，极限环的分类及性质；相平面图的绘制方法。
应当注意，奇点中的中心点和奇线中的极限环，它们的相平面图是不一样的，这是两个截然不同的概念，不要混淆。
（6）相平面法分析非线性系统的一般步骤：（i）首先选择合适的相平面坐标，并根据非线性特性将相平面划分成若干个线性区域。
若系统没有外部输入，而是分析初始条件下系统的动态过程，可选取系统的输出量c及其导数c&，作为相坐标。
当系统有阶跃或斜坡输入时，选取系统的误差e和e&作为相坐标，会更为方便。
（ii）根据系统的微分方程式绘制各区域的相轨迹。
（iii）把相邻区域的相轨迹，在区域的边界上适当连接起来，便得到系统的相平面图。
然后根据相平面图，进一步分析系统的动态响应。
相平面法分析非线性系统的准确程度，取决于相轨迹曲线的绘制精度。
因此在绘制相轨迹曲线时，要保证一定的绘制精度。
应当特别指出，由于在非线性系统中，其非线性特性往往可以分段加以线性化，而在每一个分段中，系统都可以用线性微分方程描述，因此线性系统的相平面分析是非线性系统相平面分析的基础。
解题示范[例7-1]求间隙特性的描述函数解首先画出间隙特性及其在正弦信号x(t)=A sinωt作用下的输出波形，如图7-30所示。
图7-30 间隙特性及其输入—输出波形其输出波形的数学表达式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-+-≤≤-≤≤-=πωψπωψπωππωωt b t A k tb A k t b t A k t y )( )sin ()(2 )(20 ) sin ()(11因y (t )具有半波对称性，故A 1和B 1可按下式计算。
)1(4 )](cos )sin ( )(cos )()(cos )sin ([2)(cos )(111202201-=++-+-==⎰⎰⎰⎰--Abkb t td b t A k t yd b A k t td b t A k t td t y A πωωωωωωωωπωωππψππψϕπππ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++-+-==⎰⎰⎰⎰--2202201)21(221arcsin 2 )](sin )sin ( )(sin )()(sin )sin ([2)(sin )(111A b A b A b A b kA t td b t A k t yd b A k t td b t A k t td t yB ππωωωωωωωωπωωππψππψπππ由式（7-15）可得间隙特性的描述函数为：)( )1(4])1()21(2 )21arcsin(2[)(11b A AbA kb j A b A b A b Ab k A A j A B A N ≥-+--+-+=+=πππ[例7-12] 求变增益特性的描述函数解 变增益特性可以分解为一个线性与一个死区特性的并联，如图7-31所示。
线性图7-31 变增益特性及其并联分解特性的描述函数就是其频率特性，也就是其比例系数k 1 ，而死区特性的描述函数可由表7-1查得，故变增益特性的描述函数为)( ])(1[arcsin)(2 ])(1arcsin 2[)(2 )()()(2212221121s A AsA s A s k k k A sA s A s k k k A N A N A N ≥-+-+=-----=-=πππ [例7-13] 具有饱和非线性的控制系统如图7-32所示，试求。
(1) K =15时系统的自由运动状态。
(2) 欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，K 的临界稳定值是多少。
解查表7-1可知饱和非线性特性的描述函数为)( ])(1[arcsin2)(2a A Aa A a A a kA N ≥-+=π其中k =2，a =1，于是⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-21111arcsin 4)(1A A A A N π 起点A =1时，-1/N (A )=-0.5。
当A →∞时，-1/N (A )= -∞，因此-1/N (A )曲线位于-0.5~ -∞这段负实轴上。
系统线性部分的频率特性为：]105.00004.0[)]02.01(3.0[)125.0)(11.0()(242++---=++==ωωωωωωωj k s s kj G j s令I m [G (j ω)]=0即1-0.02ω2=0，得G (j ω)曲线与负实轴交点的频率为：s rad /07.702.01==ω 代R e [G (j ω)]，可求得G (j ω)曲线与负实轴的交点为：5.43.0105.00004.03.0)]([07.724kkj G R e -=++-==ωωωω (1) 将K =15代入上式，得R e [G (j ω)]= -1。
图7-33绘出了K =15时的G (j ω)曲线与-1/N (A )图7-32 例7-13非线性系统的结构图图7-33 例7-13系统的G (j ω)和-1/N (A )曲线曲线，两曲线交于（-1，j 0）点。
显然，交点对应的是下一个稳定的自振荡，根据交点处的幅值相等，即：1)1(111[arcsin 42-=-+-AA A π求得与交点对应的振幅A =2.5。
因此当K =15时系统的自由运动状态为自振荡状态，其振幅和频率为A =2.5，ω=7.07rad /s 。
（2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于G (s )极点均在左半s 平面，故根据奈氏判据知，应使G (j ω)曲线不包围-1/N (A )曲线，即5.05.43.0-≥-k故K 的临界稳定值为：5.73.04.05.0=⨯=MAX K [例7-14] 非线性系统如图7-34 所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定自振荡的振幅和频率。
解： 由图7-34可知，系统的结构图不是描述函数应用时的典型结构，因此首先变换成典型结构。
由于在用描述函数分析稳定性和自振荡时，不考虑r (t )的作用，故设r (t )=0。
再根据结构图中信号间的相互关系，故图7-34可变换成图7-35的典型结构。
由结构图知，非线性特性是滞环继电特性：M =1，h =0.2,故图7-34 例7-14非线性系统的结构图（a ） （b ）图7-35 例7-14结构图变换2.0 8.0)2.0(14 4)(14)(2222=≥--=--=h A Aj A A A Mhj A h A M A N ππππ画出-1/N (A )曲线与G (j ω)曲线如图7-36所示，-1/N (A )曲线是一条虚部为-j πh /4M =-j 0.157的直线。
显然两曲线的交点处决定了一个稳定的自振荡。
)1(10110)1(10)(22ωωωωωω+-+-=+=j j j j G Θ 令157.0)1(10)]([2-=+-=ωωωj G I m ，试探法解下列方程：0.0157ω(1+ω2)=1得 ω ≈4（rad /s ）将ω=4代入R e [G (j ω)]： 588.01102=+-ω令 R e [G (j ω)] = R e [-1/N (A )]-0.588 = -222.04-A π得 A =0.775 故自振荡的振幅A =0.775，频率ω =4rad /s 。
[例7-15] 图7-37(a )是一种非线性积分器的电路原理图。
这种非线性积分器对输入信号的幅值完成积分作用，而引入的相位滞后只有-38.1︒。
采用这种非线性积分器可以提高系统的无差型号，而对动态品质的影响却明显减小。
通常又把这种积分器称为Clegg 非线性积分器，试求Clegg 非线性积分器的描述函数。