第八章__非线性控制系统分析(二)
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《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
（2）稳定性分析很复杂 线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用 和初始条件无关。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。 非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话） 可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
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x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
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α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
19
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
《自动控制原理》第八章 非线性控制系统分析
第八章 非线性控制系统分析8-1 非线性控制系统概述1. 研究非线性控制理论的意义以上各章详细地讨论了线性定常控制系统的分析和设计问题。
但实际上，理想的线性系统并不存在，因为组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性。
以随动系统为例，放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范围时，输出呈饱和现象，如图8-l(a)所示；执行元件电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电机才会转动，存在着死区，而当电枢电压超过一定数值时，电机的转速将不再增加，出现饱和现象，其特性如图8-1(b)所示；又如传动机构，受加工和装配精度的限制，换向时存在着间隙特性，如图8-1(c)所示。
在图8-2所示的柱形液位系统中，设H 为液位高度，Q i为液体流入量，Q o 为液体流出量，C 为贮槽的截面积。
根据水力学原理0Q k H = (8-1)其中比例系数k 是取决于液体的粘度和阀阻。
液位系统的动态方程为0i i dH CQ Q Q k H dt =-=-显然，液位H 和液体输入量Q i 的数学关系式为非线性微分方程。
由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。
一般地，非线性系统的数学模型可以表示为：(,,...,,)(,,...,,)n m n m d y dy d r dr f t y g t r dt dt dt dt =(8-3)其中f(·)和g(·)为非线性函数。
当非线性程度不严重时，例如不灵敏区较小、输入信号幅值较小、传动机构间隙不大时，可以忽略非线性特性的影响，从而可将非线性环节视为线性环节；当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围内时，可运用小偏差法将非线性模型线性化。
例如，设图8—2液位系统的液位H 在H 0附近变化，相应的液体输入量Q i 在Q i0，附近变化时，可取ΔH =H −H 0，ΔQ i =Q i −Q i0,对√H 作泰勒级数展开。
自动控制原理第八章非线性控制系统
稳定性定义
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
感谢您的观看
THANKS
自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
自动控制原理(8-2)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。
A1，B1按下式计算：
1 2π 2 π A1 = ∫ y (t ) cos ωt dωt = ∫y (t ) cos ωt dωt π 0 π 0
1 2π 2 π B1 = ∫ y (t ) sin ωt dωt = ∫y (t ) sin ωt dωt π 0 π 0
二、典型非线性特性的描述函数
1.理想继电器特性
x(t ) A sin t
M y(t ) M (0 t ) ( t 2 )
傅氏展开
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
n 1
斜对称、奇函数→A0=A1=0
若非线性环节特性为输入的奇函数，则直流分量为
零。 当 f ( x) =－f ( －x) 时，则有
π π y (t + ) = f [ A sin ω(t + )] = f [ A sin (π + ωt )] ω ω = f( －A sin ωt ) = f ( －x) =－f ( x) =－y (t )
函数N也为零，故死区特性描述函数为：
2k k N 0
2 a a a arcsin 1 X X X
( X a) (X a )
4.死区饱和特性
0,
0 ≤ ωt ≤ ψ1 π ψ 2 ≤ ωt ≤ 2
y (t ) = K ( A sin ωt－Δ), ψ1 ≤ ωt ≤ ψ 2 K (a－Δ)，
Δ ψ1 = arcsin A
ψ 2 = arcsin a A
由于y(t)为奇函数，所以A0=0，A1=0，而y(t)又为半
《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析
K G jw = ( ) S 0.1S+1)( 0.2S+1) ( K −0.3w− j(1−0.02w2 )] [ = 4 2 w 0.0004w + 0.05w +1) (
S= jw
令 ImG(jw) = 0 即 1 – 0.02w2 = 0 ，可得 G(jw) 曲线与负实轴交点的频率为：
1 wx = = 50 = 7.07rad / s 0.02
C(t)
∆2 ∆3 ∆ = ∆1 + + k k k2 1 1
K1 ，k2 ，k3 为传递函数各自的增益
处于系统前向通路最前边的元件，其死区所 造成的影响最大，而放大元件和执行元件的影响 可以通过提高这些元件前几项的传递函数来减小。 死区对系统的直接影响是造成稳态误差，降 低了定位精度。
≤ 时，输出量 y 与 x 是线 饱和：当输入量 x≤ a x> a > 时，输出量不再 性关系 y = kx ，当 随着输入量线性增长，而保持为某一常值。
两条曲线在交点处的幅值相等，即： −π
1 1 1 2 [arcsin + 4 1−( ) ] A A A = −1
得：A = 0.5 应用奈氏判据可以判断交点对应的周期运动 2.5sin7.07t 是稳定的，故当 k = 15 时，非线性系统 工作在自振状态，自振振幅 A = 2.5 ，频率 w = 7.07rad/s （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于 G(s) 的极点均在右半平面，故根据奈氏判据
相对负倒描述函数为：
A A2 ( ) 1 π π h h − =− =− NA ( ) 4 4 A2 h2 1−( ) ( ) −1 h A
采用相对描述函数后，系统的特征方程改写为：
非线性系统分析
3、频率特性发生畸变 在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，使输出波形发生非线性畸变。
四、分析与设计方法 而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。 1、相平面法（二阶系统） 2、描述函数法（高阶系统）
8-2 常见非线性及其对系统运动的影响
一、死区特性 控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳态误差，而测量元件死区的影响尤为显著。
二、饱和特性 饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数减小，因而降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性做信号限幅。
三、间隙特性 间隙或回环特性对系统的影响比较复杂，一般说来，它会使系统稳差增大，相位滞后增大，从而使动态特性变坏。
例题：设含饱和非线性特性的非线性系统方框图如图所示，试绘制当输入信号为r(t)=1(t)时的相轨迹。
解：饱和特性的数学表达式为：
描述系统运动过程的微分方程为
由上列方程组写出以误差e为输出变量的系统运动方程为
(I)
若
则系统在I区工作于欠阻尼状态，这时的奇点(0，0)为稳定焦点;
3、相轨迹的绘制 （1）解析法 用求解微分方程的办法找出x和 的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹。
（2）等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线。
二、线性系统的相轨迹
1、一阶系统的相轨迹
x
T<0
x
T>0
2、二阶系统的相轨迹
（1）奇点： 在相平面上，
，不确定的点称为奇点。
第八章 非线性控制系统分析
x x
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx
x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x
c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx
x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x
c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。
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自动控制原理
第八章
描述函数的基本概念
(1) 描述函数的定义 设非线性系统如图所示 其中线性部分的传递函数为：
C ( s) G ( s) = Y (s)
N
N 是非线性环节，它的输出 y 与输入 x 之间为非线性 函数：y=f (x) 当非线性环节的输入信号为正弦信号 x(t)=Asinωt ， 则其输出y(t)一般不是正弦信号，但仍是一个周期信 号，其傅里叶级数展开式为：
自动控制原理
第八章
非线性系统的简化
(3) 线性部分的等效变换
r (t ) = 0
−
G1
−
G2
y
c(t )
− −
G2 G1
x
c(t )
N
x
G3
y
N
G3
1 G3
−
y
G2 1 + G1G2
c(t )
x −
N
y
G2G3 1 + G1G2
c(t )
N
x
G3
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自动控制原理
第八章
非线性系统稳定性分析的描述函数法
单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描 述函数是复数
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第八章
非线性系统的简化
非典型结构形式 N 典型结构形式
原则：在r(t)=0的条件下，根据非线性特性的串、 并联，简化非线性部分为一个等效非线性环节， 再保持等效非线性环节的输入输出关系不变，简 化线性部分。
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B1
= A 3 3 + A 2 16
B1 1 3 2 N ( A) = = + A A 2 16
描述函数的基本概念
1 2π 1 2π A A3 3 = sin ωt + sin ωt sin ωtd (ωt ) y( t )sin ωtd (ωt ) ∫ ∫ 4 π 0 π 0 2
A12 + B12
)
B1 + jA 1 = A
描述函数表征了非线性环节对于正弦响应中基波分量 的传递特性(变幅移相能力) 当非线性环节中不含储能元件(无惯性)时，描述函数 只与输入信号幅值A有关，与输入信号频率ω无关 比较：线性环节(系统)的频率特性与A无关，与ω有关
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自动控制原理
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第八章
典型非线性特性的描述函数
间隙(滞环)特性
A12 + B12 −1 A 1 N ( A) = ∠tg ( A ≥ a) A B1 4kA a 2 a [( ) − ] A1 = A A π 2a 2a a kA π a 2 −1 [ + sin (1 − ) + 2(1 − ) B1 = −( ) ] π 2 A A A A
x = A sin ωt
M
x = A sin ωt
M
∆
k
y1 + y = y1 + y2 + y2
k
y
∆
∆
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第八章
非线性系统的简化
(2) 非线性特性的串联
x
N1(A)
x1
N2(A)
y
x
N(A)
y
N ( A) ≠ N1 ( A) ⋅ N 2 ( A)
先求等效非线性特性(与串联次序有关)； 再求等效非线性特性的描述函数。
饱和特性
N ( A) = 2k
π
[sin
−1
a a a 2 + 1− ( ) ] A A A
( A ≥ a)
死区特性
a a 2 2k π −1 a N ( A) = − [ − sin 1− ( ) ] π 2 A A A ( A ≥ a)
死区饱和特性
2k s s 2 a a 2 −1 s −1 a N ( A) = [sin − sin + 1− ( ) − 1− ( ) ] A A A A A A π ( A ≥ s)
第八章
描述函数的基本概念
当非线性特性y= f (x)为输入x的奇函数 (即f (x)关于原 点对称)，则y(t)为t的奇对称函数，即y(t)= –y(t + π/ω) 此时，A0=0 若非线性特性y= f (x)是单值奇函数，则y(t)为t的奇 函数，即y(t)= –y(–t)，则 A1 = 0, N ( A) = B1 (实函数) A 若非线性特性y= f (x)是非单值奇函性系统的简化
y e y
解 ： x = k ( e − e0 )
y=M
e > e0 x≥a a e = + e0 k
等效非线性特性:
M, e > ∆ y = 0, − ∆ ≤ e ≤ ∆ − M , e < − ∆
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令 a = k ( e − e0 ) a 即 ∆ = + e0 k
2 0
1
2π
0
y (t ) sin ωt d ωt
y= f (x)是单值奇函数 A1= 0
=
4
π
π 4 4M 2 y ( t ) sin t d t ω ω M sin t d t = = ω ω ∫ ∫
N(A ) =
B1 = A
4M πA
π
0
π
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第八章
典型非线性特性的描述函数
具有复变增益 的比例环节 (1) 变增益线性系统的稳定性分析 K 频域法 奈氏判据
设G(s)的极点均位于s 的左半平面，即P=0 闭环特征方程： 1 + KG ( jω ) = 0
G ( jω ) = − 1 + j0 K
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第八章
非线性系统稳定性分析的描述函数法
1 + KG ( jω ) = 0 闭环特征方程： G ( jω ) = − + j 0 K 由奈氏判据： 当奈氏曲线G(jω)不包围(–1/K, j0) 点时，系统闭环稳定； 1 1 − − 当G(jω)包围(–1/K, j0)点时，系统不 K K2 1 稳定； 当G(jω)穿过(–1/K, j0)点时，系统 临界稳定，产生等幅振荡。 若K在一定范围内可变，K1≤K≤K2， 则：点线段 当G(jω)包围该线段时，系统不稳定 当G(jω)不包围该线段时，系统稳定
= A 2.5, = N ( A) 1.67 y A=2
N ( A) = 1.25
可变增益(与A有关)的放大器 物理意义： B1 y (t ) ≈ y1 (t ) = B1 sin ωt = ⋅ A sin ωt
A N ( A) ⋅ x(t )
= A 1,= N ( A) 0.69
0
x
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(2) 饱和非线性特性的描述函数
kx, − a ≤ x ≤ a y ( x) = ka, x≥a −ka, x ≤ −a
x(t ) = A sin ωt
a ϕ1 = arcsin 由 A sin ϕ1 = a A kA sin ωt , 0 ≤ ωt ≤ ϕ1 y (t ) = π , < ≤ ϕ ω ka t 1 2
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第八章
非线性系统的简化
(1) 非线性特性的并联 若两个非线性特性输入相同，输出相加、减，则 等效非线性特性为两个非线性特性的叠加。
x = A sin ωt
N1(A) N2(A)
y1
+
±
y2
y = y1 ± y2
x = A sin ωt
N(A)
y
N ( A) = N1 ( A) ± N 2 ( A)
π
0
非线性环节的输出y(t)中含有基波(一次谐波)分量及 高次谐波分量
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第八章
描述函数的基本概念
y (t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt )
如果系统的线性部分具有低通滤波特性，则高次谐波 分量通过线性部分后将衰减到很小，因此可以近似认 为当输入正弦信号 x(t) 时，只有 y(t) 的基波分量沿闭环 回路反馈至比较点，其高次谐波分量均忽略不计 若A0=0，则基波分量 (一次谐波分量) N
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第八章
描述函数的基本概念
(2) 非线性系统描述函数法分析的应用条件 (i) 非线性系统应简化成一个 非线性环节和一个线性部分 闭环连接的典型结构形式 N
(ii)非线性特性y= f (x)不包含储能元件，且为输入x的 奇函数，或正弦输入下的输出y(t)为t的奇对称函数， 即 y(t)= –y(t +π/ω)，以保证A0=0 (iii)系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能（极点 均位于左半S平面；阶数越高，低通滤波性能越好）
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第八章
描述函数的基本概念
y (t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt )
n＝1 ∞
直流分量
第n次谐波分量
其中：
1 A0 = 2π
∫
2π
0
y (t ) dωt
1 2π An = ∫ y (t ) cos nωt dωt π 0 1 2π Bn = ∫ y (t ) sin nωt dωt
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第八章
描述函数法
基本思想： 当系统满足一定的假设条件时，非线性环节在正弦 信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导 出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。 非线性系统等效为一个线性系统，可用线性系统理 论中的频率法对系统进行频域分析 描述函数法是一种频域分析方法 主要用于分析在无外作用的情况下，非线性系统的 稳定性和自振问题 是一种近似方法，有一定的限制条件
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第八章
描述函数的基本概念
(1) 描述函数的定义 设非线性系统如图所示 其中线性部分的传递函数为：
C ( s) G ( s) = Y (s)
N
N 是非线性环节，它的输出 y 与输入 x 之间为非线性 函数：y=f (x) 当非线性环节的输入信号为正弦信号 x(t)=Asinωt ， 则其输出y(t)一般不是正弦信号，但仍是一个周期信 号，其傅里叶级数展开式为：
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第八章
非线性系统的简化
(3) 线性部分的等效变换
r (t ) = 0
−
G1
−
G2
y
c(t )
− −
G2 G1
x
c(t )
N
x
G3
y
N
G3
1 G3
−
y
G2 1 + G1G2
c(t )
x −
N
y
G2G3 1 + G1G2
c(t )
N
x
G3
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第八章
非线性系统稳定性分析的描述函数法
单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描 述函数是复数
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第八章
非线性系统的简化
非典型结构形式 N 典型结构形式
原则：在r(t)=0的条件下，根据非线性特性的串、 并联，简化非线性部分为一个等效非线性环节， 再保持等效非线性环节的输入输出关系不变，简 化线性部分。
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B1
= A 3 3 + A 2 16
B1 1 3 2 N ( A) = = + A A 2 16
描述函数的基本概念
1 2π 1 2π A A3 3 = sin ωt + sin ωt sin ωtd (ωt ) y( t )sin ωtd (ωt ) ∫ ∫ 4 π 0 π 0 2
A12 + B12
)
B1 + jA 1 = A
描述函数表征了非线性环节对于正弦响应中基波分量 的传递特性(变幅移相能力) 当非线性环节中不含储能元件(无惯性)时，描述函数 只与输入信号幅值A有关，与输入信号频率ω无关 比较：线性环节(系统)的频率特性与A无关，与ω有关
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第八章
典型非线性特性的描述函数
间隙(滞环)特性
A12 + B12 −1 A 1 N ( A) = ∠tg ( A ≥ a) A B1 4kA a 2 a [( ) − ] A1 = A A π 2a 2a a kA π a 2 −1 [ + sin (1 − ) + 2(1 − ) B1 = −( ) ] π 2 A A A A
x = A sin ωt
M
x = A sin ωt
M
∆
k
y1 + y = y1 + y2 + y2
k
y
∆
∆
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第八章
非线性系统的简化
(2) 非线性特性的串联
x
N1(A)
x1
N2(A)
y
x
N(A)
y
N ( A) ≠ N1 ( A) ⋅ N 2 ( A)
先求等效非线性特性(与串联次序有关)； 再求等效非线性特性的描述函数。
饱和特性
N ( A) = 2k
π
[sin
−1
a a a 2 + 1− ( ) ] A A A
( A ≥ a)
死区特性
a a 2 2k π −1 a N ( A) = − [ − sin 1− ( ) ] π 2 A A A ( A ≥ a)
死区饱和特性
2k s s 2 a a 2 −1 s −1 a N ( A) = [sin − sin + 1− ( ) − 1− ( ) ] A A A A A A π ( A ≥ s)
第八章
描述函数的基本概念
当非线性特性y= f (x)为输入x的奇函数 (即f (x)关于原 点对称)，则y(t)为t的奇对称函数，即y(t)= –y(t + π/ω) 此时，A0=0 若非线性特性y= f (x)是单值奇函数，则y(t)为t的奇 函数，即y(t)= –y(–t)，则 A1 = 0, N ( A) = B1 (实函数) A 若非线性特性y= f (x)是非单值奇函性系统的简化
y e y
解 ： x = k ( e − e0 )
y=M
e > e0 x≥a a e = + e0 k
等效非线性特性:
M, e > ∆ y = 0, − ∆ ≤ e ≤ ∆ − M , e < − ∆
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令 a = k ( e − e0 ) a 即 ∆ = + e0 k
2 0
1
2π
0
y (t ) sin ωt d ωt
y= f (x)是单值奇函数 A1= 0
=
4
π
π 4 4M 2 y ( t ) sin t d t ω ω M sin t d t = = ω ω ∫ ∫
N(A ) =
B1 = A
4M πA
π
0
π
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典型非线性特性的描述函数
具有复变增益 的比例环节 (1) 变增益线性系统的稳定性分析 K 频域法 奈氏判据
设G(s)的极点均位于s 的左半平面，即P=0 闭环特征方程： 1 + KG ( jω ) = 0
G ( jω ) = − 1 + j0 K
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非线性系统稳定性分析的描述函数法
1 + KG ( jω ) = 0 闭环特征方程： G ( jω ) = − + j 0 K 由奈氏判据： 当奈氏曲线G(jω)不包围(–1/K, j0) 点时，系统闭环稳定； 1 1 − − 当G(jω)包围(–1/K, j0)点时，系统不 K K2 1 稳定； 当G(jω)穿过(–1/K, j0)点时，系统 临界稳定，产生等幅振荡。 若K在一定范围内可变，K1≤K≤K2， 则：点线段 当G(jω)包围该线段时，系统不稳定 当G(jω)不包围该线段时，系统稳定
= A 2.5, = N ( A) 1.67 y A=2
N ( A) = 1.25
可变增益(与A有关)的放大器 物理意义： B1 y (t ) ≈ y1 (t ) = B1 sin ωt = ⋅ A sin ωt
A N ( A) ⋅ x(t )
= A 1,= N ( A) 0.69
0
x
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(2) 饱和非线性特性的描述函数
kx, − a ≤ x ≤ a y ( x) = ka, x≥a −ka, x ≤ −a
x(t ) = A sin ωt
a ϕ1 = arcsin 由 A sin ϕ1 = a A kA sin ωt , 0 ≤ ωt ≤ ϕ1 y (t ) = π , < ≤ ϕ ω ka t 1 2
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非线性系统的简化
(1) 非线性特性的并联 若两个非线性特性输入相同，输出相加、减，则 等效非线性特性为两个非线性特性的叠加。
x = A sin ωt
N1(A) N2(A)
y1
+
±
y2
y = y1 ± y2
x = A sin ωt
N(A)
y
N ( A) = N1 ( A) ± N 2 ( A)
π
0
非线性环节的输出y(t)中含有基波(一次谐波)分量及 高次谐波分量
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描述函数的基本概念
y (t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt )
如果系统的线性部分具有低通滤波特性，则高次谐波 分量通过线性部分后将衰减到很小，因此可以近似认 为当输入正弦信号 x(t) 时，只有 y(t) 的基波分量沿闭环 回路反馈至比较点，其高次谐波分量均忽略不计 若A0=0，则基波分量 (一次谐波分量) N
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描述函数的基本概念
(2) 非线性系统描述函数法分析的应用条件 (i) 非线性系统应简化成一个 非线性环节和一个线性部分 闭环连接的典型结构形式 N
(ii)非线性特性y= f (x)不包含储能元件，且为输入x的 奇函数，或正弦输入下的输出y(t)为t的奇对称函数， 即 y(t)= –y(t +π/ω)，以保证A0=0 (iii)系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能（极点 均位于左半S平面；阶数越高，低通滤波性能越好）
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描述函数的基本概念
y (t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt )
n＝1 ∞
直流分量
第n次谐波分量
其中：
1 A0 = 2π
∫
2π
0
y (t ) dωt
1 2π An = ∫ y (t ) cos nωt dωt π 0 1 2π Bn = ∫ y (t ) sin nωt dωt
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描述函数法
基本思想： 当系统满足一定的假设条件时，非线性环节在正弦 信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导 出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。 非线性系统等效为一个线性系统，可用线性系统理 论中的频率法对系统进行频域分析 描述函数法是一种频域分析方法 主要用于分析在无外作用的情况下，非线性系统的 稳定性和自振问题 是一种近似方法，有一定的限制条件