非线性控制系统分析
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
非线性系统分析方法
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
X 130 A 140
120 G(j)
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析
K G jw = ( ) S 0.1S+1)( 0.2S+1) ( K −0.3w− j(1−0.02w2 )] [ = 4 2 w 0.0004w + 0.05w +1) (
S= jw
令 ImG(jw) = 0 即 1 – 0.02w2 = 0 ，可得 G(jw) 曲线与负实轴交点的频率为：
1 wx = = 50 = 7.07rad / s 0.02
C(t)
∆2 ∆3 ∆ = ∆1 + + k k k2 1 1
K1 ，k2 ，k3 为传递函数各自的增益
处于系统前向通路最前边的元件，其死区所 造成的影响最大，而放大元件和执行元件的影响 可以通过提高这些元件前几项的传递函数来减小。 死区对系统的直接影响是造成稳态误差，降 低了定位精度。
≤ 时，输出量 y 与 x 是线 饱和：当输入量 x≤ a x> a > 时，输出量不再 性关系 y = kx ，当 随着输入量线性增长，而保持为某一常值。
两条曲线在交点处的幅值相等，即： −π
1 1 1 2 [arcsin + 4 1−( ) ] A A A = −1
得：A = 0.5 应用奈氏判据可以判断交点对应的周期运动 2.5sin7.07t 是稳定的，故当 k = 15 时，非线性系统 工作在自振状态，自振振幅 A = 2.5 ，频率 w = 7.07rad/s （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于 G(s) 的极点均在右半平面，故根据奈氏判据
相对负倒描述函数为：
A A2 ( ) 1 π π h h − =− =− NA ( ) 4 4 A2 h2 1−( ) ( ) −1 h A
采用相对描述函数后，系统的特征方程改写为：
第八章 非线性控制系统分析
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx
x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x
c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。
非线性控制系统的分析课件.ppt
法求解有困难时，可用图解法绘制。
▪ 对于式（9.2-1）xf(x,x)，令 x1x、 x2x ，
▪
有 x 2f(x1、 x2)，所以 可得 dx2 f (x1、x2)
d d x t2d dx x1 2d d x t1x2d dx x1 2f(x1、 x2)
（9.2-5）
▪
dx1
x2
式（9.2-5）是关于
y
-b 0
k
x
b
a.
b.
图9.1-4 齿轮传动及其间隙特性
y(x)k[xs g x)n b](|y/kx|b y (x)0、 y(x)C |y/kx|b
▪ 系统中若有间隙特性元件，不仅会使系统的输出产生相位滞后，导致 系统稳定裕量的减小，使动态性能恶化，容易产生自振；而且间隙区 会降低定位精度、增大非系线统性控静制差系统。的分析课件
▪ 由于相平面只能表示 x(t ) 和 x(t ) 两个独立变量，所以相 平面法只能用来研究一、二阶线性或非线性系统。
▪ 2）相轨迹的绘制方法
▪ （1）二阶线性系统的相轨迹 ▪ （2）相轨迹的绘制
非线性控制系统的分析课件
j
[s]
2 1
0
a.
j 1 [s]
0
2
d.
x2
j
x2
1
[s]
x1
0
0
0
稳定 节点
x
(
t
)
和 x (t ) 的一阶微分方程，即二阶非线性
系统的相轨迹方程。
▪
由式（9.2-5），令
dx2 f (x1,x2)
dx1
x2
，即有
▪
f (x1, x2 )
（9.2-6）
非线性控制系统分析
实验八非线性控制系统分析实验目的1.掌握二阶系统的奇点在不同平衡点的性质。
2.运用Simulink构造非线性系统结构图。
3.利用Matlab绘制负倒描述函数曲线，运用非线性系统稳定判据进行稳定性分析，同时分析交点处系统的运动状态，确定自振点。
实验原理1.相平面分析法相平面法是用图解法求解一般二阶非线性系统的精确方法。
它不仅能给出系统稳定性信息和时间特性信息，还能给出系统运动轨迹的清晰图像。
设描述二阶系统自由运动的线性微分方程为片+ 2冲+承=0分别取和为相平面的横坐标与纵坐标，并将上列方程改写成dx _24/ +曲H上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率。
从式中看出在’「及—，即坐标原点（0,0）处的斜率灯‘以_门。
这说明，相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值的确定，相平面上的这类点成为奇点。
无阻尼运动形式（二--）对应的奇点是中心点；欠阻尼运动形式（「上」）对应的奇点是稳定焦点；过阻尼运动形式（―-）对应的奇点是稳定节点；负阻尼运动形式（：=二）对应的奇点是不稳定焦点；负阻尼运动形式-）对应的奇点是不稳定节点；■-描述的二阶系统的奇点（0,0）称为鞍点，代表不稳定的平衡状态。
2.描述函数法设非线性系统经过变换和归化，可表示为非线性部分「与线性部分，相串联的典型反馈结构如图所示。
从图中可写出非线性系统经谐波线性化处理线性化系统的闭环频率响应为ROM由上式求得图中所示非线性系统特征方程为■-，还可写成呛曲）=- ….或4丁 丁，对应着一个正弦周期运动。
若系统扰动后，上述周期运 动经过一段时间，振幅仍能恢复为 A 二：，则具有这种性质的周期运动，称为自激振荡。
可见自激振荡就是一种振幅能自动恢复的周期运动。
周期运动解A 二：可由特征方程式求得，亦可通过图解法获得。
由等式 宀小在复数平面上分别绘制|」 曲线和；， 曲线。
两曲线的 交点对应的参数即为周期运动解。
有几个交点就有几个周期运动解。
至于该解是 否对应着自激振荡状态，取决于非线性系统稳定性分析。
第八章_非线性控制系统分析
偏移下的自由运动
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
4、线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，
而这一周期运动是物理上不可能实现的; 非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一 定频率和振幅的稳定的周期运动，如图所示，这个周期运 动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称 自振。
自动控制理论A
Lo o
x
k [e(t ) e0 ], x(t ) 0 x (t ) k [e(t ) e0 ], x(t ) 0 bsigne(t ), x(t ) 0
b k
k
e0 -b
-e0
e
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
4、继电特性
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
8.1 非线性系统及其特点
一.实际系统中的非线性因素
Lo o
一些常见的非线性特性
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因素 外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结 构，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更 复杂的非线性控制器。 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，最 简单和最普遍的就是继电器。
2011 秋
许燕斌
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二、非线性系统的特点（与线性系统的区别）
1、线性系统满足叠加原理，而非线性控制 系统不满足叠加原理。
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
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2、在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的 结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统 特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没 有关系； 对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概 念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。非线 性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及 参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。
第6章非线性控制系统分析
一般非线性
描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般
非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们 举一个例子:
1 1 3 y x x 2 4
因为它是单值、奇对称的，A1
0, 1 0 ，先求出 y (t ) ：
1 1 3 3 y (t ) A sin t A sin t 2 4
n 1
A 0 Yn sin(n t n )
n 1
y (t ) A0 ( An cos n t Bn sin n t )
n 1
A 0 Yn sin(n t n )
n 1
1 2 式中：A0 y (t )d t 0 2 1 2 An y (t ) cos n td t
2 1 2 1
这意味着一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是
一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。
这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的 相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。
描述函数法的定义：输入为正弦函数时，输出的基波分量 与输入正弦量的复数比。其数学表达式为
Y sin( t 1 ) Y1 N ( A) 1 1 A sin t A A12 B12 A arctan 1 A B1
y
B
C
0
C
x
B
(a)
死区特性 一般的测量元件、执行机构都具有不灵敏区特性。只有在输 入信号大到一定程度以后才会有输出。一般的机械系统、 电机等, 都不同程度地存在死区。这种只有当输入量超过 一定值后才有输出的特性称为死区特 性，如图b所示。
y
k
C
0
C
x
k
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3描述函数法一．本质非线性特性的谐波线性化 1．谐波线性化具有本质非线性的非线性元件在正弦输入作用下在其非正弦周期函数的输出响应中假设只有基波分量有意义从而将本质非线性特性在这种假设下视为线性特性的一种近似 3．应用描述函数法分析非线性系统的前提 a 非线性特性具有奇对称心 b非线性系统具有图a所时的典型结构 c非线性部分输出xt中的基波分量最强 d非线性部分Gs的低通滤波效应较好 b非线性特性的描述函数的求取方法二．典型非线性特性的描述函数 1饱和特性的描述函数 2死区特性描述函数 3间隙特性的描述函数 1 引言第七章非线性控制系统分析非线性指元件或环节的静特性不是按线性规律变化非线性系统如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节则称这类系统为非线性系统其特性不能用线性微分方程来描述一．控制系统中的典型非线性特性下面介绍的这些特性中一些是组成控制系统的元件所固有的如饱和特性死区特性和滞环特性等这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的如继电器特性变增益特性在控制系统中加入这类特性一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性非线性系统分析饱和特性 2死区特性危害使系统输出信号在相位上产生滞后从而降低系统的相对稳定性使系统产生自持振荡危害使系统输出信号在相位上产生滞后从而降低系统的相对稳定性使系统产生自持振荡 4继电器特性功能改善系统性能的切换元件 4继电器特性特点使系统在大误差信号时具有较大的增益从而使系统响应迅速而在小误差信号时具有较小的增益从而提高系统的相对稳定性同时抑制高频低振幅噪声提高系统响应控制信号的准确度本
质非线性不能应用小偏差线性化概念将其线性化非本质非线性可以进行小偏差线性化的非线性特二．非线性控制系统的特性 1对于线性系统描述其运动状态的数学模型量线性微分方程它的根本标志就在于能使用叠加原理而非线性系统其数学模型为非线性微分方程不能使用叠加原理由于两种系统特性上的这种差别所以它的运动规律是很不相同的目前还没有像求解线性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法而对非线性系统一般并不需要求解其输出响应过程通常是把讨论问题的重点放在系统是否稳定系统是否产生自持振荡计算机自持振荡的振幅和频率消除自持振荡等有关稳定性的分析上 2在线性系统中系统的稳定性只与其结构和参数有关而与初始条件无关对于线性定常系统稳定性仅取决于特征根在s平面的分布但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关外还和初始条件有关在不同的初始条件下运动的最终状态可能完全不同如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的而当初始值处于较大区域内时则变
出现更为复杂的情况 3在非线性系统中除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外往往即使无外作用存在系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡自持振荡无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为自持振荡简称自振荡改变非系统的结构和参数可以改变自持振荡的振幅和频率或消除自持振荡对线性系统围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式其中不可能产生稳定的自持振荡 4在线性系统中输入为正弦函数时其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同因此可以用频率响应来描述系统的固有特性而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式三．非线性系统的研究方法
现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统对非本质非线性系统基于小偏差线性化概念来处理对本质非线性系统二阶系统相平面法高阶系统描述函数法 2相平面法相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法一．基本概念二．线性系统的相轨迹奇点相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点 6 三相轨迹的绘制 b直接积分法 2图解法 a等倾线法等倾线在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线四由相轨迹求时间解五．非线性系统的相平面分析 1．基本概念实奇点奇点位于对应的线性工作区域内虚奇点奇点位于对应的线性工作区域外极限环极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环或从极限环卷出极限环内部或外部的相轨迹总是不可能穿过极限环而进入它的外部或内部 1稳定极限环在极限环附近起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛与该极限环这时系统表现为等幅持续振荡 2不稳定极限环在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去在这种情况下如果相轨迹起始于极限环内则该相轨迹收敛于极限环内的奇点如果相轨迹起始于极限环外则该相轨迹发散至无穷远 3半稳定极限环如果起始于极限环外部的相轨迹从极限环发散出去而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于极限环或者相反起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述在相平面的不同区域内代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换区域的边界线称为开关线或转换线因此一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨迹我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作用相平面法分析非线性系统的一般步骤 1将非线性特
性用分段的直线特性来表示写出相应线段的数学表达式 2首先在相平面上选择合适的坐标一般常用误差及其导数分别为横纵坐标然后将相平面根据非线性特性分成若干区域使非线性特性在每个区域内都呈线性特性 3确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置 4在各个区域内分别画出各自的相轨迹 5将相邻区域的相轨迹根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来便得到整个非线性系统的相轨迹 6基于该相轨迹全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性例 2非线性系统方框图如图所示试取其系统在输入信号例3 式中线性区宽度线性区特性的斜率式中死区宽度 -线性输出的斜率式中间隙宽度间隙特性斜率变增益特性式中 -变增益特性斜率-切换点设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 1 如果以和作为变量则可有 2 用第一个方程除第二个方程有
3 这是一个以为自变量以为因变量的方程如果能解出该方程则可以用2式把的关系计算出来因此对方程1的研究可以用研究方程3来代替如果把方程1看作质点的运动方程则代表质点的位置代表质点的速度因而也代表了质点的动量用和描述方程1的解也就是用质点的状态如位置和动量来表示质点的运动在物理学中这种不直接用时间变量而用状态变量表示运动的方法称为相空间法也称为状态空间法在自动控制理论中把具有直角坐标的和的平面称为相平面相平面是二维的状态空间设描述系统运动的微分方程为分别取和为相平面的横坐标和纵坐标上述方程为则上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率在及即坐标原点00处的斜率为由此我们有奇点的定义 1无阻尼运动形式积分有 2欠阻尼运动形式 1解析法绘制相轨迹的关键在于找出和的关系用求解微分方程的办法找出的关系从而可在相平面上绘制相轨迹
这种方法称为解析法解析法分为 a消去参变量由直接解出通过求导得到在这
两个解中消去作为参变量的就得到的关系例设描述系统的微分方程为
其中M为常量已知初始条件求其相轨迹解积分有 1 再积
分一次有 2 由12式消去有 M1 M-1 上式可分解为则由可找出得关系在上式中由
可有积分有可见两种方法求出的相轨迹是相同的原理因故有
式中为相轨迹在某一点的切线的斜率令则 I 满足此方程的点出的斜率必
为有上式确定的关系曲线称为等倾线相轨迹必然以的斜率经过等倾线步骤 a
根据等倾线方程式I做出不同值的等倾线 b根轨初始条件确定相轨迹的起始点
c从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线它的斜率近似等于这两条
相邻等倾线斜率的平均值再从该直线与第二条等倾线的交点向相邻的第三条等
倾线画直线这段直线的斜率等于第二第三等倾线斜率的平均值如此继续下去即
可作出相轨迹 b法原理这里是单值连续函数式中适当选择值以使下面
定义的函数值在所讨论的取值范围内既不太大也不太小函数定义如下函数值
取决于变量和而当和变化很小时可以看作一个常量积分有这是一个以为圆
心以为半径的圆弧附近的相轨迹可用这段圆弧来代替做图步骤①在平面上根
据初始状态的坐标计算出②以为圆心过初始状态作一小段圆弧使系统的状态从
转移到③根据和求出后以为圆心作过的一段圆弧系统状态又以转移到 1根据
求时间解在坐标上在坐标上由图可见从相平面图上横坐标上选
取从相平面图上纵坐标上选取但应是对应的的平均值从相平面图上横坐标上
选取从相平面图上纵坐标上选取但应是对应的的平均值 2．根据求时间解以为
横坐标为纵坐标则有如下轨迹便是阴影部分的面积 3．根据圆弧近似求时间解
相轨迹上由A点运动到D点的时间为 1 2作用下的相轨迹并分析该系
统的特性初始状态解死区特性的数字表达式为线性部分微分方程为而故有根据死区特性系统可分为三个区 I区
II区 III区 1 三个区的微分部分分别为 I II III 在I区常量说明相轨迹是斜率为的直线或的横轴
在II区奇点为奇点正好位于III区分界线上令则有等倾线方程这里斜率为得直线方程过点同理在III区等倾线为起始坐标 2
渐近线实奇点虚奇点例1 求下列方程的奇点并确定奇点类型
1 2 解奇点故可由来确定奇点 1 令在奇点处将进行泰勒
Taylor级数展开故有特征方程故奇点为中心。