第八章 非线性控制系统分析
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自动控制原理非线性控制系统分析
M -a
y
0
a
x
-M
y M7
2、死区特性 当输入|x|≤ ∆ 时，输出y=0，当输入|x|> ∆ 时，y与x呈线性关系。∆ 死区范围，K=tgβ 是死 区特性线性段的斜率。
死区特性对系统最直接的影响是造成系统的 稳态误差。死区的存在相当于降低了系统的开环 增益，从而提高了系统的稳定性，减弱了过渡过 程的振荡性。另外死区可以滤除输入端做小幅度 振荡的干扰信号，从而提高系统的抗干扰能力。
81非线性控制系统概述研究非线性控制理论的意义实际上理想的线性系统并不存在组成系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性
自动控制原理
第八章 非线性控制系统分析
8-1 非线性控制系统概述
1. 研究非线性控制理论的意义
实际上，理想的线性系统并不存在，组成 系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同 程度的非线性。
y M -a K 0 a -M x
13
8
3、饱和特性 当输入|x|≤ a 时， y与x呈线性关系， 即y=Kx；当输入|x|> a时，输出y保持为 一常值 。a为线性区，K是饱和特性线性 区的斜率。 饱和特性对系统的影响比较复杂，随 系统的结构和参数的不同而不同。但一般 来说，饱和特性往往促使系统稳定，但会 减小系统的放大系数，降低系统的稳态精 度。
y y y
0
x
0
x
0
x
3
2. 非线性系统的特征 稳定性分析复杂，系统可能存在多个平衡状态； t x0 e x x( x 1) x(t ) 1 x0 x0 et
4
可能存在自激振荡现象； 频率响应发生畸变。
3. 非线性系统的分析与设计方法
y
0
a
x
-M
y M7
2、死区特性 当输入|x|≤ ∆ 时，输出y=0，当输入|x|> ∆ 时，y与x呈线性关系。∆ 死区范围，K=tgβ 是死 区特性线性段的斜率。
死区特性对系统最直接的影响是造成系统的 稳态误差。死区的存在相当于降低了系统的开环 增益，从而提高了系统的稳定性，减弱了过渡过 程的振荡性。另外死区可以滤除输入端做小幅度 振荡的干扰信号，从而提高系统的抗干扰能力。
81非线性控制系统概述研究非线性控制理论的意义实际上理想的线性系统并不存在组成系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性
自动控制原理
第八章 非线性控制系统分析
8-1 非线性控制系统概述
1. 研究非线性控制理论的意义
实际上，理想的线性系统并不存在，组成 系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同 程度的非线性。
y M -a K 0 a -M x
13
8
3、饱和特性 当输入|x|≤ a 时， y与x呈线性关系， 即y=Kx；当输入|x|> a时，输出y保持为 一常值 。a为线性区，K是饱和特性线性 区的斜率。 饱和特性对系统的影响比较复杂，随 系统的结构和参数的不同而不同。但一般 来说，饱和特性往往促使系统稳定，但会 减小系统的放大系数，降低系统的稳态精 度。
y y y
0
x
0
x
0
x
3
2. 非线性系统的特征 稳定性分析复杂，系统可能存在多个平衡状态； t x0 e x x( x 1) x(t ) 1 x0 x0 et
4
可能存在自激振荡现象； 频率响应发生畸变。
3. 非线性系统的分析与设计方法
自动控制原理 胡寿松 第八章 非线性控制系统分析
k ( x b) y c k ( x b)
当x y / k b 当 b x y / k b 当x y / k b
式中， b 为常数，它等于主动轮改变方向时的值。
间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动 态、稳态特性都不利。
虚线可用动态非线性微分方程来描述 死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态 误差加大；
死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提 高抗干扰能力。
2. 饱和特性
可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大。 实际的饱和特性一般如图中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图中 的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。 理想饱和特性的数学描述为：
3. 非线性系统的分析与设计方法
系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以解决稳定性问题为中 心，对系统实施有效的控制。 由于非线性系统形式多样，受数学工具限制，一般情况下难以求得非线性微 分方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法。 本章重点介绍两种方法：（考研） 1）相平面法
2）描述函数法
2) 非线性系统的分类
非本质非线性 ：能用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 ： 不能用小偏差线性化方法解决的非线性。
3）研究非线性控制理论的意义 随着生产和科学技术的发展，对控制系统的性能和精度要求越来越高，建 立在线性化基础上的分析和设计方法已经难以解决高质量的控制问题。 为此，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。 此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑非线性控制器 的设计。
8-3 相平面法
自动控制原理第八章非线性控制系统
稳定性定义
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
感谢您的观看
THANKS
自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析
K G jw = ( ) S 0.1S+1)( 0.2S+1) ( K −0.3w− j(1−0.02w2 )] [ = 4 2 w 0.0004w + 0.05w +1) (
S= jw
令 ImG(jw) = 0 即 1 – 0.02w2 = 0 ，可得 G(jw) 曲线与负实轴交点的频率为：
1 wx = = 50 = 7.07rad / s 0.02
C(t)
∆2 ∆3 ∆ = ∆1 + + k k k2 1 1
K1 ，k2 ，k3 为传递函数各自的增益
处于系统前向通路最前边的元件，其死区所 造成的影响最大，而放大元件和执行元件的影响 可以通过提高这些元件前几项的传递函数来减小。 死区对系统的直接影响是造成稳态误差，降 低了定位精度。
≤ 时，输出量 y 与 x 是线 饱和：当输入量 x≤ a x> a > 时，输出量不再 性关系 y = kx ，当 随着输入量线性增长，而保持为某一常值。
两条曲线在交点处的幅值相等，即： −π
1 1 1 2 [arcsin + 4 1−( ) ] A A A = −1
得：A = 0.5 应用奈氏判据可以判断交点对应的周期运动 2.5sin7.07t 是稳定的，故当 k = 15 时，非线性系统 工作在自振状态，自振振幅 A = 2.5 ，频率 w = 7.07rad/s （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于 G(s) 的极点均在右半平面，故根据奈氏判据
相对负倒描述函数为：
A A2 ( ) 1 π π h h − =− =− NA ( ) 4 4 A2 h2 1−( ) ( ) −1 h A
采用相对描述函数后，系统的特征方程改写为：
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
08非线性控制系统分析
1
2
第八章、非线性控制系统分析
本章主要内容：
一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、相平面法 四、描述函数法 五、非线性控制的逆系统方法
3
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 :
1、了解非线性系统的特点 2、掌握研究非线性系统相平面法 3、掌握研究非线性系统描述函数法 4、了解研究非线性系统的逆系统法
x
一、非线性控制系统概述(12)
必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加 控制误差，因此多数情况下不希望系统有自振发生。但在控 制中通过引入高频小幅度的颤振，可克服间隙、死区等非线 性因素的不良有影响。而在振动试验中，还必须使系统产生 稳定的周期运动。因此研究自振的产生条件及抑制，确定自 振的频率和周期，是非线性系统分析的重要内容。 （3）频率响应发生畸变 非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信 号分量（基频分量）外，还含有关于 的高次谐波分量， 使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节， 输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。
描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化 的一种图解分析方法。
18
一、非线性控制系统概述(14)
描述函数法对于满足结构要求的一类非线性系统，通过 谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后 推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。 （3）逆系统法 逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统， 并以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直 接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程， 是非线性系统控制研究的发展方向。
4、间隙特性 齿轮、蜗轮轴的加工及装 配误差或磁滞效应是形成间隙 特性的主要原因。如下图所示。 间隙特性为非单值函数。
2
第八章、非线性控制系统分析
本章主要内容：
一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、相平面法 四、描述函数法 五、非线性控制的逆系统方法
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第八章、非线性控制系统分析
本章要求 :
1、了解非线性系统的特点 2、掌握研究非线性系统相平面法 3、掌握研究非线性系统描述函数法 4、了解研究非线性系统的逆系统法
x
一、非线性控制系统概述(12)
必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加 控制误差，因此多数情况下不希望系统有自振发生。但在控 制中通过引入高频小幅度的颤振，可克服间隙、死区等非线 性因素的不良有影响。而在振动试验中，还必须使系统产生 稳定的周期运动。因此研究自振的产生条件及抑制，确定自 振的频率和周期，是非线性系统分析的重要内容。 （3）频率响应发生畸变 非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信 号分量（基频分量）外，还含有关于 的高次谐波分量， 使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节， 输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。
描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化 的一种图解分析方法。
18
一、非线性控制系统概述(14)
描述函数法对于满足结构要求的一类非线性系统，通过 谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后 推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。 （3）逆系统法 逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统， 并以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直 接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程， 是非线性系统控制研究的发展方向。
4、间隙特性 齿轮、蜗轮轴的加工及装 配误差或磁滞效应是形成间隙 特性的主要原因。如下图所示。 间隙特性为非单值函数。
第八章_非线性控制系统分析
非线性系统在不同初始
偏移下的自由运动
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
4、线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，
而这一周期运动是物理上不可能实现的; 非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一 定频率和振幅的稳定的周期运动，如图所示，这个周期运 动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称 自振。
自动控制理论A
Lo o
x
k [e(t ) e0 ], x(t ) 0 x (t ) k [e(t ) e0 ], x(t ) 0 bsigne(t ), x(t ) 0
b k
k
e0 -b
-e0
e
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
4、继电特性
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
8.1 非线性系统及其特点
一.实际系统中的非线性因素
Lo o
一些常见的非线性特性
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因素 外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结 构，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更 复杂的非线性控制器。 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，最 简单和最普遍的就是继电器。
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
二、非线性系统的特点（与线性系统的区别）
1、线性系统满足叠加原理，而非线性控制 系统不满足叠加原理。
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
2、在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的 结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统 特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没 有关系； 对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概 念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。非线 性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及 参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。
偏移下的自由运动
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
4、线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，
而这一周期运动是物理上不可能实现的; 非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一 定频率和振幅的稳定的周期运动，如图所示，这个周期运 动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称 自振。
自动控制理论A
Lo o
x
k [e(t ) e0 ], x(t ) 0 x (t ) k [e(t ) e0 ], x(t ) 0 bsigne(t ), x(t ) 0
b k
k
e0 -b
-e0
e
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
4、继电特性
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
8.1 非线性系统及其特点
一.实际系统中的非线性因素
Lo o
一些常见的非线性特性
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因素 外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结 构，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更 复杂的非线性控制器。 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，最 简单和最普遍的就是继电器。
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
二、非线性系统的特点（与线性系统的区别）
1、线性系统满足叠加原理，而非线性控制 系统不满足叠加原理。
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
2、在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的 结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统 特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没 有关系； 对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概 念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。非线 性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及 参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。
非线性控制系统分析(第八章)
c(t ) c10 e c20 e 由初始条件决定。当取初始条件使 或 ， c10 , c 20 c10 0 则相轨迹为 或 ；而在其它情况下，由于特征 c20 0 根 远离虚轴，故第二项很快衰减，系统运动过程特别是过 c s2 c c s c 1 渡过程的后期主要取决于第一项。这一结果与相平面分析的 s2 结果一致。
s1
s2
a a 4b 2
0
a a2 4b 2
0
s1 , s 2 为两个符号相反的互异实根，系统相平面图见下张图。
13
Байду номын сангаас
三、相平面法（17）
由图可见，图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其它相轨 迹的渐近线，此外作为相平 面的分隔线，还将相平面划 分为四个具有不同运动状态 的区域。当初始条件位于 c s2 c 对应的相轨迹，系 统的运动将趋于原点，但只 要受到极其微小的扰动，系 统的运动将偏离该相轨迹， 并最终沿着c s1 c对应的相 轨迹的方向发散 至无穷。 因此 b 0 时，线性二阶系统的运动是不稳定的。 14
15
dc
a
三、相平面法（19）
3）b 0 。取 a /(2 b ) ，并分以下几种情况加以分析： ① 0 1 。系统特征根为一对具有负实部的共轭复根。 系统的零输入响应为衰减振荡形式。取 ＝0.5, n 1， 运用等倾线法绘制系统的 相轨迹如右图所示。相 轨迹为向心螺旋线，最 终趋于原点。
f ( x, x ) a x
7
三、相平面法（11）
4）一般地，等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确。 但随所取等倾线的增加，绘图工作量增加，同时也使 作图产生的积累误差增大。为提高作图精度，可采用 平均斜率法，即取相邻两条等倾线所对应的斜率的平 均值为两条等倾线间直线的斜率。
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f ( x, x ) 0 x 系统方程
f ( x, x ) dx dx x
dx dx dx ) x x f ( x, x d x dt dx
) f ( x, x x
x x 0 ,用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。 x 例3 系统方程
本章内容
8-1 非线性控制系统概述 8-2 常见静态非线性特性及其对系统运动的影响 8-3 相平面法 8-4 描述函数法
8-1 非线性控制系统概述
1.研究非线性控制理论的意义
2.非线性系统的特征（重要）
3.非线性系统的分析与设计方法
1. 研究非线性控制理论的意义
组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同 程度的非线性。用非线性微分方程描述的非线性为动态非线 性特性。本章研究静态非线性特性。 1）非线性系统的定义：含有一个或多个具有非线性特性的元件。 2) 非线性系统的分类 非本质非线性 ：能用小偏差线性化方法线性化处理。 本质非线性 ： 不能用小偏差线性化方法解决。 3）研究非线性控制理论的意义 改善系统性能，实现高质量控制，必须考虑非线性控制器 的设计。 4）目前非线性研究中存在的问题 特性千差万别，目前没有统一普遍适用的方法。理论和实 践的前沿问题。 线性是非线性系统的特例，线性系统的分析和设计方法仍 将发挥重要作用。
3）频率响应发生畸变
线性系统的频率响应，正弦信号作用下的稳态输出量是 与输入同频率的正弦信号。 非线性系统的频率响应除含有与输入同频率的正弦信号 外，还含有高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。
3. 非线性系统的分析与设计方法
系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以解 决稳定性问题为中心，对系统实施有效的控制。 由于非线性系统形式多样，受数学工具限制，一般情况 下难以求得非线性微分方程的解析解，只能采用工程上适用 的近似方法。 本章重点介绍两种方法：（考研） 1）相平面法 2）描述函数法
设非线性系统方程为：
f ( x, x ) 0 x
相轨迹上斜率不确定的点
x0 0 x
对于线性定常系统， 原点是唯一的平衡点
— 向右移动 — 向左移动
(3)相轨迹的运动方向
0 0 下半平面: x 上半平面: x
顺时针运动
(4)相轨迹通过横轴的方向
f ( x, x ) dx dx x
1. 相平面的基本概念
相平面、相轨迹和相轨迹图 相平面：
) 由系统某变量及其导数(如 c , c 构成的用以描述系统状态的平面。
相轨迹：
系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。 例1 单位反馈系统
G( s ) 5 n 2.236 s( s 1) 0.2236
2）线性二阶系统的相轨迹
2 2nc n c c0
奇点分稳定奇点和不稳定奇点。据二阶系统特征根分布情况， 奇点分：中心点，节点（稳定的、不稳定的），焦点（稳定的、 不稳定的），鞍点。 ，相应的相轨迹图如下:
极点分布 奇点
中心点
相迹图
极点分布 奇点
鞍 点
相迹图
稳定的 焦点
不稳定 的焦点
8-3 相平面法
相平面法直观、准确的反应系统的稳定性、平衡状态和 稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。 相轨迹适用于分析常见静态非线性特性和一阶、二阶线 性环节组合而成的非线性系统，并形成一种特定的相平面法， 它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性 , 解释极 限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。 1.相平面的基本概念 2.相轨迹的性质 3.相轨迹的绘制 4.线性系统相轨迹及特点 5.非线性系统的相平面分析（重点）
解 线性部分
C ( s) 1 2 U ( s) s
( t ) u( t ) c
e 2 开关线方程 e 2
0 e 2 (I) 非线性部分 u e 2 e 2 (II ) e 2 e 2 (III)
综合点
e r c 4c
c 4e e c e c
2. 饱和特性
任何实际装臵都存在饱和特性，因为它们的输出不可能 无限增大。为了分析方便，用图中的三段直线来近似，称之 为理想饱和特性。 数学描述为：
kg y kx kg
x g | x | g xg
饱和现象使系统的开环增益在饱和区时下降。
3. 继电特性
继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性, 继电特性 有双位特性（a）和（b），三位特性（c）等，图（b）（c） 的继电特性还带有滞环。当然，不限于继电器，其它装臵 如果具有类似的非线性特性，我们也称之为继电特性，比 如：电磁阀、斯密特触发器等。大多数家用电冰箱、空调 就是继电器控制系统。
x sign 0，分析系统的自由响应。 x x 例1 系统方程为
解
x 1 0 x x x 1 0
xe1 1 xe 2 1
0 I x 0 II x
I 奇点 II
特征 I 方程 II
s2 1 0 s2 1 0
5. 非线性系统的相平面分析
常见静态非线性特性多数可用分段直线表示，或者本身就 是分段线性的。
对于含有这些静态非线性特性的一大类非线性系统，由于 不满足解析条件，无法采用小偏差法线性化。
根据非线性分段特点，将相平面分成若干区域进行研究， 可使非线性微分方程在各个区域表现为线性微分方程，再应 用线性系统相平面分析方法，则问题可以得到解决。(可从分 段相图上分析系统）
2 d x n x xd x
2 1 2 n x x2 C 2 2 2 x 2C 2 x 2 2 A2
n
n
2 x2 x 2 2 1 — 椭圆方程 2 A A n
相轨迹的绘制 —— (2)等倾斜线法
等倾斜线 —— 相轨迹斜率为常数的曲极限环
孤立的封闭曲线，把相平面划分为具有不同运动特点的各 个区域，极限环是非线性系统的特有现象。收敛于该极限环， 则极限环称稳定极限环。系统呈现稳定的自振，如图
各 类 极 限 环
稳定的极限环
不稳定的极限环
半稳定的极限环
一些复杂的非线性控制系统可能出现两个或两个以上极限环。 该非线性系统的工作状态，不仅取决于初始条件，也取决于 扰动大小。 只有稳定的极限环才能在实验中被观察到。不稳定或半稳定 的极限环无法在实验中观察到。
8-2 常见静态非线性特性 及其对系统运动的影响
一个单输入单输出静态非线性特性的数学描述为：
y f ( x)
静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继电特性、 间隙特性和摩擦特性是最常见的，也是最简单。静态非线性 是动态非线性的一种近似。 考研要求，能写出以上非线性特性的数学表达式及相应图 形，相应特性对系统性能的影响。
1. 死区特性
死区特性常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏 区造成的。为了分析方便，用图中三段直线（实线）近似， 称为理想死区特性。数学描述为：
k ( x ) y 0 k ( x ) x | x | x
死区特性可能给控制系统带来不利影响，使控制的灵敏 度下降，稳态误差加大；也可能给控制系统带来有利的 影响，有些系统人为引入死区以提高抗干扰能力。
.
图（b）的数学描述自行导出。
4. 间隙特性
齿轮传动是典型的间隙特性。
设齿轮传动速比为c，间隙特性的数学描述：
k ( x b) y c k ( x b) 当x y / k b 当 b x y / k b 当x y / k b
间隙特性对控制系统的动态、稳态特性都不利。 注：以上所介绍的各种非线性特性，有些可结合在一起构成组 合非线性特性。
5.67 5.76 1.73 0.84 0.36 0.00 80 100 120 140 160 180
x
x 1
1 arctan 1
0.19
0.42
0.82
1.18 1.58
2.19
解
dx x ) x ( x x dx
x x 1
) (x x x
等倾斜线方程
3.75 2.19 1.58 1.18 0.82 0.42 0.19
1.75
1 1
0.36 20
0.84 40
1.73 60
中心点 中心点
s1, 2 j1 极点 s1, 2 j1
开关线 —— 划分不同线性区域的边界线 平衡线（奇线） —— 不同区域的相轨迹相互影响而产生
c ( 0) 0 例2 系统如右，已知 r ( t ) 4 1( t ) ,确定开关线方程,奇点位置和 ) 图。 类型,绘制相轨迹 ( e , e
) 0 f ( x, x 0 x
相轨迹以90°穿越 x 轴
3 相轨迹的绘制 ——(1) 解析法
2 n 例2 设系统方程为 x x 0，
试绘制系统的相轨迹。
解
dx dx dx dx 2 x n x x dx dt d x dt
1.75
3.75
4. 线性系统相轨迹及特点
线性系统是非线性系统的特例。 许多非线性一阶和二阶系统，常可分成多个区间研究。在 各个区间，非线性系统的运动特性可用一阶或二阶线性微分方 程描述。
1）线性一阶系统的相轨迹
线性一阶系统自由运动微分方程
c 0 Tc
相轨迹方程
1 c c T
第八章 非线性控制系统分析
非线性系统与线性系统有本质的差别， 非线性系统不满足叠加原理，非线性系统的 稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参 数，而且与系统的初始条件和输入信号有关。 本章介绍非线性系统的经典分析方法：相平 面法和描述函数法，相平面法是时域中的一 种图解分析法，描述函数法是频率域中的一 种近似分析法。
f ( x, x ) dx dx x
dx dx dx ) x x f ( x, x d x dt dx
) f ( x, x x
x x 0 ,用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。 x 例3 系统方程
本章内容
8-1 非线性控制系统概述 8-2 常见静态非线性特性及其对系统运动的影响 8-3 相平面法 8-4 描述函数法
8-1 非线性控制系统概述
1.研究非线性控制理论的意义
2.非线性系统的特征（重要）
3.非线性系统的分析与设计方法
1. 研究非线性控制理论的意义
组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同 程度的非线性。用非线性微分方程描述的非线性为动态非线 性特性。本章研究静态非线性特性。 1）非线性系统的定义：含有一个或多个具有非线性特性的元件。 2) 非线性系统的分类 非本质非线性 ：能用小偏差线性化方法线性化处理。 本质非线性 ： 不能用小偏差线性化方法解决。 3）研究非线性控制理论的意义 改善系统性能，实现高质量控制，必须考虑非线性控制器 的设计。 4）目前非线性研究中存在的问题 特性千差万别，目前没有统一普遍适用的方法。理论和实 践的前沿问题。 线性是非线性系统的特例，线性系统的分析和设计方法仍 将发挥重要作用。
3）频率响应发生畸变
线性系统的频率响应，正弦信号作用下的稳态输出量是 与输入同频率的正弦信号。 非线性系统的频率响应除含有与输入同频率的正弦信号 外，还含有高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。
3. 非线性系统的分析与设计方法
系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以解 决稳定性问题为中心，对系统实施有效的控制。 由于非线性系统形式多样，受数学工具限制，一般情况 下难以求得非线性微分方程的解析解，只能采用工程上适用 的近似方法。 本章重点介绍两种方法：（考研） 1）相平面法 2）描述函数法
设非线性系统方程为：
f ( x, x ) 0 x
相轨迹上斜率不确定的点
x0 0 x
对于线性定常系统， 原点是唯一的平衡点
— 向右移动 — 向左移动
(3)相轨迹的运动方向
0 0 下半平面: x 上半平面: x
顺时针运动
(4)相轨迹通过横轴的方向
f ( x, x ) dx dx x
1. 相平面的基本概念
相平面、相轨迹和相轨迹图 相平面：
) 由系统某变量及其导数(如 c , c 构成的用以描述系统状态的平面。
相轨迹：
系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。 例1 单位反馈系统
G( s ) 5 n 2.236 s( s 1) 0.2236
2）线性二阶系统的相轨迹
2 2nc n c c0
奇点分稳定奇点和不稳定奇点。据二阶系统特征根分布情况， 奇点分：中心点，节点（稳定的、不稳定的），焦点（稳定的、 不稳定的），鞍点。 ，相应的相轨迹图如下:
极点分布 奇点
中心点
相迹图
极点分布 奇点
鞍 点
相迹图
稳定的 焦点
不稳定 的焦点
8-3 相平面法
相平面法直观、准确的反应系统的稳定性、平衡状态和 稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。 相轨迹适用于分析常见静态非线性特性和一阶、二阶线 性环节组合而成的非线性系统，并形成一种特定的相平面法， 它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性 , 解释极 限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。 1.相平面的基本概念 2.相轨迹的性质 3.相轨迹的绘制 4.线性系统相轨迹及特点 5.非线性系统的相平面分析（重点）
解 线性部分
C ( s) 1 2 U ( s) s
( t ) u( t ) c
e 2 开关线方程 e 2
0 e 2 (I) 非线性部分 u e 2 e 2 (II ) e 2 e 2 (III)
综合点
e r c 4c
c 4e e c e c
2. 饱和特性
任何实际装臵都存在饱和特性，因为它们的输出不可能 无限增大。为了分析方便，用图中的三段直线来近似，称之 为理想饱和特性。 数学描述为：
kg y kx kg
x g | x | g xg
饱和现象使系统的开环增益在饱和区时下降。
3. 继电特性
继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性, 继电特性 有双位特性（a）和（b），三位特性（c）等，图（b）（c） 的继电特性还带有滞环。当然，不限于继电器，其它装臵 如果具有类似的非线性特性，我们也称之为继电特性，比 如：电磁阀、斯密特触发器等。大多数家用电冰箱、空调 就是继电器控制系统。
x sign 0，分析系统的自由响应。 x x 例1 系统方程为
解
x 1 0 x x x 1 0
xe1 1 xe 2 1
0 I x 0 II x
I 奇点 II
特征 I 方程 II
s2 1 0 s2 1 0
5. 非线性系统的相平面分析
常见静态非线性特性多数可用分段直线表示，或者本身就 是分段线性的。
对于含有这些静态非线性特性的一大类非线性系统，由于 不满足解析条件，无法采用小偏差法线性化。
根据非线性分段特点，将相平面分成若干区域进行研究， 可使非线性微分方程在各个区域表现为线性微分方程，再应 用线性系统相平面分析方法，则问题可以得到解决。(可从分 段相图上分析系统）
2 d x n x xd x
2 1 2 n x x2 C 2 2 2 x 2C 2 x 2 2 A2
n
n
2 x2 x 2 2 1 — 椭圆方程 2 A A n
相轨迹的绘制 —— (2)等倾斜线法
等倾斜线 —— 相轨迹斜率为常数的曲极限环
孤立的封闭曲线，把相平面划分为具有不同运动特点的各 个区域，极限环是非线性系统的特有现象。收敛于该极限环， 则极限环称稳定极限环。系统呈现稳定的自振，如图
各 类 极 限 环
稳定的极限环
不稳定的极限环
半稳定的极限环
一些复杂的非线性控制系统可能出现两个或两个以上极限环。 该非线性系统的工作状态，不仅取决于初始条件，也取决于 扰动大小。 只有稳定的极限环才能在实验中被观察到。不稳定或半稳定 的极限环无法在实验中观察到。
8-2 常见静态非线性特性 及其对系统运动的影响
一个单输入单输出静态非线性特性的数学描述为：
y f ( x)
静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继电特性、 间隙特性和摩擦特性是最常见的，也是最简单。静态非线性 是动态非线性的一种近似。 考研要求，能写出以上非线性特性的数学表达式及相应图 形，相应特性对系统性能的影响。
1. 死区特性
死区特性常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏 区造成的。为了分析方便，用图中三段直线（实线）近似， 称为理想死区特性。数学描述为：
k ( x ) y 0 k ( x ) x | x | x
死区特性可能给控制系统带来不利影响，使控制的灵敏 度下降，稳态误差加大；也可能给控制系统带来有利的 影响，有些系统人为引入死区以提高抗干扰能力。
.
图（b）的数学描述自行导出。
4. 间隙特性
齿轮传动是典型的间隙特性。
设齿轮传动速比为c，间隙特性的数学描述：
k ( x b) y c k ( x b) 当x y / k b 当 b x y / k b 当x y / k b
间隙特性对控制系统的动态、稳态特性都不利。 注：以上所介绍的各种非线性特性，有些可结合在一起构成组 合非线性特性。
5.67 5.76 1.73 0.84 0.36 0.00 80 100 120 140 160 180
x
x 1
1 arctan 1
0.19
0.42
0.82
1.18 1.58
2.19
解
dx x ) x ( x x dx
x x 1
) (x x x
等倾斜线方程
3.75 2.19 1.58 1.18 0.82 0.42 0.19
1.75
1 1
0.36 20
0.84 40
1.73 60
中心点 中心点
s1, 2 j1 极点 s1, 2 j1
开关线 —— 划分不同线性区域的边界线 平衡线（奇线） —— 不同区域的相轨迹相互影响而产生
c ( 0) 0 例2 系统如右，已知 r ( t ) 4 1( t ) ,确定开关线方程,奇点位置和 ) 图。 类型,绘制相轨迹 ( e , e
) 0 f ( x, x 0 x
相轨迹以90°穿越 x 轴
3 相轨迹的绘制 ——(1) 解析法
2 n 例2 设系统方程为 x x 0，
试绘制系统的相轨迹。
解
dx dx dx dx 2 x n x x dx dt d x dt
1.75
3.75
4. 线性系统相轨迹及特点
线性系统是非线性系统的特例。 许多非线性一阶和二阶系统，常可分成多个区间研究。在 各个区间，非线性系统的运动特性可用一阶或二阶线性微分方 程描述。
1）线性一阶系统的相轨迹
线性一阶系统自由运动微分方程
c 0 Tc
相轨迹方程
1 c c T
第八章 非线性控制系统分析
非线性系统与线性系统有本质的差别， 非线性系统不满足叠加原理，非线性系统的 稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参 数，而且与系统的初始条件和输入信号有关。 本章介绍非线性系统的经典分析方法：相平 面法和描述函数法，相平面法是时域中的一 种图解分析法，描述函数法是频率域中的一 种近似分析法。