非线性系统介绍
非线性系统的分析与控制
非线性系统的分析与控制一、引言非线性系统是指系统的输入与输出之间存在着非线性关系的一类系统。
非线性系统由于其复杂性和多样性，已经成为了现代自动控制与系统工程中的一个热门研究领域。
非线性系统的分析与控制是目前自动控制领域研究的重点之一。
本文主要介绍非线性系统的分析和控制方法。
二、非线性系统的描述非线性系统是指系统输入和输出之间存在非线性关系的系统。
非线性系统可以用数学模型来描述。
常见的一些非线性数学模型有：常微分方程、偏微分方程、差分方程、递推方程等。
非线性系统的特性可以归纳为以下几个方面：1.非线性系统的输入和输出之间存在非线性关系，即输出不是输入的线性函数。
2.非线性系统的行为不稳定，其输出随时间而变化。
3.非线性系统的行为是确定的，但是通常不能被解析地表示。
4.一些非线性系统可能会表现出周期性或者混沌现象。
三、非线性系统的分析方法对非线性系统进行分析是了解和掌握其行为的前提。
主要的分析方法有线性化法和相平面法。
1.线性化法线性化法是将非线性系统在某一特定点附近展开成一系列的一阶或者二阶泰勒级数，然后用线性系统来代替非线性系统，进而对非线性系统进行分析。
线性化法的优点是简单易行，但是必须要求非线性系统在特定点附近的行为与线性系统相似，否则线性化法就失效了。
2.相平面法相平面法通过画出非线性系统的相图来表示系统的行为，较常用的是相轨线和极点分析法。
相轨线是用非线性系统的相图来描述其行为。
相图是将系统的状态表示为一个点，它的坐标轴与系统的每个状态变量相关。
极点分析法则是在相平面上找出使系统输出输出的状态点，然后找出与这些状态点相关的所有极点，以确定出系统的稳定性。
四、非线性系统的控制方法目前，非线性系统的控制方法主要包括反馈线性化控制、自适应控制、滑动模式控制和模糊控制等。
1.反馈线性化控制反馈线性化控制方法以线性控制理论为基础，将非线性系统通过反馈线性化方法转化为等效的线性控制系统，以便使用线性控制理论进行控制。
非线性系统知识点总结
非线性系统知识点总结一、引言随着科学技术的发展，非线性系统在各个领域中扮演着愈发重要的角色，例如控制工程、经济学、生物学、化学等。
非线性系统的特点是其响应与输入之间不满足线性叠加原理，因此其动力学行为十分复杂。
在探究非线性系统的特性和行为规律中，需要深入研究和掌握一系列知识点。
本文将以非线性系统为基础，对其相关知识点进行总结和梳理，以期为相关研究提供一定的指导方向。
二、非线性系统的基本概念1. 线性系统与非线性系统在探究非线性系统之前，首先需要了解线性系统与非线性系统的区别与联系。
线性系统具有叠加性质，即输入信号的线性组合对应于输出信号的线性组合。
而非线性系统则不满足该叠加性质。
从数学上来说，线性系统的方程能够表示为一阶线性微分方程，即具有线性的数学形式，而非线性系统的方程则是包含非线性项的微分方程。
2. 非线性系统的特点非线性系统具有复杂的行为特性，其主要特点包括：不可分解性、不确定性、多稳态性、随机性等。
非线性系统在实际应用中往往表现出多样化的动力学行为，对于系统的建模和分析提出了更高的要求。
三、非线性系统的数学描述1. 非线性方程非线性系统的数学描述通常采用非线性微分方程来进行表达。
非线性微分方程一般具有如下形式：\[ \frac{dx}{dt} = f(x(t), t) \]其中 \( x(t) \) 表示系统的状态变量，\( t \) 表示时间，\( f(x(t), t) \) 表示系统的非线性函数。
非线性微分方程的求解往往需要借助于数值方法，例如Euler法、Runge-Kutta法等。
2. 非线性系统的相空间描述相空间描述是研究非线性系统动力学行为的重要方法之一。
通过将系统的状态变量表示为相空间中的点，可以直观地展现系统的动态特性。
非线性系统的相空间可能包括多个稳态点、极限环、混沌吸引子等复杂结构。
3. 非线性系统的周期轨道对于某些非线性系统，其动力学行为可能出现周期轨道。
周期轨道是指系统状态在相空间中呈现周期性变化的轨迹，通常通过极限环的存在来描述。
自动控制原理第八章非线性控制系统
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
01非线性系统概述
y
ka
a
a
x
ka
饱和非线性(Saturation)
• 输入幅度大时不能输出希望值 • 调节时间上升、动态误差上升 • 对自持振荡进行限幅
死区非线性(Dead zone)
• 输入小时没有输出 • 导致稳态误差 • 削弱系统输出振荡
非线性系统概述
典型的非线性系统：继电特性
非线性系统概述
线性系统
非线性系统 叠加原理不再适用, 不存在统一的处理方法 • 存在难于线性近似的非线性系统（如饱和、死区） • 非线性控制可能具有更好的性能（如切换控制）
非线性系统概述
非线性改善系统性能的例子
r(t)
切换控制
a
c(t ) a
t1
r(t) ab
a
t1 c(t ) ab
t1
非线性系统概述
理想继电器
具有死区的继电器
• 提供快速切换，使系统响应更快、更光滑，但也可导致系统振荡ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
非线性系统概述
典型的非线性系统：滞环与间隙特性
滞环非线性(Hysteresis)
• 导致系统响应迟钝 • 导致振荡
间（齿）隙非线性(Backlash)
• 对输入有延迟作用 • 可能导致振荡
非线性系统概述
典型非线性的组合
饱和 + 死区
线性+ 死区
继电 + 死区 + 滞环
第7章 非线性系统的分析
某一初始条件出发在相平面上按照式(7-13)或式(7-14)绘出的
曲线称为相平面轨迹,简称相轨迹。不同初始条件下构成的
相轨迹,称为相轨迹簇。由相轨迹簇构成的图称为相平面图。
利用相平面图分析系统性能的方法,称为相平面分析法。
图7-6为某个非线性系统的相平面图。图中,相轨迹上的
箭头表示相变量随着时间的增加沿相轨迹运动的方向。
第7章 非线性系统的分析 7.2 相平面分析法
7.2.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为
第7章 非线性系统的分析
第7章 非线性系统的分析
1.相平面和相轨迹
前面已经设定
我们称以x1(或x)为横坐
标、以x2(或 )为纵坐标构成的平面为相平面(注意,纵坐标x2
是横坐标x1的一阶导数),如图7-6所示。x1、x2为相变量。由
7.2.2 线性系统的相轨迹 在学习非线性系统的相平面分析法之前,我们先对非常
熟悉的线性系统做相平面分析。设二阶线性系统的微分方程 为
第7章 非线性系统的分析
也就是说,无论系统特征参数ωn和ξ是何值,系统的奇点是 不变的。此外,式(7-21)的特征方程为
系统的特征根为
对于不同的阻尼比ξ,二阶系统特征根的形式是不同的,而 线性系统的时域响应是由特征根决定的。下面介绍系统特征 根与系统的奇点(0,0)以及相轨迹的关系。
行线性化。我们只研究系统平衡点附近的特性时,就可以采 用平衡点附近的线性化方法,将非线性系统在平衡点附近小 范围线性化。当然,也可以将非线性系统分为几个区域,对每 个区域进行分段线性化。
第7章 非线性系统的分析
2.相平面分析法 相平面分析法简称相平面法,是非线性系统的图解分析 法。其基本思路是:建立一个相平面,在相平面上根据非线性 系统的结构和特性,绘制非线性系统的相轨迹。相轨迹就是 非线性系统中的变量在不同初始条件下的运动轨迹,根据相 轨迹就可以对非线性系统进行分析。该方法只适用于一阶和 二阶非线性微分方程。
非线性系统的动力学分析及控制研究
非线性系统的动力学分析及控制研究随着科学技术的快速发展，对于动力学分析和控制研究的需求和重视也逐渐增加。
其中一种非常重要的研究对象就是非线性系统。
1.非线性系统概述非线性系统，简单来说就是不能被描述为线性关系的系统。
由于其比线性系统更复杂，因此难以进行精确的分析和控制，但非线性系统却可以描述许多自然界中的现象以及工程技术实践中的问题。
我们知道，线性系统的特性是“比例性”和“叠加性”，其输入和输出之间存在着数量上的线性关系。
但是，非线性系统在不同的输入下会产生系统响应的非线性变化。
其系统行为可能表现出变化多样、复杂、不可预知等特征。
这些性质决定了非线性系统的动力学不规则和不稳定性，对动力学的分析和控制构成了巨大的困难。
2.非线性系统的控制在非线性系统的控制领域中，最基本的方法就是通过反馈控制的方式，尽量减少系统的误差和稳态误差。
但对于非线性系统来说，它需要一些更为高级和复杂的控制策略，如模糊控制、神经网络控制、自适应控制等。
以自适应控制为例。
自适应控制方法是通过不断对过程进行监控，并改变控制器或控制算法的参数来实现快速、准确和自适应的控制。
这种方法的基本思想是根据系统的现实状况，进行实时修正和调整，使系统能更加灵活和稳定地运行。
但是，由于非线性系统的动力学特性，自适应控制系统设计也会面临很大的挑战。
这主要包括控制算法的设计、系统模型的定位和优化等一系列困难。
3.非线性系统的动力学分析非线性系统的动力学分析是非线性控制领域研究的核心问题之一。
涉及到非线性系统的稳定性、运动轨迹、系统响应等多个方面。
这里简单介绍一些非线性动力学分析方法。
首先是Lyapunov方法。
Lyapunov方法是通过构造Lyapunov函数，来判断非线性系统的稳定性。
主要思想就是找到一个函数，使得对于给定的初值，系统的状态必定会趋近于稳定。
通过求出Lyapunov函数的导数，然后判断其正负性，就能得出系统的稳定性。
另外还有基于相平面分析的方法。
非线性系统的分析和控制
非线性系统的分析和控制非线性系统是指其输入和输出之间不符合线性关系的系统，这种系统常见于生命科学、经济学、工程学以及实际应用中的复杂系统中。
非线性系统的分析和控制是科学技术领域长期以来的研究热点之一，随着计算机技术和控制理论的发展，一些传统的控制方法已经无法有效地处理非线性系统。
如何对非线性系统进行有效的建模并进行控制，一直是控制理论领域的难题之一。
非线性系统的数学特性在进行非线性系统的分析和控制之前，我们需要了解它的数学特性。
通常，非线性系统具有以下特征：1. 非线性系统的响应与输入存在非线性关系，即系统响应不是简单地随着输入线性变化的。
2. 非线性系统可能存在多个平衡状态，即一种变化处于平衡状态的状态对应多个输入。
3. 非线性系统的动力学特性可能十分复杂，存在混沌和震荡等现象。
对于非线性系统，我们通常采用数学模型来描述其动态特性和响应。
非线性系统的建模是非常复杂的，通常采用状态空间模型或微分方程来描述，这样可以比较容易地掌握系统动态特性。
对于一些复杂的非线性系统，需要采用数值计算方法来分析其特性。
非线性系统的控制方法针对非线性系统的控制，传统的 PID 控制方法或者模型预测控制等经典控制方法已经不再适用。
针对非线性系统的复杂性和不确定性，需要采用先进的非线性控制技术。
现代的非线性控制方法主要可以分为如下几种：1. 自适应控制自适应控制通常采用基于反馈控制的方法，通过实时监控系统响应情况来调节控制器的参数和结构，以适应非线性系统的变化。
自适应控制的优点是可以自动适应非线性系统的动态特性，但其监控过程可能会引入不必要的噪声，需仔细考虑控制系统的稳定性和易用性。
2. 非线性模型预测控制非线性模型预测控制(NMPC) 通常采用优化方法来设计控制器，其基本思想是通过预测未来状态来确定最优的控制序列。
NMPC的主要优点是具有非线性系统的预测能力，能够预测系统的响应变化，但其计算开销较大，需要较高的计算资源和算法设计。
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死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)
常见非线性因素对系统运 动特性的影响
差），能滤去小幅值噪 声，提高抗干扰能力 e ss (跟踪阶跃信号有稳态误 等效K ［原来不稳定的系统， 此时可能稳定（初始扰 动不大时）］ 振荡性 ， %
非线性系统稳定 性与自由响应和 初始扰动的大小 有关
y
M
a
ma ma
M
a
x
0 0 y (t ) M sgn x(t ) M M
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(t ) 0 x (t ) 0 x x(t ) a x(t ) m a , x(t ) m a , (t ) 0 x (t ) 0 x
间歇特性
(t ) 0 y (t ) 0 y (t ) 0 y
输出
输入
k x(t ) a y (t ) k x(t ) a c sgn x(t )
输入输出之间具有多值关系
齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙
死区特性对系统性能的影响：
间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏 自持振荡。
输出
输入
液压控制阀中的 圆形窗口； 阶梯形窗口； 分段斜面； 等等。
在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
非线性系统特征
不满足迭加原理
稳定性
不仅与自身结构参数有关，而且与初条件，输入有关 平衡点可能有多个
自由运动形式，与初始条件，输入大小有关
自振，在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳 定的周期运动。自振是非线性系统特有的运动形式 正弦响应的复杂性 跳跃谐振及多值响应 倍频振荡与分频振荡 组合振荡(混沌) 频率捕捉
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
滞环特性
输出
铁磁部件的元件
输入
电液伺服阀中的力矩马达
输出
非单值非线性
输入
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
间隙
间隙宽度有死区的特点----使 ess
相当于一个延迟时间 τ 的延迟环节 ,
%
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
饱和特性
输出
输入
k x(t ) y(t ) ka sgn x(t )
x(t ) a x(t ) a
特征：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随 输入信号变化而保持恒定。 放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限 制等等。 饱和特性对系统性能的影响 （1）使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有 利。 （2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
继电器特性
具有饱和死区的 单值继电器 输出
理想继电器
输出
输出
输入
输入
输出
输入
具有滞环的继电器
输入
具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特 性
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
继电特性
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
饱和
进入饱和后等效K↓
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% (原来系统稳定，此时系 统一定稳定） （原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 振荡性 限制跟踪速度，跟踪误 差 ，快速性
第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
输出
死区特性
x(t ) a x(t ) a
（不灵敏区特性）
输入
0 y(t ) k x(t ) a sgn x(t )
特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输 入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。
各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力； 等等。 上海大学 自动化系 邹斌
死区特性对系统性能的影响： （1）增大了系统的稳态误差，降低 了定位精度。 （2）减小了系统的开环增益，提高 了系统的平稳性，减弱动态响应的振 荡倾向
第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出之间具有叠加性和均匀性性质。
非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性和均 匀性性质。
非本质非线性: 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性
振荡性
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
一、二阶系统可以稳定 1) 、理想继电特性 等效 K ： 一般地，很多情况下非线性系统会自振 ess ( 带死区) 2 ) 、带死区继电特性 等效 K ： % 快态影响 （死区 + 饷）的综合效果 振荡性 3)、一般继电特性：除3、2中听情况外，多出一个延迟效果（对稳定性不利）
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
小扰动线性化处理
非线性系统研究 方法
相平面法-----用于二阶非线性系
统运动分析 描述函数法-----用于非线性系统 的稳定性研究及自振分析。 仿真研究---利用模拟机，数字 机进行仿真实验研究。
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
继电器特性对系统性能的影响
可利用继电控制实现快速跟踪。 带死区的继电特性，将会增加系统的定位误 差，对其他动态性能的影响，类似于死区、 饱和非线性特性的综合效果
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
非线增益
大偏差时，具有较大增益加快系统响应。 小偏差时，具有较小增益提高零位附近的系统稳定 性。