非线性系统初步
自动控制原理 胡寿松 第八章 非线性控制系统分析
k ( x b) y c k ( x b)
当x y / k b 当 b x y / k b 当x y / k b
式中， b 为常数，它等于主动轮改变方向时的值。
间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动 态、稳态特性都不利。
虚线可用动态非线性微分方程来描述 死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态 误差加大；
死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提 高抗干扰能力。
2. 饱和特性
可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大。 实际的饱和特性一般如图中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图中 的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。 理想饱和特性的数学描述为：
3. 非线性系统的分析与设计方法
系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以解决稳定性问题为中 心，对系统实施有效的控制。 由于非线性系统形式多样，受数学工具限制，一般情况下难以求得非线性微 分方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法。 本章重点介绍两种方法：（考研） 1）相平面法
2）描述函数法
2) 非线性系统的分类
非本质非线性 ：能用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 ： 不能用小偏差线性化方法解决的非线性。
3）研究非线性控制理论的意义 随着生产和科学技术的发展，对控制系统的性能和精度要求越来越高，建 立在线性化基础上的分析和设计方法已经难以解决高质量的控制问题。 为此，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。 此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑非线性控制器 的设计。
8-3 相平面法
非线性系统分析方法
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
X 130 A 140
120 G(j)
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
优化算法在非线性控制中的应用策略提升性能及稳定性
优化算法在非线性控制中的应用策略提升性能及稳定性结合其他优化算法来提高非线性控制算法的性能是一种有效的策略，可以进一步增强控制系统的稳定性、响应速度和适应性。
以下是一些常见的方法和步骤：一、选择合适的优化算法首先，需要选择与非线性控制算法相兼容的优化算法。
这些优化算法可以基于不同的数学原理和优化策略，如梯度下降、牛顿法、遗传算法、粒子群优化（PSO）等。
选择时应考虑算法的收敛速度、全局搜索能力、计算复杂度和对非线性系统的适应性。
二、优化控制参数非线性控制算法通常包含多个控制参数，这些参数对控制性能有重要影响。
利用优化算法对这些参数进行优化，可以找到最优或次优的参数组合，从而提高控制算法的性能。
例如，可以使用遗传算法或粒子群优化算法对PID控制器的比例、积分和微分增益进行优化。
三、改进控制策略结合优化算法，可以设计更先进的控制策略来应对非线性系统的复杂性。
例如：1.自适应控制：结合自适应算法，使控制器能够在线调整控制参数，以适应系统参数的变化和不确定性。
2.预测控制：利用模型预测控制（MPC）的思想，结合优化算法求解最优控制序列，以应对系统的非线性动态特性。
3.模糊控制：结合模糊逻辑和优化算法，设计模糊控制规则或模糊控制器参数，以提高模糊控制算法的自适应性和鲁棒性。
四、提升系统鲁棒性非线性系统通常存在参数不确定性和外部干扰，这些因素会影响系统的控制性能。
结合优化算法，可以设计鲁棒性更强的控制器，以应对这些不确定性。
例如，可以使用优化算法对控制器的增益进行鲁棒性优化设计，以确保系统在一定范围内的参数变化或外部干扰下仍能保持稳定。
五、综合应用示例假设一个非线性系统需要提高控制精度和响应速度，可以考虑以下综合应用示例：1.初步设计：基于系统的非线性特性，选择一种合适的非线性控制算法，如反馈线性化控制或自适应控制。
2.参数优化：利用遗传算法或粒子群优化算法对控制器的关键参数进行优化，以找到最优或次优的参数组合。
线性与非线性
线性与非线性非线性是相对于线性而言的，是对线性的否定，线性是非线性的特例，所以要弄清非线性的概念，明确什么是非线性，首先必须明确什么是线性，其次对非线性的界定必须从数学表述和物理意义两个方面阐述，才能较完整地理解非线性的概念。
(1) 线性对线性的界定，一般是从相互关联的两个角度来进行的：其一，叠加原理成立：“如果ψl，ψ2是方程的两个解，那么aψl+bψ2也是它的一个解，换言之，两个态的叠加仍然是一个态。
”[1]叠加原理成立意味着所考察系统的子系统间没有非线性相互作用。
其二，物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等，变量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。
(2) 非线性在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：其—，“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”[2]，即叠加原理不成立，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对（aφ+bψ）的操作，等于分别对φ和ψ操作外，再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的操作，或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。
其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。
可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。
对非线性概念的这两种表述实际上是等价的，其—叠加原理不成立必将导致其二物理变量关系不对称；反之，如果物理变量关系不对称，那么叠加原理将不成立。
之所以采用了两种表述，是因为在不同的场合，对于不同的对象，两种表述有各自的方便之处，如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的，后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的。
《自动控制原理与系统》课程标准
《自动控制原理与系统》课程教学标准目录一、前言1.课程的地位和作用1.1课程的地位1.2课程的作用二、主要教学内容描述1. 自动控制系统的基本概念2. 自动控制系统的数学模型3. 自动控制系统的分析方法4. 自动控制系统的校正方法5. 非线性控制系统的分析三、重点和难点1.重点2.难点四、内容及要求1.模块一自动控制系统的基本概念2.模块二自动控制系统的数学模型3.模块三自动控制系统的时域分析法4.模块四自动控制系统的根轨迹法5.模块五自动控制系统的频域分析法6.模块六自动控制系统的校正方法7.模块七非线性控制系统分析五、说明1.建议使用教材和参考资料2.模块学时分配3.考核方法及手段4.注意事项课程名称：自动控制原理与系统适用专业：电气自动化必备基础知识：高等数学、物理学、电路、模拟电子技术一、前言1、课程的地位和作用1.1课程的地位《自动控制原理与系统》是电气自动化专业的一门专业基础课，也是该专业的主干必修课之一。
本课程研究控制系统分析与设计的基础知识，包括线性控制系统的建模，时域分析法，根轨迹法，频域分析法三大分析方法，以及系统的校正与计算机辅助分析。
1.2课程的作用通过本课程的学习，要求学生掌握反馈控制系统的构成，控制系统数学模型的建立方法及系统时域、频域分析和校正方法，能初步具备理论联系实际，应用控制理论初步解决实际问题的能力，为以后的工作打下良好的基础。
二、主要教学内容描述1、自动控制系统的基本概念2、自动控制系统的数学模型3、自动控制系统的分析方法4、自动控制系统的校正方法5、非线性控制系统的分析三、重点和难点1、重点开环与闭环控制的基本原理和特点，传递函数的概念，闭环系统传递函数的求取，时域分析法，根轨迹法和频域分析法的概念和特点，熟练运用开环对数频率特性曲线分析系统的稳定性，稳态性和动态性指标，各环节对系统性能指标的影响以及提高系统性能指标的方法，校正环节对系统性能的影响2、难点由原理图绘制系统方块图的方法，系统框图的等效变换，根轨迹的绘制，系统开环对数频率特性曲线的绘制，由最小相位系统的开环对数频率特性曲线确定系统的开环传递函数的方法，稳定裕度概念以及与系统相对稳定性的关系，开环对数频率特性曲线的三频段法分析系统的性能指标，串联校正环节对系统性能指标的影响四、内容及要求模块一：自动控制系统的基本概念1、教学内容（1）自动控制系统及其任务、控制的基本方式、负反馈控制原理（2）自动控制系统的基本组成及分类、对自动控制系统的基本要求2、教学要求（1）掌握开环、闭环控制系统的特点及闭环系统的组成和分类。
《自动控制原理与系统》课程标准
《自动控制原理与系统》课程教学标准目录一、前言1.课程的地位和作用1.1课程的地位1.2课程的作用二、主要教学内容描述1. 自动控制系统的基本概念2. 自动控制系统的数学模型3. 自动控制系统的分析方法4. 自动控制系统的校正方法5. 非线性控制系统的分析三、重点和难点1.重点2.难点四、内容及要求1.模块一自动控制系统的基本概念2.模块二自动控制系统的数学模型3.模块三自动控制系统的时域分析法4.模块四自动控制系统的根轨迹法5.模块五自动控制系统的频域分析法6.模块六自动控制系统的校正方法7.模块七非线性控制系统分析五、说明1.建议使用教材和参考资料2.模块学时分配3.考核方法及手段4.注意事项课程名称：自动控制原理与系统适用专业：电气自动化必备基础知识：高等数学、物理学、电路、模拟电子技术一、前言1、课程的地位和作用1.1课程的地位《自动控制原理与系统》是电气自动化专业的一门专业基础课，也是该专业的主干必修课之一。
本课程研究控制系统分析与设计的基础知识，包括线性控制系统的建模，时域分析法，根轨迹法，频域分析法三大分析方法，以及系统的校正与计算机辅助分析。
1.2课程的作用通过本课程的学习，要求学生掌握反馈控制系统的构成，控制系统数学模型的建立方法及系统时域、频域分析和校正方法，能初步具备理论联系实际，应用控制理论初步解决实际问题的能力，为以后的工作打下良好的基础。
二、主要教学内容描述1、自动控制系统的基本概念2、自动控制系统的数学模型3、自动控制系统的分析方法4、自动控制系统的校正方法5、非线性控制系统的分析三、重点和难点1、重点开环与闭环控制的基本原理和特点，传递函数的概念，闭环系统传递函数的求取，时域分析法，根轨迹法和频域分析法的概念和特点，熟练运用开环对数频率特性曲线分析系统的稳定性，稳态性和动态性指标，各环节对系统性能指标的影响以及提高系统性能指标的方法，校正环节对系统性能的影响2、难点由原理图绘制系统方块图的方法，系统框图的等效变换，根轨迹的绘制，系统开环对数频率特性曲线的绘制，由最小相位系统的开环对数频率特性曲线确定系统的开环传递函数的方法，稳定裕度概念以及与系统相对稳定性的关系，开环对数频率特性曲线的三频段法分析系统的性能指标，串联校正环节对系统性能指标的影响四、内容及要求模块一：自动控制系统的基本概念1、教学内容（1）自动控制系统及其任务、控制的基本方式、负反馈控制原理（2）自动控制系统的基本组成及分类、对自动控制系统的基本要求2、教学要求（1）掌握开环、闭环控制系统的特点及闭环系统的组成和分类。
非线性控制系统的分析课件.ppt
法求解有困难时，可用图解法绘制。
▪ 对于式（9.2-1）xf(x,x)，令 x1x、 x2x ，
▪
有 x 2f(x1、 x2)，所以 可得 dx2 f (x1、x2)
d d x t2d dx x1 2d d x t1x2d dx x1 2f(x1、 x2)
（9.2-5）
▪
dx1
x2
式（9.2-5）是关于
y
-b 0
k
x
b
a.
b.
图9.1-4 齿轮传动及其间隙特性
y(x)k[xs g x)n b](|y/kx|b y (x)0、 y(x)C |y/kx|b
▪ 系统中若有间隙特性元件，不仅会使系统的输出产生相位滞后，导致 系统稳定裕量的减小，使动态性能恶化，容易产生自振；而且间隙区 会降低定位精度、增大非系线统性控静制差系统。的分析课件
▪ 由于相平面只能表示 x(t ) 和 x(t ) 两个独立变量，所以相 平面法只能用来研究一、二阶线性或非线性系统。
▪ 2）相轨迹的绘制方法
▪ （1）二阶线性系统的相轨迹 ▪ （2）相轨迹的绘制
非线性控制系统的分析课件
j
[s]
2 1
0
a.
j 1 [s]
0
2
d.
x2
j
x2
1
[s]
x1
0
0
0
稳定 节点
x
(
t
)
和 x (t ) 的一阶微分方程，即二阶非线性
系统的相轨迹方程。
▪
由式（9.2-5），令
dx2 f (x1,x2)
dx1
x2
，即有
▪
f (x1, x2 )
（9.2-6）
自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案
8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
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第七章 非线性系统初步7．1 引言在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
本章首先介绍典型非线性环节的特性，然后介绍描述函数法分析非线性系统。
7．2 典型非线性环节在控制系统中，典型的非线性特性包括饱和特性、死区特性、间隙特性和继电器特性等。
了解这些典型非线性特性的物理概念及输入输出关系，是分析实际的非线性系统的前提。
本节从物理概念入手，定性地分析几种典型非线性环节的特性。
7．2．1 饱和特性控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性，其静特性如图7－1所示。
图中)(t e 为输入信号，)(t x 为输出信号。
可以看出当a t e a <<-)(时，输入输出关系为线性关系，增益为k 。
而当a t e >)(时，进入饱和区。
饱和特性的数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<-><=at e ka a t e kaa t e t ke t x )()()()()( （7－1）从图7－1和式（7－1）可以看出，当输入信号超过线性区以后，输出量将会固定为一常量。
放大器以及限幅器、限位器都具有这样的特性。
7．2．2 死区特性控制系统中的测量元件、执行元件等一般都具有死区特性。
例如一些测量元件对微弱的输入量不敏感，电动机只有在输入信号增大到一定程度的时候才会转动等等。
死区特性如图7－2所示，图中)(t e 为输入信号，)(t x 为输出信号。
可以看出当a t e a <<-)(时，输出量图7－1 饱和特性图7－4 继电器特性（a ）（b ）（c ）保持恒定的零值，这个区域称为死区。
而当a t e >)(时，进入线性区。
死区特性的数学表达式为⎩⎨⎧>⋅-<=at e t signe a t e k at e t x )()]()([)(0)(（7－2） 其中⎩⎨⎧<->=0)(10)(1)(t e t e t signe（7－3）从图7－2以及式（7－2）、（7－3）可以看出，只有在输入信号超过某一值以后，输出信号才会随输入信号线性变化。
一般说来，在控制系统的前向通道中，信号会沿着输入到输出的方向被逐级放大。
所以，靠近输入端的环节的死区特性对系统造成的影响较大，而靠近输出端的环节的死区特性则对系统的影响较小。
7．2．3 间隙特性控制系统中的机械传动装置一般都具有间隙特性。
例如齿轮传动装置中，主动轮改变转动方向时，由于间隙的存在，从动轮不会立即改变转动方向，而是等到间隙消除后才随主动轮改变转动方向。
间隙特性如图7－3所示，图中)(t e 为输入信号，)(t x 为输出信号。
死区特性的数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<+>-=⋅=0)(])([0)(])([0)()()(t x a t e k t x a t e k t xt signe b t x &&&（7－4）从图7－3可以看出，间隙的宽度为a 2，线性段的斜率为k ，输入输出关系不是单值对应，而是形成了一个回环。
而式（7－4）表明，输出信号)(t x 不仅与输入信号)(t e 的大小有关，而且还与)(t e 的变化方向有关。
控制系统中的间隙特性，常常引起系统的自持振荡和稳态误差的增加。
7．2．4 继电器特性图7－2 死区特性图7－3 间隙特性继电器在控制系统中应用广泛。
而继电器的类型较多，从输入输出关系看，有理性继电器，如图7－4（a）所示；具有死区的继电器，如图7－4（b）所示；具有滞环的继电器，如图7－5（c）所示；具有死区与滞环的继电器，如图7－4（d）所示。
死区的存在是由于继电器在输入电流达到一定值的时候，才能执行吸和动作。
而滞环的存在是因为特磁元件的磁滞特性使继电器的吸和电流与释放电流不相等。
7．3 非线性系统的特点非线性系统与线性系统相比，有许多独有的特点：1)线性系统的稳定性由系统的闭环极点决定，也就是说一旦系统确定，其稳定性也随即确定，与初始条件和输入信号无关。
而非线性系统的稳定性除了与系统的闭环极点相关外，还与初始条件和输入信号相关。
对于某一个确定的非线性系统，在一种初始条件下是稳定的，而在另一种初始条件下则可能是不稳定的，或者在一种输入信号作用下是稳定，而在另一种输入信号作用下却是不稳定的。
2)线性系统的运动状态不是收敛与平衡状态，就是发散。
理论上说，当系统处于临界时，会出现等幅振荡。
但是在实际情况下，这种状态不可能维持，外界环境或系统参数稍有变化，系统就会趋于平衡状态或发散状态。
而非线性系统的运动状态除了收敛和发散以外，还有等幅振荡的状态。
这种振荡状态在没有外界作用的情况下，也会存在，而且保持一定的幅度和频率，称为自持振荡、自振荡或自激振荡。
自持振荡由系统结构和参数决定，是非线性系统独有的现象。
3)线性系统在输入某一频率的正弦信号时，输出的稳态分量是同频率的正弦信，系统只会改变输入信号的幅度和相位。
而在非线性系统中，当输入信号是某一频率的正弦信号时，输出信号不仅含有同频率的正弦分量，还含有高次谐波分量。
因此，在分析线性系统时采用的频率特性、传递函数等方法不能应用于非线性系统的分析。
4)线性系统满足叠加原理。
而非线性系统不满足叠加原理。
对非线性系统的分析，重点是系统的稳定性，系统是否产生自持振荡，自持振荡的频率和幅度是多少，如何减小和消除自持振荡等。
7．4描述函数法描述函数法是一种基于谐波线性化概念，将分析线性系统的频率响应法移植到分析非线性系统中的一种工程近似方法。
其基本思想是：当系统满足某种条件时，系统中非线性环节的输出信号中的高次谐波分量可以忽略，用基波近似输出信号，由此导出非线性环节的近似频率特性，即描述函数。
此时的非线性系统就近似为一个线性系统，可以用线性系统分析方法中的频率响应法对其进行分析。
描述函数法主要用于分析非线性系统的稳定性，是否产生自持振荡，自持振荡的频率和幅度，消除和减弱自持振荡的方法等。
7．4．1 描述函数的基本概念1.描述函数的概念设非线性环节的输入信号为正弦信号t A t e ωsin )(=则非线性环节的输出信号)(t x 含有)(t e 的基波和高次谐波，可以展开成傅立叶级数的形式∑∞=++=10)sin cos ()(n n n t n B t n A A t x ωω∑∞=++=10)sin(n n nt n XA φω（7－5）式中，0A 为直流分量，且有⎰=πωπ200)(21t d t x A⎰=πωωπ20cos )(1t td n t x A n ⎰=πωωπ20sin )(1t td n t x B n22n n n B A X +=nnn B A tg 1-=φ 如果非线性环节的输入输出关系是奇对称的，则式（7－5）中的00=A 。
一般高次谐波比基波小，并且控制系统中的线性环节一般都具有低通滤波的特性，使得高次谐波在系统中传输过程中大大衰减。
因此，可以近似认为非线性环节的输出信号中，只有基波分量可以沿闭环回路反馈到非线性环节的输入端构成正弦输入)(t e 。
输出的基波分量为)sin(sin cos )(11111φωωω+=+=t X t B t A t x（7－6）式中，⎰=πωωπ201cos )(1t td t x A （7－7） ⎰=πωωπ201sin )(1t td t x B（7－8） 21211B A X +=（7－9） 1111B A tg -=φ（7－10）定义非线性环节的描述函数为一复函数，其幅度为非线性环节输出信号的基波分量与输入信号幅度之比，其相位为输出信号基波分量与输入信号相位之差。
描述函数用符号)(A N 表示，即11)(φj e AX A N =（7－11）式中，)(A N 为非线性环节描述函数；A 为输入正弦信号的幅度；1X 为输出信号基波分量的幅度；1φ为输出信号基波分量相对与输入正弦信号的相移。
常见的非线性环节的描述函数见表7－1。
2. 多个非线性环节输入输出关系的计算 1) 非线性环节并联若两个非线性环节并联，并且非线性特性都是单值函数，则他们的描述函数)(1A N 和)(2A N 都是实函数，见图7－5。
当输入信号t A t e ωsin )(=时，两个环节输出信号的基波分量分别为t A A N x ωsin )(111= t A A N x ωsin )(111=所以并联环节的描述函数为)()()(21A N A N A N +=（7－12）当)(1A N 和)(2A N 是复函数时，也能得出相同的结论。
总之，并联非线性环节的描述函数等于各非线性环节描述函数的和。
2) 非线性环节串联当两个非线性环节串联时，总的环节的描述函数不是各环节的描述函数的乘积，下面我们做详细的讨论。
要求总的环节的描述函数，需要首先计算出串联环节的输入输出关系。
如图7－6所示，两个非线性环节串联，其中)(1A N 为死区非线性环节，而)(2A N 为饱和非线性环节。
将前一个环节的输入输出特性顺时针转90度，重新绘制于后一个环节的正下方，使得前一环节的输出坐标轴与后一环节的输入坐标轴平行，如图7－7（a ）、（b ）所示。
用图解的方法可以得出，前一环节的输入信号由∞-变化到∞+时，后一个环节的输出信号，如图7－7（c ）所示。
图解法中，关键是计算前后非线性环节曲线中转折点处的对应关系。
如果两个非线性环节的的前后次序调换，用图解法计算可以得出等效的非线性特性与调换次序前并不相同，这是非线性环节和线性环节一个明显的区别。
图7－5 非线性环节并联图7－6 非线性环节串联)(1A N)(2A N图7－7 串联非线性环节的图解（b ）7．4．2 描述函数法分析非线性系统的稳定性应用描述函数法，将非线性环节进行谐波线性化后，可以利用线性系统理论中的频域稳定判据分析非线性系统的稳定性，是否产生自持振荡，确定自持振荡的频率和振幅等。
当使用描述函数法分析非线性系统稳定性时，通常令输入信号0)(=t r ，将非线性系统简化成一个等效线性部分)(s G 和一个等效非线性部分)(A N 在闭环回路中串联的形式。
如图7－8所示，将原系统中的各线性环节等效成)()()()(21s H s G s G s G =。
如果系统中有不止非线性环节串联或并联，也要计算出等效的非线性部分的描述函数。