一类非线性演化方程的精确解
第一类变系数Kdv方程的精确解
首先对方程 ( 2 ) 做行波变换
n i= 0
ξ ) Σ a i ( t )φ (ξ ) ,ξ = α( t) x + β( t) , u ( x, t) = φ ( ξ ) 满足如下的方程 其中 φ ( φ’ =ε 我们知道方程 ( 4 ) 有如下类型的解 : 情形 1 :
’ ’ ’ 2
α φ″ αφ φ″ uxx = a 1 + 2 a2αφ′ + 2a 2 α φ′ φ″ φ� uxxx = a1αφ� + 6a 2 + 2 a2αφ . 将以上各式代入方程 ( 2) 并利用 ( 4 ) 式得到关于 φ 的多项式函数 , 可令多项式各项系数为零得到一个代数方 程组 :
3 2 2 1 3
( 8) ( 9) ( 10) ( 11) ( 12) ( 13)
α ) = 0. 2 a2α ( a2 f + 12 c4 g 由 ( 7) 式得到
a 0 = k0 , a1 = k1 , a2 = k2 , ( k0 , k1 , k2 为常数 ) , ( 9 ) 式得到 α’ 由 ( 8) 、 = 0, 所以
第 30 卷第 2 期 Vol. 30 No. 2
菏 泽 学 院 学 报 2008 年 3月 Journal of H eze University Ma r . 2008
文章编号 : 1673 - 2103 ( 2008 ) 03 - 0001 - 04
3
第 一 类 变 系 数 Kdv方 程 的 精 确 解
曹瑞
(菏泽学院数 学系 ,山东菏泽 274015 )
摘 要 : 根据齐次平衡方法 , 利用一个新的扰动方程作为形式解 , 构造了第一类变系数 Kdv方程的精确 解 , 获得了大量丰富的显示精确解 , 其中包括周期解和有理式解 . 关键词 :变系数 Kdv方程 ;齐次平衡法 ;精确解 中图分类号 : O 175. 29 文献标识码 : A
一类非线性薛定谔方程的Jacobi椭园函数解
－１ ．
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第 ２ 卷第 ５ ９ 期
Ｏ［ ｄ ｄ 】ｎ ２ ［ ：３ ＝ ＋ ，Ｏ ｖ 】 ｎ
唐 山 师 范 学 院 学 报
２０ 年 ９月 ０７
由 （０ １ ）式中的非线性项和最高阶导数项平衡 ，可确定
ｎ ＝ｌ
“＝ ｌ）（ｅ＝ ￣Ｐ Ｒｎ（・ ， Ｖ４ － ￣ ２ｍ／ｓ （ｅ ａ ｋｔ ） ｅｈ ）
平衡，可定 出 ｎ ，将 （ ）式代入 （ ）式，由函数的无关性 ４ ３ 可得一代数方程组 ， 通过吴消元法解方程组可得解 ，而后将 其代入 （ ）式可得原方程的解 。本文就利用此法求解一类 ４ 非线性 薛定谔方程， 从而得到 Ｊｅｂ椭 圆函数解， ａｏ ｉ 当模ｍ— ｌ 时，退化为相应的孤立波解 。 ２ 求解非线性 薛定谔方程
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第２ ９卷第 ５期
ｌ ９Ｎｏ ２ ５
唐 山 师 范 学 院 学 报
２０ ０ ７年 ９月
Ｓ ｐ． ０ ｅ ２ ０７
Ｊ ｕｎ ｌｆ ａｇ ｈ ｎＴａ ｈ ｒ Ｃ ｌ ｇ ｏ ｒａ Ｔ ｎ ｓ ａ ｅｃ ｅｓ ｏｌ ｅ ｏ ｅ
一
该方 程 形 式 如 下
数法 （ 和 ｓ ｅ ｏｉ ¨】 ｉ ． ｓ ｅ方法【，但这些方法只能求 出非线性 ｎｃ ｎ ９ 】
方 程 的冲 击波 解 和 孤 波 解 ，不 能 求 出 非 线性 方程 的周 期 解 ，
刘等则提 出了 Ｊｃｂ ａｏ ｉ椭圆函数展开法【 “求得 了一大类非 仉 线性波动方程 的周期解 ， 并指 出此方法适用于只含有偶数阶 导数项或者含有奇数项 的非线性发展方程，文献【２则利用 ｌ】 秩的概念 将该方法应用 的方程类型进行了推广 ， 并给 出较为
准确的结论。对于一般的非线性薛定谔方程的求解 ，已有很
紧致差分格式报告
的求解方法。
记zz
n
2
k1 由（10）式可得 z u u 利用（ 2 zi 1 (2ui 1 11ui 2ui 1 ) [2(u xx )i 1 11(u xx )i 2(u xx )i 1 ] （13） (2ui 1 11ui 2ui 1 ) 3ui 2 48ui 1 102ui 48ui 1 3ui 2 , i 1,, n 2 4h
x1 80 2h, x0 80 h, xn2 120 h, xn3 120 2h
为了方便比较引入误差范数与守恒量，定义为：
n exact n 2 L2 h u j uj j 1
12
L max u j
j
exact
uj
n
I udx
u n 1 u n
n n 1 n 1 n u n 1u x u nu x u xxx u xxx 0 2 2
上式可改写为：
n n1 n1 n 2u n1 (u n1ux u nu x ) uxxx 2u n uxxx
（15）
对（15）式要做类似（13）式的处理，但是对于n+1时间层的 一阶导数项与三阶导数项应配备不同的系数，因此引入新变量
n 1 u 即可得到 ，到此完成求解。
3.算例数值结果的对比
考虑如下初始条件的RLW方程
u( x,0) 3d sec h 2 k ( x xc ), x [80,120]
其对应的方程的精确解为
u( x, t ) 3d sec h 2 k ( x xc vt)
其中 v 1 d , k
[(u x )in11 uin1 3(u x ) in 1 uin (u x ) in11 uin1 ]} 7 n 1 n 1 1 [ (vi 1 vi 1 ) (vin21 vin21 )] 3h 12h 2(uin1 3uin uin1 ) 2(vin1 3vin vin1 )
非线性离散薛定谔方程的显式精确解
cosh ( k) ) , r = 1, a0 = a1 = 0,
b1 = ±
( (
co sh ( k) 1 + cosh
- 1) ( k) )
,
c = 4 sin ( p) sinh ( k) / ( 1 + cosh ( k) ) ;
( 5) q = 2 ( 1 + cosh ( k) - 2cos( p) ) /
第 4期 朱加民 :非线性离散薛定谔方程的显式精确解
·403·
到了方程的精确解 。
1 双曲函数方法简述
为方便对改进的双曲函数方法的论述 ,以 ( 2
+ 1)维非线性差分微分方程为例 。设非线性差
分微分方程 (DDE)为
Δ( un + p1 ( x, t) , un + p2 ( x, t) , …,
+ co sh ( k) ) , a0 = 0, a1 = a1 ,
b1 = ±
( co sh ( k) - 1) (1 + cosh ( k) )
r= ±
( a21
-
1
+ cosh ( k) + a21 cosh ( k) ( cosh ( k) - 1
) ,
c = 4 sin ( p) sinh ( k) / ( 1 + cosh ( k) ) 。
( cosh2 ( k) - 1) cosh ( k)
tanh
(
kn
+ 2 sin
( p) sinh co sh ( k)
( k)
t
+ζ)
ei (
pn
+
2
( cosh2 ( k) - co s( p) cosh2 ( k)
非线性分析
非线性分析非线性分析是数学中重要的一个领域，它研究的是非线性方程和不等式的性质及其解的行为。
在非线性分析中，我们关注的是线性方程无法描述的复杂的现象和问题，这些问题可能涉及到多个变量之间的相互作用和非线性变化的规律。
非线性分析的研究对象包括：非线性微分方程、非线性泛函分析、非线性变分理论、复杂动力系统、最优控制等。
非线性分析的起源可以追溯到19世纪末和20世纪初，当时的数学家们开始意识到线性模型无法完全描述现实世界的复杂性。
通过对非线性方程进行研究，数学家们逐渐发现了许多重要的非线性效应，如混沌现象、孤立子等。
这些发现不仅深刻地改变了数学的发展，也对物理学、工程学等其他学科产生了重大影响。
在非线性分析中，一个关键的概念是非线性映射。
简单来说，一个映射是指将一个集合的每个元素映射到另一个集合的规则。
而非线性映射则是指不满足线性性质的映射。
非线性映射的特点是它们的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系。
相反，它们可能显示出强烈的非线性行为，如周期性、奇点、分叉等。
非线性分析的一个重要问题是研究非线性方程的解的存在性和唯一性。
对于一般的非线性方程，很难直接找到解析解，因此数学家们开发了各种方法来求解这些方程。
其中最著名的方法之一是古典非线性分析中的不动点定理和奇点理论。
这些理论提供了一种从不动点（或奇点）出发逐步逼近解的方法，通过迭代和逼近的方式来求解非线性方程。
除了解的存在性和唯一性，非线性分析还研究了解的稳定性和性质。
对于非线性方程的解来说，存在许多不同的稳定性概念，如局部稳定、全局稳定和渐近稳定。
这些概念用于描述解在微小扰动下的行为以及长时间演化的趋势。
稳定性理论对于理解和预测自然界中的复杂现象具有重要意义。
非线性分析的研究方法不仅限于数学理论，还涉及到了计算机模拟和实验观测。
计算机模拟通过数值方法来求解非线性方程，并研究其解的行为和性质。
实验观测则通过实验手段来验证非线性方程的解是否与真实情况相符。
(3+1)维非线性方程新的精确解
的一类多孤子解 ．
１ 【 ３＋１维 非线性方 程的线性和双线性 ）
为 了给 出非 线 性 方 程 （） １ 的一 些 新 型 的 孤 子 解， 令
＝
， ＝ ｛ ，， ＝ 一 ’ 一
， 一 ＝
ｆ ＝ ／ ， ， ＝ ， ． ＇ 一 一２ ｆ
将（ ） ６式代入（） ， ３式 得
采用 不同 的方法 获 得 了诸 如 （ ２＋１维 的 Ｄ ） Ｓ方程 、 Ｋ Ｐ方 程 、 Ｎ Ｎ Ｖ方 程 、Ｇ方 程 、 裂 孤 子方 程 、 Ｓ 破 耗散
（ ３
ｌ ２
＋３
＋３
＋ ： ＋ｌ≠ ≠疋 ２，
＋３ ＋３Ｉ ｛ ．
＋
＋
ｌ ＋ 引 言
寻求非线性数学物 理方程 的孤波解历来倍受
（ ＋ ， ＋ ”） ＋ｌ ， ６ ‘ ｓ
７≠ ２： ”＋６： ≠ ’ ＋
＋
（≠ ２ ≠ ： ≠ ２ ２ ３２ ； ＋ ＋ ＋ ０ ＋３ ≠ ２ ， ＋ 数学家和物理学家的关注 ． 目前发现许多具有重要 ７≠ ４ ， ３≠ ２： ， 意义 的非线性演化方程均具有孤波解 ７． － 孤波理 （２２２＋２ ） ＋（６ ＋ｌ ） ＋ ］
论正在液体物理学、 固体物理学、 等离子体物理学 、 凝聚态物理学等领域 中得到 日益广泛的应用 ， 具有 重要 的理论研究和实际应用价值 ．１ ） 和（ ＋ （ ＋１维 ２ １维孤子或孤波解已在许多物理领域 ， ） 得到广泛的 应用 ． 近年来 ，２ ） （ ＋１维的一种有意义 的局域相干 孤子解 （ 在所有 方 向都 是指数 衰减 ） 并被 称为 一 ｄ ｌｏ 解， ｌｌ ｌ 引起众多数学、 ｏｌ ｌ ｉ 物理工作者的重视 ， 而且
非线性分数阶演化方程的新解
非线性分数阶演化方程的新解刘银龙;夏铁成;刘泽宇【摘要】通过使用改进的分数阶sub-equation方法寻求一些非线性分数阶演化方程的精确解,如分数阶Burgers方程、耦合分数阶Burgers方程与非线性分数阶Klein-Gordon方程等,并得到了这些非线性分数阶演化方程的新解.【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(022)004【总页数】8页(P469-476)【关键词】改进的分数阶sub-equation方法;分数阶Burgers方程;耦合分数阶Burgers方程;分数阶Klein-Gordon方程【作者】刘银龙;夏铁成;刘泽宇【作者单位】上海大学理学院,上海200444;上海大学理学院,上海200444;上海大学理学院,上海200444【正文语种】中文【中图分类】O1781695年，莱布尼兹定义了分数微积分-普通微积分的推广.但直到最近几十年分数微分方程才重新得到学者们的关注，这是因为其对复杂现象有确切的描述，例如非布朗运动、系统识别、流体流动、控制问题、信号处理、黏弹性材料、聚合物和其他的学科领域的问题.众所周知分数阶方程的最大优势是其非本地属性，这意味着未来系统的状态不仅取决于其当前状态也取决于其所有的历史状态.例如，部分衍生品、流体动力交通模型可以消除由连续交通流的假设［1］引起的缺陷.最近，许多学者开始研究分数阶的函数分析，如把Yang-Laplace转换和Yang-Fourier转换的性质和定理应用到分数阶微分方程、微分系统和偏微分方程等.为了更好地理解复杂的非线性物理现象及其在实际生活中进一步的应用，一个自然而然的问题出现了，即怎样才能得到分数阶偏微分方程（fractional partial differential equation，FPDE）的精确解.目前，已经建立和发展了很多有效的方法，从而获得了FPDE的数值和分析解，如有限差分法［2］、有限元法、Adomian分解方法［3］、微分转换方法［4］、变分迭代法［5］、摄动法［6］等.另外，一些偏微分方程已经被研究和解决，如脉冲分数微分方程［7］、分广义Burgers流体［8］、分数阶热和波动方程［9］等.最近，He等［10］和Geng等［11］应用Exp-function方法寻求偏微分方程精确解.这种Expfunction方法得到了广泛的应用，并被用来寻找非线性演化方程的孤波解和周期解，如Maccari系统［12］、Klein-Gordon方程［13］、KdV-mKdV方程［14-15］、Broer-Kaup系统、Kaup-Kupershmidt方程和Toda lattice方程等.这表明，通过Exp-function方法可以得到含参数的解，并且从中可以发现一些大多数现有方法的已知解.张盛等［16］提出了一种新的寻求偏微分方程精确解的直接方法，该方法被称为分数阶sub-equation方法，是基于齐次平衡原则［17］、修正的Jumarie黎曼——刘维尔导数［18］和符号计算.张盛等使用这种方法成功地获得了非线性分数阶演化方程的精确解.众所周知，当使用直接法找到非线性偏微分方程精确解时，选择一个适当的拟设是非常重要的.本研究正是通过运用改进的分数阶sub-equation方法［19］来寻找在流体力学中分数阶方程的精确解.首先，考虑分数阶Burgers方程与耦合分数阶Burgers方程［20］：Esipov导出了这个耦合系统.耦合Burgers方程系统的研究是非常重要的，因为这个系统在流体悬浮液或胶体中受到的重力的影响是一个简单的模型沉降或进化了体积浓度的两种粒子，其中常量p,q是依赖于系统参数沛克莱数、由重力引起的斯托克斯粒子速度和布朗扩散系数.另外，尝试对非线性分数阶Klein-Gordon方程［21］进行了求解，可知非线性分数阶Klein-Gordon方程描述了许多非线性类型，且该Klein-Gordon方程在一些实际应用程序中起着重要作用，如固态物理、非线性光学和量子场论等.修正的α阶Jumarie's Riemann-Liouville导数的定义如下：上述定义的分数阶导数具有3种性质：上面的这些性质在后续的分数阶方程计算中非常重要.对于改进的分数阶sub-equation方法的步骤如下.步骤1 给定一个分数阶偏微分方程，式中，x与t是两个独立的变量，且是未知函数，P是关于ui以及分数阶导数的多项式.步骤2 通过行波变换式中，c是待定常数.方程（6）便可以约化成关于Uj=u（ξ）分数阶常微分方程步骤3 假定式中，aj,i（i=-mj,-mj-1,…,mj）为待定常数，mj为通过平衡方程（6）或（8）中最高次项与非线性项得到的正数，并且φ=φ（ξ）满足这里，其中是含一个参数的Mittag-Leffler函数.步骤4 把方程（9）和（10）代入方程（8）中，并利用修正的Riemann-Liouville导数的性质［22］，得到一个关于φ（ξ）的多项式.令φ（ξ）k（k=0,1,…,-1,-2,…）的系数为0，得到一组关于c,ai（i=-n,-n+1,…,n-1,n）的超定方程组.步骤5 假定这些常数c,ai（i=-n,-n+1,…,n-1,n）可以通过上述超定方程组求得，则将这些常数代入方程（9）中就可以得到方程（7）的精确解.下面将用改进的分数阶sub-equation方法去求偏微分方程（1）～（3）的解.2.1 分数阶Burgers方程通过行波变换u=u（ξ）,ξ=x+ct，方程（1）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：通过平衡方程（11）中最高次项与非线性项，可将解设成这里的φ（ξ）满足方程（10）.将方程（10），（13）代入方程（12），令φ（ξ）i的系数等于0，这样就可以得到一系列关于c,a-1,a0,a1的超定方程.用Maple计算这组方程，有情形1式中，c,α,η是任意的常数.情形2式中，c,α,η是任意的常数.通过情形1，利用方程（10）和（13）的解可以得到方程（1）的解：式中，σ＜0,ξ=x+ct.这里，σ＜0,ξ=x+ct.式中，σ＞0,ξ=x+ct.在这里，σ＞0,ξ=x+ct.式中，σ=0,ξ=x+ct,ω是常数.当然，通过情形2可以得到更多的解，这里就不一一列出了.2.2 耦合分数阶Burgers方程通过行波变换u=u（ξ）,v=v（ξ）,ξ=x+ct，方程（2）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：根据前面所描述的方法，可以设方程（14）有如下解的形式：这里的φ（ξ）满足方程（10）.将方程（10）和（15）代入到方程（13）中，令φ（ξ）i的系数等于0，这样就可以得到一系列关于c,a-1,a0,a1,b-1,b0,b1超定方程组.用Maple计算该方程组，有式中，η,q,a0是任意的常数.式中，a0,b0,b-1是任意的常数.利用方程（10），（15）和（16a）的解可以得到方程（2）的解：式中，这里，式中，这里，式中，ω是常数.2.3 非线性分数阶Klein-Gordon方程重复上述过程，通过行波变换u=u（ξ）,ξ=x+ct，方程（3）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：平衡方程（16）中的最高次项与非线性项，可将解设成这里的φ（ξ）满足方程（10）.将方程（11）和（17）代入方程（16）中，同样可以得到一组关于c,a-2,a-1,a0,a1,a2超定方程组.用Maple计算这组方程得利用方程（10），（18）和（19f）的解可以得到方程（3）的解：式中这里，式中在这里式中是常数.本研究利用一个改进的分数阶sub-equation方法解决了在流体力学系统中的非线性偏微分方程，并成功获得了关于分数阶Buregers方程、耦合Buregers方程及分数阶Klein-Gordon方程的一些精确解析解.这些解包括广义双曲线函数、广义三角函数的解（目前所知这些解都是新解），而且这些解可能有利于进一步了解复杂的非线性物理现象和偏微分方程.此外，通过使用直接的方法选择适当的拟设在解决非线性分数阶偏微分方程过程中具有重要意义.【相关文献】［1］HE J H.Analytical solution of a nonlinear oscillator by the linearized perturbation technique［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simul,1999,4（2）：109-113.［2］CUI pact finite difference method for the fractional diffusion equation［J］.J Comput 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辅助函数法求解非线性偏微分方程精确解
辅助函数法求解非线性偏微分方程精确解杨健;赖晓霞【摘要】在数学和物理学领域,将含有非线性项的偏微分方程称为非线性偏微分方程.非线性偏微分方程用于描述物理学中许多不同的物理模型,范围涉及从引力到流体动力学的众多领域,还在数学中用于验证庞加莱猜想和卡拉比猜想.在求解非线性偏微分方程的过程中,几乎没有通用的求解方法能够应用于所有的方程.通常,可依据模型方程的数学物理背景来先验地假设非线性偏微分方程解的形式,并根据解的特点给出辅助方程.非线性偏微分方程可通过行波变换转化为常微分方程,再借助辅助方程来求解常微分方程.为此,借助行波变换及辅助方程的求解思路对BBM方程和Burgers方程进行了研究,并获得了其双曲正切函数及三角函数形式的精确解.研究结果表明,所采用的方法可广泛应用于若干在数学物理中有典型应用背景的非线性偏微分方程的精确解求解中.%In mathematics and physics,a nonlinear partial differential equation is a partial differential equation with nonlinear terms,which can describe many different physical models ranging from gravitation to fluid dynamics,and have been adopted in mathematics to solve problems such as the Poincaré conjecture and the Calabi conjecture. There are almost no general solutions that can be applied for all equa-tions. Nonlinear partial differential equation usually originates from mathematical and physical fields,such that the ansatz of the solutions has been given and an auxiliary function has been provided according to its mathematical and physical features. They can be transmitted to an ordinary differential equations via a traveling wave transformation. Through introduction of the auxiliary function into the ordinary dif-ferential equation a set of nonlinear algebra equations is acquired,which can supply solutions original partial differential equation in sol-ving process. Therefore,BBM equation and Burgers equation can be solved with the auxiliary function. The exact solutions include tan-gent function and trigonometric functions. The research shows that the proposed auxiliary function method can be applied to solve some other nonlinear partial differential equations with mathematical and physical background.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2017(027)011【总页数】5页(P196-200)【关键词】非线性偏微分方程;辅助函数法;BBM方程;Burgers方程;精确解【作者】杨健;赖晓霞【作者单位】陕西师范大学计算机科学学院,陕西西安 710119;陕西师范大学计算机科学学院,陕西西安 710119【正文语种】中文【中图分类】TP39非线性方程广泛应用于物理学和应用数学的许多分支，尤其在流体力学、固态物理学、等离子物理和非线性光学等。
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一类非线性演化方程的精确解
用不变子空间法来求一些非线性演化方程的精确解是比较简单而又有效的.本文主要研究了( 2 + 1 )-维无色散变系数Kadomtsev-Petiashili(dKP)方程的多项式解.在dKP方程维数增加一维的情况下,得到更为广泛(3 + 1 )-维dKP方程的平凡解和在超曲面上的爆破解.本文的研究结果推广了不变子空间法在高维偏微分方程解中的应用.本文的结构安排如下:第一章引言,主要介绍了用不变子空间法求精确解的研究背景,以及一些相关的预备知识.第二章,首先讲述KP方程的背景知识,最后给出(2 + 1 )-维变系数dKP方程的多项式解.第三章,首先研究(3 + 1 )-维变系数dKP方程平凡解和它在超曲面上的爆破解,再通过p(t)的取值,由定理直接给出(3 + 1 )-维KZK方程的精确解.最后一章,先总结本文,再对本文后续工作进行展望.。