非线性演化方程分离变量的直接构造法及其应用(戴朝卿,张解放著)PPT模板
第二章 分离变量法(§2.1)
第二章 分离变量法
偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。
解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数
一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题
对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题
§2.1 有界弦的自由振动
什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。
定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为
.0 ),(u ),(u0, ,0u ,0u0, l,0 ,0t0022222lxxxt txxuatuttlxx
分析：
1. 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。
2. 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数。
启发：能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？也既是能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解，再用其作线性组合使其满足初始条件。
由分析，我们现在试求方程的变量分离形式：
)()(),(tTxXtxu
的非零解。
将),(txu代入方程，可得
)()()()()()()()(2''''''2''xTaxTxXxXtTxXatTxX
此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。因此，左端和右端相等，就必须等于一个与tx,无关的常数。设为，则有
.0)()(,0)()()()()()(
''2''2''''xXxXtTatTxTaxTxXxX
第二章 分离变量法
第二章 分离变量法
1.6.1：线性叠加原理
本章将研究求解某些典型区域上定解问题的一种经典方法——分离变量法。这一方法的理论根据是线性叠加原理，为讨论这一原理，现介绍一些相关概念。
一、算子与线性算子
一般的n自变量的二阶偏微分方程可写为
2,11nnijiijiijiuuabcufxxx------(a)
其中,,,ijiabcf均为12(,,,)nxxxL的函数。
如：一维波动方程22222(,)uuaftxtx；
二维场位方程2222(,)uufxytx；
三维热传导方程22222222222(,,,)uuuuaaaftxyztxyz，等。
(a)式可进一步简写为Luf，
其中2,11nnijiijiijiLabcxxx，称为二阶微分算子。
算子T把数域上的一类函数映射为另一类函数。
若对中任意12,，有11221122()TuuTuTu，称T为线性算子。
显然，上述算子L为线性微分算子。
二、(线性)叠加原理
根据情况的不同，叠加原理可有不同的表达方式： 定理1.6.1：设L为关于12(,,,)nxxxxuurL的任意线性微分算子，则
(1)有限叠加原理：若()juxuur满足()()(1,2,,)jjLuxfxjmuuruurL，则
1()()mjjjuxuxuuruur满足1()()mjjjLuxfxuuruur ()j。
(2)级数叠加原理：若()juxuur满足()()(1,2,,)jjLuxfxjmuuruurL，则
1()()jjjuxuxuuruur满足1()()jjjLuxfxuuruur ()j。
(3)积分叠加原理：若,()uxuur满足,,()()()LuxfxVuuruur，则
数学物理方程-第七章分离变量法III
156 / 30 第七章 勒让德多项式
在第三章中我们介绍了一类特殊函数—Bessel函数，利用Bessel函数给出了平面圆域上Laplace算子特征值问题的解，从而求解了一些与此特征值问题相关的定解问题.为求解空间中球形区域上与Laplace算子相关的一些定解问题，需要引入另一类特殊函数—勒让德（Legendre）多项式，用于求解空间中球形区域上Laplace算子的特征值问题. Legendre多项式不仅是解决数学物理方程中许多问题很有用的工具，在自然科学的其它领域也有不少的应用.
§71勒让德多项式
本节介绍勒让德多项式及相关的一些特征值问题，为分离变量法的进一步应用作准备.
7．1.1 勒让德方程及勒让德多项式
考虑下面二阶常微分方程
2[(1)]0ddyxydxdx，11x. (1.1)
其中0为常数，(1.1)称为勒让德方程.设(1),非负实数，并将（1.1）改写为如下形式
2'''(1)2(1)0xyxyy，11x. （1.2）
（1.2）满足第三章中定理1.1中的条件，其中
222(1)(), ()11xpxqxxx，
故（1.2）在区间(1,1)有解析解，设其解为
0()kkkyxax
（1.3）
其中(0)kak待定常数. 将该级数及一阶和二阶导数代入到原方程中得
221210(1)(1)2(1)0kkkkkkkkkxkkaxxkaxax，
或
20000(1)(2)(1)2(1)0kkkkkkkkkkkkkkaxkkaxkaxax.
令上式中(0)kxk系数为零可得
第四章-分离变量法1上课讲义
第四章 分离变量法
一、分离变量法的精神和解题要领
1．分离变量法的精神
将未知函数按多个单元函数分开，如，令
)()()()(),,,(tTzZyYxXtzyxu
从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解
2．分离变量法的解题步骤
用分离变量法求解偏微分方程分4步
（1）分离变量：将未知函数表示为若干单元函数的乘积，代入齐次方程和齐次边界条件，得到相应的特值问题和其它常微分方程。
（2）求解特征值问题
（3）求解其它常微分方程，并将求得的解与特征函数相乘，得到一系列含有任意常数的分离解（如,2,1,nun）。
（4）叠加（如nuu）用初始条件和非齐次边界条件确定系数（即任意常数），从而得到偏微分方程定解问题的解。
3．特征值问题
在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）组成的定解问题，这类问题中的参数，必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。这样的参数，称为特征值，相应的方程的解，称为特征函数，求解这类特征值和相应的特征函数的问题，称为特征值问题。
常涉及到的几种特征值问题：
（1） 0)()0(0)()(lXXxXxX
特征值 222ln，特征函数 ,2,1 sin)(nxlnCxXnn
（2） 0)()0(0)()(lXXxXxX
特征值 2)(ln，特征函数 ,2,1,0 cos)(nxlnCxXnn
（3） 0)()0(0)()(lXXxXxX
特征值 2)21(ln，特征值函数,2,1,0 21sin)(nxlnCxXnn
（4） 0)()0(0)()(lXXxXxX 特征值为2)21(ln，特征值函数,2,1,0 21cos)(nxlnCxXnn
分离变量法在常微分方程中的应用
分离变量法在常微分方程中的应用
分离变量法是解常微分方程中常用的一种方法。通过将自变量和因变量分离，得出关于前者的微分方程和关于后者的微分方程，进而将其分别积分求得解。本文将详细介绍分离变量法的具体应用。
一、分离变量法的基本原理
分离变量法的基本原理是将依赖于自变量和因变量的微分方程化为两个只依赖于其中一个变量的微分方程。
设$f(x,y)$为一元函数，则关于变量$x$的微分方程为$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$
如果可以把$M(x,y)$和$N(x,y)$写成$f(x,y)$的形式，即$$M(x,y)=u(x)v(y), \qquad N(x,y)=w(x)z(y)$$
则原微分方程即可化为$$u(x)v(y)dx+w(x)z(y)dy=0$$
这时，我们就可以把式子两边分别积分：
$$\int u(x)dx+\int v(y)dy=C$$
$$\int w(x)dx+\int z(y)dy=C$$
其中$C$为常数，得到原微分方程的解。
需要注意的是，这种方法只适用于常微分方程，且要求$M(x,y)$和$N(x,y)$是由同一单元函数导出的，否则需要采用其他求解方法。
二、分离变量法的具体应用
1.一阶线性微分方程
对于一阶线性微分方程形式为$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$
分离变量法的求解可以分为两步：
第一步，将$P(x)$和$Q(x)$看作常数，即$$\frac{dy}{dx}+Py=Q$$
第二步，考虑$dy/dx$与$y$之间的关系，即$$\frac{1}{y}dy=\frac{Q}{1-Pdx}dx$$
将式子两边分别积分得：$$\int \frac{1}{y}dy=\int \frac{Q}{1-Pdx}dx+C$$
其中$C$为常数，即为所求解。
2.二阶常系数齐次线性微分方程
对于二阶齐次线性微分方程形式为$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$$
带有对流项和源项的非线性扩散方程的分离变量解
带有对流项和源项的非线性扩散方程的分离变量解
非线性扩散方程的分离变量解是求解非线性扩散方程的一种重要方法，常常在对流项和源项（辐射、热交换等）同时存在的情况下使用。从数学推导上来看，非线性扩散方程可以表示为：
=∇△u（x，y）+ φ（x，y）
其中u（x，y）为变量，△为拉普拉斯运算符，φ（x，y）为3671项（表示辐射、热交换等）。
由于扩散方程的解析解非常困难，因此分离变量解是有益的。该方法的基本思想是把相关的偏微分方程分解成几个微分方程的乘积的形式，从而使其变得更容易求解。
一种常用的分离变量解是把非线性扩散方程分解为分别依赖于X和Y变量的偏微分方程，从而使之变得更容易求解。举例来说，如果假定u（x，y）可以按如下方式表示：
U（x，y）= X（x）Y（Y）
则可以得到偏微分方程的乘积形式：
= （∂2X/∂x2 + ψX）（∂2Y/∂y2 + ψY）
其中ψX和ψY表示辐射、热交换等源项。偏微分方程的乘积形式的求解比较简单，因此分离变量法是求解非线性扩散方程的首选方法。
总之，非线性扩散方程的分离变量解是一种行之有效的求解方案，其主要优势在于将非线性扩散方程分解成几个相互独立的更容易求解的偏微分方程，从而避免了解析解的困难问题。因此，在对流项和源项（辐射、热交换等）存在的情况下，分离变量解将成为求解非线性扩散方程的重要手段。
第二章 分离变量法(§2.5)
§2.5 非齐次边界条件的处理
前面讨论的定解问题，无论方程是齐次还是非齐次的，边界条件都是齐次的，对于边界条件为非齐次的如何处理？
原理：将边界齐次化。
下以波动方程的定解问题为例说明。考虑如下定解问题：
.0 ),(tu ),(u0, ),(u ),(u0, l,0 ),,(0021022222lxxxttutu txtxfxuatuttlxx （1）
为应用分离变量法，设法作一代换将边界条件齐次化，为此令
),(),(),(txWtxVtxu （2）
适当选择),(txW，使得),(txV的边界条件化为齐次的，即
.0V ,0V0lxx
（3）
因此，由（1）和（2）可知，),(txW满足
),(W ),(W210tutulxx
（4）
所以只要找到),(txW满足（4）就达到目的。对于这样的),(txW有很多选法，例如取其为一次式，即
)()(),(tBxtAtxW
要满足（4），则可得
)]()([1)(),()(121tutultAtutB
从而
)()]()([1),(112tuxtutultxW
这样只要作代换
)()]()([1),(),(112tuxtutultxVtxu （5）
就能使得),(txV满足齐次边界条件，即有 .0 ],))0()0((1)0([)(tV ],))0()0((1)0([)(V0, ,0VV0, l,0 ],)(1)([),('''0''100''''1222221211212lxxuuluxxuuluxt txxuultutxfxVatVttlxx （6）
第二章分离变量法[§2.2,§2.3]
.
1 / 3 §2.2 有限杆上的热传导
定解问题：一均匀细杆,长为l,两端坐标为lxx ,0。杆的侧面绝热,且在端点0x处温度为零,而在lx 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x,求杆上的温度变化情况,即考虑下定解问题：
仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤,设)()(),(tTxXtxu,代入上面的方程可得
从而可得通解
由边界条件知
从而
令
上方程的解可以看作曲线tan1y,2y交点的横坐标,显然他们有无穷多个,于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根
于是得到特征值问题的无穷个特征值
及相应的特征函数
再由方程0)()(22'tTatT, 可得
tannneAtT22)(,
从而我们得到满足边界条件的一组特解
由于方程和边界条件是齐次的,所以
仍满足此方程和边界条件。
下面研究一下其是否满足初始条件。
可以证明}{sinxn在区域[0,l]上具有正交性,即
证明：
完成。
令
于是,
从而得到定解问题得解
lnnnnntanxdxxLCxeCtxun01sin)(1,sin),(22。
§2.3 圆域内的二维Laplace方程的定解问题
平面极坐标),(和直角坐标),(yx的关系是
由此可得
即是
由复合函数求导法则,可得 .
2 / 3 进一步,可得
在此基础上,还可以得到柱坐标系下的Laplace算符
考虑圆域内的稳定问题：
其在极坐标下的表示形式：
因圆域内温度不可能为无限,尤其是在圆盘中心点的温度应该有限,并且 )2,( ),(和表示同一点,故而我们有下约束
下面用分离变量法求解该问题。令).()(),(Ru 代入极坐标下方程可得：
从而可得常微分方程
由有限性及周期边界条件知
)2()(,|)0(|R
新版数学物理方程学习指导书第4章 分离变量法
天天快乐 第4章 分离变量法
物理学、力学和工程技术等方面的许多问题都可归结为偏微分方程的定解问题，上一章我们已初步看到怎样把具体的物理问题表达为定解问题.下面一个重要任务是怎样去解决这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解.
从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分及重积分时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决.与此类似，求解偏微分方程的定解问题也是要设法把它们转化为常微分方程问题，分离变量法就是常用的一种转化手法.本章我们将通过实例来说明分离变量法的步骤和实质.在4.2我们讨论了如何处理第三类齐次边界条件（当然也包括第二类边界条件）.在4.3说明如何在极坐标系下使用分离变量法.在4.4及4.5我们讨论了如何处理非齐次方程及非齐次边界条件的问题，本章的最后还安排了两个较为综合性的例子作为总结.
4.1 有界弦的自由振动
为了使读者了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题.
根据第3章所得的结论，讨论两端固定的弦的自由振动，就归结为求解下列定解问题
22222000,0,0; (4.1)0,0;(4.2)(),(). (4.3)xxlttuuaxlttxuuuuxxt
这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解这样的问题，可以运用叠加原理.我们知道.在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件.这就启发我们，要解问题(4.1),(4.2),(4.3)，先寻求齐次方程（4.1)的满足齐次边界条件(4.2)的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件(4.3).
第10章 分离变数
第十章 分离变数（傅里叶级数）法
前面是求通解后根据定解条件确定待定函数或常数的方法，只适用于很少的定解问题，通常偏微分方程的通解难以求得，其次，即使已求得通解，但要根据定解条件确定通解中含有的任意函数也较困难。因此，求解偏微分方程的定解问题时，常常是直接去求满足定解条件方程的解。
§35 分离变数法介绍
分离变量法○1是将定解问题的解的形式表为各独立变数的函数的乘积，因而将偏微分方程的求解问题转化为几个常微分方程的求解问题。为了能够确定其中一个常微分方程的解。不仅需要将原来方程的自变量分离，而且要求能够从原来的边界条件分离变量得出相应于该常微分方程的边界条件。为此要求原边界条件是齐次的或者是可分离变量的，否则无法直接使用分离变量法。○2在求解过程中必出现由常微分方程（它的自变量是空间变量）和相应的齐次边界条件构成的本征问题，由此确定一个本征函数族和相应的一系列本征值。
§35.1 分离变数法
考虑两端固定的均匀弦的自由振动。
220000(/)|,|0|(),|()(0)ttxxxxltttuauaTuuuxuxxl
注意到波在两端点之间往复反射形式形成驻波的事实。因此，定解问题的解具有驻波的形式(,)()()uxtXxTt，将其代入泛定方程有''''2TXaTX，因方程两边分别是两独立变量t，x的函数，因此，两边应等于同一常数，记''''2TXaTx。将试探解(,)()()uxtXxTt也代入边界条件
(0)()0,()()0XTtXlTt知(0)0,()0XXl。
即原定解问题变为''2''00(0)0,()0(,)()()TaTXXXXluxtXxTt
0|(),|()tttuxux
本征值问题：''0(0)0,()0XXXXl
讨论：○1120,()xxXxCeCe将边界条件(0)0,()0XXl代入有12120,0llCCCeCe得120,CC即()0Xx，无意义。