常微分方程22 变量可分离方程
高等数学常微分方程讲义,试题,答案
高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。
dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
可分离变量的微分方程
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例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量Mt)随时间t 变化的规律
解 根据题意 得微分方程 即 lnMtlnC
dM M ( 是正常数)
dt 初始条件为M|t0M0
将方程分离变量 得
dM dt
M 两边积分 得
也即 MCe t
由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量Mt)随时间t变化的 规律MM0e t
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例3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得
下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞
dv mg kv
dt m
塔时速度为零 求降落伞下落 即 速度与时间的函数关系
1 k
ln(
mg
k
v)
t m
C1
解 设降落伞下落速度为 vt) 根据题意得初值问题
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
将方程分离变量得
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
例 1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得
1 dy 2xdx y
两边积分得
1dy y
2xdx
即ln|y|x2C1 来自 加常数的另一方法从而
y eC1ex2 Cex2 从而
其中 C eC1 为任意常数
ln|y|x2lnC y Cex2
§.2 可分离变量 的微分方程
❖可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成
gy)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程的解法
6.2 常微分方程的分离变量法
dy h( x ) g( y) 可分离变量的微分方程. dx 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx, dx
解法 设函数 g ( y )和h( x )是连续的, (1) 如果有y0使得 g( y0 ) 0 ，则常函数 y y0
是它的解；
(2)如果 g ( y) 0 ，原方程变形并且两边同
解得
ln | y | x C1
2ห้องสมุดไป่ตู้
即
y e
x 2 C1
e e
C1 x 2 C1
令C e y Ce
x2
注意到y=0时也是方程的解,但此解包含在
y C e 中，故此方程的通解最后可写为 y Ce .
说明: 在求解过程中每一步不一定
x2
x2
是同解变形,因此可能增、减解。
时积分有
1 dy h( x )dx g ( y)
1 若记G ( y ) 、 、h( x )的某一原 H ( x ) 分别为 g ( y) 函数,则
G ( y) H ( x ) c
这就是原方程的隐式通解。
dy 2 xy。 例1 解方程 dx
1 解：当 y 0 时，分离变量得 dy 2 xdx y 1 两边积分 dx 2 xdx y
dy x e (1 y ) 。 例2 解方程 dx
1 2 2
解：当 y 1 时，分离变量得
(1 y2 ) dy e xdx，
两边积分
解得
2 x (1 y ) d y e dx 1 2
1 2
arcsin y e x C
y=sin(e x C )
可分离变量微分方程ppt课件
)
C
0.62 2g 3
5
利用初始条件, 得
h t 0 100
C 14 105
0.62 2 g 15
h
hr
100cm
因此容器内水面高度 h 与时间 t
o hdh
有下列关系:
t
(7 105
103 h 32
5
3h 2
)
4.65 2 g
内容小结 作业 P 269 1(1)(5)(7)(10); 2 (3)(4) ; 4 ; 5
M
铀含量
问题, 求: M M (t)
条件: (1) (2)
ddMM M ( 0)
ddtt M t0 M0 (初始条件)
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在衰变过程中铀含 量M(t) 随时间 t 的变化规律.
dM M ( 0)
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
得 ln y x3 C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
令C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
降落伞下落速度与时间的函数关系.
建模: 相关变量, 有: t
时间, F
力
v
下落速度
问题, 求: v v(t)
条件: (1) F mg k v (k 0)
(2) v t0 0 (初始条件)
根据牛顿第二定律 (3) m dv mg kv
变量分离法解微分方程
变量分离法解微分方程变量分离法是求解一阶常微分方程的一种常用方法，它的基本思想是将微分方程中的变量分离，从而得到两个单独关于各自变量的微分方程，进而解出原方程的解析解。
这种方法在实际问题的建模和求解中具有广泛的应用。
在变量分离法中，首先需要将原方程变形为关于两个变量的等式。
对于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，我们可以将其改写为1/g(y)dy = f(x)dx。
我们可以通过对方程两边同时积分来解出原方程的解。
下面我们以一个具体的实例来说明变量分离法的应用。
考虑一阶线性微分方程dy/dx = y/x，我们可以使用变量分离法来求解。
将方程变形为1/y dy = 1/x dx。
然后我们对方程两边同时积分，得到ln|y| = ln|x| + C，其中C为常数。
进一步，我们可以应用指数函数的对数性质得到|y| = e^(ln|x| + C) = e^(ln|x|) * e^C = Cx，其中C为非零常数。
由于|y| = Cx，我们可以将常数C的正负号去掉，得到y = Cx，其中C为任意常数。
原方程的解为y = Cx，其中C为任意常数。
通过这个具体的实例，我们可以看出变量分离法在求解微分方程时的奏效。
通过将微分方程变形为两个变量的等式，并应用积分求解的方法，我们可以得到原方程的解析解。
这种方法在实际问题的求解中具有广泛的应用，特别是对于具有分离变量性质的一阶常微分方程来说，变量分离法是一种非常有效的求解方法。
在实际应用中，变量分离法的步骤一般是比较清晰和直观的，但是在解析解的求解过程中，可能会涉及到一些复杂的积分计算，需要运用积分技巧或者其他数学工具来求解。
变量分离法在求解高阶微分方程时不是常用的方法，常用的方法是利用特征方程或者线性微分方程的特殊解求解。
总结和回顾一下，变量分离法是一种常见且实用的求解一阶常微分方程的方法。
通过将微分方程变形为两个变量的等式，并应用积分求解的方法，我们可以得到微分方程的解析解。
第二节--可分离变量微分方程教学文案
分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
积 分 得 aru c 1 t ln a 1 u n ( 2 ) l|n x | C , 2
或 写 成 x1 u 2 C 1 e aru c, tan
再 将uy代 入 ,得 通 解 为 x
xduu f(u) dx
注意：须将u代回.
例
求方dy程 ytayn的通解。 dx x x
dyxd u u dx
解 令 uy，d则 yuxdu，
x dx dx
dy xduu
于是，原方程化为
dx dx
du dx， tanu x
两边积分，得
tdaunudxx，
1 coxtcoxs
tanx
sinx
l|n su i | l n |n x | l|n C |，
当q(x)0时， 方程称为一阶非齐线性方程。
一般说来， p(x)、 当 q(x)函 C数 时，方程有唯
习惯上，称 为方程
yp(x)y0 y p (x )y q (x )
所对应的齐方程。
一阶齐线性方程的解
方程 yp(x)y0是一个变量可。 分离方程
运用分离变量法，得
两边积分，得
dyp(x)dx， (y0)， y
这时旋转曲面方程为
y2z2d4h2x1d26h
三、可化为齐次方程的方程
dY dX
Y X
齐次方程
变量代换
dyfa1xb1yc1 dx a2xb2yc2 可化为齐次方程的方程
变量代换 YZX
a 1x b 1yc 10
dZ dX f (Z)Z X 变量分离方程
a 2x b 2y c2 0
常微分方程方法归纳
变量分离法常数变易法积分因子法变量分离法1) 变量分离方程 形如()()dyf xg y dx=(或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) 的方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数.2)求解方法 如果()0g y ≠，方程()()dyf xg y dx =可分离变量化为，()()dy f x dx g y = 两边同时积分,得到()()dyf x dx cg y =+⎰⎰3) 例题例1 求解方程dy x dx y=- 解将变量分离，ydy xdx =-两边积分，即得22222y x c =-+ 通解为22x y c +=（c 是任意的正常数） 或解出显式形式y =例2 解方程2cos dyy x dx=并求满足初始条件：当0x =时.1y =的特解.解将变量分离，得2cos dyxdx y = 两边积分，即得1sin x c y-=+ 通解为1sin y x c=-+为确定所求的特解，以0x =.1y =代入通解中确定常数c ，得到1c =-。
因而，所求的特解为11sin y x=-注: 1.常数c 的选取保证通解表达式有意义；2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解,即将遗漏的解要弥补上；3.微分方程的通解表示的是一族曲线特解表示的是满足特定条件00()y x y =的一个解，表示的是一条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭利用变量替换可化为变量分离方程再求解.同时对x 求导于是dy dux u dx dx=+ 代入原方程变为()dux u g u dx+= 整理后，得到()du g u udx x-=一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量， 所得的解便是原方程的解.例5 求解方程(0).dyxy x dx+=<方程 以,y dy du u xu x dx dx==+代入，则原方程变为dux dx =dx x = 两边积分ln()x c =-+ 即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+>①这里的c是任意常数.此外，还有解0u =，注意，此解不包括在通解中. 将①代回原来的变量，即得原方程的通解2[ln()](ln()0)y x x c x c =-+-+>及解0y =.原方程的通解还可表为：2[ln()],ln()0,0,x x c x c y ⎧-+-+>=⎨⎩它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的求解方法关键的一步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy duu xdxdx =+，再将其代入齐次方程使方程变为关于,u x 的可分离方程（x 为自变量，y 为因变量）；2.齐次方程也可以通过变换xv y=而化为变量分离方程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v ydy dy =+，将其代入齐次方程dxx f dy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭使方程变为,v y 的可分离方程（y 为自变量，x 为因变量）；2）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数. （1）120c c ==情形. 这时方程属齐次方程，1122a x b y dy y g dx a x b y x +⎛⎫== ⎪+⎝⎭. 分子分母同除以x （2）11220a b a b =，即1122a ba b =的情形. 设1122a b k a b ==，则方程可写成 22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++则方程化为22()dua b f u dx=+这是一变量分离方程（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形.这时方程111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++右端的分子、分母都是,x y 的一次式，因此 1112220a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩代表xy 平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ. 显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至(,)αβ就行了，112200a X b Y a X b y +=⎧⎨+=⎩，原方程化为1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程1112220a x b y c a x by c ++=⎧⎨++=⎩，设其解为,x y αβ==；(2)1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭； (3)再经变换Yu X=将齐次方程化为变量分离方程； (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程的解.例6 求解方程13dy x y dx x y -+=+-解解方程组1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得1, 2.x y ==令12x X y Y =+⎧⎨=+⎩代入方程，则有齐次方程dY X YdX X Y-=+Y uX =分离变量化为2112dX udu X u u +=-- 两边积分，得22ln ln 21X u u c=-+-+因此22(21)c X u u e +-=±2212Y XY X c +-=记1,c e c ±= 并代回原变量，就得 221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----=此外，易验证2210u u +-=即2220Y XY X +-= 也就是齐次方程的解.因此原方程的通解为22262y xy x y x c +---=其中c 为任意的常数.常数变易法（一阶非齐次线性微分方程、n阶非齐次线性微分方程、非齐次常系数线性方程组）是否只能解决常系数？1()dyP x ydx=它的通解为()P x dxy ce⎰=2）求解步骤：求出对应的一阶齐次线性微分方程的通解()P x dxy ce⎰=两边微分，得()()()()()P x dx P x dxdy dc xe c x P x edx dx⎰⎰=+代入原方程，得到()()()()()()()()()P x dx P x dx P x dxdc xe c x P x e P x c x e Q xdx⎰⎰⎰+=+即()()()P x dxdc xQ x edx-⎰=积分后得到()()()P x dxc x Q x e dx c-⎰=+⎰代入()()P x dxy c x e⎰=注: 非齐次线性方程的通解是它对应的齐次线性方程的通解与它的某个特解之和.初值问题()()()dyP x y Q xdxy x y⎧=+⎪⎨⎪=的解为例2 求方程22dy ydx x y=-的通解.解原方程颠倒改写为2dxx ydy y=-把x看作未知函数，y看作自变量先求齐次线性方程2dxxdy y=的通解为2x cy=于是2()2()dx dc yy c y ydy dy=+代入原方程，得到()lnc y y c=-+从而，原方程的通解为2(ln)x y c y=-这里c 是任意的常数,另外0y=也是方程的解.3求解步骤：用n y -乘方程两边，得到1()()nn dyy y P x Q x dx--=+ 引入变量变换1n z y -=（2.40）从而(1)n dz dyn y dx dx-=-（2.41） 将（2.40）、（2.41）代入原方程，得到(1)()(1)()dzn P x z n Q x dx=-+- 这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解， 然后再代回原来的变量，便得到伯努利方程的通解. 此外，当0n >时，方程还有解0y =.例5 求方程331dy dx xy x y=+的解 解将方程改写为33dxyx y x dy=+这是一个自变量为y ，因变量为x 的伯努利方程.解法同上.例4 求方程26dy yxy dx x=-的通解 解这是2n =时的伯努利方程，令1z y -=,得2dz dy y dx dx-=- 代入原方程得到6dz z x dx x =-+这是线性方程，求得它的通解为268c x z x =+代回原来的变量y ，得到2618c x y x =+，或者688x x c y -=这是原方程的通解. 此外，方程还有解0y =.例6 求方程23y dye x dx x+=的通解 原方程改写为2223du x u u dx x x=+便是伯努利方程.4()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数。
常微分方程的变量分离法及其应用
常微分方程的变量分离法及其应用常微分方程是描述自然界中很多现象的重要数学模型，它涉及到许多科学和工程领域。
其中，变量分离法是解常微分方程的一种重要方法，可以将含有未知函数y和自变量x的常微分方程转化为易于求解的形式。
本文将介绍常微分方程的变量分离法及其应用。
一、常微分方程的基本概念在进一步讲解变量分离法之前，我们先来回顾常微分方程的基本概念。
常微分方程是指含有未知函数y及其一阶或高阶导数的方程，通常形式为：F(x,y,y',y'',...) = 0其中，x是自变量，y是因变量，y'、y''等是y关于x的一阶、二阶等导数。
如果某个函数y满足上述方程，我们就称其为该方程的解。
二、变量分离法的基本思想在求解常微分方程时，变量分离法通常是一种比较常用的方法，其基本思想是将方程中的变量分离出来，使方程化为两个变量的积的形式：F(x)dx = G(y)dy此时，我们可以将方程分离为两个变量的函数，并对两边同时积分得到：∫F(x)dx = ∫G(y)dy + C其中，C为常数。
三、变量分离法的实例下面，我们将通过一个实例来进一步说明变量分离法的应用。
假设我们要求解如下的常微分方程：y' = (x+y)/(x-y)该方程看上去很难直接求解，但我们可以通过变量分离法来将其化为易于求解的形式。
首先，我们将方程中的x和y分离出来，得到：y'/(x+y) = 1/(x-y)此时，我们将左右两边分别乘以(x+y)(x-y)并进行积分，得到：ln|x+y| - ln|x-y| = ln|y| + ln|C|其中，C为常数。
两边同时取指数，得到：|x+y|/|x-y| = Cy再次对两边同时取指数，得到：y = C'(x-y)/(x+y)其中，C'为常数。
此时，我们就成功地将原方程化为了易于求解的形式。
虽然最终的解看上去比较复杂，但我们只需要借助变量分离法即可得到它。
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故感染者不能被及时隔离. 直升机将在60至72小时
将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数.
解 设y ( t )表示发现首例病人后 t 小时的感染人数。
设传染病的传播速度与受感染的人数及
未受感染的人数之积成正比.
dy k y (800 y), 其可中分k离>变0为量比微例分常方数程.
23
（y x）2 ( x)2 1. yy
dy x ( x)2 1, dx y y
dx x ( x)2 1, 令z x，
dy y y
y
z y dz z 1 z2 , dy
dy dz , y 1 z2
两边积分 ln y ln( z 1 z2 ) ln C
解
1
1 2 0,
11
方程组
h h
k k
1 3
0 0
h 1,k 2
令 x X 1, y Y 2. 代入原方程得
dY X Y , dX X Y
齐次型方程. 令 u Y ， Y u X， X
方程变为 u X du 1 u , dX 1 u
ln
z
ln x C,
回代 z y . x
x2 2 y2
ln
y
C.
10
x
求方程 (1 e y ) y dx ( x y)dy 的通解。
分析 把 x 看作 y 的函数,求解比较方便.
解 dx dy
1
x
( x 1). y
dx F x dy y
x
x
解 令 z y， dy zdx xdz，
x
( x x z cos z)dx xcos z(zdx xdz) 0,
cos z dz dx , x
sin z ln x C,
微分方程通解： sin y ln x C. x
9
解方程 x y dx ( x2 y2 )dy 0
再利用条件 V (0) 288 V (2) 36
确定出常数C和r代入关系式得
V (t) (12 3t)3
6 t的取值在 [0,4] 之间。
22
游船上的传染病人数.
初始条件: y(0) 1, y(12) 3
一只游船上有800人, 一名游客患了某种传染病,
12小时后有3人发病. 由于这种传染病没有早期症状,
10
故所有的解为:
x
10 1 C2et
,
x
0,
x
10.
4
求方程 dy 2x 1 y2 的所有解。 dx
解 当 y 1时，
1
1
dy y2
2x dx,
arcsin y x2 C
通解：
y sin( x2 C ),
另 y 1也是解（不能用通解表示）。
x
dx
dx
故有 z x dz F (z). 即 x dz F (z) z.
dx
dx
例2.2.3 求下面初始值问题
( y x2 y2 )dx xdy y(1) 0
解：方程为齐次方程，令 y xz
求导后得 x dz 1 z2
dx
分离变量得 dz 1 dx
1 z2 x
dx
dy k y (800 y), y(0) 1, y(12) 3
dx
分离变量
dy k d t,
y(800 y)
1 1 1 dy k dt, 800 y 800 y
两边积分,
ln y ln(800 y) 800k t ln 1 , C
dx
(a1 x b1 y) c2
令 z a1 x b1 y, 则
dz
dy
zc
ab ab f(
).
dx
dx
z c1
15
3. 对特殊方程 dy f (ax by c) dx
令 z ax by, 则 dz a bf (z c). dx
16
dY f ( a1 X b1Y ).
dX
a2 X b2Y
14
(2) 若 a1 b1 0 则存在实数 , 使得:
a2 b2
a2 a1, b2 b1, 或者有 a1 a2 , b1 b2 .
不妨是前者, 则方程可变为
dy f ( a1 x b1 y c1 ).
齐次方程
1e y
令 z x , 则 x y z dx z y dz ,
y
dy
dy
方程变为 z y dz dy
1
1 ez
(z
1)
11
z
y dz dy
1
1 ez
(z
1)
分离变量
1 z
ez ez
dz
1 y
dy
两边积分 ln(z ez ) ln y lnC
2
例 2.2.2 求微分方程 dx x(1 x )的通解.
dt
10
解: 变形为
dx x(1
x
)
dt
10
积分得:
dxБайду номын сангаасx(1
x
)
dt
C1
10
求积分得:
x
ln 10 x
t C1
解得:
x eC1et
10 x
3
记 eC1 C2 , 则
10 x 1 C2et , C2 0. 因为 x(1 x ) 0可得 x 0, x 10.
5
二、 齐次方程
齐次函数: 函数 f (x, y)称为m次齐次函数, 如果 f (tx,ty) tm f (x, y),t 0.
齐次方程: 形如 dy F ( y ) 的方程称为齐次方程。 dx x
求解思想: 引入一个新变量化为变量可分离方程。
6
事实上, 令 z y , 则 y xz, dy z x dz .
dy dx
F
y x
解
改写方程：dy dx
xy x2 y2
y/ x 1 ( y / x)2
齐次方程
令 z y , 则 y x z, dy z x dz
x
dx
dx
方程变为：
z
x
dz dx
1
z z2
,
1 z2 z3
dz
1 dx x
两边积分：
1 2z2
2. 当 c12 c22 0 时, 并且 (1) a1 b1 0 a2 b2
13
此时二元方程组
aa12
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
有惟一解 x h, y k.
引入新变量 x X h, y Y k.
此时, 方程可化为齐次方程:
例2.2.4求方程 dy x y 1的通解。 dx x y 3
解：解方程组
x x
y y
1 0 30
得
x
y
1 2
令 x u 1, y v 2
代入原方程可得到齐次方程
dv u v
令 v uz 得 dx u v
u dz 1 z2 dx 1 z
M
Q
设M ( x, y)为L上任一点，
RP O
x
切线MT斜率 : y, 法线MN斜率 : 1 ,
N
y
L
MOR 2MPR,
y x
2 / y ， 1 (1/ y)2
y x
2 y ， y2 1
26
y x
2 y ， y2 1
y y2 2x y y,
19
u X du 1 u , dX 1u
分离变量法得
X 2(u2 2u 1) C,
Y 2 2XY X 2 C,
x X 1 y Y 2.
u Y X
将 X x 1,Y y 2 回代， 原方程通解
( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C,
28
精品课件！
29
精品课件！
30
作业
P.50 1（1，4，5，9，15） 2（1，3），6
31
1 ln 799 12 2397
0.09176 .
y(t
)
1
800
799e 0.09176t
.
y(60)
1
800
799e0.0917660
188,
y(72)
1
800
799e0.0917672
385.
25
车灯的反射镜面--旋转抛物面 解 设旋转轴 ox轴
yT
光源在(0,0), L : y y( x)
17
变量分离后积分
(1 z)dz 1 z2
du u
arctan z 1 ln(1 z2 ) ln u C 2