可分离变量方程例题1
一可分离变量的微分方程
作变量代换
u
y x
,即
y
xu,
dy dx
u
x
du dx
,
代入原式
u x du dx
f (u),
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
例7
求微分方程
y
y x y
的通解
解 把原方程化为
y
dy x dx 1 y
x
令u y ，则y xu，dy u x du ，代入上式
x
dx
司将在第36年破产；
当 W0= 600 百万元时，公司将收支平衡，将资 产保持在600百万元不变；
当 W0 =700 百万元时，公司净资产将按指数 不断增大.
二、齐次方程
1.定义 形如 f x, y n f x, y，
称为n次齐次方程.
2.定义
形如
dy dx
f
(
y x
)
的微分方程称为齐次方程.
3.解法
解 方程两边同除以y，再乘dx，得
1 dy 2xdx y
两端分别积分
1 dy y
2xdx, 得
ln y x2 C1
即 y ex2 C1 eC1 ex2 Cex2
又显然y 0是方程的解，且它已包含在通解中
(当C 0)，故原方程的通解为 y Cex2 .
例3 求方程 dy 1 x y2 xy2的通解． dx
可分离变量方程求解步骤: 第一步，分离变量
g( y)dy f (x)dx
第二步，对上式两端分别积分：
g(y)dy f (x)dx
得到通解 G(y) F(x) C
其中G y与F x分别是g(y)与f x的一个原函数，
可分离变量的微分方程
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求 在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. dM 衰变系数 M ( 0 ) 解: 根据题意, 有 d t M t 0 M 0 (初始条件) 对方程分离变量, 然后积分:
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
2
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
通过适当变量代 换可化为可分离 变量的微分方程
t 0
0
dv m mg kv dt
对方程分离变量, 然后积分 : 得
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v t k mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
作 业
P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6 ; 7
第二节 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程及其解法 二、典型例题
一、可分离变量的微分方程及其解法
1、 可分离变量的微分方程
dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx （一阶） M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0
｝
转化
g ( y ) d y f ( x) d x
4.012__可分离变量类型
∫ g( y )dy = ∫ f ( x )dx
例３若函数 y=y(x) 连续，且满足
x ∫ y ( t )dt = ( x + 1) ∫ ty ( t )dt , 求函数 y(x).（续）
x x 0 0
上式两端再对x求导，有
dy 1 − 3 x dy 整理可得 = dx 2 xy + x = ( 1 − x ) y ⎯⎯⎯⎯ → 2 y x dx 1 两端积分得 ⎯⎯⎯⎯ → ln y = − − 3ln x + ln C , x 1 C −x 故所求函数y(x)为 y = 3 e , ( C为任意常数 ) . x
2
2 2
(
)
(
)
1 2 = ln x − ln 1 + x + ln C = ln 2
(
)
xC
(1 + x )
1 2 2
.
dy = f ( x ) g ( y ) , g ( y )dy = f ( x ) dx dx
例2 求微分方程
( xy + x y ) dy − (1 + y ) dx = 0
设函数G ( y ) 和F ( x ) 依次为g ( y ) 和 f ( x )的原函数,
∫ g( y )dy = ∫ f ( x )dx
分离变量
G ( y ) = F ( x ) + C 为微分方程的解.
dy = f ( x ) g ( y ) , g ( y )dy = f ( x ) dx dx
3 2
∫ g( y )dy = ∫ f ( x )dx
满足初始条件 y(1)=0的特解. （续）
2 d 1 + y 1 y ⇒∫ dy = ∫ = ln 2 2 1+ y 2 1+ y
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x, y)处的切线斜率
为 dy 。 dx
根据题意有
dy x dx y
初始条件为
y 0 x 1
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
（2）质量变成一半时m=25，将其代入上式，得
25 50e0.053t
即
e0.053t 1
2
则
t ln2 1（3 年）
0.053
于是可以预测大约经过13年，该材料质量变成一半。
高等数学
两边积分，得
ln P(t) 0.08t ln C
化简，得通解
P(t) Ce0.08t
将 P(0) 80 423 代入通解中，得 C 80 423
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？
于是所求特解为
C 1 y ex2
在解微分方程时，为方便起见，遇到如
1 y
dy， 1x
dx等
形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式
不变。
例3 解微分方程 x( y2 1) dx y(x2 1) dy 0
解 分离变量，两边同乘以2，得
两边积分，得
2 y2
y 1
dy
2x x2 1
dx
dy f (x) g( y) dx
求解步骤如下： （1）分离变量 dy f (x)dx
高数一阶微分方程(可分离变量型)
【解】 (1)
dH ∵ <0 dt
dH ∴ = − k ( H − 20) dt
分离变量得
dH = − kdt H − 20 ln( H − 20) = − kt + C1
∴ H = 20 + Ce
∵ t = 0 时 ，H = 37 又 ∵ t = 2 时 ，H = 35
第二节
一阶微分方程
（可分离变量型 ）
可分离变量方程
dy = f1(x) f2 ( y) dx M1(x)M2 ( y) dx + N1(x) N2 ( y) dy = 0
转化
解分离变量方程 g( y) dy = f (x) dx
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一、可分离变量的微分方程
分离变量方程的解法: 分离变量方程的解法:
即
dy = 3x2 dx 另解】 【另解】分离变量得 y
令C = ± e ( C 为任意常数 )
C1
⇒ ln y = x3 + C1
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【*****】变量代换后,化为可分离变量的微分方程题型 】变量代换后 化为可分离变量的微分方程题型 【例2】 求方程 f ( xy) ydx + g( xy)xdy = 0 通解 】 . 【解】
由 和差化积公式： 和差化积公式：
y d dy x y 2 = −2 sin x d x ⇒∫ = −2 sin ⋅ sin ⇒ ∫ 2 2 y dx 2 2 sin 2 x y y ln csc − cot = 2 cos + C , ∴ 通解为 2 2 2
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【思考与练习题】 思考与练习题】
可分离变量的微分方程
M t=0 = M 0 (初始条件)
对方程分离变量,
然后积分:
∫
dM M
=
∫(−λ )d t
得 ln M = −λ t + ln C, 即 M = C e−λ t
M
利用初始条件, 得 C = M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M = M 0 e−λ t . o
t
解法 1 分离变量 e− y d y = ex dx
− e−y = ex + C
即
(ex +C)ey +1= 0 ( C < 0 )
解法 2 令 u = x + y, 则u′ = 1+ y′
故有 积分
u′ =1+ eu
∫
1
d +
u eu
=
x+C
∫
(1
+ eu 1+
)− eu
eu
du
u − ln (1+ eu ) = x + C
(1 −
−
e
k m
t
)
v
≈
mg k
k
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x + y) y′ = 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
dt
初始条件为 v t=0 = 0
∫ ∫ 对方程分离变量, 然后积分 :
dv = mg − kv
dt m
可分离变量的微分方程 答案详解
4.2 可分离变量的微分方程一、求下列微分方程的通解：1．22()d (1)d 0xy x x x y +++=解：22(1)(1)x dy x y dx +=-+ ⇒22d d 11y x x y x-=++⎰⎰ 2221(1)1arctan ln(1)C 212d x y x x +⇒=-=-+++⎰ 注：分离变量后两边同时求不定积分时，只需在某一边加一个任意常数即可2．()d ()d 0x y x x y y e e x e e y ++-++=解：(1)(1)yx x y e e dy e e dx +=-- ⇒e e d d e 1e 1y xy x y x =--+⎰⎰(1)(1)11y x y x d e d e e e -+⇒=--+⎰⎰ 1ln 1ln 1y x e e C ⇒-=-++1ln 1ln(1)11x x e y e x Ce Ce Ce e --++⇒-===+注：（常用显化技巧）1ln ()f x C ∆=+的隐式函数可化为()f x Ce ∆=的形式3．2dy xy x dx+= 解：(12)dy x y dx =- ⇒d d 21y x x y =--⎰⎰ ⇒221211ln 21ln 2122y x C y x C -=-+⇒-=-+22e 121e 2x xC y C y --+⇒-=⇒=4xydy =解：212dx dx x x =⇒=⎰⎰ln x C ⇒=+二、求下列微分方程满足初始条件的特解：1．52,(0)0x y y ey -'== 解：52x y dy e e dx -=⇒25e d e d y x y x =⎰⎰⇒2511e e 25y x C =+ 又(0)0y =，代入可得310C = 故微分方程的特解为25113e e 2510y x =+ 2．2d (1)tan ,(0)1d y y x y x=+= 解：2tan 1dy xdx y =+⎰⎰arctan ln cos y x C ⇒=-+又(0)1y =，代入有arctan1ln cos0C =-+⇒4C π=故微分方程的特解为arctan ln cos 4y x π=-+三、镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知，经过1600年后，只剩原始量0R 的一半.试求镭的现存量R 与时间t 的关系.分析：衰变速度，即其含量关于时间的变化率大小，故为含量R 对时间t 导数的绝对值，由于随时间衰减，导数为负，故衰变速度应为R 对时间t 导数的相反数 解：由题意，得一阶微分方程dR kR dt -=，且需满足条件00t R R ==，0160012t R R == dR dR dR kR kdt kdt dt R R -=⇒=-⇒=-⎰⎰ 1ln kt R kt C R Ce -⇒=-+⇒= 又00t R R ==，0160012t R R ==，带入条件可求得0ln 2,1600C R k == 故ln 216000e t R R -=四、已知曲线()y y x =经过点1(1,)e -，且在任意点(,)x y 处的切线在y 轴上的截距为xy ，求该曲线方程的表达式.解：设曲线()y y x =在任意点(,)x y 处的切线方程：()Y y y X x '-=-令0X =⇒得y 轴上的截距为y xy '-从而得微分方程y xy xy '-=，分离变量d 1d y x x y x-= d 1d y x x y x-⇒=⎰⎰1ln ln y x x C ⇒=-+⇒ln 22x x x x y C e C x e Cxe ---=== 又11e x y -==，解出1C =故所求曲线方程为e xy x -=.注：由于讨论任意点(,)x y 处的切线方程，此处(,)x y 表示切点坐标，故为加以区别，用,X Y 分别表示切线方程的自变量和因变量考研真题：设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题20x dx te dt--=，00t x ==的解，求22d y dx . 解：2d 20d 2d d x x x x te e x t t e t C t--=⇒=⇒=+ 又00t x ==，得1C =，从而21x e t =+，即2ln(1)x t =+2222d ln(1)2(1)ln(1)2d 1dyy t t dt t t dxt x dt t +⋅===+++ ()2222222222222ln(1)(1)(1)ln(1)d 1(1)[ln(1)1](1)2d ln(1)1x t t t t t t y t t t x e t x t t '++++++===+++=+'⎡⎤+⎣⎦+。
可分离变量的微分方程典型例题分析
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
S 1 cm2 ,
h
dV 0.62 2gh dt, (1)
h h dh r
设在微小的时间间隔 [t, t dt], o
100 cm
水面的高度由 h 降至 h+dh , 则 dV r 2dh, r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
y Ce x2为所求通解 .
例２ 求解微分方程 y e y2x 的通解.
解 分离变量,得 e ydy e2 xdx,
两端积分,得
e ydy e2xdx,
解得
ey
1 e2x 2
C1
即 2e y e2 x C (C 为任意常数 )
2e y e2 x C 为所求通解 .
例5 求 y y2 cos x 满足初始条件 y(0) 1的特解.
四、小船从河边点 0 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线.
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1)3 3 x4 C .
求方程的通解 : y sin( x y) sin( x y) 提示:
方程变形为
y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
练习题
一、求下列微分方程的通解:
1、sec2 x tan ydx sec2 y tan xdy 0； 2、(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0；