分离变量法解高考压轴导数题

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分离变量法解2011年高考--数学浙江卷最后一题

分离变量法解2011年高考数学浙江卷最后一题泽普二中数学组王永高设函数2()()ln ,f x x a x a R =-∈（1）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a .（2）求实数a 的取值范围，使得对任意的(0,3]x e ∈，恒有2()4f x e ≤成立.注：e 为自认对数的底数.解：（1）由题意，得2()()ln (0)f x x a x x =->，则21()2()ln ()f x x a x x a x '=-+-∙ 因为x e =为()f x 的极值点，所以()0f e '=.即:212()ln ()0e a e e a e -+-∙=. ()(3)0a e a e --=.所以a e =或3a e =.这里需要检验a 的值,但是参考答案只是很简单的三个字:经检验,怎样检验?当a e =时,2()()2()ln x e f x x e x x -'=-+=2()(ln )2x e x e x x-+-- 这里为什么这样变形呢?主要是由于导函数的零点不好求,想通过构造两个函数,通过它们的图像去分析零点,所以代数中一些常见的变形要非常熟练.设12ln ,2x e y x y x-+==,下面作两个函数12,y y 的图像.设两个函数图像交点横坐标是1x ,下面列表格说明(),()f x f x '的关系.所以a e =是符合题意的.同理3a e =也符合题意.综上,a e =或3a e =上面作图涉及到对数函数和一次分式函数的图像,一次分式函数图像虽然教材没有讲到,只是通过平移讲了一下,但是我认为要快速的作出,主要是把握两条渐进线,再选取一个点,确定双曲线的位置.作图能力和运算能力如果过关的话,我想高考数学120分是没有问题的,现在的学生就差这两样. 好了,下面开始第(2)问.(2)也是一个不等式恒成立的问题,这是高考数学一个永恒的话题.无非两种方法,我写过2010年新课标的最后一题,那一题是用讨论所求变量的范围,那样做要好些.本题如果讨论a 的范围就不好了,因为参考答案是这样做的,很繁琐,逻辑性太强.本题我用的是分离变量法,初看你会觉得不好分离,但是分离后你会觉得很好做.看来做题还是不能停留在思维层面上,动手也很重要.有一句话说的好,偏向虎山行,做难题就要多尝试,要敢于尝试.由题意,2()4f x e ≤,即22()ln 4x a x e -≤对于(0,3]x e ∈恒成立. 这里注意到(0,1]x ∈时,ln 0x ≤,左边不大于0,故不等式恒成立.做到这里,需要有敏锐的观察力,这也是本题的一个得分点.我想这样的得分应该是不会做也要得分的那种,对于压轴题绝不能空着,一定要把踩分点写上.下面分析(1,3]x e ∈的情况.此时,ln 0x >,故不等式可变形为:224()ln e x a x -≤,两边开方,x a -≤即:x a -≤-≤ 即:()a x g x ≤+=,且()a x h x ≥-= 这里分离变量后,给已知变量所在函数起个名称,方便表达. 下面求()g x 的最小值和()h x 的最大值.研究()g x和()h x的单调性.21()1lneg xx x'=-∙∙=由于()0g e'=,得()g x与()g x'的关系所以()g x最小值为()3g e e=,所以3a e≤21()10lneh xx x'=+∙∙>,从而()h x在(1,3]e上是增函数,()h x最大值为(3)3h e e=-所以3a e≥-综上33e a e-≤≤总结:这里()g x,()h x的求导有点复杂,但是如果对课本上的几种基本结构掌握的好的话,应该没有问题,这里分离两个变量,需要对代数里的变形要熟悉,特别是,不等式的开方,要求两边都为正,有些学生就是不注意到这一点,只管开方,不管两边是否为正,导致出现问题.。

专题17 参变分离法解决导数问题(解析版)

专题17参变分离法解决导数问题1.分离变量法在处理含参a 的函数(,)f x a 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程(,)0f x a =，转化为()()g x h a =这样就将把研究含参函数(,)f x a 与x 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数()g x 与动直线()y h a =的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。

（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；（2）解题过程中可能遇到的问题：①参数无法分离；②参数分离后的函数()y g x =过于复杂；③讨论位置关系时可能用到()y g x =的函数极限，造成说理困难.2.分类：分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！一、单选题1．已知函数()ln f x x ax =-在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【解析】1()0f x a x '=-≥在区间()1,2上恒成立，即1a x≥在区间()1,2上恒成立，显然1y x=在区间()1,2的最小值为12，所以12a ≤．故选：B ．2．若函数()5ln f x x a x x=--在[)1,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．-⎡⎣B ．(,-∞C ．(],6-∞D ．(]0,6【解析】因为函数()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，即()2510a f x x x '=+-≥，即5a x x≤+恒成立，又5x x +≥=x =a ≤，故选：B 3．已知函数()e xf x mx x=-（e 为自然对数的底数），若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．2e ,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(],e -∞D ．2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则2ex m x <在()0,∞+上恒成立等价于2e x min m x ⎛⎫< ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，令()()2e0xh x x x =>，则()()()3e 20x x x h x x-'>=，令()0h x '>，解得2x >，令()0h x '<，解得02x <<，故()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()()2e 24minh x h ==，故2e 4m <.故选：B.4．关于x 的方程210x mx ++=在[]0,2内有解，则实数m 的取值范围（）A ．(],2-∞-B ．[)2,+∞C ．5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当0x =时，可得10=显然不成立；当(]0,2x ∈时，由于方程210x mx ++=可转化为1m x x =--，(]0,2,x ∈令1y x x =--，可得222111x y x x-=-='，当01x <<时，0y '>，函数单调递增；当12x <<时，0y '<，函数单调递减，所以当1x =时，函数1y x x=--取唯一的极大值，也是最大值，所以2max y =-，所以2y ≤-，即2m ≤-，所以实数m 的取值范围(],2-∞-.故选：A.5．若函数()ln x f x x x ae =+没有极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可得，()1ln 0x f x x ae '=++=没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），即1ln xxa e +-=没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.令1ln ()x x g x e+=，0x >，则1ln 1()xx x g x e --'=，令1()ln 1h x x x=--则()h x 在()0,∞+上单调递减且()10h =，所以当01x <<时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当1x >时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，故当1x =时，()g x 取得最大值1(1)g e=，又0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →，结合图象可知，1a e -≥即1a e≤-.故选：C.6．若对任意正实数x ，不等式()21xe a x -≤恒成立，则实数a 的范围是（）A ．ln 2122a ≤+B ．ln 212a ≤+C ．1ln 22a ≤+D ．ln 2122a ≥+【解析】因为不等式()2e 1xa x -≤恒成立，2e 0x >，所以21e xa x ≤+恒成立，设()21ex f x x =+，则()min a f x ≤，因为()221e x f x '=-+，令()0f x '=，则ln 22x =，所以当ln 2,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当ln 2,2x +∈∞⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在ln 2,2⎛⎫-∞ ⎝⎭上单调递减，在ln 2,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()min ln 21ln 2222f x f ⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以ln 2122a ≤+，故选：A 7．已知函数()x f x a x xe =-+，若存在01x >-，使得()0 0f x ≤，则实数a 的取值范围为：（）A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞【解析】由题意可得0x a x xe +≤-在()1,-+∞上能成立，所以x a x xe ≤-在()1,-+∞上能成立，令()()1x x xe h x x -=>-，则()()11xx h x e -+'=，令()()11x x x e m =-+，则()()02x x m x e +'=-<，所以()()11xx x e m =-+在()1,-+∞上单调递减，且()()000110e m -+⨯==，即()00h '=，因此()h x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()()max 00h x h ==，所以0a ≤，故选：B.8．当0x >时，11e 2x a x->-恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．()e,∞+C ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【解析】由11121e2e x x x a a x x --->-⇒>，设()121e x x f x x --=，则()()()2212121121e ex x x x x x f x x x --+-+-++'==，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间()0,1上递增，在区间(1,)+∞上递减，故()()11f x f ≤=，故1a >.故选：A.9．对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（）A BC ．1eD ．e【解析】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥，∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+．令()e x f x x =+，则不等式化为()(ln())f x f ax ≥．∵()e (0)xf x x x =+>为增函数，∴ln()x ax ≥，即ex a x≤．令e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x'-=，当01x <<时，()0g x '<，即()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，即()g x 递增；所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==．∴实数a 的最大值为e ．故选：D 10．已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则实数m 的取值范围为（）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)-+∞D ．[1,)+∞【解析】()10f x mx m -++≤有解，即21(211)(1)1x x x e m x --+-≤--，设1t x =-，则0t >，不等式转化成2(1)1tt e mt -£-在0t >时有解，则2(1)1t t e m t -+³有解，记2(1)1()t t e h t t-+=，则322(1)1()tt t t e h t t+-+-¢=，再令32()(1)1t g t t t t e =+-+-，则32()(4)0t g t t t t e ¢=++>，那么()g t 在0t >时递增，所以()(0)0g t g >=，于是()0h t '>，()h t 在0t >时递增，故20(1)1()lim t t t e h t t ®-+>，记()()21t t t e ϕ=-，0()(0)()lim (0)10t t h t t j j j ®-¢>==--，于是2(1)1tt e m t-+³有解，只需要1m >-.故选：C 二、多选题11．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则下列选项正确的是（）A ．10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()y f x =在(0,)e 上单调递增C ．126x x +>D ．若221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212a x x a --<【解析】令()0f x =得ln x a x=，记ln ()xg x x =21ln ()xg x x -'=，令()0g x '=得x e =当(0,)x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；且0x →时，()g x →-∞，1(e)g e=，x →+∞时，()0g x →据题意知y a =的图象与()y g x =的图象有两个交点，且交点的横坐标为1x ，2x ，所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 选项正确；因为11()'-=-=ax f x a x x ，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 递增，因为10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1(0,)0,e a ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，故B 选项正确；当1a e →时，1e a→，10f a ⎛⎫→ ⎪⎝⎭，又因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以12,x e x e →→，所以1226x x e +→<，所以C 选项错误；因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，且221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，因为()1(1)0f a f x =-<=，所以11x >因为()2222ln 2ln 20f e f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭，所以22x a <所以21221a x x a a--<-=，故D 选项正确故选：ABD.12．已知函数()()1x f x x k e =-+在区间[11]-，上只有一个零点，则实数k 可取的值有（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【解析】由题意可知，()10x x k e -+=在区间[1,1]-上只有一个根，等价于1xk x e =+在区间[1,1]-上只有一个根，等价于y k =与1()xg x x e =+的图像有唯一一个公共点，由1()x g x x e =+得1()1x g x e=-'，令()0g x '=得0x =，当10x -≤<时，()0g x '<，则()g x 在[1,0)-上单调递减，当01x <≤时，()0g x '>，则()g x 在(0,1]上单调递增，∴在区间[1,1]-内，当0x =时()g x 取极小值也是最小值，∴当()(0)1g x g ≥=，又1(1)1g e =+，(1)1g e -=-，且111e e ->+，则满足条件的k 的取值范围是{}11(1,1]e e⋃+-，所以k 可取的值为1、2.故选:CD.13．设函数()f x =为自然对数的底数).若存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则实数a 的取值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】易知()f x 在定义域内单调递增，若()f b b >，则()()()f f b f b b >>，若()f b b <，则()()()f f b f b b <<.故存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则()f b b =，即()f x x =在[]0,1上有解.故[]2e ,0,1x x a x x x ⇔=+∈=-，设[]2e ,0,1()x g x x x x +∈-=，则e 1(2)x g x x =-+'，令2e 1,2e ()()x x h x h x x '=+--=，在[)0,ln 2上()0,()h x h x '<单减，在(]ln 2,1上()0,()h x h x '>单增，故()(ln 2)32ln 20h x h ≥=->即()0g x '>，()g x 在[]0,1上单增，又(0)1,(1)e g g ==，故1e a ≤≤.故选：BC.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1]x ∈，不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-≥恒成立”的充分不必要条件可以是（）A ．1a e-≤<B ．4312a e e≤<C ．3211a e e ≤<D ．1a ee≤<【解析】奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则在(0,)+∞上也单调递增，即()f x 是R 上的单增函数；222(2)(ln )0(2)(ln )(ln )x x f ae x f x x x f ae x f x x x f x x x ++-≥⇔+≥--=-，则22ln xae x x x x +≥-，(0,1]x ∈，即22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立；令22ln ()xx x x xg x e --=，则222(22ln 1)(2ln )43(1)ln ()x x x xx x e x x x x e x x x x g x e e-------+-+-'==(1)(3ln )x x x x e ---=，(0,1]x ∈记()ln 3h x x x =--，1()10h x x'=-≤恒成立，即()h x 单减，又3311()0h e e=>，(1)20h =-<，则必有0(0,1]x ∈，使000()ln 30h x x x =--=，故0(0,)x x ∈，()0h x >，0(,1]x x ∈，()0h x <，因此0(0,)x x ∈，()0g x '>，()g x 单增，0(,1]x x ∈，()0g x '<，()g x 单减，因此0020000000002ln (ln )2()()x x x x x x x x x x g x g x e e ----≤==，由0300000ln 30ln 3,x x x x x x e ---=⇒-==代入得00030003321()()x x x x x e g x g x e e e --≤===，故若使22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立，则031()a g x e ≥=，根据充分不必要条件的定义可以判断C 、D 正确，A 、B 错误；故选：CD.三、填空题15．若函数21()e 2x f x x a =-是R 上的减函数，则实数a 的最小值为_______【解析】由题意得，()e 0x f x x a '=-≤在R 上恒成立，即e xxa ≥在R 上恒成立，令1()=,()=e ex x x xg x g x -'，当1x <时，()0g x '>，()g x 递增，当1x >时，()0g x '<，()g x 递减，故max 1()=g(1)=eg x ，故1e a ≥，即函数a 的最小值为1e ，16．已知函数()()e ln xf x m x m =+∈，若对任意正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是______．【解析】由()()1212f x f x x x ->-得，()()1122f x x f x x ->-令()()g x f x x =-，∴()()12g x g x >，∴()g x 在()0,∞+单调递增，又∵()()e ln x g x f x x m x x =-=+-，∴()e 10xmg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，即()1e x m x ≥-令()()1exh x x =-，则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()()01e 00h =-⨯=，∴0m ≥．17．已知函数()333sin x x x f x =+-，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()()ln 20f x f ax -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【解析】因为()()()()()()3333sin 33sin f x x x x x x x f x -=-+---=-+-=-，所以()f x 为奇函数，因为()()22333cos 331cos 0x x x x f x '=+-=+-≥，所以()f x 为R 上的增函数，由(ln 2)()0f x f ax -+≤得(ln 2)()()f x f ax f ax -≤-=-，则ln 2x ax -≤-，因为,()0x ∈+∞，所以ln 2x a x--≥．令ln 2()(0)x g x x x-=>，则()23ln xg x x -'=，令()0g x '=，得3e x =，当30e x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当3e x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，故()()33max 1e e g x g ==，所以31e a -≥，即31e a ≤-，所以实数a 的取值范围为31,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.18．已知(0,2)x ∈，若关于x 的不等式21e 2x k x x x <+-恒成立，则实数k 的取值范围是________．【解析】依题意，知220+->k x x ，即22>-k x x 对任意(0,2)x ∈恒成立，从而0k ≥，因此由原不等式，得2e 2<+-x k x x x 恒成立．令2e ()2=+-xf x x x x ，则2e ()(1)2⎫⎛'=-⋅+⎪ ⎝⎭x f x x x ．令()0f x '=，得1x =．当(1,2)x ∈时，()0f x '>．函数()f x 在(1,2)上单调递增；当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)e 1<==-k f x f ，故实数k 的取值范围是[0,e 1)-．四、解答题19．已知函数21()ln 2f x x x =-.（1）求函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值(参考数据：ln 20.7≈)；（2）若不等式2()(2)f x a x >-有解，求实数a 的取值范围.【解析】（1）求导得：211()x f x x x x-'=-=，令()0f x '>可得112x <<，令()0f x '>可得12x <<，于是函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在(1,2)单调递减，于是当1x =时，()f x 取最大值为12-，又111ln 0.825228f ⎛⎫=-≈- ⎪⎝⎭，(2)ln 22 1.3f =-≈-，于是当2x =时，()f x 取最小值为ln 22-综上：当1x =时，()f x 取最大值为12-，当2x =时，()f x 取最小值为ln 22-（2）原不等式即为：221ln (2)2x x a x ->-，可化简为2ln 122x a x -<-记2ln 1()2x g x x =-，则原不等式有解可转化为2()a g x -<的最大值求导得：312ln ()xg x x '-=，于是函数()g x 在上单调递增，在)+∞上单调递减于是：()max 11g22g x e ==-，于是11222a e -<-，解得：5122a e>-.20．已知函数()2()ln f x x ax x =+，a R ∈.（1）若()f x 的图像在1x =处的切线经过点(0,2)-，求a 的值；（2）当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）由题知()f x 的定义域为(0,)+∞.又()(2)ln f x x a x x a '=+++，则(1)1f a '=+.又因为(1)0f =，所以切点为(1,0).所以02110a +=+-，解得1a =.（2）当21x e <<时，0ln 2x <<.当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，即不等式ln xa x x<-，()2x e ∈1,恒成立.设()ln x g x x x=-，()2x e ∈1,，则222ln 1(ln )ln 1()1(ln )(ln )x x x g x x x '--+=-=-.因为2213(ln )ln 1ln 024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()0g x '<.所以()g x 在()21,e 上单调递减，从而()22()2eg x g e >=-.要使原不等式恒成立，即()a g x <恒成立，故22ea ≤-.即a 的取值范围为2,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21．已知函数()()212ln f x x ax x a R =-+∈，曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 的斜率为4.(1)求切线l 的方程；(2)若关于x 的不等式()2f x x bx +恒成立，求实数b 的取值范围.【解析】(1)函数()f x 的定义域为{}|0x x >，12()2f x x a x'=-+，由题意知，(1)144f a '=-=，所以10a =，故2()1012ln f x x x x =-+，所以(1)9f =-，切点坐标为(1,9)-故切线l 的方程为413y x =-．(2)由（1）知，2()1012ln (0)f x x x x x =-+>，所以2()f x x bx ≤+，可化为：12ln 10x x bx -≤，即12ln 10xb x≥-在(0,)+∞上恒成立，令12ln ()10x g x x =-，则212(1ln )()x g x x -'=，当(0,e)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,e)上单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(e,)+∞上单调递减，所以当e x =时，函数()g x 取得最大值12(e)10eg =-，故当1210e b ≥-时，12ln 10x b x≥-在(0,)+∞上恒成立，所以实数b 的取值范围是1210,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22．已知函数()ln 1f x x mx =--．(1)若0x ∀>，不等式()0f x <恒成立，求m 的取值范围；(2)若曲线()y f x =存在过点(1,0)的切线，求证：1m ≥-．【解析】(1)由已知有()0f x <恒成立，即代表ln 10x mx --<恒成立，因为0x >，故ln 1x m x->恒成立，令ln 1()x g x x -=()0x >，故22ln ()xg x x -'=，令()0g x '>，解得：20x e <<，故()g x 在()20,e 上单调递增，在()2,e +∞上单调递减，故()g x 在()0,+∞的最大值为221()g e e =，故21m e >，所以m 的取值范围是21e ⎫+∞⎪⎝⎭；(2)：设切点为000(,ln 1)x x mx --，又因为1()f x m x'=-，所以函数在0x x =处的切线斜率01k m x =-，所以函数在0x x =处的切线方程为：0000(ln 1)()1m x y x mx x x ⎛⎫---=- ⎪⎝-⎭，又切线经过点(1,0).故可得：00000(ln 1)(1)1m x x mx x ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭-，化简整理可得：0001ln 2(0)m x x x =+->，令1()ln 2(0)h x x x x=+->，21()x h x x-'=，令()0h x '>，解得1x >，故()h x 在(0,1)上单调递减，(1,)+∞单调递增，故()h x 在(0,)+∞的最小值为(1)1h =-，故：1m ≥-，得证．23．已知函数()()()x x f x e sinx ax a R g x e cosx=-∈=(1)当0a =时，求函数f （x ）的单调区间；(2)若函数()()()F x f x g x =-在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个极值点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)当0a =时，()e sin x f x x =，()e (sin cos )x f x x x '=+sin()4x x π+，当224k x k ππππ<+<+，即32244k x k ππππ-<<+时，()0f x '>，当2224k x k πππππ+<+<+，即372244k x k ππππ+<<+时，()0f x '<，所以()f x 的增区间是32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，减区间是372,2,44k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ．(2)()e sin e cos e (sin cos )x x x F x x ax x x x ax =--=--，()e (sin cos cos sin )2e sin x x F x x x x x a x a '=-++-=-，由题意2e sin 0x x a -=在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个不等实根，即2e sin x a x =有两个实根，设()2e sin x h x x =，则()2e (sin cos )sin()4x x h x x x x π'=+=+，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，35,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以324x ππ<<时，()0h x '>，()h x 单调递增，34x ππ<<时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以34max 3()2e 4h x h ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，其中22e 2h ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0h π=，所以当3242e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e sin x a x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个实根，即当3242e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()F x 在,π2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个极值点.24．已知函数2()ln ()f x x x ax a =+∈R 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行（e 是自然对数的底数）.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意得()2ln (0)f x x x x a x ++>'=，所以(1)1f a '=+，又()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行，所以11e a +=-，解得a e =-，所以2()ln e f x x x x =-.(2)2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，即22ln e 0x x kx x -+>在(0,)+∞上恒成立，因为0x >，所以22ln e e ln x x x k x x x+<=+.令e ()ln g x x x =+，则221e e ()x g x x x x-=-='.当(0,e)x ∈时，()0g x '<；当(e,)x ∈+∞时，()0g x '>.所以函数e ()ln g x x x=+在(0,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，所以()(e)2g x g ≥=，故2k <，即实数k 的取值范围是(,2)-∞.25．已知函数()()21e xax x f x a R -+=∈.(1)当2a =-时，求()f x 的单调区间；(2)当0x ≥时，()1f x ≤，求a 的取值范围.【解析】（1）2a =-时，()221e x x x f x --+=，()()()212e xx x f x +-'=，令()1102f x x '=⇒=-，22x =.∴()f x的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝，()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）法一：常规求导讨论()()()()221212e ex x ax a x ax x x F -++----'==.①当0a ≤时，令()02f x x '=⇒=且当02x ≤<时，()0f x '<，()f x ；当2x >时，()0f x '>，()f x .注意到()01f =，2x ≥时，()0f x <符合题意.②当12a =时，()()21220ex x f x --'=≤，()f x 在[)0,∞+上，此时()()01f x f ≤=符合题意.③当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a =，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时()()01f x f ≤=符合题意.③当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a=，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时只需1111111e 1e a aa a f a -+⎛⎫=≤⇒≥ ⎪⎝⎭，显然成立.④当12a >时，令()110f x x a'=⇒=，22x =，且当()f x 在10,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()2,+∞上 .此时只需()22411e 121e 24a f a -+=≤⇒<≤.综上：实数a 的取值范围2e 1,4⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦.法二：参变分离①0x =时，不等式显然成立.②当0x >时，2e 1x x a x +-≤，令()2e 1x x g x x +-=，()()()33e 12e 2e 2x x x x x g x x x ----+'==.令()02g x x '=⇒=且当02x <<时，()0g x '<，()g x ；当2x >时，()0g x '>，()g x ，∴()()2min e 124g x g +==，∴2e 14a +≤.26．已知函数()ln a f x x x x=++，a ∈R .（1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）若()f x 在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围；（3）若函数()()g x f x x '=-有一个零点，求a 的取值范围.【解析】（1）因为()ln a f x x x x =++，则2221()1a x x a f x x x x +-'=-+=，由于()'10f =，则221101a +-=，∴2a =，当2a =时，()()222221212()1x x x x f x x x x x +-+-'=-+==因为()f x 的定义域为()0,∞+，则()0f x '=时，1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，所以2a =符合题意，故2a =.（2）()22'x x a f x x+-=，∴20x x a +-≥在()1,2x ∈恒成立，即2a x x ≤+在()1,2x ∈恒成立，∴a 的取值范围为(],2-∞.（3）220x x a a x +--=在()0,x ∈+∞有1个根即方程32a x x x -=--在()0,x ∈+∞有1个根，令32()h x x x x =--，0x >，则()()2()321131h x x x x x '=--=-+当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，且(0)0h =，(1)1h =-，x →+∞时，()h x →+∞，当0a -≥即0a ≤时，1个根；当1a -=-即1a =时，1个根，综上：a 的取值范围为(]{},01-∞U .27．已知函数()ln x f x x=.（I ）求函数()f x 的单调区间和极值；（II ）若不等式()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（I ）因为()()21ln 0x f x x x -'=>，当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞；且()()1e ef x f ==极大，无极小值；（II ）因为()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，所以2ln x k x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，设()()2ln 0xg x x x =>，则()max k g x ≥，因为()()432ln 12ln 0x x x x g x x x x --'==>，当(x ∈时，()0g x '>，()g x单调递增，当)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()max 1e 2e g x g ===，所以12e k ≥.28．已知函数()()e e 0x f x x x=>．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若不等式()ln 1f x x a x ≥++对于()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)求导：1e e 1e e ()x xf x x x ++'=-，即e 1e ()(e)x f x x x+'=-当()0,f x '<解得0e;x <<当()0,f x '>解得ex >()f x 的单调递减区间为()0,e ；单调递增区间为()e,+∞∴函数()f x 的最小值为(e)1f =(2)由（1）得()(e)1f x f ≥=，所以要使得()ln 1f x x a x ≥++恒成立，必须满足：(e)e ln e 1ef a a ≥++⇒≤-，下面证明：当e a -≤时()ln 1f x x a x ≥++恒成立e a ≤ e eln 1l 1e n e e x x x a x x x x x ∴---≥-+-，∴只需证明e e eln 10xx x x -+-≥，设e ()n 1e el x x x x x ϕ=-+-，则e e 1e e e e 11()()()1()e x x x x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由（1）得e e 10x x-≥且只在e x =取等号，∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减，∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤．解法二：（变量分离）整理得：e1l e n xx x a x--≤只需m e in 1()l e n xx x a x --≤，先证明：e 1x x ≥+，构造()e 1x g x x =--，()e 1x g x '=-，当0x >时，()0g x '≥，()g x 单调递增()(0)0g x g ≥=，从而证明得e 1x x ≥+e ln e 11l e e e e n 11ln xx x x x x x x x x---=--≥-+--=- ，当仅且当n 0el x x -=即e x =处取得等号.e 1ln ln e e e ln xx x x x x ---∴≥=-，∴e a -≤.，解法三：（不分离）l e e n ()ln 1ln 10(ln )10e e x x x f x x a x x a x x a x x-≥++⇒---≥⇒-+-≥eln (ln )1e e e ln 1(ln )10x x x x x x x a x --+-≥-+-+-≥得ea -≤下面证明当e a -≤时，e ln 10e xx a x x---≥e a ≤ e e ln 1l 1e n e e x x x a x x x x x∴---≥-+-∴只需证明e e eln 10x x x x-+-≥设e ()n 1e el x x x x xϕ=-+-，则e e 1e e e e 11()()()1()e x x x x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由（1）得e e 10x x-≥且只在e x =取等号∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤．29．已知函数2213()ln ,()224f x x ax x g x x ax ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.(1)若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若当1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.【解析】(1)因为1()(1)ln 12f x x x x =-'+-，所以1(1)2'=-f ，又(1)0f =，所以切线方程为1(1)2y x =--，即210x y +-=(2)由()()f x g x ≥知2213ln 2024x ax x x ax ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭，因为1≥x 所以13ln (ln 2)24x x x a x -≥-，当2e x =时，R a ∈，当2e x >时，13ln 24ln 2x x x a x -≤-，当21e x ≤<时，13ln 24ln 2x x x a x -≥-构造函数13ln 24()ln 2x x x h x x -=-，2(2ln 5)(ln 1)()4(ln 2)x x h x x --'=-当1e x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当2e <e x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，故21e x ≤<时，max e ()(e)4h x h ==，因此e 4a ≥当522e e ,()0x h x '<<<，()h x 单调递减，当52e x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，故2e x >时，5522min ()e e h x h ⎛⎫= ⎪⎭=⎝，因此52e a ≤，综上：52e ,e 4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦30．已知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.【解析】(1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =-(2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立，所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立，等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令(ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln x h x x -'=，令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0x x a x--=，令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x --'=，设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>，()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-；再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-，当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x x y x --'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷，所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==，所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭2222222222221ln ln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x x ϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >.。

2024届高考数学复习：专项(参变分离法解决导数问题)练习(附答案)

2024届高考数学复习：专项（参变分离法解决导数问题）练习一、单选题1．已知函数()e x b f x ax -=+(),a b ∈R ，且(0)1f =，当0x >时，()cos(1)f x x x >-恒成立，则a 的取值范围为（） A ．()0,+?B ．()1e,-+∞C ．(),e -∞D ．()e,+∞2．若函数()ln x f x x x ae =+没有极值点，则实数a 的取值范围是（） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭3．若函数()24ln f x x x b x =-++在()0,∞+上是减函数，则b 的取值范围是（） A ．(],2-∞- B ．(),2-∞-C ．()2,-+∞D ．[)2,-+∞4．已知函数()x ef x ex e -=+-（e 为自然对数的底数），()ln 4g x x ax ea =--+．若存在实数1x ，2x ，使得()()121f x g x ==，且211x e x ≤≤，则实数a 的最大值为（） A ．52eB ．25e e + C ．2e D ．1 5．设函数()1axf x xe x-=-在()0,∞+上有两个零点，则实数a 的取值范围（）A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()1,eC ．12,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知关于x 的方程()22ln 2x x x k x +=++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解，则实数k 的取值范围为（）A ．ln 21,15⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．(]1,e7．若函数()2sin cos cos =++f x x x x a x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．[]1,1-B ．[]1,3-C ．[]3,3-D ．[]3,1--8．若关于x 的不等式（a +2）x ≤x 2+a ln x 在区间[1e，e ]（e 为自然对数的底数）上有实数解，则实数a 的最大值是（） A ．﹣1B ．12(1)-+ee eC ．(3)1--e e e D ．(2)1--e e e 9．已知函数()1xf x e x =--，()ln 1g x x ax =--（0a >，e 为自然对数的底数）.若存在()00x ∈+∞,，使得()()000f x g x ⋅>，则实数a 的取值范围为（） A ．()0,1B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．310,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知函数()3x f x e ax =+-，其中a R ∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()21x f x ()()1212x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,2]-∞11．已知函数()()()2122x x f x m e m R =+++∈有两个极值点，则实数m 的取值范围为（）A ．10e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．111e⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D ．()0+∞，12．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（） A ．()1,+∞ B ．[)3,+∞ C ．(],1-∞D ．(],3-∞13．对于函数()f x ，把满足()00f x x =的实数0x 叫做函数()f x 的不动点.设()ln f x a x =，若()f x 有两个不动点，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,eB ．(),e +∞C ．()1,+∞D ．()1,e14．已知函数()xe f x ax x =-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(],e -∞ B ．(),e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、多选题15．对于函数()2ln xf x x=，下列说法正确的是（）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．()2f f f <<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2e k >16．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（） A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x = B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a = C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点三、解答题17．已知函数()ln f x a x ax =+-，且()0f x ≤恒成立．（1）求实数a 的值；（2）记()()h x x f x x =+⎡⎤⎣⎦，若m ∈Z ，且当()1,x ∈+∞时，不等式()()1h x m x >-恒成立，求m 的最大值．18．已知函数32()()f x ax bx x R =+∈的图象过点(1,2)P -，且在P 处的切线恰好与直线30x y -=垂直．（1）求()f x 的解析式；（2）若()()3g x mf x x =-在[1,0]-上是减函数，求m 的取值范围． 19．已知函数()()()21ln 1f x x a x x =-+-+（0a >）.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1ln x xf x x x-'≥在()1+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 20．已知函数()212f x x =，()ln g x a x =. （1）若曲线()()y f x g x =-在2x =处的切线与直线370x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001f xg x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围.21．已知函数()ln 1f x x x =++，2()2g x x x =+．（1）求函数()()()h x f x g x =-在(1,(1))h 处的切线方程；（2）若实数m 为整数，且对任意的0x >时，都有()()0f x mg x -≤恒成立，求实数m 的最小值． 22．设函数()()xf x a x e =-.（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意的[)0,x ∈+∞，不等式()2f x x ≤+恒成立，求a 的取值范围.23．已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点(),()e f e 处的切线方程为4y x e =-.(本题可能用的数据：ln 20.69≈， 2.71828e = 是自然对数的底数)（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对任意(1,)x ∈+∞，不等式2[()1](1)f x t x ->-恒成立，求整数t 的最大值. 24．已知函数()()()1ln f x a x x a R =-+∈．（1）当1a =-时，求()f x 的极值；（2）设()()1F x f x =+，若()0F x <对[)1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 25．已知函数323()2f x x ax =-+．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a =，当12x ≥时，()()xf x x k e >-，实数k 的取值范围．参考答案一、单选题1．已知函数()e x b f x ax -=+(),a b ∈R ，且(0)1f =，当0x >时，()cos(1)f x x x >-恒成立，则a 的取值范围为（） A ．()0,+?B ．()1e,-+∞C ．(),e -∞D ．()e,+∞【答案】B 【要点分析】由()0e1bf -==，可得0b =，从而()e xf x ax =+，从而当0x >时，e cos(1)xa x x>--恒成立，构造函数()()e ,0,xs x x x=∈+∞，可得()()min 1e s x s ==，结合1x =时，cos(1)x -取得最大值1，从而e cos(1)xx x--的最大值为1e -，只需1e a >-即可.【答案详解】由题意，()0e1bf -==，解得0b =，则()e x f x ax =+，则当0x >时，e cos(1)xax x x +>-，即e cos(1)xa x x>--恒成立，令()()e ,0,xs x x x =∈+∞，则()()2e 1x x s x x-'=，当()0,1∈x 时，()0s x '<，()1,∈+∞x 时，()0s x '>，所以()s x 在()0,1上是减函数，在()1,+?是增函数，()()min 1e s x s ==，又因为当1x =时，cos(1)x -取得最大值1，所以当1x =时，e cos(1)xx x--取得最大值1e -，所以1e a >-. 故选：B. 【名师点睛】关键点名师点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为e cos(1)xa x x>--，进而求出e cos(1)xx x--的最大值，令其小于a 即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.2．若函数()ln x f x x x ae =+没有极值点，则实数a 的取值范围是（） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【要点分析】先对函数求导，然后结合极值存在的条件转化为函数图象交点问题，分离参数后结合导数即可求解. 【答案详解】由题意可得，()1ln 0x f x x ae '=++=没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），即1ln xxa e +-=没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同. 令1ln ()x xg x e +=，0x >，则1ln 1()xx x g x e --'=，令1()ln 1h x x x=--则()h x 在()0,∞+上单调递减且()10h =，所以当01x <<时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当1x >时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，故当1x =时，()g x 取得最大值1(1)g e=，又0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →，结合图象可知，1a e -≥即1a e≤-. 故选：C.【名师点睛】方法名师点睛：已知函数没有极值点，求参数值(取值范围)常用的方法：（1）分离参数法：先求导然后将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（2）数形结合法：先求导然后对导函数变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．若函数()24ln f x x x b x =-++在()0,∞+上是减函数，则b 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,-+∞D ．[)2,-+∞【答案】A 【要点分析】2()4ln f x x x b x =-++在()0,∞+上是减函数等价于()'0f x ≤在()0,∞+上恒成立，利用分离参数求解即可. 【答案详解】∵2()4ln f x x x b x =-++在()0,∞+上是减函数，所以()'0f x ≤在()0,∞+上恒成立，即'()240bf x x x=-++≤，即224b x x ≤-， ∵22242(1)22x x x -=--≥-，∴2b ≤-，故选：A. 【名师点睛】本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围. 4．已知函数()x ef x ex e -=+-（e 为自然对数的底数），()ln 4g x x ax ea =--+．若存在实数1x ，2x ，使得()()121f x g x ==，且211x e x ≤≤，则实数a 的最大值为（） A ．52eB ．25e e + C ．2eD ．1【答案】C 【要点分析】根据()1f e =可求得22e x e ≤≤，利用()21g x =得到22ln 3x a x e +=+，将问题转化为()ln 3x h x x e+=+，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦的最大值的求解问题，利用导数求得()max h x ，从而求得结果.【答案详解】()01f e e e e =+-= ，1x e ∴=，又211x e x ≤≤且20x >，22e x e ∴≤≤，由()21g x =，即22ln 41x ax ea --+=，整理得：22ln 3x a x e+=+，令()ln 3x h x x e+=+，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则()()()()()221ln 3ln 2ex e x x x x h x x e x e +-+--'==+-， e y x= 和ln y x =-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上均为减函数， ln 2e y x x∴=--在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，max 1ln 220y e ∴=--=-<，即()0h x '<在2,e e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()h x ∴在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，()()max ln 322e h x h e ee +∴===，即实数a 的最大值为2e .故选：C. 【名师点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为函数最值的求解问题，进而利用导数求得函数最值得到结果. 5．设函数()1axf x xe x-=-在()0,∞+上有两个零点，则实数a 的取值范围（） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()1,eC ．12,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【要点分析】令()0f x =，进行参变分离得()2ln >0x a x x =，设()()2ln >0xg x x x=，将问题等价于y = a 与()g x 在()0+∞，有两个交点.求导，要点分析导函数的正负得出函数()g x 的单调性，从而作出图象和最值，运用数形结合的思想可得选项. 【答案详解】令()0f x =，即10axxe x--=，解得()2ln >0x a x x =，设()()2ln >0x g x x x =，所以()f x 在()0+∞，有两个零点等价于y = a 与()g x 在()0+∞，有两个交点. 因为()()()2'21ln 0>0x g x xx -==，得x e =，所以()g x 在(0，e )上单调递增，在()e +∞，上单调递减，所以()()max 2g x g e e==. 如图所示，画出()g x 的大致图象。

高中数学解题方法之分离变量法(含解答)

分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.定理2 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.定理3 方程()()f x g a =有解⇔()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。

2、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。

第02讲分离参数之全分离,半分离,换元分离(解析版)2023年新高考数学导数压轴题专题(尖子生专用

设 h(x) 2
x2
，则 h(x)
2 x3
2 x3
(2 x)ex 1 x2 (x 2) (x 2)(x 1) (2 x)(ex 1 x2 x 1)
2
2
，
x3
x3
可设 m(x) ex 1 x2 x 1，可得 m(x) ex x 1 ， 2
设 k(x) ex x 1， k(x) ex 1，
由重要不等式可知，当 x 0 时， ex x 1，
则
g(x)
(ex
2x)x
(ex x21)(e x x2
x
1)
，
当 x 1 时， g(x) 0 ， g(x) 单调递增，当 0 x 1时， g(x) 0 ， g(x) 单调递减，
所以 g(x) g （1） e 2 ，
h(x) h(0) 0 ，
g(x) 0 ，
函数 g(x) 在 x (m ， 0)(m 0) 上单调递增，
g(x)
g(m)
em
1 m2
m
．
a
em
1 m2
m
(m
0)
．
实数
a
的取值范围是
(,
em
1 m2
m]
．
2．设 f (x) a(lnx)2 lnx 2 ．
（1）若 f （e） 2 ，求 f (x) 0 时 x 的值；
当 x 0 时，由
f (x) 1 x3 2
1 x3 2ax2 恒成立可得 a 2
x 1 ex x2
恒成立，
1 x3 x 1 ex
令 g(x) 2
x2
，x0，
(2 x)ex 1 x3 x 2 (2 x)(ex 1 x2 x 1)

导数压轴恒成立之参数分离

导数压轴恒成立之参数分离
在高中数学中，导数压轴题是比较难的题目类型，其中恒成立之参数分离问题是常见题型之一。

这类问题可以通过分离参数的方法进行求解，具体步骤如下：
1. 分离参数：将参数从不等式中分离出来，得到一个关于参数的函数。

2. 求导数：对分离出的函数求导数，得到导数与参数的关系。

3. 分析导数：根据导数与参数的关系，分析函数的单调性、极值等性质。

4. 得出结论：根据函数的性质，得出不等式恒成立的条件，从而得到问题的解。

在使用参数分离法解决导数压轴题时，需要注意函数的连续性和可导性，以及参数的取值范围。

同时，要灵活运用导数的相关知识，如单调性、极值、最值等，以达到快速求解的目的。

分离参数法求解高考压轴题

分离参数法解高考压轴题分离参数法解高考压轴题分离参数法解高考压轴题一洛必达法则介绍如果当0x x ®(或¥®x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么都趋于零或都趋于无穷大，那么极限)()(limx g x f x x ®或)()(lim x g x f x ¥®可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分别简记为00或¥¥．1．（洛必达法则1）型不定式型不定式设函数)(x f 与)(x g 满足条件满足条件（1）0)(lim )(lim 0==®®x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(¹¢x g ；（3） A x g x f x x =¢¢®)()(lim 0（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =¢¢=®®)()(lim )()(lim 0（或为无穷大）．（或为无穷大）．把0x x ®换为¥®x 时，结论也成立．时，结论也成立．2（洛必达法则2）¥¥型不定式设函数)(x f 与)(x g 满足条件满足条件（1）¥=¥=®®)(lim ,)(lim 0x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(¹¢x g ；（3）A x g x f x x =¢¢®)()(lim（或无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =¢¢=®®)()(lim)()(lim（或为无穷大）把0x x ®换为¥®x 时，结论也成立．，结论也成立．，结论也成立．二典型例题: （2006全国二）设函数)1ln()1()(++=x x x f ，若对所有的0³x ，都有ax x f ³)(成立，求实数a 的取值范围．的取值范围．解：分离变量法解：分离变量法 ①若①若0=x ，则R a Î. ②若0>x ，则只需x x x a )1ln()1(++£，则m in ])1ln()1([xx x a ++£。

分离变量法求最值或范围

分离参数法解高考压轴题新课标下的高考数学压轴题，由数列题转向导数题。

而导数题中的最后一问经常考察参数的取值范围。

“求谁分离谁”即分离参数是一种常用的方法，但有时分离出参数后，后面函数的最值不容易求得，有的干脆就没有最值，只是趋于某个常数，这种情况下可采用高等数学中的洛必达法则。

此方法是一种常规方法，有章可循，有法可依，不存在较强的解题技巧，一般的学生基本上都能掌握。

下列举例说明，起到抛砖引玉的作用。

一洛必达法则介绍如果当0x x →(或∞→x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限)()(limx g x f x x →或)()(lim x g x f x ∞→可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分别简记为00或∞∞． 1．（洛必达法则1）型不定式设函数)(x f 与)(x g 满足条件（1）0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；（3） A x g x f x x =''→)()(lim（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim 00（或为无穷大）．把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．2（洛必达法则2）∞∞型不定式设函数)(x f 与)(x g 满足条件（1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 0x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；（3）A x g x f x x =''→)()(lim（或无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00（或为无穷大）把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．，结论也成立．二典型例题: 例1．（08江苏理14）设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x-=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】42（2010 辽宁）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。

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分离参数法解高考压轴题新课标下的高考数学压轴题，由数列题转向导数题。

而导数题中的最后一问经常考察参数的取值范围。

此方法是一种常规方法，有章可循，有法可依，不存在较强的解题技巧，一般的学生基本上都能掌握。

下列举例说明，起到抛砖引玉的作用。

一洛必达法则介绍如果当0x x →(或∞→x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限)()(limx g x f x x →或)()(lim x g x f x ∞→可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分别简记为00或∞∞． 1．（洛必达法则1）型不定式设函数)(x f 与)(x g 满足条件（1）0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；（3） A x g x f x x =''→)()(lim（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim 00（或为无穷大）．把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．2（洛必达法则2）∞∞型不定式设函数)(x f 与)(x g 满足条件（1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 0x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；（3）A x g x f x x =''→)()(lim（或无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00（或为无穷大）把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．，结论也成立．二典型例题: 例1．（08江苏理14）设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 ▲【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】4例1 （2010 辽宁）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。

解：（Ⅰ）()f x 的定义域为),0(+∞. xa ax ax x a x f 1221)(2++=++='. 当0≥a 时，0)(>'x f ，故)(x f 在),0(+∞单调递增；当1-≤a 时，0)(<'x f ，故)(x f 在),0(+∞单调递减；当01<<-a 时，令0)(='x f ，解得aa x 21+-=.则当)21,0(a a x +-∈时，0)(>'x f ；),21(+∞+-∈aa x 时，0)(<'x f . 故()f x 在)21,0(a a x +-∈单调递增，在),21(+∞+-∈aa x 单调递减. （Ⅱ）分离变量法：不妨假设21x x ≥，而1-<a ，由（Ⅰ）知在),0(+∞单调递减，从而),0(,21+∞∈∀x x ，||4|)()(|2121x x x f x f -≥- 等价于),0(,21+∞∈∀x x ，22114)(4)(x x f x x f +≥+ ①令x x f x g 4)()(+=，则421)(+++='ax xa x g ① 等价于)(x g 在),0(+∞单调递减，即0421≤+++ax xa 恒成立。

从而212)12(1224)12(1214222222-+-=+---=+--≤x x x x x x x a ，故a 的取值范围为]2,(--∞ 评述：本题第二问利用分离变量，所构造函数的最大值存在。

例2（2007全国一）设函数xxe e xf --=)(．（Ⅰ）证明：)(x f 的导数2)(≥'x f ；（Ⅱ）若对所有0≥x 都有ax x f ≥)(，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）xxee xf -+=')(由于22=⋅≥+--x x x x e e e e ，故2)(≥'x f ，（当且仅当0=x 时，等号成立）．（Ⅱ）分离变量法：即对所有0≥x 都有ax e e xx≥--，① 若,0=x 则R a ∈② 若0>x ，则只需a x e e x x ≥--，记x e e x xx --=)(g ，2)1()1()(xx e x e x g x x ++-='-，记 )1()1()(++-=-x ex e x xxϕ，则0)()(>-='-x e e x x x ϕ，故)(x ϕ递增，而0)0(=ϕ，故0)(>x ϕ，从而0)(>'x g 故)(x g 递增，由洛比达法则知：2)(lim lim00=+=--→-→x x x xx x e e xe e ，2≤a 评述：所构造的函数在0=x 的最小值不存在，所以需要用洛比达法则。

例3（2006全国二）设函数)1ln()1()(++=x x x f ，若对所有的0≥x ，都有ax x f ≥)(成立，求实数a 的取值范围．解：分离变量法 ①若0=x ，则R a ∈.②若0>x ，则只需x x x a )1ln()1(++≤，则min ])1ln()1([xx x a ++≤。

令x x x x g )1ln()1()(++=，2)1ln()(x x x x g +-='令)1ln()(+-=x x x h ，则01)(>+='x xx h ，故)(x h 为增函数，0)0()(=>h x h ，从而0)(>'x g ，)(x g 为增函数，)0(g a ≤，可是)0(g 不存在，只能求极限，由洛比达法则得，1))1ln(1(lim ])1ln(1[(lim )1ln()1(lim 000=++=''++=+++++→→→x x x x x x x x x x ），故1≤a .例4（2010新课标全国）设函数21)(ax x e x f x---=。

（Ⅰ）若0=a ，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围解：（Ⅰ）0=a 时，x e x f x --=1)(，1)(-='xe xf .当)0,(-∞∈x 时，0)(<'x f ；当),0(+∞∈x 时，0)(>'x f .故)(x f 在)0,(-∞单调减少，在),0(+∞单调增加（Ⅱ）分离变量法即当0x ≥时21ax x e x≥-- ①若0=x 则R a ∈②0>x ，只需a x x e x ≥--21，记21)(x x e x g x --=，则42222)(x xx xe x e x g x x ++-='记x x xe x e x xx22)(22++-=ϕ，则222)(2++-='x e x e x xxϕ，222)(2+-+=''x x x e xe x e x ϕ，0)4()(2>+='''x x e x x ϕ，故)(x ϕ''递增，而0)0(=''ϕ，0)0(>''ϕ，)(x ϕ'递增，0)0(='ϕ，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增，而0)0(=ϕ，故0)(>x ϕ，从而0)(>'x g ，故)(x g 递增，由洛比达法则知：=→)(lim 0x g x 212lim 21lim 1lim0020==-=--→→→x x x x x x e x e x x e ，故21≤a例5 （2011年新课标全国理）已知函数xbx x a x f ++=1ln )(，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为032=-+y x 。

（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）如果当0>x ，且1≠x 时，xkx x x f +->1ln )(，，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）22)1()ln 1()(x b x x x x a x f -+-+='由于直线032=-+y x 的斜率为21-，且过点)1,1(，故⎪⎩⎪⎨⎧-='=21)1(1)1(f f 解得1,1==b a 。

解法一：（参考答案）（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+，由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x xh x x -++=。

(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知，当1x ≠时，'()0h x <。