数学物理方法-分离变量法
数学物理方法分离变量法
1 0.5
-0.5
2.5
5
7.5
10 12.5
15
-1
波腹 波节
15
6、 分离变量法概要：
（1）将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT) （2）确定固有值和固有函数（利用边界条件） （3）确定形式解（级数形式解） （4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）
16
例：求解
utt a2uxx 0
R(0)
欧拉方程
30
第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程
0 ( ) ( 2 )
nn
n2
( )
an
cos
n
bn
sபைடு நூலகம்n
n
n 0,1, 2,
2R R R 0
X(0) 0
X(l) 0
C1 0 C2 sin l 0
非零解 C2 0
sin l 0
n2 2
l2
n 1,2,3
则X（x）的一族非零解为
n x
X ( x) C2 sin l
C2是积分常数
上解称为满足边界条件的固有解（特征解），λ称为
固有值（特征值），sin函数称为固有函数（特征函数）。
(3)当r1、2 i时，y(x) ex (c1 cos x c 2 sin x)
7
本方程特征方程r2+λ=0，由上面结论知，方程的解与 λ的不同取值有关，分情况讨论：
(1) 0
X ( x) C1e x C2e x
X(0) 0
C1 C2 0
x, t 是相互独立的变量
T '' a2T 0
第八章分离变量法_数学物理方法
第八章分离变量法_数学物理方法分离变量法是数学物理方法中的一种重要技术，通常用于求解偏微分方程。
在这一方法中，我们将多元函数表示为一系列单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
接下来，我将详细介绍分离变量法的思想和应用。
1.分离变量法的思想当我们面对一个多元偏微分方程时，通常很难找到它的解析解。
分离变量法的思想就是将多元函数表示为单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
具体来说，设有一个n元函数u(x1, x2, ..., xn)，我们希望将其表示为n个单变量函数的乘积形式u(x1, x2, ..., xn) =u1(x1)u2(x2)...un(xn)。
代入偏微分方程后，我们可以得到一系列等式，将等式两边同时除以对应的单变量函数后，得到n个只依赖于一个变量的常微分方程。
然后我们可以分别求解这些常微分方程，得到对应的单变量函数的解析解。
2.分离变量法的应用分离变量法在物理学中有广泛的应用，特别是在描述传热、传质、波动等现象的偏微分方程的求解中。
以下是几个典型的例子：(1)热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
假设物体的温度分布函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
热传导方程可以写成如下形式：∂u/∂t=a²∇²u其中a是热传导系数。
我们可以将温度分布函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入热传导方程，得到两个常微分方程X''/X=T'/a²T。
分别解这两个方程，可以得到温度分布函数的解析解。
(2)线性波动方程线性波动方程是描述波动现象的方程。
假设波动函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
∂²u/∂t²=v²∇²u其中v是波速。
我们可以将波动函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入线性波动方程，得到两个常微分方程X''/X=v²T''/T。
数学物理方法课件-9 分离变量法
(
p)
pTk
(0)
Tk(0)
ka
l
2
Hk
(
p)
Fk
(
p)
Hk
( p)
Fk
( p) pTk (0)
p2 ka
Tk(0)
2
l
Tk
(t)
Tk
(0)
cos
ka
l
t
Tk(0)
l
ka
sin
ka
l
t
l
ka
t 0
fk
(
)
sin
ka
l
(t
)d
即
Tk
(t)
Fk
cos
ka
l
t
Gk
l sin ka t l ka l ka
C1 0, C2 0
u(x,t) 0
无意义
ii) 0
X (x) C0 D0x 代入边界条件得
D0 0 X (x) C0
§9.2 齐定解问题的本征函数展开法 1. 定解问题的本征函数系
用分离变量法求解定解问题 齐方程 齐边界条件
得到的本征函数系，称为定解问题
0)
u t0 (x), ut t0 (x),
(0 x l)
的本征函数系.
例：用分离变量法求解问题
ut a2uxx 0, (0 x l, t 0)
u x0 0,
u 0, xl
(t 0)
得到的本征函数系
sin
n
l
x , 1
就是定解问题
uut
a2uxx 0,
x0
0, u
xl
a. 分离变量 化偏微为常微
b. 解本征值问题 求偏微特解 对λ进行讨论 λ < 0, λ = 0, λ > 0
高中数学解题方法之分离变量法(含解答)
分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.定理2 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.定理3 方程()()f x g a =有解⇔()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。
2、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。
分离变量法
∞
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + Bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ Ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝
∞
使得
9
k π a Bk kπ ψ ( x ) = ut ( x , 0) = ∑ sin x l l k =1
∞
kπ ϕ ( x ) = u ( x , 0) = ∑ Ak sin x l k =1
X ( x) = C .
情形（C）
λ >0
其通解为
X ( x) = C1 cos λ x + C2 sin λ x,
由边界条件推出 C2 = 0,
22
再由 X ′(l ) = C1 λ sin λ l = 0 知道为了使 必须
C1 ≠ 0,
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
2 2
于是有
(k = 1,2,3," ).
本征值
(k = 1,2 ,3," ).
X k ( x) = Ck sin
kπ x, l
(k = 1,2," )
本征 函数
7
k 2π 2 λ = λk = 2 , l
(k = 1,2 ,3," ) 代入另一个方程可得
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
把变量形式的解代入方程可得
XT ′′ = a 2 X ′′ T
即
T ′′(t ) X ′′( x) = 2 a T (t ) X ( x)
以及
《数学物理方法》第十一章分离变量法
流
程
T Aexp(a2t)
X sin
x,
n l
图
un Tn (t)Xn ( x)
u u(x,t)
u Tn X n
28
1. 补充：三角函数的正交性
29
30
31
32
33
【例11.1.2】 设长为l 的均匀杆，两端绝热, 杆 内初始温度分布为(x), 求杆内温度随时间的 变化规律 解 定解问题为
将尝试解 y ＝ erx 代入方程得 r2 - 2 ＝ 0 特征根为±，
将r ＝ ±代入尝试解得方程的二个特解， 其线性组合即为通解 y ＝ c1ex+c2e-x ． (1)
12
2．方程 y"+ 2y ＝ 0 的通解有三种形式.将尝试解
y ＝ erx 代入方程得 r2 + 2 ＝ 0 特征根为±i， 将r ＝ ±i 代入尝试解得方程的二个特解，其线 性组合即为通解
(uy1+vy2)"
＝ (u"y1+2u'y1'+ uy1") + (v"y2+2v'y2'+ vy2")
p(uy1+vy2)'＝ p(u'y1+ uy1')+ p(v'y2+ vy2') q(uy1+vy2)
19
→ (u"y1 +2u'y1'+ uy1")+ p(u'y1 +uy1') + quy1 + (v"y2 +2v'y2'+ vy2")+ p(v'y2+ vy2')
数学物理方法分离变量法资料
R()( ) 1 R()( ) 1 R()( ) 0
2
2R R
R
29
( )
0 ( ) ( 2 )
周期本征值问题
2R R R 0
R()
2u x 2
2u y 2
0
u x2 y2 02 (x, y)
(x2 y2 02 )
因为边界形状是个圆周，圆域边界条件中x、y是 不可直接分离的，故化为极坐标求解。
27
x r cos
y
r
sin
2u
1
(
u
)
X
|x0
X
|xl
0
若有二阶常系数线性齐次方程
y" py'qy 0 其中p、q为常数，则特征方程为 r 2 pr q 0
(1)当r1、r2为相异的实根时，方程 有通解y(x) c1er1x c 2 er2x
(2)当r1 r2 r为相同的实根时，通解 y(x) (c1 c 2 x)erx
n1
( An
n 1
cos
nat
l
Bn
sin
nat ) sin
l
nx
l
11
此时要满足初始条件，则
(
(x)
x)
n1
An sin
n1
na
l
Bn
nx
l
《分离变量法》课件
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
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1） 0
X (x) Ae x Be x
AB 0
AB0
Ae l Be l 0
X 0
2） 0 X (x) Ax B
AB0
X 0
3） 0 令 2 ， 为非零实数 X (x) Acos x Bsin x
A0
B sin l 0
n (n 1, 2,3,L )
l
n2 2
l2
X
(0)
0,
X (l) 0
2 0
X 2 X 0
X (x) Ae x Be x
X (0) A B 0 X (l) A el B el 0
AB0
0
X 0
AB0 2 0 X 2 X 0
X (x) 0
X (x) Ax B X (x) 0
X (x) Acosx Bsin x
,
u(10,t)
0,
0 x 10,t 0 t 0
uu(xn,u01)((xC,0nx)c(11o00sn01010Cxn)n,tsinuD(1x0tn,ns0i)nx100n,x(11t0)00s0i0nxxn1)01x0
Cn
2 10
10 x(10 x) n
sin
0 1000
10
xdx 1 5000
0 xl
t
a2n2 2
T ''n (t) l2 Tn (t) 0
X ''(x) X (x) 0
T ''(t) a2T (t) 0
n
Xn
n2
l2
2
(x) Bn
(n 1, 2,
sin n x
l
3,L )
(n 1,
2,
3,L
n at
n at
Tn (t) C 'n cos l D 'n sin l (n 1, 2,3,L )
u ( x,
0)
x2
2lx,
u ( x, t
0)
0,
0 x l,t 0 X X 0
T a2T 0
t0 0 xl
n (2n 1)2 2 / 4l 2
Xn (x)
Bn sin
(2n 1)
2l
x
T a2T 0
Tn
(2n
1)2
4l 2
2a2
Tn
0
Tn
Cn
cos
(2n
1) a
2l
t
Dn
l 0
cos
n
l
m
x
cos
n
l
m
xdx
0
l(x)sin m
0
l
xdx
l
n
0 Cn sin n1
l
x sin m
l
xdx
l 2
Cm
Cm
2 l
l (x)sin m
0
l
xdx
2
Cn l
l (x) sin n
0
l
xdx
Dn
2
na
l
(x)
sin
n
0
l
xdx
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
un (x,t0 )
An
cos(nt0
n )sin
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
sin n x
l
n
2 n
l
l
fn
n 2
na 2l
v
fnn
na 2l 2l n
a
T
驻波法
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初
位移为 (x) x(10 x) 1000，求弦作微小横向振动时的位移。
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
0 xl
t
•基本思想：
首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后
由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件
确定叠加系数。
•特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
n
n2 2
l2
(n 1, 2,3,L )
n
Xn (x) Bn sin l x (n 1, 2,3,L )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u t 2
a2
2u x2
,
0 x l,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
2u u(t02,
t)
a2
2u x2
,
0,u(l,
t
)
0,
u ( x,0)
(x),
u ( x,0) t
(
x),
0 x l,t 0 t0 0 xl
▪分离变量 u(x,t) X (x)T (t) X X 0 T a2T 0
▪求特征值和特征函数
n n / l2
X n (x)
Bn
un (x,t)
(Cn
cos
n a t
l
Dn
sin
n a
l
t ) sin
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
u(x,t) un (x,t) n1
(Cn
n1
cos
n a
l
t
Dn
sin
n a t)sin
l
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
u
(Cn
n1
cos na t
X (0) 0
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0 T a2T 0
u(l,t) X (l)T (t) 0 x
X X 0, 0 x 10
X
(0)
0,
X (l) 0
X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X X 0, 0 x l
sin
(2n
1) a
2l
t
n 1, 2,3,L
un X nTn
(Cn
cos
(2n 1) a t
2l
Dn
sin
(2n 1) a t)sin
2l
(2n 1)
2l
x
u
un
n1
(Cn
n1
cos (2n 1) a t
2l
Dn sin
(2n 1) a t) sin
2l
(2n 1)
2l
x
数学物理方程与特殊函数
X X
1 104
T
T
X X 0
u(10,t) X (10)T (t) 0 X (10) 0
X X 0, 0 x 10
X (0) 0,
X (10) 0
T 104T 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X X 0, 0 x 10
X
(0)
0,
X (10) 0
0
2l
xdx
32l 2
(2n 1)3 3
u(x, 0)
t
n1
Dn
(2n 1) a
2l
sin
(2n 1)
2l
x
0
Dn 0
32l2 1
(2n 1) a (2n 1)
u 3 n1 (2n 1)3 cos
2l
t sin
x
2l
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
u
32l
3
2
n1
1 (2n 1)3
X (0) A 0
X (10) B sin10 0
n n /10, n 1,2,3,
X n (x)
Bn
sin
n
10
x
n n 2 2 /100
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u u(t02,
t)
104 u
2u x2
,
(10, t )
0,
u ( x,0)
x(10 x) 1000
2 0
X 2 X 0
X (x) Ae x Be x
X (0) A B 0 X (l) Ae10 Be10 0
AB0
0
X 0 AB0
2 0 X 2 X 0
X (x) 0
X (x) Ax B X (x) 0
X (x) Acosx Bsin x
X (0) A 0
X (l) B cos l 0
n (2n 1) / 2l, n 1, 2,3,L
n (2n 1)2 2 / 4l 2
Xn (x)
Bn
sin
(2n 1)
2l
x
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u
t
2
a2
2u x2
,
u(0,
t)
0,
u(l , t ) x
0,
X (0) 0, X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X ''(x) X (x) 0 X (0) 0, X (l) 0 特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条
件下的求解问题
特征（固有）值：使方程有非零解的常数值