华中科技大学数理方程课件——第二章分离变量法
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第二章 分离变量法1
分析: 1.方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。 2 . 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出 微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用 定解条件定出叠加系数。
启发 能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？ 即能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解， 再用其作线性组合使其满足初始条件。
因此，所求的解为 1 (2n + 1)π u ( x, t ) = 3 ∑ sin x cos10(2n + 1)π t 3 5π n =（2n + 1 10 ） 0 4
∞
例2.解定解问题
∂ 2u ∂ 2u 2 , 0 < x < l , t > 0， 2 =a 2 ∂x ∂t ∂u = 0, t ≥ 0, u x =0 = 0, ∂x x =l ∂u 2 = 0, 0 ≤ x ≤ l. u t =0 = x − 2lx, ∂t t =0
X '' ( x) + λ X ( x) = 0, 第二步：求解特征值问题 X (0) = X (l ) = 0.
二阶线性常微分方程定 解问题
−λ x
(1)若λ < 0, 方程的通解形式为X ( x) = Ae
−λ x
+ Be −
由定解条件知A = 0, B = 0, 从而X ( x) ≡ 0, 不符合要求。
第二章 分离变量法
物理学、力学和工程技术等方面许多问题都可 归结为偏微分方程的定解问题，上一章我们已初 步看到怎样把具体的物理问题表达为定解问题. 下面一个重要任务是怎样去解决这些定解问题. 思路：设法把偏微分方程定解问题转化为常 微分方程定解问题. 分离变量法： 分离变量法：又叫Fourier方法，它基于函数 的Fourier级数展开，是求解规则区域，如矩形域、 球域、柱型域上的波动方程、热传导方程和位势 方程常用的方法。 本章我们将通过实例来说明分离变量法的步 骤与实质。
【精品课件】数学物理方程分离变量法
sinn x (n
l
) 1,2,3,
)
特征值与 特征函数
2u t2
a2
2u x2
,
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
T''n(t)a2nl222Tn(t)0
X''(x)X(x)0
T''(t)a2T(t)0
X nn(xn)2 l2B 2nsi(n nn l1x ,2,3(,n )1 ,2,3 ,
驻 波 ： 两 列 反 向 行 进 的 同 频 率 的 波 形 形 成 驻 波 。 波 腹 ： 振 幅 最 大 的 点 ; 节 点 ： 振 幅 最 小 的 点
求方程的通解的步骤为：
(1)写出微分方程的特征方程 r2 0,
(2)求出特征根 r1 , r2，
(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。
特征根
通
解
yC1er1xC2er2x
y(C1C2x)
y ( C 1 c o sx C 2 s inx )
一 有界弦的自由振动
1 求两端固定的弦自由振动的规律
u(x,t)un(x,t) n1
n 1(CncosnlatD nsinnlat)sinnlx (n1,2,3, )
步骤3，其余的定解条件求出系数。
un 1(C nco n la st D nsin ln at)sin lnx
n
u(x,t)t 0u(x,0 )n 1C nsinl x(x)
X(x)AexBex
AB0
AB0 X0
Ae l Be l 0
l
) 1,2,3,
)
特征值与 特征函数
2u t2
a2
2u x2
,
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
T''n(t)a2nl222Tn(t)0
X''(x)X(x)0
T''(t)a2T(t)0
X nn(xn)2 l2B 2nsi(n nn l1x ,2,3(,n )1 ,2,3 ,
驻 波 ： 两 列 反 向 行 进 的 同 频 率 的 波 形 形 成 驻 波 。 波 腹 ： 振 幅 最 大 的 点 ; 节 点 ： 振 幅 最 小 的 点
求方程的通解的步骤为：
(1)写出微分方程的特征方程 r2 0,
(2)求出特征根 r1 , r2，
(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。
特征根
通
解
yC1er1xC2er2x
y(C1C2x)
y ( C 1 c o sx C 2 s inx )
一 有界弦的自由振动
1 求两端固定的弦自由振动的规律
u(x,t)un(x,t) n1
n 1(CncosnlatD nsinnlat)sinnlx (n1,2,3, )
步骤3，其余的定解条件求出系数。
un 1(C nco n la st D nsin ln at)sin lnx
n
u(x,t)t 0u(x,0 )n 1C nsinl x(x)
X(x)AexBex
AB0
AB0 X0
Ae l Be l 0
分离变量法(二维拉普拉斯方程)
3） λ > 0 方程的通解为
Φ (θ ) = A cos λθ + B sin λθ
A 和 B 为任意常数，要满足周期为 2π ，则
λ = n (n = 1, 2, )
2
于是 Φ n (θ ) = An cos nθ + Bn sin nθ
将 λ = n 2 代入问题（6）的方程，得欧拉方程：
r R′′ + rR′ − n R = 0 它的通解为：
uxx + uyy = 0 (0 < x < a,0 < y < b),
(*)
(1)
u ( x , 0 ) = f ( x ) , u ( x , b ) = g ( x ) , (2)
u ( 0, y ) = u ( a , y ) = 0.
(3)
解： 变量分离形式的试探解 u ( x ,
y ) = X ( x )Y ( y )
1 ⎧ an＝ n ⎪ π r0 ⎪ 其中 ⎨ ⎪ bn＝ 1 n ⎪ π r0 ⎩
∞
∫ ∫
2π
0 2π
f (ϕ ) cos nϕ dϕ (n=0,1,2, f (ϕ )sin nϕ dϕ (n=1,2, ).
),
0
至此，定解问题 （1）－（2）得到解决。
将 an , bn 代入得
u ( r,θ ) =
1 ∴ u ( r ,θ ) = 2π
∫
2π
0
r −r f (ϕ ) 2 2 dϕ (r < r0 ) r0 + r − 2r0 r cos(θ − ϕ )
2 0 2
这个公式称为圆域内的泊松公式。
作业3：求解下述定解问题
数理方程第二章分离变量法
解的唯一性
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
《分离变量法》课件
《分离变量法》 ppt课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
《分离变量法》课件
法的计算效率。
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
《数理方程》第二章分离变量解法
解：设 u( x, t ) = X ( x)T (t ) 得到
T ′′( t ) X ′′( x ) = = −λ 2 a T (t ) X ( x)
如果
λ >0 则
X "+λX = 0 X ′(0) = 0 X ′(l ) = 0
X ( x ) = C cos λ x + D sin λ x
12
现确定积分常数
第二章 定解问题的分离变量解法
1
第一节 一维齐次方程、齐次边界条件混合 问题的分离变量解法
⎧utt = a 2 u xx , 0 < x < l, t > 0 ⎪ (Ι) ⎨u |x =0 = 0, u |x =l = 0, t≥0 ⎪u | = ϕ ( x), u | = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l t t =0 ⎩ t =0
固有值问题
20
第二步：求固有值 λ 和固有函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式
n 2π 2 λn = ( n = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅) l
⎛ nπ a ⎞ Tn′(t ) + ⎜ ⎟ Tn (t ) = 0 ⎝ l ⎠
Tn (t ) = Cn e
这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波 ， 其振幅 An sin nπ x 随不同的时间 t 0 而不同。 l
10
nπ x0 • 对任意一点 x , U n ( x0 , t ) = An sin(ωn t + δ n )sin 0 l
这表示在任意一点
x0 处都作简谐振动。
n=4
• 驻波
o
nπ U n ( x, t ) = An sin(ωn t + δ n )sin x l
华中科技大学数理方程课件——第二章分离变量法
X ( 0 ) A B 0X ( l ) A e l B e l 0
AB0
X(x) 0
0
X0
X(x)AxB
AB0
X(x) 0
2 0
X2X0
X ( 0 ) A 0
X (x )A co x sB six n
u(x,t)un(x,t)
n1
n 1(CncosnlatD nsinnlat)sinnlx (n1,2,3, )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
n a
n a n
un 1(C ncolst D nsilnt)silnx
n
u u (( x x t,,tt))t t0 0 un ( x 1,D 0 )n nln a 1C sin nsn iln x l x (x)(x)
0,
u(x,
0)
x2
2lx,
u(x, t
0)
0,
0 x l,t 0 t 0 0 x l
解： u(x,t)X(x)T(t)
u(0 ,t)X (0 )T (t)0 X(0)0
XTa2XT
X X
1 a2
T T
XX0
Ta2T0
0x10,t 0 t 0 0x10
XX0, 0x10
X(0)0,
X(10)0
Xnn (xn )2 2 B/n1 si0 ,nnn 1 00 1 x,2,3,
T14 0T0 Tn10n202Tn0 T n C n c1 o n0 ts D n s1 in n 0 t
0x10,t 0 t 0
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0,
0 x l,t 0 t0 0 xl
解： u(x,t) X (x)T (t)
u(0,t) X (0)T (t) 0
X (0) 0
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0 T a2T 0
u(l,t) X (l)T (t) 0 x
X X 0, 0 x 10
2a2
n (2n 1)2 2 / 4l 2 (2n 1)
Xn (x) Bn sin 2l Tn 0
x
Tn
Cn
cos
(2n
1) a
2l
t
Dn
sin
(2n
1)
2l
a
t
n 1, 2,3,L
un X nTn
(2n 1) a
(2n 1) a (2n 1)
(Cn cos
2l
t Dn sin
2l
t ) sin
XT 104 X T
u(10,t) X (10)T (t) 0
X (0) 0 X (10) 0
X X
1 104
T T
X X 0, 0 x 10
X (0) 0,
X (10) 0
X X 0
T 104T 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X X 0,
l
1
cos 2n
/
l
dx
l
0
l
0
2
2
l n
sin
0
l
x sin m
l
xdx 1 2
l 0
cos
n
l
m
x
cos
n
l
m
xdx
0
l(x)sin m
0
l
xdx
l
n
0 Cn sin n1
l
x sin m
l
xdx
l 2
Cm
Cm
2 l
l (x)sin m
0
l
xdx
2
Dn na
l
(
x)
sin
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t0
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
0 xl
t
a2n2 2
T ''n (t) l2 Tn (t) 0
X ''(x) X (x) 0
T ''(t) a2T (t) 0
n
n2
l2
2
(n 1, 2,3,L )
n
Xn (x) Bn sin l x (n 1, 2,3,L )
x(10 x) 1000
,
u(x,0) t
0,
0 x 10,t 0 t0 0 x 10
X X 0, 0 x 10
X (0) 0,
X (10) 0
n n2 2 /100 , n 1,2,3,
X n (x)
Bn
sin
n
10
x
T 104T 0 Tn 100 n2 2Tn 0 Tn Cn cos10nt Dn sin10nt
l
(x)
sin
n
0
l
xdx
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2 解的性质
un (x,t)
(Cn
cos
n
l
a
t
Dn
sin
n a t)sin
l
n
l
x
An
cos(nt
n )sin
n
l
x
其中： An Cn2 Dn2
n
n a
l
n
arctan
Dn Cn
l
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
u
(Cn
n1
cos na t
l
Dn sin
na t) sin
l
n
l
x
u( x, t ) t0
u(x, 0)
Cn sin
n1
n
l
x
(x)
u ( x, t )
t
t0
n1
Dn
n a
l
sin
n
l
x
(x)
l sin2 n xdx
2l
t sin
x
2l
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例3 求下列定解问题
u ( x,0)
n1
Cn
n 1
s in 10 nx
x(10 1000
x)
n
10
x
Cn
2 10
10 x(10 x) n
sin
0 1000
10
xdx 1 5000
10
n
x(10 x)sin
0
10
xdx
2
5n3
3
(1
cosn
)
0， 4
5n3 3
，
n为偶数 n为奇数
u(x,0)
t
n1
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u
t
2
a2
2u x2
,
0
x l,t 0
X X 0,
X
(0)
0,
0 xl X (l) 0
u(0,
t)
0,
u(l, x
t)
0,
u(x, 0)
x2
2lx,
u(x, 0) t
T a2T 0
t0
0, 0 x l
Tn
(2n
1)2
4l 2
n2 2
l2
n
n2
l2
2
(n 1, 2,3,L )
n
Xn (x) Bn sin l x (n 1, 2,3,L )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
Xn (x)
Bn
sin
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u t 2
a2
2u x2
,
0 x l,t 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
第二章 分离变量法
一、有界弦的自由振动 二、有限长杆上的热传导 三、拉普拉斯方程的定解问题 四、非齐次方程的解法 五、非齐次边界条件的处理 六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
一、有界弦的自由振动
2u t 2
a2
于是得到一系列分离变量形式的特解
un
X nTn
Bn
sin
n
10
x(Cn
(Cn cos10nt
cos10nt Dn sin10nt)
Dn
sin 10nt ) sin
n
10
x
这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由
线性方程的叠加原理，设原问题的解为
u
un
n 1
(Cn
n 1
cos10 nt
n
0
l
xdx
2
Cn l
l (x) sin n
0
l
xdx
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u u(t02,
t)
a2
2u x2
,
0,u(l,
t
)
0,
u ( x,0)
(x),
u ( x,0) t
(
x),
0 x l,t 0 t0 0 xl
▪分离变量 u(x,t) X (x)T (t) X X 0 T a2T 0
X (0) 0, X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X ''(x) X (x) 0 X (0) 0, X (l) 0
特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定
条件下求非零解的问题
特征（固有）值：使方程有非零解的常数值
特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解
分情况讨论：
b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。 •适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
1、 求两端固定的弦自由振动的规律
2u a2 2u ,
t 2
x2
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
0 x l,t 0 t 0
u(x, 0) (x),
X
(0)
0,
X (l) 0
X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
X X 0,
X
(0)
0,
2 0 X 2 X 0
X (0) A B 0
AB0
0
X 0 AB0
第2章分离变量法
0 xl X (l) 0 X (x) Ae x Be x X (l) A el B el 0 X (x) 0
x=x0时：
un (x0,t)
An
sin
n
l
x0
cos(nt
n )
t=t0时：
un (x,t0 )
An
cos(nt0
n )sin
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
sin n x
l
n
2 n
l
l