导热第二章分离变量法(2)
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第二章 分离变量法
1°设λ<0，此时方程（2.5）的通解为 由条件（2.6）得 解出A，B得 即X(x) ≡0，不符合非零解得要求，因此λ不能小于零。
2°设λ＝0，此时方程（2.5）的通解为 由条件（2.6）还是得A＝B＝0，所以λ也不能等于零。
3°设λ>0，并令λ＝β2, β为非零实数。此时方程（2.5）得通解为 由条件（2.6）得 由于B 不能为零（否则X(x) ≡0），所以sinβl＝0，即 （n为负整数可以不必考虑，因为例如n＝－2，实际上还是的形式）从 而
解，它的主要步骤大体为：
一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程
的定解问题，这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的。
二、确定特征值与特征函数。由于特征函数是要经过叠加的，所以
确定特征函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界
条件是齐次时，求特征函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非
§2.2 有限长杆上的热传导
设有一均匀细杆，长为l，两端点的坐标分别为x＝0与x＝l，杆的侧 面是绝热的，且在端点x＝0处的温度是零摄氏度，而在另一端x＝l处杆 的热量是自由散发到周围温度是零度的介质中去（参考第一章§1.2中 第三类边界条件，并注意在杆的x＝l端的截面上，外法线方向就是x轴的 正方向），已知初始温度分布为φ（x）。求杆上的温度变化规律，也就 是要考虑下列定解问题：
从上面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步 骤是确定特征函数与运动叠加原理，这些运算之所以能够进行，就是因
为偏微分方程与边界条件都是齐次的，这一点一定要注意。 例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速度为零，初始位
移为，求弦作微小横向振动时的位移。 解 设位移函数为u(x,t)，它是定解问题
2°设λ＝0，此时方程（2.5）的通解为 由条件（2.6）还是得A＝B＝0，所以λ也不能等于零。
3°设λ>0，并令λ＝β2, β为非零实数。此时方程（2.5）得通解为 由条件（2.6）得 由于B 不能为零（否则X(x) ≡0），所以sinβl＝0，即 （n为负整数可以不必考虑，因为例如n＝－2，实际上还是的形式）从 而
解，它的主要步骤大体为：
一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程
的定解问题，这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的。
二、确定特征值与特征函数。由于特征函数是要经过叠加的，所以
确定特征函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界
条件是齐次时，求特征函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非
§2.2 有限长杆上的热传导
设有一均匀细杆，长为l，两端点的坐标分别为x＝0与x＝l，杆的侧 面是绝热的，且在端点x＝0处的温度是零摄氏度，而在另一端x＝l处杆 的热量是自由散发到周围温度是零度的介质中去（参考第一章§1.2中 第三类边界条件，并注意在杆的x＝l端的截面上，外法线方向就是x轴的 正方向），已知初始温度分布为φ（x）。求杆上的温度变化规律，也就 是要考虑下列定解问题：
从上面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步 骤是确定特征函数与运动叠加原理，这些运算之所以能够进行，就是因
为偏微分方程与边界条件都是齐次的，这一点一定要注意。 例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速度为零，初始位
移为，求弦作微小横向振动时的位移。 解 设位移函数为u(x,t)，它是定解问题
导热第二章分离变量法(2)
多维齐次导热问题的解可写成简单一维问题的解。 条件：物体内初始温度分布可表示成单个空间变量 的函数： F(x,y)=F1(x)F2(y) 或 F(x,y,z)=F1(x)F2(y)F3(z)
二维 导热问题为例：
2T 2T 1 T 2 2 a x y
T h1T 0 x
第二章 分离变量法(2)
分离变量法：
n个变量的齐次导热问题。 假定其解是n个只含一个变量的函数的乘积：
T ( x1 , x2 , xn ) X 1 ( x1 ) X 2 ( x2 ) X n ( xn )
使导热偏微分方程分离成n个常微分方程，并在分离过 程中引进n-1个分离常数。其中n-1个分离函数的常微分 方程与相应的边界条件构成导热问题的特征值问题。 求得到n个分离函数构成原问题的基本解，然后根据线 性叠加原理，用全部分离解叠加成原导热问题的完全解。 最后，根据特征函数的正交性质，确定出叠加过程中所 引进的未知常数，得到导热问题最终解。
Ts 1 i hiTs 1 0 ni
Ts 1 (r ) f (r )
在区域R内
在边界Si上 ，i=1，2，…，s
在区域R内，τ=0
原问题的解：
T (r , ) T0, j (r ) Ts 1 (r , )
s j 0
§2.6 乘 积解
特解的形式取决于热源项qV(x,y,z)的形式。对于简单 的函数形式，其特解如下：
qV q0 q0 x
2
q0 x 2
q0 x n
4
P
qx 0 2
q0 x 3 6
q0 x 12
q0 x n 2 (n 1)(n 2)
二维 导热问题为例：
2T 2T 1 T 2 2 a x y
T h1T 0 x
第二章 分离变量法(2)
分离变量法：
n个变量的齐次导热问题。 假定其解是n个只含一个变量的函数的乘积：
T ( x1 , x2 , xn ) X 1 ( x1 ) X 2 ( x2 ) X n ( xn )
使导热偏微分方程分离成n个常微分方程，并在分离过 程中引进n-1个分离常数。其中n-1个分离函数的常微分 方程与相应的边界条件构成导热问题的特征值问题。 求得到n个分离函数构成原问题的基本解，然后根据线 性叠加原理，用全部分离解叠加成原导热问题的完全解。 最后，根据特征函数的正交性质，确定出叠加过程中所 引进的未知常数，得到导热问题最终解。
Ts 1 i hiTs 1 0 ni
Ts 1 (r ) f (r )
在区域R内
在边界Si上 ，i=1，2，…，s
在区域R内，τ=0
原问题的解：
T (r , ) T0, j (r ) Ts 1 (r , )
s j 0
§2.6 乘 积解
特解的形式取决于热源项qV(x,y,z)的形式。对于简单 的函数形式，其特解如下：
qV q0 q0 x
2
q0 x 2
q0 x n
4
P
qx 0 2
q0 x 3 6
q0 x 12
q0 x n 2 (n 1)(n 2)
分离变量解法2（圆域与非齐次问题）
(
ρ ρ0
)n
cos n(θ
−
t
⎤ )⎥ ⎦
d
t
∫ u( ρ
,θ
)=
1
2π
2π 0
f
(t)
ρ02
−
ρ2
ρ02 − ρ 2 − 2ρ0ρ cos (θ
d −t)
t
这个解，称为圆域内的泊松（poisson） 公式，它的理论意义是把解写成了积分的形式。
(0 ≤ θ ≤ 2π , ρ < ρ0 )
Poisson 积分公式——Laplace 方程，在圆域内的第一类边界条件的解。
⎞2 ⎠⎟
+
2 ∂2u
∂r∂θ
∂r ∂y
∂θ
∂y
+
∂2u
∂θ 2
⎛ ∂θ
⎝⎜ ∂y
⎞2 ⎠⎟
+
∂u
∂ρ
∂2ρ
∂y 2
+
∂u
∂θ
∂ 2θ
∂y 2
,
∂ρ
∂x
=
x
ρ
,
∂ρ
∂y
=
y
ρ
,
∂θ
∂x
=
−
y
ρ2
,
∂θ = x ∂y ρ 2
∂2ρ
∂x2
=
1
ρ
−
x2
ρ3
,
∂2ρ
∂y 2
=
1
ρ
−
y2
ρ3
,
∂ 2θ
∂x 2
⎧ u ( 0 ,θ ) < +∞
即有
⎪ ⎨ ⎪⎩
u( ρ ,θ ) = u( ρ ,θ + 2π )
数理方程第二章分离变量法
解的唯一性
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
分离变量法二-热传导方程
x,
第三章分离变量法二
4பைடு நூலகம்
4
第三步：求特解，并进一步叠加出一般解 一般解为
2 2 1 a 2 (n 1 ) ( n 2 2 ) u ( x, t ) an exp t sin 2 l l n 0 an An Bn .
x
l
B ( 1)e
l
0
A B0
只有零解（舍）
第三章分离变量法二
8
第二步：求解固有值问题 X ( x ) X ( x ) 0 情形二： 0 代入边界条件得
X (0) X (l ) X (l ) 0
通解为 X ( x) A Bx,
第一步：分离变量 令 u ( x, t ) X ( x)T (t ) 代入方程得
X ( x ) X ( x ) 0 X(x): X (0) X (l ) X (l ) 0
T(t):
固有值问题
T (t ) a 2T (t ) 0
第三章分离变量法二
第三章分离变量法二
2
第一步：分离变量 设 u ( x, t ) X ( x)T (t ) 代入方程得
X ( x) X ( x) 0 X(x)： X (0) X (l ) 0 2 T(t)： T (t ) a T (t ) 0
第二步：求解固有值问题
0 k l 2 0 k
l
代入一般解即得定解问题的解
第三章分离变量法二
13
l
代入方程 T (t ) a 2 T (t ) 0
2 2 a 2 (n 1 ) 2 解得 Tn (t ) An exp t , n 0,1, 2,3, 2 l
热传导方程求解-分离变量法
牛曼外问题
拉普拉斯方程的狄氏内问题
Q(x, y, z)
拉普拉斯方程的基本解
• 1 三维空间的拉氏方程基本解
将三维空间拉氏方程用球坐标系表示
z
r M(x, y,z)
z
1 r2
r
(r2
u ) r
1
r2 sin
(sin
u )
r2
1
sin2
2u
2
0
A xo
xy
P
y
求其球对称解 u u(r)（解只与r有关，与角度无关）
0
n 0,1, 2,....
X
n
(
x)
sin
2n 2a
1
x
n 0,1, 2....
ux (0, y) u(a, y) 0 u(x, 0) (x) u(x,b) (x)
X (x) X (x) 0
X (0)
X (a)
0
n
(2n 1 2a
)2
0
n 0,1, 2,....
ux (0, y) ux (a, y) 0 u(x,0) (x) u(x,b) (x)
内容回忆
分离变量法(齐次方程 齐次边界条件/周期条件)
• 一维波动
• 一维热传导 • 二维矩形域拉普拉斯 • 二维扇形域拉普拉斯
利用齐次边界条件，
确定特征值问题， 确定特征值和特征 函数
• 二维环扇域拉普拉斯 • 二维圆环域拉普拉斯 • 二维圆域拉普拉斯
利用周期条件，确定
特征值问题，特征 值和特征函数
X (x) X (x) 0
X (0) X (l) 0
n
( n l
)2
0
第二章 分离变量法2
第三步：求特解，并叠加出一般解
求解了特征值问题后，将每特征值n 代入函数T (t )满足的方程 T ' (t ) 2 a 2T (t ) 0
可得 Tn (t ) Ane
2 2 n at
从而我们得到满足边界条件的一组特解 u n ( x , t ) Cn e
2 2 n a t
2
u t 0 ( x), 0 x l.
分析 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题仍用分离变量法求解。
第一步：分离变量
类似§ 2.1中步骤，设u( x, t ) X ( x)T (t )，代入上面的方程可得
X '' ( x) T ' (t ) 2 X ( x) a T (t )
2 (2k 1) Ck u0 sin d l 0 2l
l
举例
2 u u 2 x (0, l ), t 0 t a x 2 , u0 x [0, l ] u ( x, 0) x, l u (0, t ) u x (l , t ) 0, t 0
2 2 a 2 (n 1 (n 1 ) (1)n 2 2 ) u ( x, t ) 2 exp t sin 2 1 2 n 0 (n 2 ) l l
•
tan l
1 令 l , tan hl
上方程的解可以看作曲线y1 tan ，y2 交点的横坐标，如图：
显然它们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。这里只取正根 1 , 2 n , 于是得到特征值问题的无穷个特征值 n n2 ( n ) 2 , (n 1,2,3...) l 及相应的特征函数 X n ( x) Bn sin n x
热传导方程的分离变量法
27
3.2 混合问题的分离变量解
28
一、定解问题：有界杆的热传导现象
ut a2uxx 00 x lt 0
u 0,t 0u l,t 00 t
a 2
n1
an
cos
n l
x
bn
sin
n l
x
其中:
an
1 l
l l
f cos n d
l
bn
1 l
l l
f
sin n
l
d
46
f x 1
2l
l l
f
d
n1
1 l
l f cos n d cos n x 1
t
ux x x,t ux x,t f
x
当 x 0 , t 0
则 C ut uxx f
16
一维热传导方程为:
ut Duxx f
其中:
D C
, f F
C
.
二维热传导方程为:
ut D uxx uyy f
引言
上一章对弦振动方程为代表的双曲 型方程进行了研究,它的研究包括从方程 的导出到应用行波法和分离变量法.本章 我们对抛物型方程以热传导方程为代表 进行研究 。
1
数理方程的基本步骤:
物理模型
定量化 数学模型
ⅰ 建坐标系
ⅱ 选物理量 u
ⅲ 找物理规律
ⅳ 写表达式
2
3.1 热传导方程 一、热传导方程的导出
22
ⅱ第二类边界条件: 研究物理量在 边界外法线方向上方向导数的数值.
3.2 混合问题的分离变量解
28
一、定解问题：有界杆的热传导现象
ut a2uxx 00 x lt 0
u 0,t 0u l,t 00 t
a 2
n1
an
cos
n l
x
bn
sin
n l
x
其中:
an
1 l
l l
f cos n d
l
bn
1 l
l l
f
sin n
l
d
46
f x 1
2l
l l
f
d
n1
1 l
l f cos n d cos n x 1
t
ux x x,t ux x,t f
x
当 x 0 , t 0
则 C ut uxx f
16
一维热传导方程为:
ut Duxx f
其中:
D C
, f F
C
.
二维热传导方程为:
ut D uxx uyy f
引言
上一章对弦振动方程为代表的双曲 型方程进行了研究,它的研究包括从方程 的导出到应用行波法和分离变量法.本章 我们对抛物型方程以热传导方程为代表 进行研究 。
1
数理方程的基本步骤:
物理模型
定量化 数学模型
ⅰ 建坐标系
ⅱ 选物理量 u
ⅲ 找物理规律
ⅳ 写表达式
2
3.1 热传导方程 一、热传导方程的导出
22
ⅱ第二类边界条件: 研究物理量在 边界外法线方向上方向导数的数值.
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T F ( x, y , )
T1 h1T1 0 x
y
T1 F1 ( x)
T1 h2T1 0 x
T F ( x, y , )
T F ( x, y ) F1 ( x ) F2 ( y )
T2 h3T2 0 y
T2 F2 ( y )
多维齐次导热问题的解可写成简单一维问题的解。 条件：物体内初始温度分布可表示成单个空间变量 的函数： F(x,y)=F1(x)F2(y) 或 F(x,y,z)=F1(x)F2(y)F3(z)
二维 导热问题为例：
2T 2T 1 T 2 2 a x y
T h1T 0 x
将非齐次方程的一般解表示成为齐次方程的一般解 (r ) 与一个特解 P(r )之和，即 T (r ) (r ) P (r )
函数 (r ) 满足： 2 (r ) 0
qV P ( r ) 满足： 2 P (r 函数 ) 0
在区域R内
T (r ) 0
2
在区域R内 在边界Si上 ，i=1，2，…，s
i
T (r ) 这个导热问题可分解为s个有关 T j (r )的简单问题：
T j (r ) 0
2
T hi T f i ni
T j (r )
s j 1
在区域R内 在边界Si上
i
y＝b
解：设
代入原方程：
T ( x, y ) ( x, y ) P ( x, y )
q0 x 2 T ( x, y ) ( x, y ) A 2
q0 x 2 查表： P( x, y ) 2
2 2 2 0 2 x y
0 x
0
0＜x＜a，0<y<b
0＜x＜a，0<y<b，τ＞0
x＝0 ， τ＞0 x=a τ＞0 y=0， τ＞0 y＝b τ＞0 0≤x≤a，0≤x≤b，τ＝ 0
T h2T 0 x T h3T 0 y T h4T 0 y T F ( x, y ) F1 ( x ) F2 ( y )
T 2 h4T2 0 y
O
T1 ( x, )T2 ( y, )
T1 1 T1 2 a x
2
2T2 1 T2 1 2 a y
0<y<b，τ＞0
T1 h1T1 0 x
0＜x＜a，1τ＞0
x＝0 x=a y=0 y＝b
q0 2 q0 H H ( a a A) x 2 H
0 y
A
q H H ( 0 x 2 A) y 2
§2.5 一般问题的分离变量法
含有内热源的、多非齐次边界条件的非稳态导热
1 T (r , ) 2 T ( r , ) a q(r )
q0
y ln x
物理问题：
y h
b
Tf = 0 h a
x
T 0 x
q0
T 0 y
数学描述：
2T 2T q0 2 0 2 x y
T 0 x
0＜x＜a，0<y<b
x＝0 x=a
T hT 0 x
T 0 y
y=0
T hT 0 y
特解的形式取决于热源项qV(x,y,z)的形式。对于简单 的函数形式，其特解如下：
qV q0 q0 x
2
q0 x 2
q0 x n
4
P
qx 0 2
q0 x 3 6
q0 x 12
q0 x n 2 (n 1)(n 2)
qV
x q0 2 y
y q0 2 x
P
q0
x ln y
Ts 1 i hiTs 1 0 ni
Ts 1 (r ) f (r )
在区域R内
在边界Si上 ，i=1，2，…，s
在区域R内，τ=0
原问题的解：
T (r , ) T0, j (r ) Ts 1 (r , )
s j 0
§2.6 乘 积解
2
0
在区域R内 ，( j=0,1,2,…,s )
i
T0, j ni
i, j
hiT0, j i , j f i
在边界Si上 ，i=1，2，…，s
1 i j 0 i j
一个以温度T s+1(r,τ)定义的齐次飞稳态导热问题
1 Ts 1 (r , ) 2 Ts 1 (r , ) a
第二章 分离变量法(2)
分离变量法：
n个变量的齐次导热问题。 假定其解是n个只含一个变量的函数的乘积：
T ( x1 , x2 , xn ) X 1 ( x1 ) X 2 ( x2 ) X n ( xn )
使导热偏微分方程分离成n个常微分方程，并在分离过 程中引进n-1个分离常数。其中n-1个分离函数的常微分 方程与相应的边界条件构成导热问题的特征值问题。 求得到n个分离函数构成原问题的基本解，然后根据线 性叠加原理，用全部分离解叠加成原导热问题的完全解。 最后，根据特征函数的正交性质，确定出叠加过程中所 引进的未知常数，得到导热问题最终解。
i, j
T j ni
hi T j i , j f i
i 1,2, , s j 1,2, s
1 i j 0 i j
§2.4含有内热源的稳态导热
q 2T (r ) V 0
i
T hi T f i ni
在区域R内 在边界Si上 ，i=1，2，…，s
在区域R内 在边界Si上 ，i=1，2，…，s 在区域R内，τ=0
T i hi T f i ni
T f (r )
把原问题分解成s+2个可以直接用分离变量法求解 的简单问题。
一组按温度T0,j(r)(j=0,1,2,…,s)定义的稳态导热问题
q(r )
T0, j (r ) 0, j
x＝0 ， τ＞0
T2 h3T2 0 y
y=0， τ＞0
T1 h2T1 0 x
x=a τ＞0
T2 h4T2 0 y
y＝b τ＞0
T1 F1 ( x )
0≤x≤a，τ＝ 0
T2 F2 ( y )
0≤y≤b，τ＝ 0
1.
非稳态导热问题：齐次微分方程 齐次边界条件 不含内热源的稳态导热问题: 齐次微分方程 只有一个非齐次边界条件
2.
对于超过一个是非齐次边界条件的多维、
不含内热源的稳态导热问题 ——将原问题分解成若干个简单问题，每个 简单问题只包含一个非齐次边界条件，然 后进行求解。
对于一个非齐次边界条件不止一个的稳态导热问题，其数 学描述如下：