第二章 分离变量法.
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第二章 分离变量
解 这里所考虑的方程仍是（2.1） ，所不同的只是在 x＝l 这一端的边 界条件不是第一类齐次边界条件 u
u 件 x
x l
x l
0 ，而是第二类齐次边界条
0 。因此，通过分离变量的步骤后，仍得到方程（2.4）与
T (t ) a2T (t ) 0 ， X ( x) X ( x) 0 ，但条件（2.6）应 （2.5）
代入条件（2.6）′得
A 0 B cos l 0
由于B≠0，故cosβl＝0，即
(2n 1) (n 0,1, 2,3,) 2l
从而求得了一系列特征值与特征函数。
(2n 1)2 2 n 4l 2
(2n 1) X n ( x) Bn sin x(n 0,1, 2,3,) 2l
的解。这时 l＝10，并给定 a2 10000 （这个数字与 弦的材料，张力有关） 。
直接应用已经得到的结果公式：
得到
Bn 0
0, n为偶数 1 10 n 2 An x(10 x)sin xdx 3 3 (1 cos n ) 4 5000 0 10 5n 5n3 3 ，当n为奇数
因此，所求的解为
1 (2n 1) x u ( x, t ) 3 sin cos10(2n 1) t 3 5 n0 (2n 1) 10 4
例2 解定解问题
2u 2u a2 2 , 0 x l, t 0 t 2 x u u x 0 0, x l 0, t 0 x u 2 u t 0 x 2lx, t t 0 0, 0 x l
n=1的驻波除两端x=0和x=l外没有其它节点，它的波长2l在所有 本征振动中是最长的；相应地，它的频率a/2l在所有本征振动中 是最低的。这个驻波叫作基波。n>1的各个驻波分别叫作n次谐波 n次谐波的波长2l/n是基波的1/n，频率na/2l则是基波的n倍。
数-第二章 分离变量法 作业题
2
(3)
R (0) < ∞
自然边界条件
u (0, θ ) < +∞ R(0)Φ (θ ) = R(0) Φ (θ ) < +∞
求解特征值问题
Φ′′(θ ) + λΦ (θ ) = 0 (1) (2) Φ (0) = Φ (π ) λ < 0时得(1)的通解为Φ(θ ) = C1e λθ + C2 e
B0 , ( n = 0 ) 其通解为 Tn (t ) = a 2 n 2π 2 t l 2 Bn e , ( n = 1, 2, )
由此,就得到原方程满足边界条件的变 量分离的非零特解:
C , n = 0 0 un ( x, t ) = X n ( x)Tn (t ) = ( anπ ) 2 - 2 t (nπ )2 C e l cos x, n 2 l C =AB
解: 边界条件是非齐次的.本问题中,方程的 自由项与边界条件均与t 无关,所以令 u(x,t)=V(x,t)+W(x)
代入方程及边界条件,有
V 2V 2W = a 2 2 + a 2 2 + A, 0 < x < l , t > 0 x x t V x =0 + W x =0 = 0, V x =l + Wx =l = 0, t > 0 V t =0 + W t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l
l 2 , m = n ≠ 0 l mπ nπ x cos xdx = l m = n = 0 cos ∫0 l l 0 m≠n
nπ x. 由初始条件知 x = u ( x ,0 ) = C 0 + ∑ C n cos l n =1
∞
(3)
R (0) < ∞
自然边界条件
u (0, θ ) < +∞ R(0)Φ (θ ) = R(0) Φ (θ ) < +∞
求解特征值问题
Φ′′(θ ) + λΦ (θ ) = 0 (1) (2) Φ (0) = Φ (π ) λ < 0时得(1)的通解为Φ(θ ) = C1e λθ + C2 e
B0 , ( n = 0 ) 其通解为 Tn (t ) = a 2 n 2π 2 t l 2 Bn e , ( n = 1, 2, )
由此,就得到原方程满足边界条件的变 量分离的非零特解:
C , n = 0 0 un ( x, t ) = X n ( x)Tn (t ) = ( anπ ) 2 - 2 t (nπ )2 C e l cos x, n 2 l C =AB
解: 边界条件是非齐次的.本问题中,方程的 自由项与边界条件均与t 无关,所以令 u(x,t)=V(x,t)+W(x)
代入方程及边界条件,有
V 2V 2W = a 2 2 + a 2 2 + A, 0 < x < l , t > 0 x x t V x =0 + W x =0 = 0, V x =l + Wx =l = 0, t > 0 V t =0 + W t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l
l 2 , m = n ≠ 0 l mπ nπ x cos xdx = l m = n = 0 cos ∫0 l l 0 m≠n
nπ x. 由初始条件知 x = u ( x ,0 ) = C 0 + ∑ C n cos l n =1
∞
数理方程第二章分离变量法
解的唯一性
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
线性偏微分方程的解法-分离变量法
由 2.1.1 中 例 题 （ 1 ） 可 知 ， 当 f (x,t ) ≡ 0 时 ， 定 解 问 题 的 本 征 函 数 族 为
⎨⎧sin ⎩
nπx l
⎬⎫, ⎭
(n
=
1,2,3L)
。
因此，设
∑ u(x, t )
=
∞
Tn (t)sin
n =1
nπx l
将（12）带入（11）中的泛定方程，得
∑∞
⎡ ⎢Tn
（23）
上述定解问题和初始条件是非齐次的，但边界条件是齐次的，可以用上一小节的本征函数发 或者冲量定理法继续求解。
另一个函数 v(x,t )，可以用线性函数构造，令
v(x,t) = α (t) + β (t) − α (t) x
l
将（24）式带入（23）式，即可求得ω(x,t )，最终由（22）式可得
= 0,
= u1
0,
x=
l
=
0,
⎪ ⎪⎩u1
t=0
=
ϕ (x ),
u1t t=0 = ψ (x),
（16）
( ) ⎪⎪⎨⎧uu
2 tt
2 x
−
=0
a 2u 2 = 0,
xx = u2
f x,t , x=l = 0,
⎪
⎪⎩u2 t =0 = 0,
u
2 t
t=0 =
0,
（17）
齐次方程（16）可用上一小节分离变量法直接求得，方程（17）泛定方程为非齐次，但初始 条件已经转化为齐次。
nπa l
sin
nπx l
=ψ
(x),
(0 < x < l)
（9）式左边是傅里叶正弦级数展开，因此其系数
第二章 静电场 分离变量法
选择导体表面作为区域V的边 界，V内部自由电荷密度ρ＝0 ，泊松方程化为比较简单的拉 普拉斯方程。
0
2
它的通解可以用分离变量法求出。 剩下的问题归结为：怎样利用边界 条件及边值关系确定常数，得到满 足边界条件的特解。
一、拉普拉斯方程的适用条件
1、空间 0 ，自由电荷只分布在某些介质（或导 体）表面上，将这些表面视为区域边界，可用 拉普拉斯方程。 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界 面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分 的和，即 0 0 为已知自由电荷产生 ， 的电势， 不满足 2 0 ， 为束缚电荷产生 的电势，满足拉普拉斯方程 2 0
Ca 1 r a
r a
C 0 a
C
a
0
(r )
a
0
ln
r a
在导体面上
E (a) er
r
d E e dr
r
a e
0
0
r
[例3]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带
电荷为Q 。同心地包围着一个半径为R1的导体球
1 n
S
1
S
2
S
1
2
2 n
S
一般讨论分 界面无自由 电荷的情况
四．应用举例
1、两无限大平行导体板，相距为
差为V ，一板接地，求两板间的电势 和 。
E
l
，两板间电势
解：（1）边界为平面，故应 选直角坐标系 下板 S 0 ，设为参考点
1
Z
数理方程第二章(1)
特点：方程和边界条件都是线性齐次的. 特点：方程和边界条件都是线性齐次的.
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3) (2.3)。 满足初始条件(2.3)。 思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 思路的物理背景： 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线， 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
∫ ∫
π π
－π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
－π
π
－π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
－π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
－π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π］ 上可积的以 2π 为周期的函数。
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时，y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时，y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3) (2.3)。 满足初始条件(2.3)。 思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 思路的物理背景： 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线， 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
∫ ∫
π π
－π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
－π
π
－π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
－π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
－π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π］ 上可积的以 2π 为周期的函数。
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时，y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时，y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;
第二章 分离变量法2
第三步：求特解，并叠加出一般解
求解了特征值问题后，将每特征值n 代入函数T (t )满足的方程 T ' (t ) 2 a 2T (t ) 0
可得 Tn (t ) Ane
2 2 n at
从而我们得到满足边界条件的一组特解 u n ( x , t ) Cn e
2 2 n a t
2
u t 0 ( x), 0 x l.
分析 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题仍用分离变量法求解。
第一步：分离变量
类似§ 2.1中步骤，设u( x, t ) X ( x)T (t )，代入上面的方程可得
X '' ( x) T ' (t ) 2 X ( x) a T (t )
2 (2k 1) Ck u0 sin d l 0 2l
l
举例
2 u u 2 x (0, l ), t 0 t a x 2 , u0 x [0, l ] u ( x, 0) x, l u (0, t ) u x (l , t ) 0, t 0
2 2 a 2 (n 1 (n 1 ) (1)n 2 2 ) u ( x, t ) 2 exp t sin 2 1 2 n 0 (n 2 ) l l
•
tan l
1 令 l , tan hl
上方程的解可以看作曲线y1 tan ，y2 交点的横坐标，如图：
显然它们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。这里只取正根 1 , 2 n , 于是得到特征值问题的无穷个特征值 n n2 ( n ) 2 , (n 1,2,3...) l 及相应的特征函数 X n ( x) Bn sin n x
《数理方程》第二章分离变量解法
解：设 u( x, t ) = X ( x)T (t ) 得到
T ′′( t ) X ′′( x ) = = −λ 2 a T (t ) X ( x)
如果
λ >0 则
X "+λX = 0 X ′(0) = 0 X ′(l ) = 0
X ( x ) = C cos λ x + D sin λ x
12
现确定积分常数
第二章 定解问题的分离变量解法
1
第一节 一维齐次方程、齐次边界条件混合 问题的分离变量解法
⎧utt = a 2 u xx , 0 < x < l, t > 0 ⎪ (Ι) ⎨u |x =0 = 0, u |x =l = 0, t≥0 ⎪u | = ϕ ( x), u | = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l t t =0 ⎩ t =0
固有值问题
20
第二步：求固有值 λ 和固有函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式
n 2π 2 λn = ( n = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅) l
⎛ nπ a ⎞ Tn′(t ) + ⎜ ⎟ Tn (t ) = 0 ⎝ l ⎠
Tn (t ) = Cn e
这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波 ， 其振幅 An sin nπ x 随不同的时间 t 0 而不同。 l
10
nπ x0 • 对任意一点 x , U n ( x0 , t ) = An sin(ωn t + δ n )sin 0 l
这表示在任意一点
x0 处都作简谐振动。
n=4
• 驻波
o
nπ U n ( x, t ) = An sin(ωn t + δ n )sin x l
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由初始条件：
u t 0 ( x)
n 1
nx An sin ( x), l
l
2 n A ( ) sin d ; Fourier展开式的系数： n l l 0
ut
t 0 ( x)
n 1
na nx Bn sin ( x). l l
nat nat nx Bn sin ) sin . l l l
l
2 n 2 n B ( ) sin d . A ( ) sin d ; n 初值确定叠加系数： n l n a l l 0 0
由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：
X ' 'X 0;
X (0) 0
和
X (l ) 0.
T ' 'a 2T 0;
(A).
X ' ' X 0; 的解：
X ' 'X 0;
X (0) 0 和 X (l ) 0.
对于某些 值，方程的解存在，则称 相应的X(x)的解为固有函数。
对于方程 C2 sin l 0，因为X(x)不恒等于零。
超越方程
C2 0 只有 sin l 0
2 2 n l2
n 1,2,3
n x X n ( x) C2 sin l
C2是积分常数
：固有值
nx l
X ' 'X 0;
本征值方程
n 2 2 2 l
-1
将U=X(x)T(t)代入波动方程：
XT ' 'a X ' ' T 0
2
XT ' 'a X ' ' T 0
2
T '' X '' 2 aT X
将U=X(x)T(t)代入边界条件：
X (0)T (t ) 0
和
X (l )T (t ) 0
T(t)为任意值，要使上式成立，则：
一、典型数理方程
1、弦振动方程
2 u ( x, t ) 2 2 a u 2 t
2、热传方程 3、Laplace方程
u 2 2 a u f x, y , z , t t
( )u f ( x, y, z )
许多物理力学问题都可以归结为偏微分方程的定解问题。
u ( x, t ) c (t ) sin x
注：u(x,t)中含变量x的函数与含t的函数的乘积，有变量分离 的形式
1
波腹
0.5
每一点绕平衡位置振动 T (t ) 振幅随位置变化 X ( x) 驻波解： u( x, t ) X ( x)T (t ) 这是解的分离变量
波节
2.5 -0.5 5 7.5 10 12.5 15
第二章 分离变量法
怎么求解？
建立方程及相应的定解条件，利用几种基本的方法。 偏微分方程 转化 常微分方程
2.1 有界弦的自由振动
2 （泛定方程）波动方程： u a uxx 0 A tt
边界条件： u( x, t ) x0 0 初始条件：
u t 0 ( x)
u( x, t ) xl 0
的值为固有值。
对于 分三种情况加以讨论：
(1)
0
X ' 'X 0
X (0) 0
X ( x) C1e
C1 C2 0
x
C2e
x
X (l ) 0
C1e
l
C2e
l
0
C1 C2 0
X x 0
(2) 0
l
2 n Fourier展开式的系数： Bn ( ) sin d . na 0 l
小结
分离变量：u( x, t ) X ( x)T (t ) 边值确定本征值函数：
un ( x, t ) ( An cos
l
XT ' 'a 2 X ' ' T 0
X (0)T (t ) 0 X (l )T (t ) 0
T ' 'a 2T 0;
A、B 是积分常数。
n at n at n x un ( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin l l l
n 1,2,3
An=A*C2是积分常数合并, 线性齐次， 可采用叠加原理
C.
u( x, t )
n 1
n at n at n x ( An cos Bn sin )sin . l l l
ut
t 0
( x).
定解问题的特点： 偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求 解此类问题可以采用叠加原理。 定解问题的方法：
找出偏微分方程满足边界条件的多个特解，再利用它 们的线性组合，使满足初始条件。
对于确定的频率，振动过程中有不动的节点，这类振动波 为驻波：
1 1 0.5 0.5
X ( x) C1 x C2
X (0) 0 X (l ) 0
C2 0
C1 C2 0
X x 0
(3) 0
X ( x) C1 cos x C2 sin x
X (0) 0
X (l ) 0.
C1 0
C2 sin l 0
X ( x) C2 sin
：特征函数(固有函数)
B.
n 2 2 2 l
：固有值代入T的方程
X ' 'X 0;
X (0) 0
和
X (l ) 0.
n 2 2 a 2 T ' ' T 0; 2 l
n at n at Tn (t ) A cos B sin , l l
X (0) 0
和
X (l ) 0
Clearly
T ' ' (t ) X ' ' ( x) 2 a T (t ) X ( x)
x, t 是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自 独立变化。故比值只能为一常数！
T ' ' (t ) X ' ' ( x) 2 a T (t ) X ( x)
3
4
5
6
7
8
4
6
8
-0.5
-0.5
-1
-1
x0
xl
x0
xl
自由
1 0.5
自由
自由
1 0.5
固定
2 -0.5
4
6
8
2.5 -0.5
5
7.5
10
12.5
15
-1
-1
x0
xl
x0
xl
固定
自由
固定
固定
振动过程中不动的点称为节点。 振动过程中驻波的振幅达到最大值，称为腹点。
为求定解问题，选择物理模型：乐器发出的声音可以分解 为不同频率的单音，每种单音振动时为正弦曲线，其振幅不依 赖时间