第四章 分离变量(傅立叶级数)法1
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分离变量法
k =1
∞
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + Bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ Ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝
∞
使得
9
k π a Bk kπ ψ ( x ) = ut ( x , 0) = ∑ sin x l l k =1
∞
kπ ϕ ( x ) = u ( x , 0) = ∑ Ak sin x l k =1
X ( x) = C .
情形（C）
λ >0
其通解为
X ( x) = C1 cos λ x + C2 sin λ x,
由边界条件推出 C2 = 0,
22
再由 X ′(l ) = C1 λ sin λ l = 0 知道为了使 必须
C1 ≠ 0,
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
2 2
于是有
(k = 1,2,3," ).
本征值
(k = 1,2 ,3," ).
X k ( x) = Ck sin
kπ x, l
(k = 1,2," )
本征 函数
7
k 2π 2 λ = λk = 2 , l
(k = 1,2 ,3," ) 代入另一个方程可得
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
把变量形式的解代入方程可得
XT ′′ = a 2 X ′′ T
即
T ′′(t ) X ′′( x) = 2 a T (t ) X ( x)
以及
∞
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + Bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ Ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝
∞
使得
9
k π a Bk kπ ψ ( x ) = ut ( x , 0) = ∑ sin x l l k =1
∞
kπ ϕ ( x ) = u ( x , 0) = ∑ Ak sin x l k =1
X ( x) = C .
情形（C）
λ >0
其通解为
X ( x) = C1 cos λ x + C2 sin λ x,
由边界条件推出 C2 = 0,
22
再由 X ′(l ) = C1 λ sin λ l = 0 知道为了使 必须
C1 ≠ 0,
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
2 2
于是有
(k = 1,2,3," ).
本征值
(k = 1,2 ,3," ).
X k ( x) = Ck sin
kπ x, l
(k = 1,2," )
本征 函数
7
k 2π 2 λ = λk = 2 , l
(k = 1,2 ,3," ) 代入另一个方程可得
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
把变量形式的解代入方程可得
XT ′′ = a 2 X ′′ T
即
T ′′(t ) X ′′( x) = 2 a T (t ) X ( x)
以及
分离变量法
因此，三维形式中热传导问题的完整解为
12.2.3直角坐标系分离变量例题分析
上面我们已经研究的例题12.2.1讨论的是两个边界点均
为第一类齐次边界条件的定解问题．下面讨论的例
题12.2.2是既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解 问题；而例题12.2.3讨论的是均为第二类齐次边界条件的 定解问题，注意到本征值和本征函数的区别．
掌握将非齐次边界条件齐次化的方法
着重掌握在柱、球坐标系中对 u 0
和 u u 0 分离变量会得到哪些特
殊函数微分方程
12.1 分离变量理论 12.1.1 偏微分方程变量分离及条件
对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该 具备什么条件？ 对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程
（12.1.1）
第十二章 分离变量法
本章中心内容
用分离变量法求解各种有界问题；
本章基本要求
掌握有界弦的自由振动解及其物理意义
着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题
第十二章 分离变量法
问题的引入
uutt
x,
a 2u xx
0
x
ut x,0 x
由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分 齐次方程，总是能实施变量分离
但对于变系数的二阶偏微分齐次方程
需要满足一定的条件，即必须找到讨论2
中适当的
函数才能实件可实施变量分离的条件
一维的情形（设在边界点
处），常见的
三类边界条件为
第一类边界条件
第二类边界条件
第三类边界条件
将
代入（12.2.24）解得
由 叠加得
系数由定解条件确定 傅里叶展开式系数可确定为
12.2.3直角坐标系分离变量例题分析
上面我们已经研究的例题12.2.1讨论的是两个边界点均
为第一类齐次边界条件的定解问题．下面讨论的例
题12.2.2是既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解 问题；而例题12.2.3讨论的是均为第二类齐次边界条件的 定解问题，注意到本征值和本征函数的区别．
掌握将非齐次边界条件齐次化的方法
着重掌握在柱、球坐标系中对 u 0
和 u u 0 分离变量会得到哪些特
殊函数微分方程
12.1 分离变量理论 12.1.1 偏微分方程变量分离及条件
对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该 具备什么条件？ 对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程
（12.1.1）
第十二章 分离变量法
本章中心内容
用分离变量法求解各种有界问题；
本章基本要求
掌握有界弦的自由振动解及其物理意义
着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题
第十二章 分离变量法
问题的引入
uutt
x,
a 2u xx
0
x
ut x,0 x
由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分 齐次方程，总是能实施变量分离
但对于变系数的二阶偏微分齐次方程
需要满足一定的条件，即必须找到讨论2
中适当的
函数才能实件可实施变量分离的条件
一维的情形（设在边界点
处），常见的
三类边界条件为
第一类边界条件
第二类边界条件
第三类边界条件
将
代入（12.2.24）解得
由 叠加得
系数由定解条件确定 傅里叶展开式系数可确定为
《分离变量法》课件
《分离变量法》 ppt课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
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立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
第四章之分离变量法
l
l 1 1 ln l ln C 2 2 2 2 2 2 d 2 d cos d 2 d cos
由于导体圆柱接地，所以当 a 时，电位应为零，即
l 1 1 ln l ln C 0 2 2 2 2 2 a a d 2ad cos 2 a d 2ad cos
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
确定待定系数
(0, y ) 0
C0 y D0 Bn Cn sinh kn y Dn cosh kn y 0
n 1
B0 0, Bn 0
x, y A0 x C0 y D0 An sin kn x Cn sinh kn y Dn cosh kn y
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4.4.1 直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为
2 2 2 0 2 x y 将 (x,y)表示为两个一维函数X(x)和Y(y)的乘积，即
( x, y) X ( x)Y ( y)
将其代入拉普拉斯方程，得
若取λ＝－k2 ，则有
d 2 X ( x) 2 k X ( x) 0 2 dx
当k
0
X ( x) X 0 ( x) A0 x B0 Y ( y) Y0 ( y) C0 y D0
( x, y) 0 ( x, y) X 0 ( x)Y0 ( y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
y
b
U0
o
a
x
因 (0,y)＝0、 (a,y)＝0，故位函数的通解应取为
l 1 1 ln l ln C 2 2 2 2 2 2 d 2 d cos d 2 d cos
由于导体圆柱接地，所以当 a 时，电位应为零，即
l 1 1 ln l ln C 0 2 2 2 2 2 a a d 2ad cos 2 a d 2ad cos
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
确定待定系数
(0, y ) 0
C0 y D0 Bn Cn sinh kn y Dn cosh kn y 0
n 1
B0 0, Bn 0
x, y A0 x C0 y D0 An sin kn x Cn sinh kn y Dn cosh kn y
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4.4.1 直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为
2 2 2 0 2 x y 将 (x,y)表示为两个一维函数X(x)和Y(y)的乘积，即
( x, y) X ( x)Y ( y)
将其代入拉普拉斯方程，得
若取λ＝－k2 ，则有
d 2 X ( x) 2 k X ( x) 0 2 dx
当k
0
X ( x) X 0 ( x) A0 x B0 Y ( y) Y0 ( y) C0 y D0
( x, y) 0 ( x, y) X 0 ( x)Y0 ( y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
y
b
U0
o
a
x
因 (0,y)＝0、 (a,y)＝0，故位函数的通解应取为
《分离变量法》课件
法的计算效率。
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
分离变量法1
X (x) 0
不具备固有函数特点
0
通解: X(x) = Ax + B X(0) = 0, X(L) = 0
不具备固有函数特点
7/16
边界条件:
X (x) 0
(3) 0
m1 i
m2 i
通解: X ( x ) A cos x B sin x 边界条件: X(0) = 0, X(L) = 0 A= 0 sin L
q k u
dx x dx x
其中, k 是导热系数, u(x, y, z, t ) 是导热体中的温度.写 成分量形式
qx k u x
qy k u y
qz k
u z
单位时间内 x 方向净流入:
(q x
x dx
qx
x
) dydz
q x x
当 λ≤0时,只有零解。当 λ > 0时
通解:
X ( x ) A cos X ( x )
x B sin
x
A sin
x
B cos
x
边界条件
B=0
A sin L 0
X n ( x ) cos
L n
n (
n L
)
2
n L
x
13/16
dxdydz
x
(k
u x
) dxdydz
3/16
单位时间内 y 方向和 z 方向净流入:
y (k u y ) dxdydz
z (k u z ) dxdydz
根据热量守恒定律:
c u t dxdydz [ x (k u x ) y (k u y ) z (k u z )] dxdydz
第4章 分离变量(傅里叶级数)法(补充1)
第四章 分离变量法 §4.1 分离变法介绍1．“顾名思义，分离变量法只能求出分离变量形式的解，如果一个定解问题不是分离变量形的，用分离变量法不可能求得这个解。
”试对上述说法加以评论。
解：分离变量法解方程可得到本征解，本征值说是分离变量形式的，但定解问题的一般是本征解的某个叠加，即由本征解组成的级数，这种解已不是分离变量形式的了，事实上，一个解即使不是分离变量形式的也可展为级数，所以由分离变量法得到的解，一般并不一定是分离变量形式的。
2．演奏琵琶是把弦的某一点向旁拨开一个小距离，然后放手任其自由振动。
设弦长为l ，被拨开的点在弦长的00(1n n 为正整数）处，拨开距离为h ，试求解弦的振动。
[注意：在解答中，不存在0n 谐音以及0n 整倍数次谐音。
因此，在不同位置拨弦（0n 不同），发出的声音的音色也就不同。
]图4-1解：定解问题为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤===<<=-====)4(),0(,0)3(,),(,0,|)2(,0)1( ),0(,000000002l x u l x n l x l n l l h n l x x l h n u u u l x u a u t t t l x z zx tt 第一步，分离变量：设)()(),(t T x X t x u =以此代入泛定方程和边界条件：0)()()()(2=''-''x X t T a t T x X ， （5）0)()()()0(==t T l X t T X ， （6）由（5）式得到)()()()(2x X x X t T a t T ''=''， （7）只有上式两端均等于同一常数时才有可能成立，把这个常数记为λ-，代入（7）式成为：λ-=''='')()()()(2x X x X t T a t T ， 即,0)()(2=+''t T a t T λ （8）,0)()(=+''x X x X λ （9）在（6）中，若取)(t T =0，得出0)()(==t T x X u ，显然无意义，只能取0)()0(==l X X第二步，求解本征值问题： 由方程（9）来求解)(x X ，这要分0,0=<λλ和0=λ三种情况。
齐次方程的分离变数法
令
u(x,t)=X(x)T(t)
X X 0 X (0) X (l ) 0
①
T a 2T 0
②
(1)λ ≤0，只能得X(x)≡0。 (2)λ >0，解得
X ( x) C1 cos x C2 sin x 由边界条件
C1 0 C2 cos l 0
(2k 1)a (2k 1)a (2k 1) uk ( x，t ) Ak cos t Bk sin t sin x 2l 2l 2l
单簧管发出的声音只有奇次谐音而没有偶次谐音， 从而构成它特有的音色。 对本例的定解条件，由 ux 0 ，可将区间(0,l)延 x l 拓到区间(0,2l)上。延拓后条件为
X ( x) C1 cos x C2 sin x
由 X (0) 0，X (l ) 0
C1 0 C2 sin l 0
显然C2≠0，必须 sin l 0 ，则
本征值
l n n 2 2
l
2
(n为正整数) ⑤ ⑥
(n 1 ， 2， ...)
例：单簧管是直径均匀的细管，一端封闭，另一端 开放，试求管内空气柱的本征振动(可以不提初始 条件)。 解： utt a 2u xx 0 令 u(x,t)=X(x)T(t)
u x 0 0 u x x l 0
得 T a 2T 0
X X 0 X (0) X (l ) 0
(0 x l )
(第二类齐次边界条件) 解：根据边界条件的特点，尝试解
n u( x，t ) Tn (t ) cos x l n 0 2 2 n 2 T a T 0 2 l
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式(3a) 两边同除a2XT，得
T '' X '' l . 2 aT X
(4)
第一个等号左边是时间t的函数，右边只与坐标x有关，左右相 等的条件是二者相等且等于一个常数，记为-l. 由式(4) 得到两个独立的二阶常微分方程：
X '' l X 0, 2 T '' l a T 0.
u x, t X x T t .
(2) (3a) (3b)
3
将Eq.(2)代入Eq.(1)的泛定方程和边界条件，分别得到
XT '' a2 X ''T ,
X 0 T t 0, X l T t 0.
2016/5/18 第四章 分离变量法1
2 n l ln , l (17) (n 0,1, 2 ). X ( x) C cos n x . n 1 l 将本征值ln代入式(16b) ，得T满足的方程. 当l=0 (即n=0)时， 方程Tn’’=0的通解为： A B0t (18a) T0 0 . 2
2016/5/18
第四章 分离变量法1
16
3、一端固定、另一端自由
单簧管的定解问题为
utt a 2u xx 0, u x 0 u x x l 0, u t 0 x , ut t 0 x .
(21)
解：利用分离变数法，令u=T(t)X(x)，代入泛定方程得
第四章 分离变量(傅立叶级数)法
§4.1 齐次方程的分离变量法 §4.2 非齐次方程和输运方程
§4.3 非齐次边界条件的处理
§4.4 泊松方程
（计划授课6学时）
2016/5/18 第四章 分离变量法1 1
§4.1 齐次方程的分离变量法
无限长(或半无限长)弦的解叫做行波解，由达朗贝尔公式给 出。本章研究有限长弦的振动问题，用分离变量法(工具)， 得到驻波解，它的叠加构成无穷级数形式的一般解。
n a 其中 N n = An Bn ，本征振动模式n的圆频率n = ，频率 l n na 为 f n = ，初始位相为 n =arctg( Bn An )，波数kn=n/l. 2 2l
2 2
由频率得周期T(n)=1/fn=2/n，于是波长为T(n)a=2l/n.
2016/5/18 第四章 分离变量法1 9
波腹 波节
波节
基波
波腹 波节 波腹
波节
波节
1次谐波
波腹
波节 波节
波腹
波腹
波节 波节
2次谐波
驻波n（第n个本征振动模式）有n个波腹，n+1个波节.
2016/5/18 第四章 分离变量法1 10
所有本征函数的线性叠加也是满足泛定方程和边界条件的解
n at n at n x u x, t un An cos Bn sin , sin l l l n 1 n 1
2016/5/18 第四章 分离变量法1 7
下面由Eq.(5c)求解T(t). 对于每一个ln(或n)，齐次方程 T’’+lna2T=0的通解T=ert, 其中待定系数r2=lna2>0, 因此得到
T t A cos
ln a 2 t B sin
ln a 2 t
n a n a A cos t B sin t, l l
ll
0.
c1 c2 0.
此时X=0，即u=XT=0，这是一个平凡解，因此舍弃! (3) l>0的情况 因为r＝(-l)1/2= il1/2，由(6)式得通解为
X x C1 cos
l x C2 sin
lx ,
(7)
代入X(0)=X(l)=0中，得 C1 C2 0 0, C cos l l C2 sin 1
(5a) (5b) (5c)
另一方面，由式(3b) 得X(x)的边界条件
X 0 0, X l 0.
式(5a)和(5b)又称为二阶常系数微分方程，下面根据常数l的 符号，求出相应通解.
2016/5/18 第四章 分离变量法1 4
(1) l=0的情况
方程(5a)为X’’=0，其通解为X(x)=c1x+c2，代入X(0)=X(l)=0中得
1、端点固定情况
考虑有限长两端固定均匀弦的自由振动，则定解问题为
utt a 2u xx , 0 x l , t 0 , u x 0 u x l 0, u t 0 x , ut t 0 x .
(1)
应用分离变量法，令试探解为
(12)
其中An和Bn由初始条件(1b)确定，得
n x A sin x, n l n 1 0 x l B n a sin n x x . n l l n 1
(13)
上式刚好是傅里叶正弦级数，系数为(P90)
ll 0.
第四章 分离变量法1
C1 C2 sin
ll 0.
6
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为了得到非平凡解，要求C20，因此必有 sin ll 0，则
l l n , n 1, 2,3, ,
即
n2 2 l ln 2 , n 1, 2,3, . l
X '(0) C2 l 0, 即 C2 0,
n l , (n 1, 2, ). l 将本征值ln代入式(16a) ，得相应的本征函数 (C0，D=0)，
n x X ( x) C1 cos . l 将l=0与l>0的情况合在一起，得本征值ln和本征函数
(10)
其中A, B是积分常数，由定解问题的初始条件确定. 将Eqs. (9)和(10)代入Eq.(2)，得两端固定有限长弦上的驻波 解 (又称傅里叶级数解)
n at n at n x un x, t An cos Bn sin sin , n 1, 2, , (11) l l l
X x c1e
l x
其中系数c1和c2由边界条件X(0)=X(l)=0确定。
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(2) l<0的情况
通解(6)式代入X(0)=X(l)=0中，得
c1 c2 0, ll c e c e 1 2
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2
当l>0 (即n>0)时，二阶常微分方程Tn’’+la2T=0的通解为ert (r 待定)，代回方程中得到r2=-(na/l)2，或r=±i(na/l)。于是Tn 的通解为 n a n a Tn (t ) A cos t B sin t . (18b) l l 由(17), (18a)和(18b) 得傅氏解
每一个正整数n对应一种驻波。不同的n给出两端固定弦的不 同的本征振动模式：n=1称为基波，n>1称为n次谐波.
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驻波解(11)式又可写为(参看P95)
n at n at n x un x, t An cos Bn sin sin l l l An n at Bn n at n x Nn cos sin sin l Nn l l Nn n at n at N n cos n cos sin n sin sin kn x l l (11’) Nn cos(nt n )sin kn x,
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(19)
15
上式就是傅里叶余弦级数，系数为
2 l A0 d , l 0 B 2 l d . 0 l 0 2 l n A cos d , n l 0 l (20) B 2 l l cos n d . n l 0 n a l
相应地
n X x C2 sin l x,
(8)
(9)
其中C2为积分常数。注意n0，否则X(x)=0为平凡解。 常微分方程X’’+lX=0及边界条件X(0)=X(l)=0构成本征值问题， (8)式给出的特定的l值称为本征值，与之对应的非平凡解(9)式 称为本征函数。
0、分离变量法介绍
分离变量法的实质就是将物理量u(x,y,z,t)按自变量写成若干个 单自变量函数相乘的形式，
u x, y, z, t X x Y ( y)Z ( z)T t ,
从而将偏微分方程(PDEs)的求解归结为若干个常微分方程 (ODEs)的定解问题.
2016/5/18 第四章 分离变量法1 2
(iii) 当l>0时，方程(16a)式的通解为
X C1 cos
l x C2 sin
lx ,
代入到边界条件中，得
ll 0. 非零解要求C 0，l 0，则有 sin l l 0，即本征值为
X '(l ) C1 l sin
1
2016/5/18 第四章 分离变量法1 13
c1 0 c2 0, c1l c2 0.
c1 c2 0.
即X=0，u=XT=0为平凡解(trivial [’triviәl]平庸的)，因此舍弃! 当l0(即l>0或l<0)时，齐次ODE方程X’’+lX=0有e指数形式的通 解X=erx，代回原方程中，得 r 2 l 0. 上式有两个根r＝(-l)1/2，因此方程(5a)的通解为