(完整word版)高一数学之分离参数法(含答案)

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高考文科数学-分离(常数)参数法(练)-专题练习(五)有答案

高考数学（文）专题练习（五）分离（常数）参数法（练）一．练高考1．已知椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n-=>的焦点重合，1e ，2e 别为1C ，2C 的离心率，则（）A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A B A B B A +=+．（Ⅰ）证明：2a b c +=；（Ⅱ）求cos C 的最小值．二．练模拟1．设函数3()f x x x =+，x ∈R ．若当π02θ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦ B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．[1,)+∞ D ．(,1]-∞2．若函数()2x f x a =-与()41x g x a =++的图像有交点，则a 的取值范围是（）A．2a ≤-2a ≥+B ．1a <- C．12a -≤≤- D．2a ≤-3．已知实数,,a b c 满足22211a b c a b c a b c ⎧>>⎪++=⎨⎪++=⎩，则a b +的取值范围是（）A ．35,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭4．在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线210mx y m ---=相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_____________．5．已知数列{}n a 的首项11a =，且14()2n n n a a n a *+=∈+N ．（Ⅰ）证明：数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列．（Ⅱ）设2n n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．三．练原创1．已知函数,0,()0.x x f x x ≥-<⎧⎪=，若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．(0,)+∞ C ．(0,1) D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭2．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:e x C y =存在公共切线，则a 的取值范围为（）A ．2e ,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2e 0,8⎛⎤⎥⎝⎦ C ．2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．2e 0,4⎛⎤⎥⎝⎦3．已知函数()5f x x =-，当19x ≤≤时，()1f x >有解，则实数m 的取值范围为（） A ．133m < B ．5m < C ．4m < D ．5m ≤4．方程12log (2)2xa x -=+有解，则a 的最小值为_________．5．已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++，则5522f f ⎛⎛-++--= ⎝⎝_________．高考数学（文）专题练习（五）分离（常数）参数法（练）答案一．练高考1．A2．解：（Ⅰ）由题意知：sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=，即()2sin sin sin A B A B +=+因为=πA B C ++，()()sin sin πsin A B C C +=-=．从而sin sin 2sin A B C +=由正弦定理得：2a b c +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2a b c +=，所以： 222223112cos 22842a b a b a b c b a C ab ab a b +⎛⎫+- ⎪+-⎛⎫⎝⎭===+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立．故cos C 的最小值为12．二．练模拟1．D2．D3．C4．22(1)2x y -+=5．解：（Ⅰ）证明：142n n n a a a +=+， 12111442n n n n a a a a ++∴==+，111111222n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭又11a =，111122a ∴-= 所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，1111112222n n n a -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即11122n n a =+ ∴22n nn n n b a =-= 于是231232222n n n S =++++…，① 2321112122222n n n n S +-=++++…，② 由①-②得，211111(1)1111122112222222212n n n n n n n n n n S +++-=+++-=-=---…，即11222222n n n nn n S -+=--=-， ∴数列{}n b 的前项和222n n n S +=- 三．练原创1．D2．C3．B4．15．8n高考数学（文）专题练习（五）分离（常数）参数法（练）解析1．练高考1．【解析】由题意知，即，，代入，得．故选A ．2．由正弦定理得．由知，所以，当且仅当时，等号成立．故的最小值为． 2．练模拟1．2211-=+m n 222=+m n 2221222221111()(1)(1)-+=⋅=-+m n e e m n m n 222=+m n 12,1>>m n ee 2a b c +=()∏()I 2a b c +=2222222cos 22a b a b a b c C ab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭a b =cos C 12【解析】易得是奇函数，在上是增函数，又，故选D ． 2．3．4．【解析】由题意得：，当且仅当时取等号，所以半径最大为5．()f x 2()310()f x x f x '=+>⇒R 11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--=≤1m =r =22(1) 2.x y -+=（II ）解：由（I ）知，，即．………………8分 ∴．………………9分于是，① ，② 由①-②得，，………………11分即， ∴数列的前项和．………………12分 3．练原创1 111111()2222n n n a --==11122n n a =+22n n n n n n b a =-=231232222n n n S =++++231112122222n n n n n S +-=++++211111(1)1111122112222222212n n n n n n n n n n S +++-=+++-=-=---11222222n n n nn n S -+=--=-{}n b n 222n n n S +=-2．【解析】根据题意，函数与函数在()0+∞，上有公共点，令2xax e =得：2xe a x =，设()2x ef x x = 则()222x xx e xe f x x -'=，由()0f x '= 得：2x =，当02x << 时，()0f x '<，函数()2xe f x x=在区间()0,2上是减函数，当2x > 时，()0f x '>，函数()2xe f x x=在区间()2,+∞上是增函数， ∴当2x =时，函数()2x e f x x =在()0+∞，上有最小值()224e f =，∴24e a ≥ ，故选C ． 3．【解析】令t =则13t ≤≤时，2(t)51g t mt =-+>有解，即4m t t<+在13t ≤≤时成立；而函数4u t t =+在[1,2]是减函数，在[2,3]是增函数，4[4,5]u t t=+∈，所以只需5<m ，故选B ． 4．所以8)25()25(=--++-x f x f ，从而令3=x ，得8)325()325(=--++-f f ．。

专题17 参变分离法解决导数问题(解析版)

专题17参变分离法解决导数问题1.分离变量法在处理含参a 的函数(,)f x a 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程(,)0f x a =，转化为()()g x h a =这样就将把研究含参函数(,)f x a 与x 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数()g x 与动直线()y h a =的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。

（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；（2）解题过程中可能遇到的问题：①参数无法分离；②参数分离后的函数()y g x =过于复杂；③讨论位置关系时可能用到()y g x =的函数极限，造成说理困难.2.分类：分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！一、单选题1．已知函数()ln f x x ax =-在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【解析】1()0f x a x '=-≥在区间()1,2上恒成立，即1a x≥在区间()1,2上恒成立，显然1y x=在区间()1,2的最小值为12，所以12a ≤．故选：B ．2．若函数()5ln f x x a x x=--在[)1,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．-⎡⎣B ．(,-∞C ．(],6-∞D ．(]0,6【解析】因为函数()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，即()2510a f x x x '=+-≥，即5a x x≤+恒成立，又5x x +≥=x =a ≤，故选：B 3．已知函数()e xf x mx x=-（e 为自然对数的底数），若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．2e ,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(],e -∞D ．2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则2ex m x <在()0,∞+上恒成立等价于2e x min m x ⎛⎫< ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，令()()2e0xh x x x =>，则()()()3e 20x x x h x x-'>=，令()0h x '>，解得2x >，令()0h x '<，解得02x <<，故()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()()2e 24minh x h ==，故2e 4m <.故选：B.4．关于x 的方程210x mx ++=在[]0,2内有解，则实数m 的取值范围（）A ．(],2-∞-B ．[)2,+∞C ．5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当0x =时，可得10=显然不成立；当(]0,2x ∈时，由于方程210x mx ++=可转化为1m x x =--，(]0,2,x ∈令1y x x =--，可得222111x y x x-=-='，当01x <<时，0y '>，函数单调递增；当12x <<时，0y '<，函数单调递减，所以当1x =时，函数1y x x=--取唯一的极大值，也是最大值，所以2max y =-，所以2y ≤-，即2m ≤-，所以实数m 的取值范围(],2-∞-.故选：A.5．若函数()ln x f x x x ae =+没有极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可得，()1ln 0x f x x ae '=++=没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），即1ln xxa e +-=没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.令1ln ()x x g x e+=，0x >，则1ln 1()xx x g x e --'=，令1()ln 1h x x x=--则()h x 在()0,∞+上单调递减且()10h =，所以当01x <<时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当1x >时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，故当1x =时，()g x 取得最大值1(1)g e=，又0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →，结合图象可知，1a e -≥即1a e≤-.故选：C.6．若对任意正实数x ，不等式()21xe a x -≤恒成立，则实数a 的范围是（）A ．ln 2122a ≤+B ．ln 212a ≤+C ．1ln 22a ≤+D ．ln 2122a ≥+【解析】因为不等式()2e 1xa x -≤恒成立，2e 0x >，所以21e xa x ≤+恒成立，设()21ex f x x =+，则()min a f x ≤，因为()221e x f x '=-+，令()0f x '=，则ln 22x =，所以当ln 2,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当ln 2,2x +∈∞⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在ln 2,2⎛⎫-∞ ⎝⎭上单调递减，在ln 2,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()min ln 21ln 2222f x f ⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以ln 2122a ≤+，故选：A 7．已知函数()x f x a x xe =-+，若存在01x >-，使得()0 0f x ≤，则实数a 的取值范围为：（）A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞【解析】由题意可得0x a x xe +≤-在()1,-+∞上能成立，所以x a x xe ≤-在()1,-+∞上能成立，令()()1x x xe h x x -=>-，则()()11xx h x e -+'=，令()()11x x x e m =-+，则()()02x x m x e +'=-<，所以()()11xx x e m =-+在()1,-+∞上单调递减，且()()000110e m -+⨯==，即()00h '=，因此()h x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()()max 00h x h ==，所以0a ≤，故选：B.8．当0x >时，11e 2x a x->-恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．()e,∞+C ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【解析】由11121e2e x x x a a x x --->-⇒>，设()121e x x f x x --=，则()()()2212121121e ex x x x x x f x x x --+-+-++'==，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间()0,1上递增，在区间(1,)+∞上递减，故()()11f x f ≤=，故1a >.故选：A.9．对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（）A BC ．1eD ．e【解析】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥，∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+．令()e x f x x =+，则不等式化为()(ln())f x f ax ≥．∵()e (0)xf x x x =+>为增函数，∴ln()x ax ≥，即ex a x≤．令e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x'-=，当01x <<时，()0g x '<，即()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，即()g x 递增；所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==．∴实数a 的最大值为e ．故选：D 10．已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则实数m 的取值范围为（）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)-+∞D ．[1,)+∞【解析】()10f x mx m -++≤有解，即21(211)(1)1x x x e m x --+-≤--，设1t x =-，则0t >，不等式转化成2(1)1tt e mt -£-在0t >时有解，则2(1)1t t e m t -+³有解，记2(1)1()t t e h t t-+=，则322(1)1()tt t t e h t t+-+-¢=，再令32()(1)1t g t t t t e =+-+-，则32()(4)0t g t t t t e ¢=++>，那么()g t 在0t >时递增，所以()(0)0g t g >=，于是()0h t '>，()h t 在0t >时递增，故20(1)1()lim t t t e h t t ®-+>，记()()21t t t e ϕ=-，0()(0)()lim (0)10t t h t t j j j ®-¢>==--，于是2(1)1tt e m t-+³有解，只需要1m >-.故选：C 二、多选题11．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则下列选项正确的是（）A ．10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()y f x =在(0,)e 上单调递增C ．126x x +>D ．若221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212a x x a --<【解析】令()0f x =得ln x a x=，记ln ()xg x x =21ln ()xg x x -'=，令()0g x '=得x e =当(0,)x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；且0x →时，()g x →-∞，1(e)g e=，x →+∞时，()0g x →据题意知y a =的图象与()y g x =的图象有两个交点，且交点的横坐标为1x ，2x ，所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 选项正确；因为11()'-=-=ax f x a x x ，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 递增，因为10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1(0,)0,e a ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，故B 选项正确；当1a e →时，1e a→，10f a ⎛⎫→ ⎪⎝⎭，又因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以12,x e x e →→，所以1226x x e +→<，所以C 选项错误；因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，且221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，因为()1(1)0f a f x =-<=，所以11x >因为()2222ln 2ln 20f e f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭，所以22x a <所以21221a x x a a--<-=，故D 选项正确故选：ABD.12．已知函数()()1x f x x k e =-+在区间[11]-，上只有一个零点，则实数k 可取的值有（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【解析】由题意可知，()10x x k e -+=在区间[1,1]-上只有一个根，等价于1xk x e =+在区间[1,1]-上只有一个根，等价于y k =与1()xg x x e =+的图像有唯一一个公共点，由1()x g x x e =+得1()1x g x e=-'，令()0g x '=得0x =，当10x -≤<时，()0g x '<，则()g x 在[1,0)-上单调递减，当01x <≤时，()0g x '>，则()g x 在(0,1]上单调递增，∴在区间[1,1]-内，当0x =时()g x 取极小值也是最小值，∴当()(0)1g x g ≥=，又1(1)1g e =+，(1)1g e -=-，且111e e ->+，则满足条件的k 的取值范围是{}11(1,1]e e⋃+-，所以k 可取的值为1、2.故选:CD.13．设函数()f x =为自然对数的底数).若存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则实数a 的取值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】易知()f x 在定义域内单调递增，若()f b b >，则()()()f f b f b b >>，若()f b b <，则()()()f f b f b b <<.故存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则()f b b =，即()f x x =在[]0,1上有解.故[]2e ,0,1x x a x x x ⇔=+∈=-，设[]2e ,0,1()x g x x x x +∈-=，则e 1(2)x g x x =-+'，令2e 1,2e ()()x x h x h x x '=+--=，在[)0,ln 2上()0,()h x h x '<单减，在(]ln 2,1上()0,()h x h x '>单增，故()(ln 2)32ln 20h x h ≥=->即()0g x '>，()g x 在[]0,1上单增，又(0)1,(1)e g g ==，故1e a ≤≤.故选：BC.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1]x ∈，不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-≥恒成立”的充分不必要条件可以是（）A ．1a e-≤<B ．4312a e e≤<C ．3211a e e ≤<D ．1a ee≤<【解析】奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则在(0,)+∞上也单调递增，即()f x 是R 上的单增函数；222(2)(ln )0(2)(ln )(ln )x x f ae x f x x x f ae x f x x x f x x x ++-≥⇔+≥--=-，则22ln xae x x x x +≥-，(0,1]x ∈，即22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立；令22ln ()xx x x xg x e --=，则222(22ln 1)(2ln )43(1)ln ()x x x xx x e x x x x e x x x x g x e e-------+-+-'==(1)(3ln )x x x x e ---=，(0,1]x ∈记()ln 3h x x x =--，1()10h x x'=-≤恒成立，即()h x 单减，又3311()0h e e=>，(1)20h =-<，则必有0(0,1]x ∈，使000()ln 30h x x x =--=，故0(0,)x x ∈，()0h x >，0(,1]x x ∈，()0h x <，因此0(0,)x x ∈，()0g x '>，()g x 单增，0(,1]x x ∈，()0g x '<，()g x 单减，因此0020000000002ln (ln )2()()x x x x x x x x x x g x g x e e ----≤==，由0300000ln 30ln 3,x x x x x x e ---=⇒-==代入得00030003321()()x x x x x e g x g x e e e --≤===，故若使22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立，则031()a g x e ≥=，根据充分不必要条件的定义可以判断C 、D 正确，A 、B 错误；故选：CD.三、填空题15．若函数21()e 2x f x x a =-是R 上的减函数，则实数a 的最小值为_______【解析】由题意得，()e 0x f x x a '=-≤在R 上恒成立，即e xxa ≥在R 上恒成立，令1()=,()=e ex x x xg x g x -'，当1x <时，()0g x '>，()g x 递增，当1x >时，()0g x '<，()g x 递减，故max 1()=g(1)=eg x ，故1e a ≥，即函数a 的最小值为1e ，16．已知函数()()e ln xf x m x m =+∈，若对任意正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是______．【解析】由()()1212f x f x x x ->-得，()()1122f x x f x x ->-令()()g x f x x =-，∴()()12g x g x >，∴()g x 在()0,∞+单调递增，又∵()()e ln x g x f x x m x x =-=+-，∴()e 10xmg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，即()1e x m x ≥-令()()1exh x x =-，则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()()01e 00h =-⨯=，∴0m ≥．17．已知函数()333sin x x x f x =+-，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()()ln 20f x f ax -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【解析】因为()()()()()()3333sin 33sin f x x x x x x x f x -=-+---=-+-=-，所以()f x 为奇函数，因为()()22333cos 331cos 0x x x x f x '=+-=+-≥，所以()f x 为R 上的增函数，由(ln 2)()0f x f ax -+≤得(ln 2)()()f x f ax f ax -≤-=-，则ln 2x ax -≤-，因为,()0x ∈+∞，所以ln 2x a x--≥．令ln 2()(0)x g x x x-=>，则()23ln xg x x -'=，令()0g x '=，得3e x =，当30e x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当3e x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，故()()33max 1e e g x g ==，所以31e a -≥，即31e a ≤-，所以实数a 的取值范围为31,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.18．已知(0,2)x ∈，若关于x 的不等式21e 2x k x x x <+-恒成立，则实数k 的取值范围是________．【解析】依题意，知220+->k x x ，即22>-k x x 对任意(0,2)x ∈恒成立，从而0k ≥，因此由原不等式，得2e 2<+-x k x x x 恒成立．令2e ()2=+-xf x x x x ，则2e ()(1)2⎫⎛'=-⋅+⎪ ⎝⎭x f x x x ．令()0f x '=，得1x =．当(1,2)x ∈时，()0f x '>．函数()f x 在(1,2)上单调递增；当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)e 1<==-k f x f ，故实数k 的取值范围是[0,e 1)-．四、解答题19．已知函数21()ln 2f x x x =-.（1）求函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值(参考数据：ln 20.7≈)；（2）若不等式2()(2)f x a x >-有解，求实数a 的取值范围.【解析】（1）求导得：211()x f x x x x-'=-=，令()0f x '>可得112x <<，令()0f x '>可得12x <<，于是函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在(1,2)单调递减，于是当1x =时，()f x 取最大值为12-，又111ln 0.825228f ⎛⎫=-≈- ⎪⎝⎭，(2)ln 22 1.3f =-≈-，于是当2x =时，()f x 取最小值为ln 22-综上：当1x =时，()f x 取最大值为12-，当2x =时，()f x 取最小值为ln 22-（2）原不等式即为：221ln (2)2x x a x ->-，可化简为2ln 122x a x -<-记2ln 1()2x g x x =-，则原不等式有解可转化为2()a g x -<的最大值求导得：312ln ()xg x x '-=，于是函数()g x 在上单调递增，在)+∞上单调递减于是：()max 11g22g x e ==-，于是11222a e -<-，解得：5122a e>-.20．已知函数()2()ln f x x ax x =+，a R ∈.（1）若()f x 的图像在1x =处的切线经过点(0,2)-，求a 的值；（2）当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）由题知()f x 的定义域为(0,)+∞.又()(2)ln f x x a x x a '=+++，则(1)1f a '=+.又因为(1)0f =，所以切点为(1,0).所以02110a +=+-，解得1a =.（2）当21x e <<时，0ln 2x <<.当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，即不等式ln xa x x<-，()2x e ∈1,恒成立.设()ln x g x x x=-，()2x e ∈1,，则222ln 1(ln )ln 1()1(ln )(ln )x x x g x x x '--+=-=-.因为2213(ln )ln 1ln 024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()0g x '<.所以()g x 在()21,e 上单调递减，从而()22()2eg x g e >=-.要使原不等式恒成立，即()a g x <恒成立，故22ea ≤-.即a 的取值范围为2,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21．已知函数()()212ln f x x ax x a R =-+∈，曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 的斜率为4.(1)求切线l 的方程；(2)若关于x 的不等式()2f x x bx +恒成立，求实数b 的取值范围.【解析】(1)函数()f x 的定义域为{}|0x x >，12()2f x x a x'=-+，由题意知，(1)144f a '=-=，所以10a =，故2()1012ln f x x x x =-+，所以(1)9f =-，切点坐标为(1,9)-故切线l 的方程为413y x =-．(2)由（1）知，2()1012ln (0)f x x x x x =-+>，所以2()f x x bx ≤+，可化为：12ln 10x x bx -≤，即12ln 10xb x≥-在(0,)+∞上恒成立，令12ln ()10x g x x =-，则212(1ln )()x g x x -'=，当(0,e)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,e)上单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(e,)+∞上单调递减，所以当e x =时，函数()g x 取得最大值12(e)10eg =-，故当1210e b ≥-时，12ln 10x b x≥-在(0,)+∞上恒成立，所以实数b 的取值范围是1210,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22．已知函数()ln 1f x x mx =--．(1)若0x ∀>，不等式()0f x <恒成立，求m 的取值范围；(2)若曲线()y f x =存在过点(1,0)的切线，求证：1m ≥-．【解析】(1)由已知有()0f x <恒成立，即代表ln 10x mx --<恒成立，因为0x >，故ln 1x m x->恒成立，令ln 1()x g x x -=()0x >，故22ln ()xg x x -'=，令()0g x '>，解得：20x e <<，故()g x 在()20,e 上单调递增，在()2,e +∞上单调递减，故()g x 在()0,+∞的最大值为221()g e e =，故21m e >，所以m 的取值范围是21e ⎫+∞⎪⎝⎭；(2)：设切点为000(,ln 1)x x mx --，又因为1()f x m x'=-，所以函数在0x x =处的切线斜率01k m x =-，所以函数在0x x =处的切线方程为：0000(ln 1)()1m x y x mx x x ⎛⎫---=- ⎪⎝-⎭，又切线经过点(1,0).故可得：00000(ln 1)(1)1m x x mx x ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭-，化简整理可得：0001ln 2(0)m x x x =+->，令1()ln 2(0)h x x x x=+->，21()x h x x-'=，令()0h x '>，解得1x >，故()h x 在(0,1)上单调递减，(1,)+∞单调递增，故()h x 在(0,)+∞的最小值为(1)1h =-，故：1m ≥-，得证．23．已知函数()()()x x f x e sinx ax a R g x e cosx=-∈=(1)当0a =时，求函数f （x ）的单调区间；(2)若函数()()()F x f x g x =-在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个极值点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)当0a =时，()e sin x f x x =，()e (sin cos )x f x x x '=+sin()4x x π+，当224k x k ππππ<+<+，即32244k x k ππππ-<<+时，()0f x '>，当2224k x k πππππ+<+<+，即372244k x k ππππ+<<+时，()0f x '<，所以()f x 的增区间是32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，减区间是372,2,44k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ．(2)()e sin e cos e (sin cos )x x x F x x ax x x x ax =--=--，()e (sin cos cos sin )2e sin x x F x x x x x a x a '=-++-=-，由题意2e sin 0x x a -=在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个不等实根，即2e sin x a x =有两个实根，设()2e sin x h x x =，则()2e (sin cos )sin()4x x h x x x x π'=+=+，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，35,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以324x ππ<<时，()0h x '>，()h x 单调递增，34x ππ<<时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以34max 3()2e 4h x h ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，其中22e 2h ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0h π=，所以当3242e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e sin x a x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个实根，即当3242e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()F x 在,π2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个极值点.24．已知函数2()ln ()f x x x ax a =+∈R 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行（e 是自然对数的底数）.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意得()2ln (0)f x x x x a x ++>'=，所以(1)1f a '=+，又()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行，所以11e a +=-，解得a e =-，所以2()ln e f x x x x =-.(2)2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，即22ln e 0x x kx x -+>在(0,)+∞上恒成立，因为0x >，所以22ln e e ln x x x k x x x+<=+.令e ()ln g x x x =+，则221e e ()x g x x x x-=-='.当(0,e)x ∈时，()0g x '<；当(e,)x ∈+∞时，()0g x '>.所以函数e ()ln g x x x=+在(0,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，所以()(e)2g x g ≥=，故2k <，即实数k 的取值范围是(,2)-∞.25．已知函数()()21e xax x f x a R -+=∈.(1)当2a =-时，求()f x 的单调区间；(2)当0x ≥时，()1f x ≤，求a 的取值范围.【解析】（1）2a =-时，()221e x x x f x --+=，()()()212e xx x f x +-'=，令()1102f x x '=⇒=-，22x =.∴()f x的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝，()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）法一：常规求导讨论()()()()221212e ex x ax a x ax x x F -++----'==.①当0a ≤时，令()02f x x '=⇒=且当02x ≤<时，()0f x '<，()f x ；当2x >时，()0f x '>，()f x .注意到()01f =，2x ≥时，()0f x <符合题意.②当12a =时，()()21220ex x f x --'=≤，()f x 在[)0,∞+上，此时()()01f x f ≤=符合题意.③当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a =，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时()()01f x f ≤=符合题意.③当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a=，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时只需1111111e 1e a aa a f a -+⎛⎫=≤⇒≥ ⎪⎝⎭，显然成立.④当12a >时，令()110f x x a'=⇒=，22x =，且当()f x 在10,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()2,+∞上 .此时只需()22411e 121e 24a f a -+=≤⇒<≤.综上：实数a 的取值范围2e 1,4⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦.法二：参变分离①0x =时，不等式显然成立.②当0x >时，2e 1x x a x +-≤，令()2e 1x x g x x +-=，()()()33e 12e 2e 2x x x x x g x x x ----+'==.令()02g x x '=⇒=且当02x <<时，()0g x '<，()g x ；当2x >时，()0g x '>，()g x ，∴()()2min e 124g x g +==，∴2e 14a +≤.26．已知函数()ln a f x x x x=++，a ∈R .（1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）若()f x 在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围；（3）若函数()()g x f x x '=-有一个零点，求a 的取值范围.【解析】（1）因为()ln a f x x x x =++，则2221()1a x x a f x x x x +-'=-+=，由于()'10f =，则221101a +-=，∴2a =，当2a =时，()()222221212()1x x x x f x x x x x +-+-'=-+==因为()f x 的定义域为()0,∞+，则()0f x '=时，1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，所以2a =符合题意，故2a =.（2）()22'x x a f x x+-=，∴20x x a +-≥在()1,2x ∈恒成立，即2a x x ≤+在()1,2x ∈恒成立，∴a 的取值范围为(],2-∞.（3）220x x a a x +--=在()0,x ∈+∞有1个根即方程32a x x x -=--在()0,x ∈+∞有1个根，令32()h x x x x =--，0x >，则()()2()321131h x x x x x '=--=-+当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，且(0)0h =，(1)1h =-，x →+∞时，()h x →+∞，当0a -≥即0a ≤时，1个根；当1a -=-即1a =时，1个根，综上：a 的取值范围为(]{},01-∞U .27．已知函数()ln x f x x=.（I ）求函数()f x 的单调区间和极值；（II ）若不等式()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（I ）因为()()21ln 0x f x x x -'=>，当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞；且()()1e ef x f ==极大，无极小值；（II ）因为()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，所以2ln x k x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，设()()2ln 0xg x x x =>，则()max k g x ≥，因为()()432ln 12ln 0x x x x g x x x x --'==>，当(x ∈时，()0g x '>，()g x单调递增，当)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()max 1e 2e g x g ===，所以12e k ≥.28．已知函数()()e e 0x f x x x=>．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若不等式()ln 1f x x a x ≥++对于()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)求导：1e e 1e e ()x xf x x x ++'=-，即e 1e ()(e)x f x x x+'=-当()0,f x '<解得0e;x <<当()0,f x '>解得ex >()f x 的单调递减区间为()0,e ；单调递增区间为()e,+∞∴函数()f x 的最小值为(e)1f =(2)由（1）得()(e)1f x f ≥=，所以要使得()ln 1f x x a x ≥++恒成立，必须满足：(e)e ln e 1ef a a ≥++⇒≤-，下面证明：当e a -≤时()ln 1f x x a x ≥++恒成立e a ≤ e eln 1l 1e n e e x x x a x x x x x ∴---≥-+-，∴只需证明e e eln 10xx x x -+-≥，设e ()n 1e el x x x x x ϕ=-+-，则e e 1e e e e 11()()()1()e x x x x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由（1）得e e 10x x-≥且只在e x =取等号，∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减，∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤．解法二：（变量分离）整理得：e1l e n xx x a x--≤只需m e in 1()l e n xx x a x --≤，先证明：e 1x x ≥+，构造()e 1x g x x =--，()e 1x g x '=-，当0x >时，()0g x '≥，()g x 单调递增()(0)0g x g ≥=，从而证明得e 1x x ≥+e ln e 11l e e e e n 11ln xx x x x x x x x x---=--≥-+--=- ，当仅且当n 0el x x -=即e x =处取得等号.e 1ln ln e e e ln xx x x x x ---∴≥=-，∴e a -≤.，解法三：（不分离）l e e n ()ln 1ln 10(ln )10e e x x x f x x a x x a x x a x x-≥++⇒---≥⇒-+-≥eln (ln )1e e e ln 1(ln )10x x x x x x x a x --+-≥-+-+-≥得ea -≤下面证明当e a -≤时，e ln 10e xx a x x---≥e a ≤ e e ln 1l 1e n e e x x x a x x x x x∴---≥-+-∴只需证明e e eln 10x x x x-+-≥设e ()n 1e el x x x x xϕ=-+-，则e e 1e e e e 11()()()1()e x x x x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由（1）得e e 10x x-≥且只在e x =取等号∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤．29．已知函数2213()ln ,()224f x x ax x g x x ax ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.(1)若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若当1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.【解析】(1)因为1()(1)ln 12f x x x x =-'+-，所以1(1)2'=-f ，又(1)0f =，所以切线方程为1(1)2y x =--，即210x y +-=(2)由()()f x g x ≥知2213ln 2024x ax x x ax ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭，因为1≥x 所以13ln (ln 2)24x x x a x -≥-，当2e x =时，R a ∈，当2e x >时，13ln 24ln 2x x x a x -≤-，当21e x ≤<时，13ln 24ln 2x x x a x -≥-构造函数13ln 24()ln 2x x x h x x -=-，2(2ln 5)(ln 1)()4(ln 2)x x h x x --'=-当1e x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当2e <e x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，故21e x ≤<时，max e ()(e)4h x h ==，因此e 4a ≥当522e e ,()0x h x '<<<，()h x 单调递减，当52e x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，故2e x >时，5522min ()e e h x h ⎛⎫= ⎪⎭=⎝，因此52e a ≤，综上：52e ,e 4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦30．已知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.【解析】(1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =-(2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立，所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立，等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令(ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln x h x x -'=，令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0x x a x--=，令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x --'=，设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>，()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-；再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-，当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x x y x --'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷，所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==，所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭2222222222221ln ln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x x ϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >.。

(完整版)高一数学之分离参数法(含答案),推荐文档

高中重要解题方法——分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知的范围，求的范围：x a 定理1 不等式恒成立（求解的最小值）；不()()f x g a ≥⇔[]min ()()f x g a ≥()f x 等式恒成立（求解的最大值）.()()f x g a ≤⇔[]max ()()f x g a ≤()f x 定理2 不等式存在解（求解的最大值）；不()()f x g a ≥⇔[]max ()()f x g a ≥()f x 等式存在解（即求解的最小值）.()()f x g a ≤⇔[]min ()()f x g a ≤()f x 定理3 方程有解的范围的值域（求解的值域）.()()f x g a =⇔()g a =()f x ()f x 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x R 时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围。

∈224sin cos sin 5x x x a +-<-+2.若f(x)=在上有恒成立，求a 的取值范围。

233x x --[1,4]x ∈-()21f x x a ≥+-3,、若f(x)=在上有恒成立，求a 的取值范围。

高考数学常用的解题技巧第05讲分离参数法(含答案)

第05讲：分离参数法【知识要点】一、参数在数学问题中经常出现，特别是在最值、值域、取值范围、恒成立和存在性等问题中，经常出现，这时可以考虑是否可以利用分离参数法来解答，即整理成()()k f x k f x 或的形式，再解答.二、分离参数时，一定要判断清楚参数的系数的符号，再除以其系数，如果不能确定其符号，可以分类讨论，也可以寻找其它方法.【方法讲评】【例1】已知函数xx x f ln 1)(（1）求曲线)(x f y 在点))2(,2(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 的极值；（3）对(0,),()2x f x bx 恒成立，求实数b 的取值范围．列表：x )1,0(1),1()('x f - 0 +)(x f ↘0↗函数)(x f y 的极小值为0)1(f , 无极大值。

（3）依题意对(0,),()2x f x bx 恒成立等价于2ln 1bx x x 在(0,)上恒成立可得x xx b ln 11在(0,)上恒成立，令21ln ln 2()1()xx g x g x x x x【点评】本题第（2）问是恒成立问题，刚好b 的系数x 是一个正数，知道参数的系数的符号，分离参数很方便，所以可以分离参数求最值,比较简洁. 【反馈检测1】已知函数()ln a f x x x . （1）若0a ,试判断()f x 在定义域内的单调性；（2）若()f x 在1,e 上的最小值为32,求a 的值；（3）若2()f x x 在1,上恒成立,求a 的取值范围.【反馈检测2】已知函数()sin cos f x a x b x (,a b R,且0)的部分图象如图所示．(1) 求,,a b 的值；(2) 若方程23()()0f x f x m 在2(,)33x 内有两个不同的解,求实数m 的取值范围．高中数学常用解题技巧第05讲：分离参数法参考答案【反馈检测1答案】(1) f x 在0,上是单调递增函数；（2）a=-e ；（3）1a .【反馈检测1详细解析】（1）由题意知f x 的定义域为0,,且221f '(x)=+=, a>0,a xax x x ,x2376yO 1。

分离参数法求解高考压轴题

分离参数法解高考压轴题分离参数法解高考压轴题分离参数法解高考压轴题一洛必达法则介绍如果当0x x ®(或¥®x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么都趋于零或都趋于无穷大，那么极限)()(limx g x f x x ®或)()(lim x g x f x ¥®可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分别简记为00或¥¥．1．（洛必达法则1）型不定式型不定式设函数)(x f 与)(x g 满足条件满足条件（1）0)(lim )(lim 0==®®x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(¹¢x g ；（3） A x g x f x x =¢¢®)()(lim 0（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =¢¢=®®)()(lim )()(lim 0（或为无穷大）．（或为无穷大）．把0x x ®换为¥®x 时，结论也成立．时，结论也成立．2（洛必达法则2）¥¥型不定式设函数)(x f 与)(x g 满足条件满足条件（1）¥=¥=®®)(lim ,)(lim 0x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(¹¢x g ；（3）A x g x f x x =¢¢®)()(lim（或无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =¢¢=®®)()(lim)()(lim（或为无穷大）把0x x ®换为¥®x 时，结论也成立．，结论也成立．，结论也成立．二典型例题: （2006全国二）设函数)1ln()1()(++=x x x f ，若对所有的0³x ，都有ax x f ³)(成立，求实数a 的取值范围．的取值范围．解：分离变量法解：分离变量法 ①若①若0=x ，则R a Î. ②若0>x ，则只需x x x a )1ln()1(++£，则m in ])1ln()1([xx x a ++£。

第6讲分离参数法在解题中的应用

第6讲分离参数法在解题中的应用[方法精要] 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决．分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到，解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域的问题．题型一用分离参数法解决函数有零点问题例1 已知函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，求a 的取值范围．破题切入点函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，等价于方程x 2－ax ＋4＝0在[2,4]上有实根，把方程x 2－ax ＋4＝0中的变量a 分离，转化为求函数的值域问题即可求出a 的取值范围．解 ∵函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，∴方程x 2－ax ＋4＝0在[2,4]上有实根，即方程a ＝x ＋4x在[2,4]上有实根．令f (x )＝x ＋4x，则a 的取值范围等价于函数f (x )在[2,4]上的值域．又f ′(x )＝1－4x 2＝(x ＋2)(x －2)x 2≥0在x ∈[2,4]上恒成立， ∴f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (2)≤f (x )≤f (4)，即4≤f (x )≤5.∴4≤a ≤5.题型二用分离参数法解决不等式恒成立问题例2 已知函数f (x )＝ln x －a x， (1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．破题切入点 (1)通过判断导数的符号解决．(2)由于参数a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．解 (1)由题意：f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x 2. ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )<x 2，∴ln x －a x<x 2. 又x >0，∴a >x ln x －x 3.令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2，h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x，当x ≥1时，h ′(x )<0，∴h (x )在[1，＋∞)上是减函数，∴h (x )<h (1)＝－2，即g ′(x )<0，∴g (x )在[1，＋∞)上也是减函数，∴g (x )<g (1)＝－1.令a ≥－1得a >g (x )，∴当f (x )<x 2在(1，＋∞)恒成立时，a ≥－1.题型三用分离参数法解决方程中的参数问题例3 若关于x 的方程22x ＋2x ·a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．破题切入点解决方程中的参数问题，需要把方程等价变形，称为一个含参数的函数，将其转化为函数的最值问题．解原方程变形为a ＝－22x ＋12x ＋1＝－(2x ＋1)2－2(2x ＋1)＋22x ＋1＝－(2x ＋1＋22x ＋1－2)，因为2x ＋1>1，所以2x ＋1＋22x ＋1－2≥2(2x ＋1)·22x ＋1－2＝22－2， (当且仅当x ＝log 2(2－1)时取等号)，所以a ≤2－2 2.总结提高分离参数法常用于求参数的取值范围，这是目前新课标高考中常涉及的问题，主要涉及函数、方程、不等式等部分的内容，最终都是转化为函数在给定区间上的最值问题，求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性即可求参数取值范围．1．已知直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，m ∈R ，则直线l 恒过定点________．答案 (3,1)解析直线l 的方程可化为x ＋y －4＋m (2x ＋y －7)＝0.设直线l 恒过定点M (x ，y )．由m ∈R ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，2x ＋y －7＝0⇒M (3,1)．所以直线l 恒过定点(3,1)．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)是增函数，则a 的取值范围是________．答案 [3，＋∞)解析由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈(12，＋∞)恒成立，又f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈(12，＋∞)恒成立，分离参数得a ≥1x 2－2x ，若满足题意，须a ≥(1x 2－2x )max ，令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈(12，＋∞)，因为h ′(x )＝－2x 3－2，所以当x ∈(12，＋∞)时，h ′(x )<0，即h (x )在x ∈(12，＋∞)上单调递减，所以h (x )<h (12)＝3，故a ≥3. 3．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]成立，则a 的最小值是________．答案－52解析由x 2＋ax ＋1≥0，x ∈(0，12]，所以ax ≥－1－x 2，所以a ≥－1x－x ，又因为－1x －x ＝－(1x ＋x )≤－52，所以a ≥－52. 4．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是________．答案 (－∞，22－1)解析由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.5．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 [－83，＋∞) 解析对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [12，＋∞) 解析 f ′(x )＝2mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立， 2m ≥－(1x )2＋2x，令g (x )＝－(1x )2＋2x，则当1x＝1时，函数g (x )取最大值1，故2m ≥1，即m ≥12. 7．已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围是________________．答案 (－1＋72，1＋32) 解析原不等式可化为(x 2－1)m －2x ＋1<0，此不等式对－2≤m ≤2恒成立．构造函数f (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，－2≤m ≤2，其图象是一条线段．根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＝－2(x 2－1)－2x ＋1<0，f (2)＝2(x 2－1)－2x ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0. 解得－1＋72<x <1＋32. 8．已知f (x )＝2x 2＋ax －2a 2x在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________．答案 [－1，＋∞)解析 ∵f (x )＝x －a x ＋a 2，∴f ′(x )＝1＋a x2. 又f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f ′(x )≥0.于是可得不等式a ≥－x 2对于x ≥1恒成立．∴a ≥(－x 2)max .由x ≥1，得－x 2≤－1.∴a ≥－1.9．设f (x )＝lg 1＋2x ＋4x ·a 3，其中a ∈R ，如果x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求a 的取值范围．解根据题意1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，设t ＝2x ，则有at 2＋t ＋1>0在t ∈(0,2]上恒成立，分离参数可得a >－1t 2－1t，即a >(－1t 2－1t)max ，令μ＝1t ，则μ∈[12，＋∞)，易得二次函数f (μ)＝－μ2－μ在μ∈[12，＋∞)上的最大值是f (12)＝－34，所以a 的取值范围是a >－34. 10．设0≤θ≤π2，不等式cos 2θ＋2m sin θ－2m －2<0恒成立，求m 的取值范围．解将已知不等式化为(1－sin θ)2＋2(m －1)(1－sin θ)＋2>0，①当θ＝π2时，不等式显然成立； ②当0≤θ<π2，即1－sin θ>0有2(1－m )<1－sin θ＋21－sin θ，设t ＝1－sin θ，则f (t )＝t ＋2t，其中0<t ≤1，则f (t )＝t ＋2t在0<t ≤1上是减函数，所以f (t )≥f (1)＝3，即f (t )的最小值是3，所以2(1－m )<3，解得m >－12. 综上知，m 的取值范围是m >－12.11．(2014·南京模拟)已知函数f (x )＝e x－x 22－ax －1，其中a 为实数． (1)若a ＝－12时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥0恒成立，试求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－12时， f (x )＝e x －x 22＋12x －1，f ′(x )＝e x －x ＋12，从而得f (1)＝e －1，f ′(1)＝e －12，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＋1＝(e －12)(x －1)，即(e －12)x －y －12＝0. (2)由f (x )≥0，得ax ≤e x －12x 2－1， ∵x ≥12，∴a ≤e x －12x 2－1x ，令g (x )＝e x －12x 2－1x，则g ′(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1x 2，令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x －1)，∵x ≥12，∴φ′(x )>0，即φ(x )在[12，＋∞)上单调递增．所以φ(x )≥φ(12)＝78－e 2>0，因此g ′(x )>0，故g (x )在[12，＋∞)单调递增．则g (x )≥g (12)＝e 12－12×(12)2－112＝2e －94，因此a 的取值范围是a ≤2e －94. 12.已知函数f (x )＝a (x 2＋1)＋ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知，得f ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x(x >0)． ①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数．②当a <0时，若0<x <－12a，则f′(x)>0，故f(x)在(0, －12a]上是增函数；若x>－12a，则f′(x)<0，故f(x)在[ －12a，＋∞)上是减函数．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当a<0时，f(x)在(0, －12a]上是增函数，在[ －12a，＋∞)上是减函数．(2)由题意，知对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成立，等价于ma－a2>f(x)max.因为a∈(－4，－2)，所以24<－12a<12<1.由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，所以f(x)max＝f(1)＝2a，所以ma－a2>2a，即m<a＋2.因为a∈(－4，－2)，所以－2<a＋2<0.所以实数m的取值范围为m≤－2.。

高考数学复习压轴题归类解析02 分离参数之全分离,半分离,换元分离

高考数学复习压轴题归类解析第02讲分离参数之全分离讲分离参数之全分离，，半分离半分离，，换元分离【典型例题典型例题】】例1．已知函数2()x f x e ax x =+−．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，31()12f x x +…，求a 的取值范围．【解析】解：（1）当1a =时，2()x f x e x x =+−，()21x f x e x ′=+−，设()()g x f x =′，因为()20x g x e ′=+>，可得()g x 在R 上递增，即()f x ′在R 上递增，因为(0)0f ′=，所以当0x >时，()0f x ′>；当0x <时，()0f x ′<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)−∞上单调递减；（2）当0x …时，31()12f x x +…恒成立， ①当0x =时，不等式恒成立，可得a R ∈；②当0x >时，可得32112xx x e a x++−…恒成立，设32112()x x x e h x x ++−=，则33223311(2)(2)(2)()(2)22()x x x e x x x e x x x x h x x x −+−−−+−+−−′== 223311(2)(2)(2)(1)(2)(1)22x x x e x x x x x e x x x x−+−+−+−−−−==，可设21()12x m x e x x =−−−，可得()1x m x e x ′=−−，设()1x k x e x =−−，()1x k x e ′=−，由0x >，可得()0k x ′>恒成立，可得()k x 在(0,)+∞递增，()m x ′在(0,)+∞递增，所以()(0)0m x m ′>′=，即()0m x ′>恒成立，即()m x 在(0,)+∞递增，所以()(0)0m x m >=，再令()0h x ′=，可得2x =，当02x <<时，()0h x ′>，()h x 在(0,2)递增；2x >时，()0h x ′<，()h x 在(2,)+∞递减，所以()maxh x h =（2）274e −=，所以274e a −…，综上可得a 的取值范围是27[4e −，)+∞．例2．已知函数42()(1)1f x x x a x =++−+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，4()x f x x e +…，求a 的取值范围．【解析】解：（1）当1a =时，42()1f x x x =++，所以32()422(21)f x x x x x ′=+=+，当0x >时，()0f x ′>，函数单调递增，当0x <时，()0f x ′<，函数单调递减，所以函数的单调递增区间为(0,)+∞，函数的单调递减区间为(,0)−∞；（2）由题意得，0x >时，424(1)1x x x a x x e ++−++…恒成立，即2(1)1x x a x e +−+…恒成立，所以211x e x a x−−−…，令21()x e x g x x−−=，0x >，由重要不等式可知，当0x >时，1x e x >+，则222(2)(1)(1)(1)()x x x e x x e x x e x g x x x−−−−−−−′==，当1x >时，()0g x ′>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x ′<，()g x 单调递减，所以()g x g …（1）2e =−，所以12a e −−…，即1a e −…，所以a 的范围为{|1}a a e −…．例3．已知函数2()1x f x e ax x =−−−．（Ⅰ）当1a =−时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x …时，321()22f x x ax −…恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】解：()I 当1a =−时，2()1x f x e x x =+−−，则()21x f x e x ′=+−在R 上单调递增，又(0)0f ′=，故当0x >时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，当0x <时，()0f x ′>，函数()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)−∞上单调递减；()II 当0x =时，不等式321()22f x x ax −…恒成立，当0x >时，由321()22f x x ax −…恒成立可得32112xx x e a x ++−…恒成立，令32112()xx x e g x x ++−=，0x >，则323311(2)2(2)(1)22()x x x e x x x e x x g x x x−+−−−−−−′==，令21()12x m x e x x =−−−，则()1x m x e x ′=−−，令()1x h x e x =−−，0x >，则()10x h x e ′=−>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h >=，所以()0m x ′>，()m x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0m x m >=，所以当02x <<时，()0g x ′>，()g x 单调递增，当2x >时，()0g x ′<，()g x 单调递减，所以()maxg x g =（2）274e −=，所以274e a −…，故a 的取值范围为27{|}4e a a −…．例4．已知函数2()f x alnx x x =+−，其中a R ∈．（1）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（2）当1x …时，()0f x …恒成立，求a 的取值范围．【解析】解：（1）22()21a x x af x x x x−+′=+−=，(0)x >，令2211()22()48g x x x a x a =−+=−+−，(0)x >，18a …时，()0g x …，即()0f x ′…， ()f x 在(0,)+∞递增，108a <<时，令()0g x ′>，解得：x >或0x <<令()0g x ′<x <<，故()f x 在递增，在递减，在，)+∞递增；（2）1x =时，显然成立，1x >时，问题转化为2x xa lnx −+…在(1,)+∞恒成立，令2()x x h x lnx−+=，则2(21)1()()x lnx x h x lnx −++−′=，令()(21)1m x x lnx x =−++−，(1)x >，则1()20xm x lnx x−′=−+<，故()m x m <（1）0=，故()h x 在(1,)+∞递减，而21121lim lim 11x x x x x lnxx→→−+−+==−，故1a −…．【同步练习同步练习】】1．设1()(x e f x ax b a x−=−−、b R ∈，e 为自然对数的底数）．（1）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为240x y ++=，求a 、b 的值；（2）当1b =时，若总存在负实数m ，使得当(,0)x m ∈时，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】解：（1）21()x x xe e f x a x−+′=−，f ∴′（1）1a =−．∵曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为240x y ++=，f （1）52=−． f ∴′（1）112a =−=−，f （1）512e a b =−−−=−．联立解得：32a =，b e =．（2）1b =时，(,0)x m ∈，0m <，()0f x <，可得：21()x e xa g x x −−<=． 3(2)2()x x e x g x x −++′=，令()(2)2x h x x e x =−++，(0)0h =，()(1)1x h x x e ′=−+，(0)0h ′=， ()0x h x xe ′′=<，()(0)0h x h ∴′<′=， ()(0)0h x h ∴<=， ()0g x ∴′>，∴函数()g x 在(x m ∈，0)(0)m <上单调递增，21()()m e mg x g m m −−∴>=．21(0)m e m a m m −−∴<…．∴实数a 的取值范围是21(,]m e mm −−−∞． 2．设2()()2f x a lnx lnx =−−．（1）若f （e ）2=−，求()0f x =时x 的值；（2）若x ∈，]e 时()0f x <，求a 的取值范围．【解析】解：（1）f ∵（e ）2=−，2()22a lne lne ∴−−=−，即1a =，2()()2f x lnx lnx ∴=−−．由2()()20f x lnx lnx =−−=得(2)(1)0lnx lnx −+=，即2lnx =，或1lnx =−，即2x e =，或1x e −=．（2）∵]x e ∈时，()0f x <，∴]x e ∈时，有2()20a lnx lnx −−<，即222112()()lnx a lnx lnx lnx+<=+．设1t lnx=，则22a t t <+．由]x e ∈得[1t ∈，2]．因为关于t 的二次函数22t t +在[1t ∈，2]上单调递增，22t t ∴+的最小值在1t =处取得，这个最小值为3，3a ∴<． 3．已知函数3()1(0)ax f x x e a =−≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若2a =，不等式()3f x mx lnx +…对(0,)x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围【解析】解：（1）232()3(3)ax ax ax f x x e ax e x e ax ′=+=+，当0a <时，令()0f x ′>，解得3x a<−；令()0f x ′…，解得3x a−…，∴函数()f x 的单调递增区间为3(,)a −∞−，单调递减区间为3[,)a−+∞；当0a >时，令()0f x ′>，解得3x a >−；令()0f x ′…，解得3x a−…，∴函数()f x 的单调递减区间为3(,]a −∞−，单调递增区间为3(,)a−+∞；（2）2a =∵，∴不等式()3f x mx lnx +…对(0,)x ∈+∞恒成立即为3231x x e lnx m x−−…对(0,)x ∈+∞恒成立，设()1(0)g t t lnt t =−−>，则11()1t g t t t−′=−=，令()0g t ′<，解得01t <<；令()0g t ′>，解得1t >，()min g t g ∴=（1）0=，10t lnt ∴−−…，取32x t x e =，则32321()0x x x e ln x e −−…，即32312x x e lnx x −−…，∴323122x x e lnx xx x−−=…，设32()x h x x e =，由(0)01h =<，h （1）21e =>，∴方程321x x e =必有解，∴当且仅当321xx e =时，函数3231(0)x x e lnx y x x−−=>取得最小值2， 2m ∴…，即实数m 的取值范围(−∞，2]．4．已知函数21(),(),()12x f x lnx x g x ax ax h x mxe =+=+=−．（1）讨论()()()F x g x f x =−的单调性；（2）若不等式()()h x f x …对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围．【解析】解：（1）2211()(1)22F x ax ax lnx x ax a x lnx =+−−=+−−，∴1(1)(1)()(1)(0)ax x F x ax a x x x−+′=+−−=>， ①当0a …时，()0F x ′<，此时()F x 在(0,)+∞上单调递减；②当0a >时，可知当1(0,)x a∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，当1(,)x a∈+∞时，()0F x ′>，()F x 单调递增；综上，当0a …时，()F x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()F x 在1(0,a 上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增；（2）依题意，1x mxe lnx x −+…在(0,)x ∈+∞上恒成立，即1xlnx x m xe ++…在(0,)x ∈+∞上恒成立，设1()xlnx x G x xe ++=，则2(1)()()x x lnx x G x x e +−−′=，令()p x lnx x =−−，则1()10p x x ′=−−<，()p x ∴在(0,)+∞上单调递减，且11(10,(1)10P p e e=−>=−<，故存在01(,1)x e∈，使得000()0p x lnx x =−−=，即000lnx x +=，即00x x e −=，当0(0,)x x ∈时，()0p x >，()0G x ′>，当0(x x ∈，)+∞时，()0p x <，()0G x ′<，∴000000011()()1max x x x lnx x G x G x x e e e−++====i ， ∴实数m 的取值范围为1m …． 5．已知函数1()f x alnx x =+，1()1(,)x g x xe mx a m R x=+−−∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，若不等式()()f x g x …恒成立，求m 的取值范围．【解析】解：（1）1()f x alnx x=+的定义域为(0,)+∞，则2211()(0)aax f x x xx x −′=−=>，当0a …时，()0f x ′<，()f x 单调递减，当0a >时，令()0f x ′=，解得1x a=，当1(0,x a∈时，()0f x ′<，()f x 单调递减，当1(x a∈，)+∞时，()0f x ′>，()f x 单调递增，综上所述，当0a …时，()f x 在(0,)+∞上单调递减，当0a >时，()f x 在1(0,a上单调递减，在1(a，)+∞上单调递增．（2）当1a =时，1()f x lnx x=+，不等式式()()f x g x …恒成立等价于1x xe lnx m x −−…在(0,)+∞恒成立，即只需1(x min xe lnx m x−−…，记()1x h x e x =−−，则()1x h x e ′=−，当(,1)x ∈−∞时，()0h x ′<，所以()h x 单调递减，当(0,)x ∈+∞时，()0h x ′>，所以()h x 单调递增，所以()(0)0h x h =…，所以10x e x −−…，即1x e x +…，当且仅当0x =时，等号成立，又因为()1()10x x lnx xe lnx x e lnx x +−+−=−+−…，当且仅当0lnx x +=时，等号成立，所以1xxe lnx x −−…，从而11x xe lnx xx x−−=…，所以1()1x min xe lnx x−−=，所以1m …，故m 的取值范围为(−∞，1]． 6．已知函数2()(2)x af x x e a a=−−+．（1）若1a =−，求函数()f x 的单调区间及极值；（2）当0x >时，函数()1f x −…（其中0)a >恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】解：（1）1a =−时，函数()1x f x x e −=⋅−的导数为()x x f x e xe −−′=−，当1x >时，()0f x ′<，1x <时，()0f x ′>，可得()f x 的增区间为(,1)−∞，减区间为(1,)+∞，()f x 有极大值f （1）11e −=−，无极小值；（2）当0x >时，函数()1f x −…（其中0)a >恒成立，可得2(2)1x a x e a a −−+−…对0x >，0a >恒成立，令x t a =，可得x at =，即有(22)10t ate a t a −+++…，可得211t a t a te −+…，设21()t t g t te −=， (21)(1)()tt t g t te +−′=，0t >，可得()g t 在(0,1)递增，(1,)+∞递减，可得()g t 的最大值为g （1）1e=，则11a a e +…，解得11a e −…． 7．已知函数()1(x f x e ax a R =−−∈，e 为自然对数的底数）．（1）若()f x 在定义域内有唯一零点，求a 的取值范围；（2）若2()x f x x e …在[0，)+∞上恒成立，求a 的取值范围．【解析】解：（1）()x f x e a ′=−，当0a …，(0)0f ′>，()f x 在R 上单调递增，又1(1)10f a e−=−+<，f （1）10e a =−−>，由零点存在定理知，函数()f x 在R 上有唯一零点，符合题意，当0a >，令()0f x ′=得x lna =，当(,)x lna ∈−∞，()0f x ′<，()f x 单调递减，(,)x lna ∈+∞，()0f x ′>，()f x 单调递增，所以()()11lna min f x f lna e alna a alna ==−−=−−，设g （a ）1(0)a alna a =−−>，则g ′（a ）1(1)lna lna =−+=−，当01a <<时，g ′（a ）0>，g （a ）单调递增，当1a >时，g ′（a ）0<，g （a ）单调递减，所以g （a ）max g =（1）0=，故1a =，综上，实数a 的取值范围为{|0a a …或1}a =．（2）2()x f x x e …对[0x ∈，)+∞恒成立，即2(1)1x x e ax −+…对[0x ∈，)+∞恒成立，记2()(1)(1)(1)x x h x x e x x e =−=+−，当1a …时，设函数()(1)x m x x e =−，则()0x m x xe ′=−…，因此()m x 在[0，)+∞单调递减，又(0)1m =，故()1m x …，所以()(1)()11h x x m x x ax =+++剟；当01a <<时，设函数()1x n x e x =−−，则()10x n x e ′=−…，所以()n x 在[0，)+∞单调递增，且(0)0n =，故1x e x +…．当01x <<时，2()(1)(1)h x x x >−+，22(1)(1)1(1)x x ax x a x x −+−−=−−−，取0x =，则0(0,1)x ，2000(1)(1)10x x ax −+−−=，故00()1h x ax >+，当0a …，取0x =，则0(0,1)x ∈， 20000()(1)(1)11h x x x ax >−+=+…，综上，a 的取值范围为[1，)+∞．8．已知函数()1f x xlnx ax =+−，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当2a =时，对1x >，()(1)f x b x >−任意恒成立，求正整数b 的最大值．【解析】解：（1）因为()1f x xlnx ax =+−，所以()1f x lnx a ′=++，令()0f x ′=，可得1a x e −−=，当1(0,)a x e −−∈时，()0f x ′<；当1(a x e −−∈，)a +时，()0f x ′>．所以()f x 的单调递增区间为1(a e −−，)+∞；单调递减区间为1(0,)a e −−．（2）当2a =，1x >时，()(1)f x b x >−变形为()2111f x xlnx x b x x +−<=−−．令21()1xlnx x g x x +−=−，22()(1)lnx x g x x −+−′=− 令11()2,()10x h x lnx x h x x x −′=−+−=−+=> 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，又h （2）20ln =−<，h （3）310ln =−+<，h （4）2220ln =−+>，所以存在唯一0(3,4)x ∈，使得()0h x =，即002lnx x =−，故当0(1,)x x ∈时，()0h x <，()g x 单调递减；当0(x x ∈，)+∞时，()0h x >，()g x 单调递增，所以200000000211()()111x lnx x x g x g x x x x +−−===+−−…，即01b x <+，又0(3,4)x ∈，所以01(4,5)x +∈，因为*b Z ∈，所以4max b =．9．已知函数2()f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）若对于任意x R ∈，都有()()f x k g x −…恒成立，求k 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题意知(0)2f =，(0)2g =，(0)4f ′=，(0)4g ′=，而()2f x x a ′=+，()()x g x e cx d c ′=++，故2b =，2d =，4a =，4d c +=，从而4a =，2b =，2c =，2d =；（Ⅱ）由()I 知，2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+，由()()f x k g x −…恒成立得()()f x g x k +…恒成立，设2()()()2(1)42x F x f x g x e x x x =+=++++，则()2(2)242(2)(1)x x F x e x x x e ′=+++=++，由()0F x ′>得2x >−，由()0F x ′<得2x <−，即当2x =−时，()F x 取得极小值，同时也是最小值，此时222(2)2(21)(2)4(2)222F e e −−−=−++−+×−+=−−，则222k e −−−…．10．设函数()2x f x e ax =−−．（1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x −′++>，求k 的最大值．【解析】解：（1）()f x 的定义域为R ，()x f x e a ′=−，若0a …，则()0f x ′>，()f x 在R 上单调递增；若0a >，则()0f x ′=解得x lna =．当x 变化时，()f x ′，()f x 变化如下表： x (,)lna −∞lna (,)lna +∞ ()f x ′− 0 + ()f x 减极小值增所以，()f x 的单调减区间是：(,)lna −∞，增区间是：(,)lna +∞．（2）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x −′++=−−++．故当0x >时，()()10x k f x x −′++>等价于1(0)1x x k x x e +<+>−①，令1()1x x g x x e +=+−，则2(2)()(1)x x x e e x g x e −−′=−，而函数()2x f x e x =−−在(0,)+∞上单调递增，f （1）0<，f （2）0>，所以()f x 在(0,)+∞存在唯一的零点．故()g x ′在(0,)+∞存在唯一的零点．设此零点为a ，则(1,2)a ∈．当(0,)x a ∈时，()0g x ′<；当(,)x a ∈+∞时，()0g x ′>．所以()g x 在(0,)+∞的最小值为g （a ）．又由g ′（a ）0=，可得2a e a =+，所以g （a ）1(2,3)a =+∈．由于①式等价于k g<（a），故整数k的最大值为2．。

分离参数法求解参数问题含详解

一、分离参数，绕开分类讨论
1．已知函数 f x ax2 x lnx 1 ax2 x . （a∈R）． 2
（1）当 a＝0 时，求曲线 y＝f（x）在（e，f（e）处的切线方程（e＝2.718…）（2）已知 x＝e 为函数 f（x）的极值点，求函数 f（x）的单调区间．【答案】（1）x+y﹣e＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e，+∞），单调递减区间为（1，e）．【解析】（1）∵a＝0， ∴f（x）＝﹣xlnx+x，f′（x）＝﹣lnx，则直线的斜率 k＝f′（e）＝﹣lne＝﹣1， f（e）＝﹣elne+e＝﹣e+e＝0，故所求切线方程为 x+y﹣e＝0．（2）函数的导数 f′（x）＝（2ax﹣1）lnx﹣ax﹣1+ax+1＝（2ax﹣1）lnx， ∵x＝e 为函数 f（x）的极值点，
2 作出函数 u=1+ x 1 （r＜x＜a-2）的图象，得 a-2=-1，解得：a=1，矛盾．
9
综上，r=1，a=2+ 3 ．
10．已知函数 f (x) mx 1 1 (m, n 是常数 ) ，且 f (1) 2 ， f (2) 11 .
nx 2
4
（1）求 m,n 的值；
（2）当 x 1, 时，判断 f (x) 的单调性并证明；
（2）若 a= 1 ，并且对区间[3，4]上的每一个 x 的值，不等式 f（x）＞（ 1 ）x+t 恒成立，求实数 t 的取值
2
2
范围．
（3）当 x∈（r，a-2）时，函数 f（x）的值域是（1，+∞），求实数 a 与 r 的值．
【答案】（1）1；（2）
t
9 8
；（3）

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高中重要解题方法——分离变量法
分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.
分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.
解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：
定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等
式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.
定理2 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不
等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.
定理3 方程()()f x g a =有解⇔()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）.
解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.
再现性题组：
1、已知当x ∈R 时，不等式224sin cos sin 5x x x a +-<-+恒成立，求实数a 的取值范围。

2.若f(x)=2
33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。

3,、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。

4、若方程42210x x
a -+=g
有解，请求a 的取值范围。

1、解：原不等式224sin cos sin 5x x x a ⇔+-<-+
当x ∈R 时，不等式max a+5>(4sinx+cos2x)⇔-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x =2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 ---
∴a+5>3a<2-∴
2、解：23321x x x a --≥+-恒成立，即2
242a x x ≤--在[1,4]x ∈-上恒成立,
只需2min 2(42)a x x ≤--，解得3a ≤- 3、解：2233251x x x a a --≥+--在[1,4]x ∈-上恒成立⇒ 222542a a x x -≤-- 在[1,4]x ∈-上恒成立⇒2325312a a a -≤-⇒≤≤
4、解:令2x t = (t>0)，则21
210221t at a t a t -+=⇒=+≥⇒≥
【例题】
例1. 已知函数()2
1,(0,1]f x x ax x =++∈,且()||3f x ≤恒成立,求a 的取值范围. 【分析】法一(二次函数):问题转化为不等式组2213,(0,1]13
x ax x x ax ⎧++≤⎪∈⎨++≥-⎪⎩恒成立 → 2()1f x x ax =++在(0,1]x ∈上的最大值与最小值 → 以对称轴与定义域端点进行比较分类,研究单调性.正确率较低.
法二(分离变量):问题转化为22
42x x a x x
---≤≤在(0,1]x ∈上恒成立(除x 时注意符号), → 由定理1得22max min
42x x a x x ⎡⎤⎡⎤---≤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.求相应函数最值,正确率较高.
例2.已知a 是实数，函数2
()223.f x ax x a =+--如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围.
【分析】方法一(根的分布):这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑: 开口方向,判别式,对称轴,特殊点的函数值.解题时需要分为大3类,小5类.学生能够部分得分,很难列出所有不等式组.
方法二(分离变量):问题转化为22230ax x a +--=在[1,1]x ∈-上恒有解 → 分离变量得23221
x a x -=-
,[1,(,,1]2222x ∈---U U 有解 → 由定理1.3得只需求函数232()21x g x x -=-
在[1,(,,1]2222x ∈---U U 上的值域即可
, 2
±单独考虑.此法思维两较小,运算量较二次函数略大,得分率略有增加.
通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较,不难体会到,分离变方法的优越性:思维量小,过程简捷明快,思维严谨性的要求有所降低.不足之处:个别时候,分离后产生的函数,在求解其最值或值域时运算量较大.总体来说,多数时候,应优先使用分离变量法。

1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()
21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。

3、设124()lg ,3
x x
a f x ++=g 其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。

4、设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2
(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

练习答案：
1、解：根据题意得：21a x x +
->在[)2,x ∈+∞上恒成立，即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，
设()23f x x x =-+，则()2
3924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a >
2、解：令2x t =，(],1x ∈-∞Q (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t +-<，要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t +=
在(]0,2t ∈上的最小值即可。

()22211111124
t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭Q ()()min 324f t f ∴== 2313422
a a a ∴-<⇒-<< 3、解：如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义1240x x a ⇔++>，对(,1)x ∈-∞恒成立.
212(22)4
x
x x x a --+⇔>-=-+(.1)x ∈-∞恒成立。

令2x t -=，2()()g t t t =-+ 又(.1)x ∈-∞则1(,)2t ∈+∞()a g t ∴>对1(,)2
t ∈+∞恒成立，又()g t Q 在1[,)2t ∈+∞上为减函数，max 13()()24t g ==-g ，34
a ∴≥-。

4、解：()f x Q 是增函数2
(1)(2)f ax x f a ∴--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立 212ax x a ⇔--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立
210x ax a ⇔++->对于任意[0,1]x ∈恒成立，
令2
()1g x x ax a =++-，[0,1]x ∈，所以原问题min ()0g x ⇔>，又min (0),0()(),2022,2g a a g x g a a >⎧⎪⎪=--≤≤⎨⎪ <-⎪⎩即2min 1,0()1,2042,2
a a a g x a a a - >⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪ <-⎪⎩ 易求得1a <。