分离变量法
分离变量法
分离变量法
分离变量法是将一个偏微分方程分解为两个或多个只含一个变量的常微分方程。
将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。
将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。
运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程。
利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。
最后将这些通解“组装起来”。
扩展资料
分离变量法的理论基础之一是线性叠加原理，故其只能解决线性定解问题。
在用分离变量法的过程中多次应用叠加原理，不仅方程的解是所有特解的线性叠加，而且处理非齐次方程泛定方程问题时，把方程条件也视为几种类型叠加的结果，从而将其“分解”。
对于线性叠加原理，其物理表述为：“几个物理量共同作用产生的结果，等效于各个物理量单独作用时各自产生效果的总和”。
第八章分离变量法_数学物理方法
第八章分离变量法_数学物理方法分离变量法是数学物理方法中的一种重要技术，通常用于求解偏微分方程。
在这一方法中，我们将多元函数表示为一系列单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
接下来，我将详细介绍分离变量法的思想和应用。
1.分离变量法的思想当我们面对一个多元偏微分方程时，通常很难找到它的解析解。
分离变量法的思想就是将多元函数表示为单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
具体来说，设有一个n元函数u(x1, x2, ..., xn)，我们希望将其表示为n个单变量函数的乘积形式u(x1, x2, ..., xn) =u1(x1)u2(x2)...un(xn)。
代入偏微分方程后，我们可以得到一系列等式，将等式两边同时除以对应的单变量函数后，得到n个只依赖于一个变量的常微分方程。
然后我们可以分别求解这些常微分方程，得到对应的单变量函数的解析解。
2.分离变量法的应用分离变量法在物理学中有广泛的应用，特别是在描述传热、传质、波动等现象的偏微分方程的求解中。
以下是几个典型的例子：(1)热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
假设物体的温度分布函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
热传导方程可以写成如下形式：∂u/∂t=a²∇²u其中a是热传导系数。
我们可以将温度分布函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入热传导方程，得到两个常微分方程X''/X=T'/a²T。
分别解这两个方程，可以得到温度分布函数的解析解。
(2)线性波动方程线性波动方程是描述波动现象的方程。
假设波动函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
∂²u/∂t²=v²∇²u其中v是波速。
我们可以将波动函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入线性波动方程，得到两个常微分方程X''/X=v²T''/T。
分离变量法
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
分离定理种类及应用方法
分离定理种类及应用方法分离定理是数学中的一个重要定理，用于解决线性偏微分方程的问题。
下面将详细介绍分离定理的种类及应用方法。
一、分离变量法分离变量法是分离定理的一种常见应用方法。
它的基本思想是将多变量的函数表示为各个变量的乘积形式，然后分别求解每个变量的方程，最后将得到的解合并，得到原问题的解。
应用方法：1.设定变量的分离形式：根据问题的具体情况，设定合适的变量分离形式。
通常来说，分离变量法适用于一维的偏微分方程，可以将解表示为一系列的单变量函数或特定的形式。
2.将偏微分方程转化为一系列的常微分方程：将原方程中的多个变量分离开来，得到一系列只包含一个变量的常微分方程。
3.逐个求解每个常微分方程：对于每个常微分方程，根据具体的形式选择适当的求解方法，例如使用分离变量法、常数变易法、变量替换法等。
4.合并得到原问题的解：将每个常微分方程的解合并，得到原问题的解。
二、特解法特解法是分离定理的另一种常见应用方法。
它的基本思想是通过猜测特定的解形式，将原问题转化为常微分方程或代数方程求解。
应用方法：1.设定特定解形式：根据问题的特点和已知条件，猜测合适的特定解形式。
常见的特定解形式有指数函数、幂函数、三角函数等。
2.代入原方程：将猜测的特定解形式代入原方程，得到常微分方程或代数方程。
3.求解方程得到特解：根据具体的形式选择适当的求解方法，例如积分、代数运算等，得到特解。
4.合并特解和通解：特解是原问题的一个解，将其与通解合并，得到原问题的完整解。
三、变量替换法变量替换法是分离定理的一种补充应用方法。
它的基本思想是通过改变变量的形式，将分离变量法或特解法无法解决的问题转化为可以求解的形式。
应用方法：1.寻找合适的变量替换：根据问题的特点和已知条件，寻找合适的变量替换，使得原方程可以转化为容易求解的形式。
2.代入原方程和求解：将变量替换代入原方程，得到新的方程。
根据具体的形式选择适当的求解方法，例如分离变量法、特解法等，求解得到新方程的解。
《数学物理方法》第十一章分离变量法
流
程
T Aexp(a2t)
X sin
x,
n l
图
un Tn (t)Xn ( x)
u u(x,t)
u Tn X n
28
1. 补充：三角函数的正交性
29
30
31
32
33
【例11.1.2】 设长为l 的均匀杆，两端绝热, 杆 内初始温度分布为(x), 求杆内温度随时间的 变化规律 解 定解问题为
将尝试解 y ＝ erx 代入方程得 r2 - 2 ＝ 0 特征根为±，
将r ＝ ±代入尝试解得方程的二个特解， 其线性组合即为通解 y ＝ c1ex+c2e-x ． (1)
12
2．方程 y"+ 2y ＝ 0 的通解有三种形式.将尝试解
y ＝ erx 代入方程得 r2 + 2 ＝ 0 特征根为±i， 将r ＝ ±i 代入尝试解得方程的二个特解，其线 性组合即为通解
(uy1+vy2)"
＝ (u"y1+2u'y1'+ uy1") + (v"y2+2v'y2'+ vy2")
p(uy1+vy2)'＝ p(u'y1+ uy1')+ p(v'y2+ vy2') q(uy1+vy2)
19
→ (u"y1 +2u'y1'+ uy1")+ p(u'y1 +uy1') + quy1 + (v"y2 +2v'y2'+ vy2")+ p(v'y2+ vy2')
数理方程第二章分离变量法
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
数理方程-分离变量法
第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。
（2）物理上 由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。
第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。
分离变量法
1.2
分离变量法的物理意义
令 Nn =
2 A2 n + Bn ,
αn = arctan 混合问题 (1) 的解的每一项可化为 un (x, t) = Nn sin
Bn , An
nπ anπ x sin t + αn . l l
un (x, t) 是振动元素。对于弦上任意一点 x ， un (x, t) 描述了这一 anπ nπ ， 频 率 ωn (x) = ，初 点 的 简 谐 振 动 ， 其 振 幅 an (x) = Nn sin l l l n−1 相位为 αn 。于是 ，当 x = 0, , . . . , l, l 时，振幅 an (x) = 0 ；当 n n l 3l 2n − 1 x= , ,..., l 时，振幅 an (x) = ±Nn 达到最大。因此弦的振动 2n 2n 2n 可以看作一系列具有特定频率的驻波的叠加。 特别地，考虑定解问题 utt − a2 uxx = A (x) sin ωt, (x, t) ∈ (0, l) × (0, +∞) , u (x, 0) = ut (x, 0) = 0, x ∈ [0, l] , u (0, t) = u (l, t) = 0, t ∈ [0, +∞) . x 我们可得
4
将 u (x, t) ， f (x, t) ， ϕ (x) ， ψ (x) 均按特征函数系展开：
∞
u (x, t) =
n=1 ∞
Tn (t) sin fn (t) sin
n=1 ∞
nπ x, l nπ x, l
f (x, t) = ϕ (x) =
n=1 ∞
ϕn sin ψn sin
n=1
nπ x, l nπ x, l
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<<电磁场与电磁波>>读书报告
姓 名：
学 院： 学 号：
专 业：
题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩：
二〇一四年四月
Xxx
工程学院
电子工程类
一．引言
分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。
在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。
分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。
而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。
求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。
这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。
这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。
二．内容
1.分离变量法的特点：
分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。
它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。
我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法.
2.推导过程:
直角坐标系中的拉普拉斯方程：
222
222
0 x y z
ϕϕϕ
∂∂∂
++=∂∂∂
我们假设是三个函数的乘积,即
(,,)()()()x y z X x Y y Z z ϕ=
其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得
然后上式同时除以XYZ ，得
0X Y Z X Y Z
''''''
++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：
即
α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。
由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则
当α2
<0时，令α=jk x
(k x
为正实数)，则
或
当α2
>0时，令α=k x ，则
或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。
3解题步骤
1,2λα
=±00
()X x a x b =+12()x x jk x jk x
X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x
=+12()x x k x k x
X x d e d e -=+12()
s x x X x c hk x c chk x
=+
分离变量法的求解步骤：
建立正确的坐标系，确定变量的个数；
求方程的通解；
利用边界条件求方程的定解，即求出待定系数。
解题关键是确定积分常数，积分常数的大致确定方法：
若在某一个方向（如x方向）的边界条件是周期的，则分离常数是虚数，其解选三角函数；
若在某一个方向的边界条件是非周期的，则分离常数是实数，其解选双曲函数或者指数函数。
其中：有限区域选双曲函数，无限区域选指数衰减函数；
若位函数与某一坐标无关，则沿该方向的分离常数为零，其解为常数。
分离变量法的求解步骤：
建立正确的坐标系，确定变量的个数；
求方程的通解；
利用边界条件求方程的定解，即求出待定系数
4补充作业的解题过程
如右图所示一个沿z轴无限长的横截面为矩形的金属管，其中三个边的电
位为零，第四边与其它边绝缘，电位是
sin
x
U
a
，求管内的电位。
解：导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程和边界条件：
0,(0,)0
(1),(,)0(2)0,(,0)0
(3)
,(,)sin (4)
x y
x a a y y x x
y b x b U a
ϕϕϕπϕ==⎧⎪==⎪⎪
⎨==⎪
⎪==⎪⎩
用分离变量法求解过程：
2
0ϕ∇=⇒
2222
220x y z
ϕϕϕ
∂∂∂++=∂∂∂
已知边界条件：0,(0,)0(1) ,(,)0(2) 0,(,0)0(3)
,(,)
sin(4) x y
x a a y
y x
x
y b x b U
a
ϕ
ϕ
ϕ
π
ϕ
==
⎧
⎪==
⎪⎪
⎨==
⎪
⎪==
⎪⎩
由条件(4)得: 1
sin
sin()()n
n x
n n U A x sh b a
a a
πππ
∞
='=∑ 将此式按傅立叶级数展开，即等式两边同乘以 sin()m x a
π
再对x 从0到a 积分，得
001sin()sin()s ()sin()sin()a
a n n x
m n n m U x dx A h b x x dx a a a a a πππππ∞=⎡⎤
'=⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰ 利用三角函数的正交性质
00
sin()sin()2
a
m n n m x x dx a a a m n ππ≠⎧⎪⎡
⎤=⎨⎢⎥=⎣⎦⎪⎩⎰
等式左边 =2
a
U ， 由此知：m 等于1,m 不等于1时无解 等式右边12a b A sh a π⎛⎫
'= ⎪⎝⎭
因此'
1
(
)
U A b sh a π=
所以，接地导体槽内部电位分布为
sin()(
)
(
)
U x
y
sh b
a
a
sh a
ππϕπ=
三．心得体会
分离变量法是将一个多元函数表示成几个单变量函数的乘积,从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法.用分离变量法求解边值型问题,首先要根据边界形状选择适当的坐标系;然后将偏微分方程在特定的坐标系下分离为几个常微分方程,并得出位函数的通解;最后由边界条件确定通解中的待定常数.
在用分离变量法求解静态场的边值问题时，常需要根据边界条件来确定分离常数是实数、虚数或零。
若在某一方向（如x方向）的边界条件是周期的，则其解要选三角函数；若在某一个方向的边界条件是非周期的，则该方向的解要选双曲函数或者指数函数，在有限区域选双曲函数，无限区域选指数衰减函数；若位函数与某一坐标无关，则沿该方向的分离常数为零，其解为常数。