分离变量法的解题步骤总结
第9讲 分离变量法-电工
注意：分离常数取
k 2或k 2 由齐次边界条件所决定 x0,a 0 or x x0,a 0取 k 2
y 0,b
y 0,b 0 or y
0 取k2
第九讲 分离变量法
二、拉普拉斯方程的通解
1、直角坐标系 方程通解为：
( x, y ) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
0
a
0
a
② 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为
(, ) E0 x C E0 cos C
第九讲 分离变量法
（续上例）通解为
( , ) C0 D0 ln ( An cos n Bn sin n )(Cn n Dn n )
通解为：
( , ) C0 D0 ln ( An cos n Bn sin n )(Cn n Dn n )
n 1
第九讲 分离变量法
二、拉普拉斯方程的通解
3、球坐标系下
1 2 u 1 u 1 2u u 2 r =0 2 sin 2 2 2 r r r r sin r sin
(r a)
( r 1)na 2 n 1r ( n1) Pn (cos ) n 1 n 1 [ n( r 1) 1]d
(r a)
第九讲 分离变量法
作
业
3.21 , 3.23 , 3.26, 3.31
根据② ，得 C C，D 0, 0 0
n 1
An 0
( , ) C E0 cos
A1 D1
分离变量法
∞
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + Bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ Ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝
∞
使得
9
k π a Bk kπ ψ ( x ) = ut ( x , 0) = ∑ sin x l l k =1
∞
kπ ϕ ( x ) = u ( x , 0) = ∑ Ak sin x l k =1
X ( x) = C .
情形（C）
λ >0
其通解为
X ( x) = C1 cos λ x + C2 sin λ x,
由边界条件推出 C2 = 0,
22
再由 X ′(l ) = C1 λ sin λ l = 0 知道为了使 必须
C1 ≠ 0,
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
2 2
于是有
(k = 1,2,3," ).
本征值
(k = 1,2 ,3," ).
X k ( x) = Ck sin
kπ x, l
(k = 1,2," )
本征 函数
7
k 2π 2 λ = λk = 2 , l
(k = 1,2 ,3," ) 代入另一个方程可得
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
把变量形式的解代入方程可得
XT ′′ = a 2 X ′′ T
即
T ′′(t ) X ′′( x) = 2 a T (t ) X ( x)
以及
分离变量法的解题步骤总结
n
如果电势不依赖于方位角，则
B n () r [ A r ( ] P ( c o s ) n n 1 ) r n 0 S
n nS
几种常见的边界条件
导体为等位体； ˆ 均匀场： E i E , E zE r c o s z 0 0 0 S
B m n m (r) [A r (n ] P c o s )c o sm n ( 1 ) r n 0m 0 S
n n mS n
D m n m [ C r (n ]P c o s )s inm n ( 1 ) r n 0m 0 S
n n mS
r S
柱的轴心或球心处若没有线电荷或点电荷，则 电位为有限值； 若电荷分布于有限区域，则无穷远处电位趋近 于零； 周期边界条件。
分离变量法的解题步骤总 结
解题步骤
确定求解区域，写出电势所满足的方程（一般 为Laplace方程）和边界条件（包括物理边界 条件和自然边界条件）； 根据边界的形状选取坐标系； 写出通解（其中包含有待定系数）； 把边界条件代入通解中，确定待定系数，从而 得到问题的解； 对问题进行讨论。
二维情况下直角坐标系通解形式
xy , A x BC D y A s i n k x B c o s k x C s i n h ky D c o s h ky 1 x 1 x 1 y 1 y A s i n h k x B c o s h k x C s i n ky D c o s ky 2 x 2 x 2 y 2 y
导数分离变量法知识点
导数分离变量法知识点一、知识概述“导数分离变量法知识点”①基本定义：导数分离变量法就是在解决含有导数的方程或不等式时，把含有变量的式子放在等号或不等号的一边，把不含变量的式子放在另一边，这样可以方便我们进一步分析和求解。
就像是把一群羊和一群牛分开，好分别照顾它们一样。
②重要程度：在数学学科里，尤其是涉及导数的问题中，它是一种非常有用的方法。
很多看似复杂的导数等式或不等式，一用这个方法就条理清晰了，是解决很多导数相关问题的一把“钥匙”。
③前置知识：得先掌握导数的基本概念和求导公式，像幂函数的求导公式(x^n)' = nx^(n - 1)等。
还得了解一些基本的等式和不等式运算规则，不然即便分离了变量，后面也做不了。
④应用价值：在研究函数的单调性、极值、最值等方面有着广泛的应用。
比如在物理学里研究速度随时间的变化规律时可能就会用到，或者经济学里分析成本随产量的变化时也可能涉及。
二、知识体系①知识图谱：在导数这一块知识中，它是属于利用导数解决问题的一个很重要的方法，就像大树上的一个重要树枝。
②关联知识：和求导公式、函数的单调性、函数的极值等知识都有联系。
如果求不出函数的导数，就没办法有效使用分离变量法；而求出的导数也是为了进一步了解函数特性，和函数单调性、极值等相关。
③重难点分析：掌握难度不算特别大，关键是要能准确地把变量分离出来，有时候那些式子看起来乱糟糟的就很棘手。
重难点主要就在准确识别哪些部分是含有变量可以分到一边的，哪些是常数能分到另一边的。
④考点分析：在考试里是比较常考的内容。
可能会单独出一道用分离变量法解导数方程或者不等式的题目，也可能在综合题里涉及。
考查方式就是让你求解变量的取值范围、证明某个不等式什么的。
三、详细讲解【方法技能类】①基本步骤：先把含有导数的等式或者不等式列出来，比如f'(x)+g(x)h(x)=k(x)这种式子（这只是个例子啊）。
然后把含有x这个变量的式子尽可能全地放到一边，假设就是含g(x)h(x)这部分的放到一边，另一边就是k(x)- f'(x)。
数学物理方程 分离变量法
分离变量法是求解数学物理方程中的一种常见方法。
它的基本思想是将解函数表示为多个变量的乘积形式，然后将原方程中的偏导数用每个变量的偏导数表示，再将所得的各个方程分别解出。
具体来说，假设有一个二元偏微分方程
其中k 是一个常数。
这样我们将原方程分离成两个单变量的方程，每个方程只含有一个变量和其对应的导数，可以分别解出。
然后将得到的两个解函数相乘，就可以得到原方程的通解。
需要注意的是，分离变量法并不是适用于所有数学物理方程的通用解法，但它在许多情况下是非常有用的。
一阶线性微分方程的解法和分离变量法
一阶线性微分方程的解法和分离变量法微积分作为高等数学中的一门重要学科，其涵盖的内容极其广泛，其中线性微分方程是其应用广泛的一部分。
在实际应用中，很多问题可以转化为一阶线性微分方程的形式，这使得解决这些问题变得更加容易和可行。
而分离变量法是解决这类微分方程的一种有效的方法，本文将详细介绍一阶线性微分方程及其解法，重点介绍分离变量法的基本思想和具体步骤。
一. 一阶线性微分方程1. 定义一阶线性微分方程是指形如y' + p(x)y = q(x)的微分方程，其中y是未知函数，p(x)和q(x)是已知函数，y'是对y关于x求导得到的导数。
其中，p(x)和q(x)是一阶齐次线性微分方程的系数函数，即p(x)y=0的一阶微分方程，而加上非齐次项q(x)后就成为了一般的一阶非齐次线性微分方程。
2. 特征一阶线性微分方程有一些特征：（1）是关于未知函数y及其导数y'的方程；（2）系数p(x)和q(x)是已知函数不含y及其导数；（3）在一定范围内有确定的解出现。
这种类型的微分方程的解法非常重要，因为它们出现在数学、工程和科学中的各个领域中。
二. 分离变量法分离变量法是一种非常有效的解决一阶线性微分方程的方法。
其基本思想是将一阶微分方程中的未知函数y及其导数y'分别归成一个变量组的函数，然后将它们分离到方程两边，从而得到一个与求解x有关的对两个纯变量的积分方程。
因为变量已经分离，因此它们可以分别积分，最后便可求得原方程的通解。
下面我们将从分离变量法的基本思想、步骤以及解题策略几个方面详细介绍这种解法的具体方法。
1、基本思想我们现在来考虑一阶线性微分方程y' + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)都是已知函数。
我们将y'移向等式左边，将p(x)y和q(x)合并到等式右边，于是有：y' = q(x) - p(x)y现在，我们将y'和y分别看作一个单独的变量，我们有：dy/dx = f(x, y)其中，f(x, y) = q(x) - p(x)y。
第三讲分离变量法
0时, X ( x ) C1 cos x C2 sin x
C1 0 C 2 sin l 0
由边界条件
从而
n 2 , n 1,2, l
2 2
特征函数为：
n x X ( x ) C 2 sin , l
n 1,2,
T 的方程
n T a T 0 2 l
取参数
''
''
T X 2 X aT
''
''
X ( x ) X ( x ) 0 ②
''
T a T 0
'' 2
…..…….. ③
利用边界条件
X (0)T ( t ) 0 ④ X ( l )T ( t ) 0
④ 成立 X (0) 0, X ( l ) 0
特点: 方程齐次, 边界齐次.
设 u( x , t ) X ( x )T ( t ) 且u( x , t ) 不恒为零，代入 方程和边界条件中得
XT '' a 2 X ''T 0 ①
由 u( x , t )不恒为零，有：
X ( x ) T (t ) 2 X ( x ) a T (t )
n 1,2,
所以 ( x ), ( x ) 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 将 1 2 l n u0 (0x , t )0 A0 l (B0d t A 0 ) An n 0 ( ) cos d
l l n at n at l n x un ( x , t ) ( An cos Bn sin 2 )lcos n 1 l n 1,2, l l B0 0 0 ( )d Bn l 0 ( ) cos d l n a l 故 n at n at n x u( x , t ) A0 B0 t ( An cos Bn sin ) cos l l l n 1
2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法
d2 f d 2g d 2h gh 2 fh 2 fg 2 0 dx dy dz
然后用fgh 除上式，得
f " g " h" 0 f g h
令
f" k x2 f
g" 2 k y g
h" k z2 h
知分离变数间有关系为
2 2 kx ky kz2 0
分离变数 kx 、k y 、 kz 与变量无关，且不可全为实数或虚数。
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 2 dx 2 d g ( y) 2 k y g ( y) 0 2 dy d h( z ) 2 k z h( y ) 0 2 dz
这样，将拉普拉斯方程的求解问题分解为三个分别仅与x、 y、z变量有关的常微分方程组的求解，以下以与x有关的微 分方程为例，说明当分离变数取不同值时的特征解。
f ( x) a2e
或
x x
b2e
x x
f ( x) a3 sinh x x b3 cosh x x
e x ex sinh( x) 2
e x ex cosh(x ) 2
e e sin(x ) 2i
ix
ix
e ix e ix cos(x ) 2
2
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 的特征解有： 2 dx
当
kx 0 时，则Fra bibliotek2 xf ( x) a0 x b0
f ( x) a1 sin kx x b1 cos kx x
时， 则
当 k 0 时， 则 当
2 x
k 0, kx ix (x 0)
数理方程总复习 复习1(第二章分离变量法)
∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂t ∂x ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. u t = 0 = ϕ ( x), 特点：非齐次边界
边界条件非齐 次，转换为齐 次边界条件 定 解 问 题 选择合适 的坐标系 非齐次方程， 齐次边界条件
非齐次方程， 齐次定解条件 特征函数法
齐次方程， 齐次边界条件 分离变量法
第二章、分离变量(fourier级数)法
分离变量法是数学物理方程的基本解法，主要讲：
(1)有限空间的分离变量法(fourier级数法)(本章) (2)无限空间的分离变量法(fourier积分法)(第三章积分变换法) (3) Laplace方程的圆上的定解问题－－在极坐标系下的分离变量法 (4)特征函数法－－在柱坐标系和球坐标系下的分离变量法 (第五、六章)
第三步：将展开式代入方程与初始条件，比较系数得到关于 Tn (t )的常微分方程定解问题，求解确定出Tn (t )。 (Laplace变换法、常数变易法)
方法三、齐次化原理
三、第三种类型定解问题( III )
2 ∂ 2u 2 ∂ u + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, 2 =a 2 ∂x ∂t ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, ∂u u = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t = 0 = ϕ ( x ), ∂t t =0
∂V 1 ∂ 2V A −α x − 2 2 = 2 e , 0 < x < l , t > 0, a ∂t a ∂x V x =0 = 0, V x =l = 0, t ≥ 0, V t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ∂W 1 ∂ 2W
分离变量法的步骤
分离变量法的步骤
嘿，咱今儿个就来说说这分离变量法的步骤哈！这分离变量法啊，
就像是解开一道复杂谜题的钥匙呢！
首先呢，咱得把那个复杂的方程给定住咯，就像抓住一只调皮的小
猴子，别让它乱跑。
然后呢，咱试着把能分离开的变量给它分离开来，这就好比把一堆混杂在一起的糖果给分拣出来一样。
比如说有个方程，一边是关于 x 的式子，另一边是关于 y 的式子，
咱就得想法子让它们各在各的一边呆着，井水不犯河水。
这可不是件
容易事儿啊，得有点耐心，有点技巧。
接下来，就该对分离开的两边分别进行处理啦！该积分的积分，该
化简的化简。
这就好像给分开的糖果们穿上漂亮的包装纸一样。
等把两边都处理得差不多了，嘿，神奇的事情可能就发生了，答案
说不定就呼之欲出啦！这感觉，就像是在黑暗中突然找到了那盏明灯
一样，让人兴奋不已呀！
咱再想想，这不就跟咱生活中很多事情一样嘛！有时候遇到个麻烦
事儿，咱也得把它给拆解开来，一步一步地去解决。
不能一股脑儿地
瞎干，得有方法，有策略。
分离变量法不就是教我们怎么有条理地去解决问题嘛！你看，数学
里的这些方法啊，其实都是有大智慧在里面的呢。
咱要是能把这分离变量法掌握得透透的，那以后再遇到类似的问题，还怕啥呀！就像咱有了一把万能钥匙，啥锁都能给它打开咯！
所以啊，大家可别小瞧了这分离变量法的步骤，一步一步走稳了，
才能在数学的道路上越走越远，越走越顺溜呀！这可是咱探索数学奥
秘的重要法宝呢！大家可得好好琢磨琢磨，多练练手，把它变成自己
的拿手好戏！加油吧！。
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Dnm m [C r ( n 1) ]Pn (cos ) sin m rS n 0 m0
n nm S
n
如果电势不依赖于方位角，则
Bn n (r ) [ An rS ( n1) ]Pn (cos ) rS n 0
几种常见的边界条件
导体为等位体；导体接地电位为零。 ˆz E0 , 均匀场： E i E0 z E0 rS cos
x, y Ax B Cy D C sinh k y D cosh k y 1 y 1 y A1 sin k x x B1 cos k x x C sin k y D cos k y 2 y 2 y A2 sinh k x x B2 cosh k x x
分离变量法的解题步骤 总结
解题步骤
确定求解区域，写出电势所满足的方程（一般 为Laplace方程）和边界条件（包括物理边界 条件和自然边界条件）； 根据边界的形状选取坐标系； 根据边界条件，选出解形式，（其中包含有待 定系数）； 把边界条件代入通解中，确定待定系数，从而 得到问题的解。
二维情况下直角坐标系通解形式
柱坐标系与z变量无关的二维一般解
(r ) ( A B ln rC )(C D )
n n r ( A sin n B cos n ) r n C (Cn sin n Dn cos n ) C n n (r ) [ Anm rS ( n 1) ]Pn (cos ) cos m rS n 0 m0
柱的轴心或球心处若没有线电荷或点电荷，则 电位为有限值； 若电荷分布于有限区域，则无穷远处电位趋近 于零；
rS