数学物理方法分离变量法(1)
第八章分离变量法_数学物理方法
第八章分离变量法_数学物理方法分离变量法是数学物理方法中的一种重要技术，通常用于求解偏微分方程。
在这一方法中，我们将多元函数表示为一系列单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
接下来，我将详细介绍分离变量法的思想和应用。
1.分离变量法的思想当我们面对一个多元偏微分方程时，通常很难找到它的解析解。
分离变量法的思想就是将多元函数表示为单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
具体来说，设有一个n元函数u(x1, x2, ..., xn)，我们希望将其表示为n个单变量函数的乘积形式u(x1, x2, ..., xn) =u1(x1)u2(x2)...un(xn)。
代入偏微分方程后，我们可以得到一系列等式，将等式两边同时除以对应的单变量函数后，得到n个只依赖于一个变量的常微分方程。
然后我们可以分别求解这些常微分方程，得到对应的单变量函数的解析解。
2.分离变量法的应用分离变量法在物理学中有广泛的应用，特别是在描述传热、传质、波动等现象的偏微分方程的求解中。
以下是几个典型的例子：(1)热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
假设物体的温度分布函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
热传导方程可以写成如下形式：∂u/∂t=a²∇²u其中a是热传导系数。
我们可以将温度分布函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入热传导方程，得到两个常微分方程X''/X=T'/a²T。
分别解这两个方程，可以得到温度分布函数的解析解。
(2)线性波动方程线性波动方程是描述波动现象的方程。
假设波动函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
∂²u/∂t²=v²∇²u其中v是波速。
我们可以将波动函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入线性波动方程，得到两个常微分方程X''/X=v²T''/T。
数学物理方法第11章(1)汇总
行波法
达朗贝尔公式
u x,t x at x at 1
x
at
d
2
2a xat
分离变量法（又称为本征函数展开法）是解 偏微分方程定解问题最常用的重要方法．
其基本思想是把偏微分方程分解为几个常 微分方程，其中有的常微分方程带有附加 条件从而构成本征值问题．
11.1 分离变量理论 11.1.1 偏微分方程变量分离及条件
故得
（11.2.7）
注意：
边界条件是齐次的，才得出（11.2.７）这样简单的结 论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件．
第二步：求解本征值（或称为固有值）问题
上面推导的方程
（11.2.5） （11.2.7）
定义：
本征值
不 能任意取，只能根据边界条件（11.2.7）取某
些特定值。 本征函数
11.2直角坐标系中的分离变量法
11.2.1 分离变量法介绍
例11.2.1：具体考虑长为 由振动 泛定方程
，两端固定的均匀弦的自
（11.2.１）
边界条件
（11.2.２）
初始条件
（11.2.３）
【解】
用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：
第一步：分离变量
变量分离形式的试探解 代入（11.2.１）和（11.2.２）
C2er2x C2 xerx
y
e
x
(C1
cos
x
C2
sin
x)
求解（11.2.5），将
三种可能逐一加以分析
（１）
（11.2.5）的解为
和
由（11.2.７）确定，即有
由此解出
（２）、
被排除 方程（11.2.5）的解是
数学物理方法-14.2 分离变量法-1维热传导
2
(n 0,1,2,3,)
l
, (n 0,1,2,3,)
na 时间函 (t ) T Tn (t ) 0 n 数方程 l
Tn (t ) Cn e
na t l
2
(n 0,1,2,3,)
两端绝热杆的热传导问题
• 则定解问题的解为
分离变量法
将解表示为
时间函数X(x)×空间函数T(t) 导出时间函数和空间函数的常微分方程 逐个求解X(x)和T(t)，每一个记为Xn(x)×Tn(t)
对于线性问题，叠加原理成立，则通解为
u( x, t ) un ( x, t ) X n ( x)Tn (t )
基本步骤： 1. 变量分离，分别导出初始值问题，固有值问题； 2. 求解固有值问题，确定边值问题的固有值和固有函数； 3. 根据固有值，求解初始值问题，含未知系数； 4. 解的叠加，根据偏微分方程的初始条件确定未知系数。
t=1s t=0 t=100s t=5s
u
x
作 业
pp 354, T3， T5
n 1 n 1 na t l
2
n sin x l
• 由初始条件得
n ( x) C n sin x l n 1
2 l n C n ( x) sin xdx (n 1,2, ) l 0 l
？
算例：原始温度分布
u(x, 0)
分离变量法： 均匀杆的热传导问题
• [问题]设有一均匀细杆，长为l，两个端点的坐标为x=0和 x=l，端点处的温度保持为零度，已知杆上初始温度分布 为 ( x) ，求杆上的温度变化规律。 ( x) x 0 0
数学物理方法分离变量法资料
R()( ) 1 R()( ) 1 R()( ) 0
2
2R R
R
29
( )
0 ( ) ( 2 )
周期本征值问题
2R R R 0
R()
2u x 2
2u y 2
0
u x2 y2 02 (x, y)
(x2 y2 02 )
因为边界形状是个圆周，圆域边界条件中x、y是 不可直接分离的，故化为极坐标求解。
27
x r cos
y
r
sin
2u
1
(
u
)
X
|x0
X
|xl
0
若有二阶常系数线性齐次方程
y" py'qy 0 其中p、q为常数，则特征方程为 r 2 pr q 0
(1)当r1、r2为相异的实根时，方程 有通解y(x) c1er1x c 2 er2x
(2)当r1 r2 r为相同的实根时，通解 y(x) (c1 c 2 x)erx
n1
( An
n 1
cos
nat
l
Bn
sin
nat ) sin
l
nx
l
11
此时要满足初始条件，则
(
(x)
x)
n1
An sin
n1
na
l
Bn
nx
l
数学物理方法分离变量法
21
由傅里叶正弦级数式展系开数公式可求出
A n2 l 0 l(x22lx )si(n 2n2 l1)xd x(2n3 1 l)2 233
C1 C2 0
C1 C2 0
C1el C2e l 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
(2) 0
X(x)C1xC2
C 2 0 C1lC2 0
C1 C2 0
同样只有零解，不合题意；
8
(3) 0
X (x)C 1cosxC 2sinx
X(0) 0 X(l) 0
6、 分离变量法概要：
（3）确定形式解（级数形式解） （4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）
16
例：求解
utt a2uxx 0
u(x,t) x00
ut0 x22lx
(0xl,t0)
u x xl 0 u t t0 0
（第二类齐次边界条件）
解： 设 u(x,t)X(x)T(t)
Bnsinl
)sin l
11
此时要满足初始条件，则
(
(x)
x)
n1
An sin
n1
na
l
Bn
nx
l
nx
sin l
故 An和 Bnnla分别 (x为 )和 (x)的傅里叶正式 弦系 级数
BnAnn22la0l0l(x()xs)isninnlnxl xddxx
Bn0
故定解问题的最终解为
u (x ,t) 3 l 3 22 n 1 (2 n 1 1 )3 c( o 2 n 2 s l 1 )a ts i( n 2 n 2 l1 ) π x
《分离变量法》课件
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
数学物理方程的分离变量法及其应用
数学物理方程的分离变量法及其应用数学物理方程是研究自然现象的基础，其中热传导方程、波动方程和电动力学方程是最为常见的。
为了解决这些方程的求解问题，数学家们提出了许多方法，其中分离变量法是一种常用的解法之一。
分离变量法是指将多元函数的变量分离，使得原方程可以化为若干个单元函数的乘积形式，从而可以通过对单元函数的研究来获得原方程的解。
这种方法适用于线性方程，而且只能用于满足一定边界条件的特定问题。
下面通过几个实例来进一步探讨分离变量法的应用。
1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度的传导过程。
对于一个平板，其温度分布可以用以下偏微分方程描述：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$其中，$u(x,y,t)$表示平板上某一点的温度，$\alpha$为热传导系数。
为了求解这个方程，我们可以假设温度分布可以表示为两个函数 $X(x)$ 和 $Y(y)$ 的乘积形式：$u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$因此，原方程可以改写为$X(x)Y(y)\frac{dT}{dt} = \alpha T(t)\left(\frac{d^2X}{dx^2}Y(y) + X(x)\frac{d^2Y}{dy^2}\right)$将式子移项，可以得到$\frac{1}{\alpha T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}$由于左侧只和 $t$ 有关，而右侧只和 $x$ 和 $y$ 有关，因此等式两侧必须都等于一个常数，假设这个常数为 $-k^2$，可以得到以下三个常微分方程：$\frac{dT}{dt} = -\alpha k^2 T(t)$$\frac{d^2X}{dx^2} + k^2X(x) = 0$$\frac{d^2Y}{dy^2} + k^2Y(y) = 0$分别求解这三个方程，得到$T(t) = e^{-\alpha k^2 t}$$X(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$$Y(y) = C\sin(ky) + D\cos(ky)$将这些解组合起来，即可得到原方程的通解：$u(x,y,t) = \sum_{n=1}^\infty (a_n\sin(k_n x) + b_n\cos(k_n x))(c_n\sin(k_n y) + d_n\cos(k_n y)) e^{-\alpha k_n^2 t}$其中，$a_n, b_n, c_n, d_n$ 是常数，$k_n = \frac{n\pi}{L}$，$L$ 是平板长度。
数学物理方程分离变量法研究生高校本科生PPT课件
l n , (n 1, 2,.....)
从而得到了固有值为
n
n2 2
l2
,
(n 1, 2,.....)
相应的固有函数为
(11) 固有值问题
Xn (x)
B sin
n
l
x
,
(n 1, 2,.....)
X ''(x) X (x) 0 (6)
(12)
X
(0)
0,
X
(l)
0
(10)
第12页/共97页
ut |t0
x)
Cn sin
n1
n
l
x
n a
(x) Dn
n1
l
sin
n
l
x
第14页/共97页
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
u
ut
|t0 ( |t0
x)
Cn
n1
sin
n
l
x
n a
(x) Dn
n1
l
sin
n
l
x
这两式正好是(x)和 (x)关于 sin
n
l
x的正弦展开。
根据Fourier级数展开法则(见下页附录)，便可得到
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
iii)求方程满足边界条件的特解。
设u(x,t) X (x)T (t) (4)
为了求出T (t)，把(11)式代入(7)式，得 T ''(t) a2T(t) 0 (7)
T
''(t)
n2 2a2
l2
T
(t)
0
其通解为一对共轭复根，即
n
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20
同样很难满足初始条件，由叠加原理得
u(x,t) un (x,t)
n1
[ An
n1
cos
(2n
1)at
2l
Bn
sin
(2n
1)at
2l
]sin
(2n
1)x
2l
此时要满足初始条件，有
0
x2 2lx
(2n
n1
n1
C1 C2 0
X (l) C1e l C2e l 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
18
(2) 0
X( x) C1x C2 X (0) C2 0 X (l) C1 0
同样只有零解，不合题意；
C1 C2 0
泛定方程： utt a2uxx 0
(0 x l,t 0)
边界条件： u( x, t ) x0 0 u( x, t ) xl 0（第一类齐次边界条件）
初始条件： u t0 ( x) ut t0 ( x)
这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性奇次的，
边界条件也是奇次的。
(3)当r1、2 i时，y(x) ex (c1 cos x c 2 sin x)
7
本方程特征方程r2+λ=0，由上面结论知，方程的解与 λ的不同取值有关，分情况讨论：
(1) 0
X ( x) C1e x C2e x
X(0) 0
C1 C2 0
(3) 0
X(x) C1 cos x C2 sin x
X (0) C1 0
非零解 C2 0
X (l) C2 cos l 0
cos l 0
则n
(2n 1)2
4l 2
2
,
(n 1,2,...)
19
则特征解为
X
(
x)
C2
s
in
(2n
a2T(t) X ( x)
T '' a2T 0
X
''
X
0
17
此时边界条件为： X (0) X (l) 0
相应的特征值 X (x) X (x) 0
问题为：
X (0)
X (l) 0
(1) 0
X ( x) C1e x C2e x X (0) C1 C2 0
X(0) 0
X(l) 0
C1 0 C2 sin l 0
非零解 C2 0
sin l 0
n2 2
l2
n 1,2,3
则X（x）的一族非零解为
n x
X ( x) C2 sin l
C2是积分常数
上解称为满足边界条件的固有解（特征解），λ称为
固有值（特征值），sin函数称为固有函数（特征函数）。
1 0.5
-0.5
2.5
5
7.5
10 12.5
15
-1
波腹 波节
15
6、 分离变量法概要：
（1）将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT) （2）确定固有值和固有函数（利用边界条件） （3）确定形式解（级数形式解） （4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）
16
例：求解
utt a2uxx 0
An
sin
(2n
1)x
2l
1)a
(2n 1)x
2l Bn sin 2l
21
由傅里叶正弦级数展开式系数公式可求出
An
2 l
l (x2 2lx) sin (2n 1)
0
2l
xdx
32l 2
(2n 1)3
3
Bn 0
故定解问题的最终解为
u( x, t )
X(l) 0
C1e l C2e l 0
C1 C2 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
(2) 0
X( x) C1x C2 C2 0
C1l C2 0
同样只有零解，不合题意；
C1 C2 0
8
(3) 0
X(x) C1 cos x C2 sin x
n1
( An
n 1
cos
nat
l
Bn
sin
nat ) sin
l
nx
l
11
此时要满足初始条件，则
(
(x)
x)
n1
An sin
n1
na
l
Bn
nx
l
sin nx
l
故An和Bn
na
l
分别为(
x)和
(
x)的傅里叶正弦级数展开
R(0)
欧拉方程
30
第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程
0 ( ) ( 2 )
nn
n2
( )
an
cos
n
bn
sin
n
n 0,1, 2,
2R R R 0
X
|x0
X
|xl
0
若有二阶常系数线性齐次方程
y" py'qy 0 其中p、q为常数，则特征方程为 r 2 pr q 0
(1)当r1、r2为相异的实根时，方程 有通解y(x) c1er1x c 2 er2x
(2)当r1 r2 r为相同的实根时，通解 y(x) (c1 c 2 x)erx
l
a2n2 2t
则T (t) De l2
此时非零特解为un(x,t)
Ae
a
2n2
l2
2t
sin
nx
l
(n 1,2,...)
此特解仍然很难满足初始条件，由叠加原理得级数解为
u(x,t)
n1
A e
a
2
n2 l2
2t
n
sin
nx
l
25
由初始条件有
( x)
32l
3
2
n1
1 (2n 1)3
cos (2n 1)a t
2l
sin
( 2n 1)π 2l
x
22
2.2 有限长杆上的热传导
u t u(0,
a t)
2 2u ,0 x l, t 0 x 2 0,u(l,t) 0,t 0
u(x,0) (x),0 x l
2u x 2
2u y 2
0
u x2 y2 02 (x, y)
(x2 y2 02 )
因为边界形状是个圆周，圆域边界条件中x、y是 不可直接分离的，故化为极坐标求解。
27
x r cos
y
r
sin
2u
1
(
u
)
1
2
u(0, ) f
2u
2
0,
0 , 0
( ), 0 2
2
u(0, )
u(, ) u(, 2 )
28
第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原
点约束条件的变量分离形式的解
u(, ) R()( )
1)x
2l
将特征值代入T（t）的方程，解出
T (t) Acos (2n 1)at B sin (2n 1)at
2l
2l
则u（x，t）的特解族为
(2n 1)at
(2n 1)at (2n 1)x
un (x,t) ( An cos
2l
Bn sin
2l
) sin 2l
解：设u(x,t) X (x)T (t)
代入方程有 X (x)T '(t) a2 X "(x)T (t)
23
分离变量后有
X"(x) X(x)
T '(t) a2T (t)
即TX' (t()x)
X ( 2a2T
x) 0 (t) 0
由边界条件有 X (0) X (l) 0
解： 由前面思路，设
u(x, t) X(x)T(t)
这是解的分离变量
5
1、分离变量 u(x,t) X(x)T(t)
utt a2uxx 0
代入方程中， XT '' a2 X ''T 0
（求非零解）
分离过程： T ''(t) X ''( x) 是相互独立的变量
T '' a2T 0
得出两个常微分方程：
X '' X 0
代入边界条件： u |x0 0,
u |xl 0,
X (0)T(t) 0 X (l)T(t) 0
X |x0 0
X |xl 0
6
2、求解本征值问题
高数中结论：
X " X 0
经
X (x) X (x) 0