《数学物理方法》第十一章分离变量法
分离变量法
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
分离变量法在物理学中的应用
分离变量法在物理学中的应用分离变量法是一种常用的数学方法，它在物理学中有着广泛的应用。
本文将从介绍分离变量法的基本原理开始，然后探讨它在物理学中的具体应用，包括热传导方程、波动方程、量子力学中的薛定谔方程等。
一、分离变量法的基本原理分离变量法是一种将多元函数分解成单元函数之积的方法。
它的基本思想是：将多元函数中的各个变量分开考虑，然后通过假设变量之间的关系，将多元函数分解成单元函数之积的形式。
例如，对于一个二元函数f(x,y)，我们可以假设它可以写成f(x,y)=g(x)h(y)的形式，其中g(x)和h(y)分别是只含有一个变量的函数。
通过这样的假设，我们可以将二元函数分解成两个关于单一变量的函数，从而使得原本较为复杂的问题简化为一系列独立的单元问题。
二、分离变量法在热传导方程中的应用热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
它在很多领域都有着广泛的应用，例如热力学、材料科学等。
对于一维情况下的热传导方程，它可以写成以下形式：u/t=ku/x其中u(x,t)表示物体内部在时刻t、位置x处的温度，k为热传导系数。
为了求解这个方程，我们可以采用分离变量法。
假设u(x,t)可以表示成u(x,t)=X(x)T(t)的形式，代入热传导方程中，得到： X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)两边同时除以X(x)T(t)，得到：T'(t)/T(t)=kX''(x)/X(x)左边只依赖于t，右边只依赖于x，因此它们必须相等。
于是我们得到了两个独立的方程：T'(t)/T(t)=λ，X''(x)/X(x)=λ/k其中λ为常数。
对于第一个方程，它可以直接求解得到T(t)=Ce^λt，其中C为常数。
对于第二个方程，它是一个关于X(x)的常微分方程，可以通过求解得到X(x)=Asin(√(λ/k)x)+Bcos(√(λ/k)x)，其中A和B为常数。
《数学物理方法》第十一章分离变量法
流
程
T Aexp(a2t)
X sin
x,
n l
图
un Tn (t)Xn ( x)
u u(x,t)
u Tn X n
28
1. 补充：三角函数的正交性
29
30
31
32
33
【例11.1.2】 设长为l 的均匀杆，两端绝热, 杆 内初始温度分布为(x), 求杆内温度随时间的 变化规律 解 定解问题为
将尝试解 y ＝ erx 代入方程得 r2 - 2 ＝ 0 特征根为±，
将r ＝ ±代入尝试解得方程的二个特解， 其线性组合即为通解 y ＝ c1ex+c2e-x ． (1)
12
2．方程 y"+ 2y ＝ 0 的通解有三种形式.将尝试解
y ＝ erx 代入方程得 r2 + 2 ＝ 0 特征根为±i， 将r ＝ ±i 代入尝试解得方程的二个特解，其线 性组合即为通解
(uy1+vy2)"
＝ (u"y1+2u'y1'+ uy1") + (v"y2+2v'y2'+ vy2")
p(uy1+vy2)'＝ p(u'y1+ uy1')+ p(v'y2+ vy2') q(uy1+vy2)
19
→ (u"y1 +2u'y1'+ uy1")+ p(u'y1 +uy1') + quy1 + (v"y2 +2v'y2'+ vy2")+ p(v'y2+ vy2')
《分离变量法》课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
《数学物理方法》第11章_11-2009级
+ (v"y2 +2v′y2′+ vy2")+ p(v′y2+ vy2′) + qvy2
＝ (u"y1 + pu′y1 + quy1) + (vy2"+ pvy2′+ qvy2)
+ u"y1+2u′y1′+ pu′y1 +v"y2 + 2v′y2′+ pv′y2
＝u"y1+v"y2 + 2(u′y1′+ v′y2′)+p(v′y2 + u′y1 ) ＝ u′y1′+ v′y2′＝ f(x)
14
为此，对 y ＝ u(x) y1(x) + v(x)y2(x) (9)式两边 求导，得 y′＝ (u y1 ′+ v y2 ′) + (u ′y1+v ′y2) (11) 为方便起见，第二个条件规定上武第二项为 零，即 u ′y1+ v ′y2 ＝0． (12) 将(12)式代入10 式，并利用 y1(x)及y2(x)是齐 次方程的解，即有 u′y1′+ v′y2′＝ f(x) ． (13) 将(12)式、(13)式联立，即可求出
由边界条件X(0) ＝ X(l) ＝ 0,可得
这是关于A,B的线性齐次方程组, 由于系数行 列式不为零,故A＝B＝0.
因此l < 0时, X(x)无非零解.
22
(2) 若l ＝0, 这时方程成为X" (x) ＝ 0, 它的通解 为 X(x) ＝Ax+B 由边界条件X(0) ＝ X(l) ＝ 0,得A＝B＝0, X(x) 也无非零解.
《分离变量法》课件
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
分离变量法
1.2
分离变量法的物理意义
令 Nn =
2 A2 n + Bn ,
αn = arctan 混合问题 (1) 的解的每一项可化为 un (x, t) = Nn sin
Bn , An
nπ anπ x sin t + αn . l l
un (x, t) 是振动元素。对于弦上任意一点 x ， un (x, t) 描述了这一 anπ nπ ， 频 率 ωn (x) = ，初 点 的 简 谐 振 动 ， 其 振 幅 an (x) = Nn sin l l l n−1 相位为 αn 。于是 ，当 x = 0, , . . . , l, l 时，振幅 an (x) = 0 ；当 n n l 3l 2n − 1 x= , ,..., l 时，振幅 an (x) = ±Nn 达到最大。因此弦的振动 2n 2n 2n 可以看作一系列具有特定频率的驻波的叠加。 特别地，考虑定解问题 utt − a2 uxx = A (x) sin ωt, (x, t) ∈ (0, l) × (0, +∞) , u (x, 0) = ut (x, 0) = 0, x ∈ [0, l] , u (0, t) = u (l, t) = 0, t ∈ [0, +∞) . x 我们可得
4
将 u (x, t) ， f (x, t) ， ϕ (x) ， ψ (x) 均按特征函数系展开：
∞
u (x, t) =
n=1 ∞
Tn (t) sin fn (t) sin
n=1 ∞
nπ x, l nπ x, l
f (x, t) = ϕ (x) =
n=1 ∞
ϕn sin ψn sin
n=1
nπ x, l nπ x, l
数学物理方程分离变量法研究生高校本科生PPT课件
l n , (n 1, 2,.....)
从而得到了固有值为
n
n2 2
l2
,
(n 1, 2,.....)
相应的固有函数为
(11) 固有值问题
Xn (x)
B sin
n
l
x
,
(n 1, 2,.....)
X ''(x) X (x) 0 (6)
(12)
X
(0)
0,
X
(l)
0
(10)
第12页/共97页
ut |t0
x)
Cn sin
n1
n
l
x
n a
(x) Dn
n1
l
sin
n
l
x
第14页/共97页
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
u
ut
|t0 ( |t0
x)
Cn
n1
sin
n
l
x
n a
(x) Dn
n1
l
sin
n
l
x
这两式正好是(x)和 (x)关于 sin
n
l
x的正弦展开。
根据Fourier级数展开法则(见下页附录)，便可得到
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
iii)求方程满足边界条件的特解。
设u(x,t) X (x)T (t) (4)
为了求出T (t)，把(11)式代入(7)式，得 T ''(t) a2T(t) 0 (7)
T
''(t)
n2 2a2
l2
T
(t)
0
其通解为一对共轭复根，即
n
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将r ＝ ±代入尝试解得方程的二个特解 ，其线性组合即为通解 y ＝ c1ex+c2e-x ． (1)
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2．方程 y"+ 2y ＝ 0 的通解有三种形式.将尝试解
y ＝ erx 代入方程得 r2 + 2 ＝ 0 特征根为±i
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u'y1+ v'y2 ＝0
→ u"y1+ u'y1'+ v "y2 + v'y2'＝ 0
→ u"y1+ v"y2 ＝ (u'y1'+ v 'y2')
(uy1+vy2)"+p(uy1+vy2)'+q(uy1+vy2)＝f(x) (10)
(uy1+vy2)"
＝ (u"y1+2u'y1'+ uy1") + (v"y2+2v'y2'+ vy2")
化。
(4) 分离变量法的适用范围： 波动、输运、稳定场问题等(比行波法适用范围要广)
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§11.1.1 齐次方程及齐次边界条件的定解问 • 首先通过实例说明用题分离变量法解题的六个
基本步骤.
• 【例11.1.1】求两端固定的弦自由振动的规律 .
解 定解问题为
1.分离变量
y ＝ eax (c1cosbx + c2sinbx) (7)
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• (二)非齐次方程
y"＋ py'＋ qy ＝ f(x) (8)
设 与(8)式相应的齐次方程
y"＋ py'＋ qy ＝ 0
的线性无关的特解是y1(x), y2(x)。 1．非齐次方程的通解是相应齐次方程的通
解
y ＝ c1 y1(x), + c2y2(x) ．
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3．方程 y"＋ py'＋ qy ＝0 的特征方程为
r2 ＋ pr＋ q ＝0
设它的根为r1,r2，则
1)当r1≠ r2 (实根)时，通解为
y ＝ c1er1x+c2er2x ． (5)
2)当r1 ＝ r2 ＝ r(实根)时，通解为
y ＝ (c1+ c2x)erx ． (6)
3)当 r1 ＝a + ib , r2 ＝ a - ib 时，通解为
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驻波的一般表示：u(x,t)=X(x)T(t) 把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去 解偏微分方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一 性就可以保证尝试解的正确性
(3) 分离变量法的特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作 保证；
b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单
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2、求解本征值问题 X " X 0
X |x0 X |xl 0
(1) 0
X(x)C 1exC 2ex
X(0) 0 X(l) 0
C1 C2 0
C1 C2 0
C1el C2e l 0
(2) 0 X(x)C1xC2
C 2 0 C1lC2 0
C1 C2 0
(3) 0
X (x ) C 1c o sx C 2sinx
与非齐次方程的特解之和．
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2．常数变易法．将c1 变为u(x), c2变为v(x), 即设(8)式的解具有下述形式 y ＝ u(x) y1(x), + v(x)y2(x) ． (9)
将它代入(8) 式，得到确定u(x)为v(x) 的一个条件
(uy1+vy2)"+p(uy1+vy2)'+q(uy1+vy2)＝f(x) (10)
1 0.5
-0.5
2.5
5
7.5
10 12.5
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-1
波腹 波节
对于确定的频率，解是驻波：
每一点绕平衡位置振动 T ( t ) 振幅随位置变化 X ( x )
驻波解： u(x,t)X(x)T(t)
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这是解的分离变量
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1、分离变量
把
u(x,t)X(x)T(t)
utt a2uxx 0
代入波动方程 得 X T''a2X''T0变量分离： T '' X ''
n 2 2 l2
n20210/,7/29 ,3
X(0) 0 X(l) 0
C1 0 C2sin l 0
非零解 C 2 0
sin l 0
nx
Xn(x) C2 sin l
C2是积分常数 10
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附 录Ⅱ 几种常用的常系数常微分方程的解
• (一)齐次方程 1．方程 y"- 2y ＝ 0 的通解,
零，即
u'y1+ v&# y1(x)及y2(x)是齐
次方程的解，即有
u'y1'+ v'y2'＝ f(x) ． (13) 将(12)式、(13)式联立，即可求出
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u'y1+ v'y2 ＝0． (12 ) u'y1'+ v'y2'＝ f(x) ． (13)
，将r ＝ ±i 代入尝试解得方程的二个特解，其
线性组合即为通解
y ＝ c1eix+c2e-ix ．(2) 利用尤拉公式 e士ix ＝ cosx士 isinx 代入(2)式
，可得
y ＝ D1cosx + D2sinx ．(3)
令D1＝ Esind 及 D2＝ Ecosd ，其中E及d为待定常
数，则(3)式可写为 y ＝ E sin (x + d) ．(4)
• 令 u(x,t)＝X(x)T(t) (11.1.4)
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§11.1.1 齐次方程及齐次边界条件的定解问
定解问题
研究两端固题定的弦的自由振动
泛定方程： utt a2uxx 0
(0xl,t0)
边界条件： u(x,t) x00 u(x,t) xl 0
初始条件： u t0 (x) ut t0 (x)
a 2T X
公共常数：
T''(t) a2T(t)
X''(x) X(x)
x, t 是相互独立的变量
得出两个常微分方程：T '' a 2T 0 X '' X 0
代入边界条件： u|x00,
u|xl 0,
X (0 )T (t) 0 X (l)T (t) 0
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X |x0 0
X |xl 0
确定两个函数需要两个条件，因此还可以附
加一个确定u(x) , v(x)的条件．
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为此，对 y ＝ u(x) y1(x), + v(x)y2(x) (9)式两 边求导，得
y'＝ (u y1'+ vy2') + (u'y1+v'y2) (11) 为方便起见，第二个条件规定上武第二项为