可分离变量的微分方程解法分离变量法2
可分离变量的微分方程的解法
可分离变量的微分方程的解法可分离变量的微分方程是指可以化为关于自变量和因变量的两个单独函数的乘积形式的微分方程。
它是一类比较简单的微分方程，其解法比较直观、简单。
下面将介绍可分离变量的微分方程的解法，并提供相关参考内容。
一、可分离变量的微分方程的解法步骤：1. 将方程两边的各项分离开来，将自变量和因变量的函数分别放在一边。
2. 对两边分离出来的函数同时进行积分。
3. 求得两边的积分表达式后，通过移项可以得到最终的解。
二、可分离变量的微分方程的解法示例：以一阶非齐次线性微分方程为例，即dy/dx + P(x)y = Q(x)。
解法如下：1. 将该方程进行重写，变为dy/y = -P(x)dx + Q(x)dx。
2. 将dy/y与-Q(x)dx + P(x)dx进行分离，得到(dy/y) = (-P(x) + Q(x))dx。
3. 对上式两边同时进行积分，得到ln|y| = -∫P(x)dx + ∫Q(x)dx。
4. 移项，解得y = Ce^(-∫P(x)dx) + e^∫Q(x)dx，其中C为常数。
三、参考内容：1. 数学分析教程（中文版）- 微分方程部分，作者：郭家育，出版社：高等教育出版社。
2. 微分方程导论（中文版），作者：Dennis G. Zill，出版社：高等教育出版社。
3. 微积分与几何（中文版）-微分方程部分，作者：David C. Lay，出版社：人民邮电出版社。
4. 可分离变量的微分方程 - 百度百科。
5. Differential Equations - Paul's Online Math Notes。
通过以上参考内容，可以系统地学习可分离变量的微分方程的解法，并理解其中的原理和基本方法。
同时，还可以通过阅读习题和例题，进行练习和巩固，提高解题能力。
可分离变量的微分方程
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例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量Mt)随时间t 变化的规律
解 根据题意 得微分方程 即 lnMtlnC
dM M ( 是正常数)
dt 初始条件为M|t0M0
将方程分离变量 得
dM dt
M 两边积分 得
也即 MCe t
由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量Mt)随时间t变化的 规律MM0e t
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例3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得
下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞
dv mg kv
dt m
塔时速度为零 求降落伞下落 即 速度与时间的函数关系
1 k
ln(
mg
k
v)
t m
C1
解 设降落伞下落速度为 vt) 根据题意得初值问题
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
将方程分离变量得
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
例 1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得
1 dy 2xdx y
两边积分得
1dy y
2xdx
即ln|y|x2C1 来自 加常数的另一方法从而
y eC1ex2 Cex2 从而
其中 C eC1 为任意常数
ln|y|x2lnC y Cex2
§.2 可分离变量 的微分方程
❖可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成
gy)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程的解法
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同，学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法。
今天来学习可分离变量的微分方程，以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程。
一、可分离变量的微分方程
这种方程的形式为：
我们往往会以为将上式两端积分即可求解。
其实是不对的。
因为两端积分后，得，
右端即含有x，又含有y，是什么也求不出的，所以最终求不出y来。
其正确解法为：设y=y(x) 为所求的解，利用微分的知识，当y=y(x)时，有
这一步把y 的函数及dy ，与x的函数及dx分开了，称为分离变量，即习惯上将变量y放在了等号左边，将变量x放在了等号右边，这是求解关键的一步，下一步我们就可由不定积分进行求解了。
求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法。
注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们假定被除的函数不等于0，得到的通解不包含使被除的函数等于0的特解。
但是, 如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该C 不等于0，但这样方程就失去特解y等于正负1，而如果允许C 等于0，则y等于正负1仍包含在通解中.。
微分方程组求解方法
微分方程组求解方法微分方程组是描述自然现象的一种重要数学模型，可以用于解决许多实际问题。
解微分方程组有许多不同的方法，常见的有直接法、变量分离法、常数变易法、齐次方程法、二阶线性常系数齐次微分方程法等等。
接下来，我将详细介绍这些常见的微分方程组求解方法。
1.直接法：如果能直接从方程组中解出一个或多个未知函数，则可以直接得到微分方程组的解。
但是这种方法只适用于少数情况，大多数微分方程组需要使用其他方法求解。
2. 变量分离法：对于一个可分离变量的微分方程组，可以通过将方程两边变量分离，然后分别对两边进行积分的方式得到解。
例如，对于方程组dy/dx = f(x)g(y)，可以将方程两边同时除以g(y)，然后将变量分离即可得到解。
3. 常数变易法：对于一般的非齐次微分方程组，可以通过令未知函数的系数为常数来转化为齐次微分方程组来求解。
例如，对于方程组dy/dx = f(x) + g(x)y，可以令g(x)为常数，然后将方程组转化为齐次微分方程组dy/dx = f(x) + gy，再使用其他方法求解。
4. 齐次方程法：对于齐次微分方程组，可以使用变量代换的方式将其转化为一阶线性常系数齐次微分方程组求解。
例如，对于方程组dy/dx = f(x)/g(x)，可以令y = ux，然后将方程组转化为一阶线性常系数齐次微分方程组du/dx + (u - f(x)/g(x))/x = 0，再使用其他方法求解。
5. 二阶线性常系数齐次微分方程法：对于二阶线性常系数齐次微分方程组，可以使用特征方程法求解。
首先，假设方程组的解为y =e^(mx)，然后将其代入方程组中得到特征方程，求解特征方程的根，然后根据根的类型（不同、相等、复数根）确定方程组的通解。
在实际问题中，常常需要将微分方程组转化为矩阵形式进行求解。
例如，对于二阶线性常系数齐次微分方程组，可以将其转化为矩阵方程Dy=Ay，其中D是微分算子，A是常数矩阵，y是未知函数向量。
高等数学课件7第二节 可分离变量的微分方程ppt
思考与练习
1. 求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
y
x
1 y2 dy 1 x2 dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y
ln tan y 2sin x C 2
4
y5,
dx
是可分离变量的微分方程．
4
y 5dy
Байду номын сангаас
2 x 2dx,
若 dy f ( x, y) dx
dy dx
f1(x) f2( y) ；
或由 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
M1( x)M2( y)dx N1( x)N2( y)dy 0 .
则均为可分离变量的微分方程．
二、分离变量法
( Q( x, y) 0 )
将它看成以 y 为自变量、x 为未知函数的方程
dx Q( x, y) dy P( x, y)
( P(x, y) 0 )
引例1. 求一阶微分方程 dy 2x 的通解． dx
解: 两端积分得通解 y x2 C ．
引例2. 求一阶微分方程 dy 2xy2 的通解． dx
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
令 C eC1
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 求下列微分方程的通解:
解: 原方程化为
dy ex e y dx
分离变量
e ydy exdx
两边积分
通解： e y e x C
(2)
反之，
当 g( y) 0 时，
由(2)式所确定的隐函数y ( x)是(1)式的解;
可分离变量的微分方程
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求 在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. dM 衰变系数 M ( 0 ) 解: 根据题意, 有 d t M t 0 M 0 (初始条件) 对方程分离变量, 然后积分:
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
2
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
通过适当变量代 换可化为可分离 变量的微分方程
t 0
0
dv m mg kv dt
对方程分离变量, 然后积分 : 得
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v t k mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
作 业
P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6 ; 7
第二节 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程及其解法 二、典型例题
一、可分离变量的微分方程及其解法
1、 可分离变量的微分方程
dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx （一阶） M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0
｝
转化
g ( y ) d y f ( x) d x
可分离变量方程
•可分离变量方程
•齐次方程
•其它
一、可分离变量的微分方程
1. 定义： 一阶微分方程：y h( x, y )
dy 即 h( x, y ) dx
f ( x) 若 h( x , y ) g( y )
即形如
g( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
齐次方程
1、变量代换
2、求解
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2
思考题解答
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
由牛顿力学的知识可得 dv F mg kv m ma dt dv 1 mg 即 dt v mg kv m k
mg v0 0 C v k mg t , v k
Ce
k t m
k t mg 1 e m k
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过 程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间 的距离)随时间t的变化规律.
设M ( x , y)为L上任一点， M
MT为切线, 斜率为 y,
o
x
OMN NMR,
1 MN为法线, 斜率为 , y
N
L
tan OMN tan NMR,
y
M
o
T
R
x
N
L
由夹 角正 切公 式得
可分离变量的微分方程
M t=0 = M 0 (初始条件)
对方程分离变量,
然后积分:
∫
dM M
=
∫(−λ )d t
得 ln M = −λ t + ln C, 即 M = C e−λ t
M
利用初始条件, 得 C = M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M = M 0 e−λ t . o
t
解法 1 分离变量 e− y d y = ex dx
− e−y = ex + C
即
(ex +C)ey +1= 0 ( C < 0 )
解法 2 令 u = x + y, 则u′ = 1+ y′
故有 积分
u′ =1+ eu
∫
1
d +
u eu
=
x+C
∫
(1
+ eu 1+
)− eu
eu
du
u − ln (1+ eu ) = x + C
(1 −
−
e
k m
t
)
v
≈
mg k
k
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x + y) y′ = 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
dt
初始条件为 v t=0 = 0
∫ ∫ 对方程分离变量, 然后积分 :
dv = mg − kv
dt m
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5-习题课（57）
20
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
解法 待定系数法.
二阶常系数非齐次线性方程
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 k 1 是单根 ,
2 是重根
5-习题课（57）
21
其中
R(1 m
)
(
x
),
R(2) m
(
x
)是m次多项式，
m maxl, n
k
0 1
二阶常系数齐次线性方程
二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
5-习题课（57）
18
特征方程为
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
u xu u(cos u usin u), usin u cos u
分离变量
usin u cos u du dx ,
2ucos u
x
两边积分
ln( ucos u) ln x2 ln C ,
ucos u C , x2
y cos y C , x x x2
j不是特征方程的根时; j是特征方程的单根时.
5-习题课（57）
22
7、欧拉方程
形如
x yn (n)
p x y n1 (n1) 1
pn1 xy
pn y
f (x)
的方程(其中 p1 , p2 pn为常数)，叫欧拉方程.
欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换 x et 或 t ln x 可化为常系数微分方程.
5-习题课（57）
23
8、幂级数解法
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
5-习题课（57）
24
二、典型例题
例1
解 原方程可化为
dy dx
y x
cos y
(
y
x sin
y
y sin x cos
y
x y
),
xx
x
5-习题课（57）
25
令 u y , y ux, y u xu. 代入原方程得 x
欧拉方程
5-习题课（57）
1
微分方程解题思路
一阶方程
作 变
降
换阶
高阶方程
作变换
分离变量法
全微分方程
积分因子
常数变易法
特征方程法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
幂级数解法 待定系数法
5-习题课（57）
2
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
,
x2
1
y2
,
x y2
,
y x2
等.
5-习题课（57）
13
3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法
代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
5-习题课（57）
14
(3) y f ( y, y) 型
一、主要内容
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量
二阶常系数线性 方程解的结构
3.齐次方程
特征方程法
4.可化为齐次
方程 5.全微分方程
待 定 系
6.线性方程
数
法
特征方程的根 及其对应项
f(x)的形式及其
特解形式
7.伯努利方程
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
形如 dy f ( ax by c )
dx
a1 x b1 y c1
齐次方程． 否则为非齐次方程．
解法
化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
5-习题课（57）
6
(4) 一阶线性微分方程
当Q( x) 0, 当Q( x) 0,
上方程称为齐次的． 上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 （使用分离变量法）
y ex (C1 cos x C2 sin x)
5-习题课（57）
19
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
特征方程为
特征方程的根
若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1x Ck1xk1 )erx
若是k重共轭 复根 j
[(C0 C1x Ck1xk1)cosx (D0 D1x Dk1xk1 )sinx]ex
特点 不显含自变量 x. 解法
代入原方程, 得 P dp f ( y, P). dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
5-习题课（57）
15
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
5-习题课（57）
16
5-习题课（57）
17
５、二阶常系数齐次线性方程解法
n阶常系数线性微分方程
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
5-习题课（57）
3
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
5-习题课（57）
4
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程 形如 g( y)dy f ( x)dx
解法
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换
5-习题课（57）
5
(3) 可化为齐次的方程
(6) 全微分方程 形如
其中
5-习题课（57）
9
注意： 解法 应用曲线积分与路径无关.
通解为
用直接凑全微分的方法.
5-习题课（57）
10
(7) 可化为全微分方程 形如
若 ( x, y) 0连续可微函数，且可使方程 ( x, y)P( x, y)dx ( x, y)Q( x, y)dy 0成为全
5-习题课（57）
7
非齐次微分方程的通解为
（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程
方程为线性微分方程.
方程为非线性微分方程.
5-习题课（57）
8
解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
y1n z
e ( (1n)P( x)dx Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx c).
微分方程.则称 ( x, y)为方程的积分因子.
5-习题课（57）
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公式法:
若 1 (P Q y
Q) x
f (x)
若
1 P
(Q x
P ) y
g(
y)
观察法:
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子．
5-习题课（57）
12
常见的全微分表达式
可选用积分因子
x
1
y
,
1 x2
,
1 x2 y2