分离变量法求解偏微分方程资料讲解
第八章分离变量法_数学物理方法
第八章分离变量法_数学物理方法分离变量法是数学物理方法中的一种重要技术，通常用于求解偏微分方程。
在这一方法中，我们将多元函数表示为一系列单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
接下来，我将详细介绍分离变量法的思想和应用。
1.分离变量法的思想当我们面对一个多元偏微分方程时，通常很难找到它的解析解。
分离变量法的思想就是将多元函数表示为单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。
具体来说，设有一个n元函数u(x1, x2, ..., xn)，我们希望将其表示为n个单变量函数的乘积形式u(x1, x2, ..., xn) =u1(x1)u2(x2)...un(xn)。
代入偏微分方程后，我们可以得到一系列等式，将等式两边同时除以对应的单变量函数后，得到n个只依赖于一个变量的常微分方程。
然后我们可以分别求解这些常微分方程，得到对应的单变量函数的解析解。
2.分离变量法的应用分离变量法在物理学中有广泛的应用，特别是在描述传热、传质、波动等现象的偏微分方程的求解中。
以下是几个典型的例子：(1)热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
假设物体的温度分布函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
热传导方程可以写成如下形式：∂u/∂t=a²∇²u其中a是热传导系数。
我们可以将温度分布函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入热传导方程，得到两个常微分方程X''/X=T'/a²T。
分别解这两个方程，可以得到温度分布函数的解析解。
(2)线性波动方程线性波动方程是描述波动现象的方程。
假设波动函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
∂²u/∂t²=v²∇²u其中v是波速。
我们可以将波动函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入线性波动方程，得到两个常微分方程X''/X=v²T''/T。
偏微分方程的求解方法
偏微分方程的求解方法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是一类重要的数学问题，其应用范围遍及自然科学、工程技术以及金融等领域。
如何求解偏微分方程是一个具有挑战性的问题，通常需要采用多种方法结合起来进行求解。
本文将简要介绍几种常见的偏微分方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是一种简单而重要的偏微分方程求解方法。
该方法基于以下假设：偏微分方程的一个解可以写成一系列单一变量的函数乘积的形式。
具体地说，对于一个偏微分方程u(x, y) = 0（其中x, y为自变量），假设其解可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，其中X(x)和Y(y)分别是关于x和y的单一变量函数。
将u(x, y)代入原方程，得到X(x)Y(y) = 0。
由于0的任何一侧都是0，因此可得到两个单一变量方程：X(x) = 0和Y(y) = 0。
这两个方程的部分解（即使其中一个变量为常数时的解）可以结合在一起，形成原偏微分方程的一般解。
2. 特征线法特征线法是另一种重要的偏微分方程求解方法。
该方法的基本思想是将原方程转化为常微分方程，进而求解。
具体地说，对于一个二阶线性偏微分方程：a(x, y)u_xx + 2b(x, y)u_xy + c(x, y)u_yy + d(x, y)u_x + e(x, y)u_y + f(x, y)u = g(x, y)，通过变量的代换，可以将该方程化为一个与一次微分方程组相关的形式。
进一步地，可以选择沿着特定的方向（例如x或y方向）进行参数化，从而得到关于变量的一阶微分方程。
该微分方程的解通常可以通过传统的常微分方程求解技巧来获得。
3. 数值方法数值方法是目前应用最广泛的偏微分方程求解方法之一。
由于大多数偏微分方程的解析解很难获得，因此数值方法成为了一种有效的、可行的替代方法。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法通过将偏微分方程离散化为一个有限维的计算问题，然后使用数值方法求解这个问题的解。
数理方程第二章分离变量法
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
偏微分方程中的分离变量与变量分离法
偏微分方程中的分离变量与变量分离法在偏微分方程的求解过程中，分离变量法是一种常用的方法。
它通过将多元函数的变量进行适当的分离，将复杂的偏微分方程转化为一系列常微分方程，从而简化求解过程。
本文将介绍分离变量法的基本原理和应用。
一、分离变量法的基本原理分离变量法适用于可分离变量的偏微分方程，即可以将方程中的多个变量进行分离，得到形如f(x)g(y)h(z)的解。
其基本步骤如下：1. 将偏微分方程中的各个变量分开，得到f(x)g(y)h(z)形式的解。
2. 将上述解带入原方程，得到一系列常微分方程。
3. 求解得到常微分方程的解。
4. 将常微分方程的解带回分离的变量中，得到原偏微分方程的解。
二、分离变量法的应用举例下面以常见的热传导方程为例，展示分离变量法的应用过程。
热传导方程是描述物体温度分布随时间变化的方程，其一维形式为：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示物体在位置x处随时间t的温度，α为热扩散系数。
根据分离变量法的原理，我们可以将u(x,t)表示为两个变量的乘积形式：u(x,t) = X(x)T(t)代入热传导方程，得到：X(x)T'(t) = αX''(x)T(t)接下来，我们将两边的式子分离，得到两个方程：T'(t)/T(t) = αX''(x)/X(x)左侧是只含有t的项，右侧是只含有x的项。
由于两边的变量不同，所以这两个方程必须等于一个常数，假设为λ。
T'(t)/T(t) = λ, αX''(x)/X(x) = λ解上述两个常微分方程分别得到：T(t) = e^(λt)X(x) = Asin(√(λ/α)x) + Bcos(√(λ/α)x)其中，A和B为任意常数。
最后，将求得的T(t)和X(x)带回原方程中，得到：e^(λt)(Asin(√(λ/α)x) + Bcos(√(λ/α)x)) = X(x)T(t)此时，我们可以通过选取合适的λ值，使得上述方程成立，从而得到热传导方程的解。
偏微分方程的分离变量法
偏微分方程的分离变量法偏微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了多元函数的偏导数之间的关系。
在求解偏微分方程的过程中，分离变量法是一种常被使用的方法。
本文将介绍偏微分方程的分离变量法，并通过实例来说明其应用。
一、分离变量法的基本原理分离变量法是一种常见且常用的求解偏微分方程的方法。
它基于以下原理：假设待求解的偏微分方程为一个多项式函数，且可以分解为多个单独的函数之积，即可将其分离为多个个别的方程，通过解这些个别方程，再将它们组合起来得到原方程的解。
二、分离变量法的具体步骤分离变量法的具体步骤如下：1. 将待求解的偏微分方程中的各个变量分离，组成一个由单个变量及其对应的导数组成的方程。
2. 对单个变量的方程进行求解，得到每个变量的解函数。
3. 将各个变量的解函数组合起来，得到原方程的解。
三、应用实例：热传导方程问题考虑一个一维热传导方程问题：∂u/∂t = k * ∂^2u/∂x^2其中，u(x, t)为未知函数，k为常数。
按照分离变量法的步骤，我们将u(x, t)分离为两个函数u(x)和v(t)的乘积，即u(x, t) = X(x) * T(t)。
将上述分离变量代入原方程中，得到：X(x) * T'(t) = k * X''(x) * T(t)将等式两边分别除以k * X(x) * T(t)，得到：T'(t) / (k * T(t)) = X''(x) / X(x)由于等式两边只包含单个变量及其对应的导数，因此可以将等式两边分别等于一个常数，记为-λ^2，得到：T'(t) / (k * T(t)) = -λ^2 = X''(x) / X(x)接下来，我们对T(t)和X(x)分别进行求解。
对T(t)的小节方程进行求解，得到：T'(t) / (k * T(t)) = -λ^2T'(t) / T(t) = -λ^2 * k对上述方程积分，得到：ln(T(t)) = -λ^2 * k * t + C1其中，C1为常数。
偏微分课件分离变量法
分离变量法的数学推导
第四章
推导过程和公式
引入分离变量法： 将偏微分方程中的 变量分离，得到两 个方程
求解两个方程：分 别求解两个方程， 得到两个解
合并解：将两个解 合并，得到偏微分 方程的解
公式：分离变量法 的公式为： u(x,y)=X(x)Y(y)， 其中X(x)和Y(y)分 别为两个方程的解
物理背景：Sturm-Liouville问题是描述振动系统的基本方程，广泛应用于力学、电磁学等 领域。
物理意义：Sturm-Liouville问题描述了振动系统的频率、振幅和相位等物理量，是研究振 动系统的重要工具。
解释：Sturm-Liouville问题通过求解特征值和特征函数，得到振动系统的频率和振幅，从 而描述振动系统的物理特性。
感谢您的观看
汇报人：
应用：Sturm-Liouville问题在力学、电磁学等领域有着广泛的应用，如振动分析、电磁场 分析等。
分离变量法的扩展和推广
第六章
扩展到高维空间的情况
高维空间中的分离变量法：将一维问题推广到高维空间，解决更高维的问题 推广到高维空间的条件：满足一定的条件，如对称性、周期性等 高维空间中的分离变量法应用：在物理、工程等领域有广泛应用
应用：分离变量法广泛应用于求解 各种类型的偏微分方程，如热传导 方程、波动方程等。
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原理：将偏微分方程中的未知函数 分解为多个部分，每个部分只包含 一个变量，然后分别求解，最后再 组合起来得到原方程的解。
注意事项：在使用分离变量法求解 偏微分方程时，需要注意方程的边 界条件和初值条件，以及解的连续 性和光滑性。
Sturm-Liouville问题的求解
§2.1 分离变量法求解偏微分方程
1
⎧ x = r sin θ cos ϕ ⎪ 直角坐标系与球坐标系的关系： ⎨ y = r sin θ sin ϕ ⎪ z = r cos ϕ ⎩
利用微分计算，可以得到球坐标系下拉普拉斯方程
1 ∂ ⎛ 2 ∂u ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u =0 ⎜r ⎟+ ⎜ sin θ ⎟+ ∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝
边界条件 确定本征值、 本征函数
初始条件 确定待定系数
§2.1 分离变量法求解偏微分方程
一、拉普拉斯（Laplace）方程： ∇ u = 0
2
1、球坐标系 (r , θ , ϕ ) 下拉普拉斯方程的分离变量解法 直角坐标系下拉普拉斯方程：
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
⇒
ρ d ⎛ dR ⎞ ρ 2 d 2 Z 1 d 2Φ ⎜ ⎟ + = − = m2 ρ ⎜ ⎟ 2 2 Φ dϕ R dρ ⎝ dρ ⎠ Z dz
⎧ d 2Φ 2 ⎪ 2 +m Φ =0 ⎪ dϕ ⎨ dR ⎞ ρ 2 d 2 Z 2 ⎪ρ d ⎛ ⎜ ⎟ ρ ⎟ + Z dz 2 − m = 0 ⎪ R dρ ⎜ d ρ ⎝ ⎠ ⎩ (17) (18)
Φ (ϕ ) 应满足自然边界条件 Φ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π )
所以， m 必须为整数，即 m = 0,1,2, L 综上
Φ(ϕ ) = Am cos mϕ + Bm sin mϕ
3 、方程（8）的求解 ○ 令 x = cos θ ,
(m = 0,1,2,L)
（13）
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再例-弦的拨动
2u
t2
a2
2u x2
,
x(0,l),t 0
u(x,
0)
d1 x l1d (l
, x)
ut
(x,
0)
0,
x[0,l], 0d l
u(0,t) u(l,t) 0,
t 0
u (x ,t)2 d 2 ( l l2 d )n 1 n 1 2 s in n ld c o s a n lt s in n lx
x(0,l),t 0 x[0,l], 0cl
u(0,t)u(l,t)0,
t 0
u (x ,t) a 2n 11 n s in n lc s in a n l t s in n lx
对不同的 c ，有界弦的自由振动
当 c=0.2l 时，有界弦的自由振动
当 c=0.5l 时，有界弦的自由振动
u(2txu2,0)a2(x2ux2),,ut(x,0) (x),
ux(0,t)u(l,t) 0,
x(0,l),t 0
x[0,l] t 0
左端点自由、右端点固定的边界条件
X(x)X(x) 0
X(0)X(l) 0
n
n
1
2
l
2
,
X n(x)
c
o
s
n
l
1 2
x,
n 0,1, 2, 3,L
第三类边界条件的混合问题的求解中遇到的困难
u(2txu2,0)a2(x2ux2),,ut(x,0) (x),
ux(0,t)u(0,t)u(l,t) 0,
x(0,l),t 0
x[0,l] t 0
X(x)X(x)0
X(0)X(0)X(l)0
l tan l
举例-弦的敲击
u(2txu2,0)a20,x2uu2t,(x,0)(xc),
初相位 n
驻波
其它边界条件的混合问题
u(2txu2,0)a2(x2ux2),,ut(x,0) (x),
ux(0,t) ux(l,t) 0,
x(0,l),t 0
x[0,l] t 0
两端自由的边界条件
X(x)X(x) 0
X(0)X(l) 0
n
n l
2
,
X
n(x)
cos
n l
x
,
n 0,1, 2,3,L
x(0,l),t 0
x[0,l] t 0
物理解释：
一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位 移和速度，在没有强迫外力作用下的振动
求解的基本步骤
第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解
u(x,t)X(x)T(t)
X(x)：
X(x)X(x) 0
X(0)X(l) 0
T(t)： T(t)a2T(t)0
对不同的 d ，有界弦的自由振动
当 d=0.5l 时，有界弦的自由振动
当 d=0.3l 时，有界弦的自由振动
第二节 有限长杆上的热传导
u(utx,0a) 2x2u(2x,),
u(0,t) ux (l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t 0
物理解释：
一根长为 l 的均匀细杆，其右端保持绝热， 左端保持零度，给定杆内的初始的温度分 布，在没有热源的情况下杆在任意时刻的 温度分布
,
X n(x)
sin
n
1 2
l
x,
n 0,1, 2,3,L
Tn(t)
An
expa2(nl212)22
t
n0,1,2,3,L
T(t)的表达 式
第三步：利用初始条件求得定解问题的解
u (x ,t)n 0A ne x p a 2(n l2 1 2)2 2t sin (n l1 2 ) x
利用初始条件得
An2l 0l()sinnld Bnan 20l()sinnld
n=4
驻波 o
l
un(x,t)AncosanltBnsinanltsinnlx
Nnsinnlxsinanltn
其中
Nn An 2Bn 2, narctanB An n
振
幅
an
Nn
sin
n
l
x
振动元素，本征振动
频
率
n
a n l
u(2txu2,0)a2(x2ux2),,ut(x,0) (x),
u(0,t)ux(l,t) 0,
x(0,l),t 0
x[0,l] t 0
左端点固定、右端点自有的边界条件
X(x)X(x) 0
X(0)X(l) 0
n
n
1
2
l
2
,
X n(x)
sin
n
1 2
l
x,
n 0,1, 2,3,L
本征值问 题
第二步：求本征值 和本征函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式
本征值和 本征函数
n
n l
2
,
X
n
(x)
sin
n l
x
,
n 1, 2,3,L
Tn(t)AncosanltBnsinanlt
n1,2,3,L
T(t)的表达 式
第三步：利用初始条件求得定解问题的解
u (x ,t) n 1 A n c o s a n l t B n s in a n l t s in n lx
利用初始条件得
An2 l 0l()sin(nl1 2)d
举例
u
t
a2
2u x2
,
u( x, 0)
u0 l
x,
u(0,t) ux (l,t) 0, ) 2 u 2 0n 0 (n ( 1 ) 1 2 n )2e x p a 2 (n l2 1 2 )22t s in (n l1 2 )x
第十章 分离变量法
第一节 有界弦的自由振动 第二节 有限长杆上的热传导 第三节 特殊区域上的位势方程 第四节 高维定解问题的分离变量法 第五节 对非齐次边界条件和非齐次方程
的处理
第一节 有界弦的自由振动
u(2txu2,0)a2(x2ux2),,ut(x,0) (x),
u(0,t) u(l,t) 0,
当 u0=1 时，杆内温度随时间的变化
第三节 特殊区域上的位势方程
矩形域上的边值问题
散热片的横截面为一矩形[0,a] [0,b]，它的 一边 y=b 处于较高的温度，其它三边保持 零度。求横截面上的稳恒的温度分布
u(x2xu2,0)y2u20,u(0x,,b) U, u(0, y) u(a, y) 0,
求解的基本步骤
第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解
u(x,t)X(x)T(t)
X(x)：
X(x)X(x) 0
X(0)X(l) 0
本征值问题
T(t)： T(t)a2T(t)0
第二步：求本征值 和本征函数 X(x)， 以及 T(t)的表达式
本征值和 本征函数
n
n
1 2
l
2