-可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
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例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量Mt)随时间t 变化的规律
解 根据题意 得微分方程 即 lnMtlnC
dM M ( 是正常数)
dt 初始条件为M|t0M0
将方程分离变量 得
dM dt
M 两边积分 得
也即 MCe t
由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量Mt)随时间t变化的 规律MM0e t
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例3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得
下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞
dv mg kv
dt m
塔时速度为零 求降落伞下落 即 速度与时间的函数关系
1 k
ln(
mg
k
v)
t m
C1
解 设降落伞下落速度为 vt) 根据题意得初值问题
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
将方程分离变量得
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
例 1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得
1 dy 2xdx y
两边积分得
1dy y
2xdx
即ln|y|x2C1 来自 加常数的另一方法从而
y eC1ex2 Cex2 从而
其中 C eC1 为任意常数
ln|y|x2lnC y Cex2
§.2 可分离变量 的微分方程
❖可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成
gy)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程的解法
微分方程(可分离变量的微分方程)
即 y xu,
dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
6
齐次微分方程的解
1 : 当 f (u) u 0时,
du 得 ln C1 x , f ( u) u du 即 x Ce ( u ) , （ ( u ) ） f ( u) u y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
13
dy (2) 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ). dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或 y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
12
一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程
一可分离变量的微分方程
作变量代换
u
y x
,即
y
xu,
dy dx
u
x
du dx
,
代入原式
u x du dx
f (u),
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
例7
求微分方程
y
y x y
的通解
解 把原方程化为
y
dy x dx 1 y
x
令u y ，则y xu，dy u x du ，代入上式
x
dx
司将在第36年破产；
当 W0= 600 百万元时，公司将收支平衡，将资 产保持在600百万元不变；
当 W0 =700 百万元时，公司净资产将按指数 不断增大.
二、齐次方程
1.定义 形如 f x, y n f x, y，
称为n次齐次方程.
2.定义
形如
dy dx
f
(
y x
)
的微分方程称为齐次方程.
3.解法
解 方程两边同除以y，再乘dx，得
1 dy 2xdx y
两端分别积分
1 dy y
2xdx, 得
ln y x2 C1
即 y ex2 C1 eC1 ex2 Cex2
又显然y 0是方程的解，且它已包含在通解中
(当C 0)，故原方程的通解为 y Cex2 .
例3 求方程 dy 1 x y2 xy2的通解． dx
可分离变量方程求解步骤: 第一步，分离变量
g( y)dy f (x)dx
第二步，对上式两端分别积分：
g(y)dy f (x)dx
得到通解 G(y) F(x) C
其中G y与F x分别是g(y)与f x的一个原函数，
可分离变量的微分方程公式
可分离变量的微分方程公式可分离变量的微分方程公式，这可是数学中的一个重要知识点呢！咱们先来说说啥是可分离变量的微分方程。
简单来讲，就是能把方程中的变量和它们的导数分离开来，写成一边只有 x 和 dx，另一边只有 y 和 dy 的形式。
比如说，像 dy/dx = f(x)g(y) 这样的式子，就能通过变形变成 g(y)dy = f(x)dx 。
给大家举个例子哈，比如说有个微分方程 dy/dx = x/y ，咱们就能把它变成 ydy = xdx 。
然后两边积分，左边积分得到 1/2 * y^2 ，右边积分得到 1/2 * x^2 + C ，这就求出了方程的解。
我记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子刚开始接触可分离变量的微分方程时，那叫一个迷糊，怎么都弄不明白。
我就一点点给他讲，先从最简单的例子入手，让他自己动手去分离变量，去积分。
结果他总是在一些小细节上出错，不是积分公式记错了，就是忘了加常数 C 。
我看着他着急的样子，心里也挺着急的。
但我知道不能急，得慢慢来。
于是我又给他重新梳理了一遍知识点，让他多做几道练习题。
慢慢地，他好像找到了一点感觉，能做出一些简单的题目了。
可是，当遇到稍微复杂一点的题目，比如 dy/dx = (x^2 + 1) / (y^2 - 1) 这样的，他又懵了。
我就陪着他，一步一步地分析，告诉他怎么把方程变形，怎么确定积分的上下限。
经过好几天的努力，小李终于掌握了可分离变量的微分方程。
他开心得不行，我也为他感到高兴。
再来说说可分离变量的微分方程在实际中的应用。
比如说，在物理学中，研究物体的运动规律时，经常会用到这个公式。
还有在生物学中，分析种群的增长模型时，也能派上用场。
总之，可分离变量的微分方程公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做练习，就能轻松应对。
可别像小李刚开始那样被它给难住啦！希望大家都能学好这个知识点，在数学的海洋里畅游无阻！。
常微分方程基本公式
常微分方程基本公式一、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C，其中C为任意常数。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))- 解法：令u = (y)/(x)，即y = ux，则(dy)/(dx)=u + x(du)/(dx)。
原方程化为u + x(du)/(dx)=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的方法求解。
3. 一阶线性微分方程。
- 形式：(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)- 通解公式：y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)二、二阶常系数线性微分方程。
1. 齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = 0（其中p,q为常数）- 特征方程：r^2+pr + q=0- 当特征方程有两个不同实根r_1,r_2时，通解为y = C_1e^r_1x+C_2e^r_2x；- 当特征方程有重根r时，通解为y=(C_1+C_2x)e^rx；- 当特征方程有一对共轭复根r_1,2=α±β i时，通解为y = e^α x(C_1cosβ x + C_2sinβ x)。
2. 非齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = f(x)- 通解结构：y = y_h+y_p，其中y_h是对应的齐次方程的通解，y_p是一个特解。
- 当f(x)=P_m(x)e^λ x（P_m(x)是m次多项式）时，特解y_p的形式：- 若λ不是特征方程的根，则y_p=Q_m(x)e^λ x（Q_m(x)是m次待定多项式）；- 若λ是特征方程的单根，则y_p=xQ_m(x)e^λ x；- 若λ是特征方程的重根，则y_p=x^2Q_m(x)e^λ x。
可分离变量的微分方程
（2）解微分方程： ）解微分方程： 分离变量 两边积分
dM ∫ M = ∫ λdt ,
O
t
ln M = λt + ln C , 即M = Ce λt , 代入M t = 0 = M 0 ,得 M 0 = Ce 0 = C ,
∴ M = M 0e
λt
衰变规律
放射性物质都具有类似的衰变规律： 放射性物质都具有类似的衰变规律：
A B C ,b = , 记a = D D
若a = 0, 即A = B ,
饮食量仅够维持新陈代谢 身体快速消瘦
则w = w0 e bt . lim w ( t ) = 0
dw = a bw(t ). 若b = 0,即C = 0, 只吃饭、不锻炼 dt 只吃饭、 dw 则方程变为 = a , 解得w = at + w0 . dt 当t → ∞时，w → ∞ . 身体越来越胖 危险！ 危险！
思考题
下列微分方程是否为可分离变量方程 下列微分方程是否为可分离变量方程? 是否为可分离变量方程
y′ 1. x = y x +y
2 2
不是 是 是
2. y(1 + x 2 ) y′ x 1 y 2 = 0
3. 2e dx + ( 1 x ) dy = 0
y
作业
p.269 习题 －2 习题12－ 1. (3), (7); 2. (1), (4); 4; 6.
(1 )
y′ = f ( x , y )
问题： 问题： d y = 2 x y 2 dy = 2 xdx dy = 2 xdx dx y2 y2 dy dx 1 xy ′ y ln y = 0 = = x2 + C 例如： 例如： y ln y x y 1 ( e x + y e x ) dx + ( e x + y + e y ) dy = 0y = x 2 + C e x (e y 1)dx + e y (e y + 1)dy = 0 y e ex dy = x dx y 1e e +1 均可化为(1)的形式 的形式. 均可化为 的形式
可分离变量的微分方程知乎
可分离变量的微分方程知乎可分离变量的微分方程是微积分中的一个重要概念，它在物理学、工程学以及经济学等领域都有广泛的应用。
本文将围绕这一主题展开，介绍可分离变量的微分方程的概念、特点以及解法等内容。
可分离变量的微分方程是指可以通过对方程两边同时进行变量分离，从而得到两个独立变量的函数的形式。
通常情况下，可分离变量的微分方程可以写成dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是关于自变量x和因变量y的函数。
可分离变量的微分方程的特点在于，方程中的未知函数可以通过变量分离而得到两个独立的函数，从而简化了求解过程。
这种类型的微分方程在理论上是比较容易求解的，因为可以通过分离变量、积分等方法求解。
解可分离变量的微分方程的一般步骤是：首先将方程两边关于x和y进行变量分离，得到f(y)dy = g(x)dx；然后对两边同时进行积分，得到∫f(y)dy = ∫g(x)dx；最后解出积分后的方程，得到y的解析表达式。
举个简单的例子来说明可分离变量的微分方程的解法。
考虑方程dy/dx = x/y，我们可以对方程两边同时进行变量分离，得到ydy = xdx。
然后对两边同时积分，得到∫ydy = ∫xdx，解得y^2/2 = x^2/2 + C，其中C为常数。
最后解出y，得到y = ±√(x^2 + C)。
这就是方程的解析解。
可分离变量的微分方程在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，可分离变量的微分方程可以用来描述物体的运动、电路中的电流等现象。
在工程学中，可分离变量的微分方程可以用来描述控制系统的动态行为、电路中的电压等。
在经济学中，可分离变量的微分方程可以用来描述经济增长、人口变化等问题。
可分离变量的微分方程是微积分中的重要概念，它在物理学、工程学以及经济学等领域都有重要的应用价值。
掌握可分离变量的微分方程的概念、特点以及解法，对于深入理解和应用微积分具有重要意义。
希望本文对读者对可分离变量的微分方程有所帮助。
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x, y)处的切线斜率
为 dy 。 dx
根据题意有
dy x dx y
初始条件为
y 0 x 1
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
（2）质量变成一半时m=25，将其代入上式，得
25 50e0.053t
即
e0.053t 1
2
则
t ln2 1（3 年）
0.053
于是可以预测大约经过13年，该材料质量变成一半。
高等数学
两边积分，得
ln P(t) 0.08t ln C
化简，得通解
P(t) Ce0.08t
将 P(0) 80 423 代入通解中，得 C 80 423
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？
于是所求特解为
C 1 y ex2
在解微分方程时，为方便起见，遇到如
1 y
dy， 1x
dx等
形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式
不变。
例3 解微分方程 x( y2 1) dx y(x2 1) dy 0
解 分离变量，两边同乘以2，得
两边积分，得
2 y2
y 1
dy
2x x2 1
dx
dy f (x) g( y) dx
求解步骤如下： （1）分离变量 dy f (x)dx
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C 14 105 , 0.62 2g 15
所求规律为t (7 105 103 h3 3 h5 ). 4.65 2g
作业
12 1(263页)： 2.(3); 3.(2); 4.(2); 5.(2)
12-2(269页)： 1.(5)(7); 2.(3)(4); 4; 5.
附加题已知函数f (x)来自(0, )内可导，f (x) 0, lim f (x) 1. x
例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间t的变化规律.
解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为
Q dV 0.62 S 2gh , dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
y ln y
x
两端积分得
即 从而
y
1 ln
y
dy
dx. x
隐式（通）解
ln ln y ln x C1.
y eCx
其中C eC1是任意常数.
(2) y ' e2xy , y 0. x0
思考：
(1) (x xy2 )dx (x2 y y)dy 0 (2) y ' sin(x y) sin(x y)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
即为未知函数的微分方程.
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
0.62 2g 3
5
h |t0 100,
1
且满足
lim
h0
f (x hx) h
f (x)
1
ex.
求f (x).
1
answer : f (x) e x .
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§12-2 可分离变量的微分方程
研究对象 解法 举例
研究对象：
dy f (x)h(y) 或 g( y)dy f (x)dx
dx
---可分离变量的微分方程
解法：
(1)分离变量； (2)两边求不定积分
举例：
(1) xy ' y ln y 0
注意对方程的解中 任意常数的处理哦！
解：分离变量得
1 dy dx .
S 1 cm2 ,
h
dV 0.62 2ghdt, (1)
h
h dh r
设在微小的时间间隔 [t, t dt], o
100 cm
水面的高度由h降至 h dh , 则 dV r 2dh,
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)