用分离变量法解常微分方程

用分离变量法解常微分方程TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】用分离变量法解常微分方程.１ 直接可分离变量的微分方程形如dxdy= ()x f ()y ϕ 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ϕ分别是的连续函数.如果ϕ(y)≠0，我们可将（）改写成)(y dyϕ= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到通解：⎰)(x dyϕ=⎰dx x f )(+c. 其中，c 表示该常数，⎰)(x dyϕ，⎰dx x f )(分别理解为)(1y ϕ，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（）有意义.使()0=yϕ的0y y =是方程的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分：c xdx ydy +-=-⎰⎰2211 ，得c x y +-=arcsin arcsin .可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解.我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程.分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率.解：由题意得y'-=1法κ. 从而法线PQ 的方程为)(1x X y y Y -'-=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,0y ，代入上式，得)0(12x y y y -'-=-. 整理后，得x y y 2-='，分离变量，解得x +2其中c 为任意正数，如图1.２ 变量可替换的微分方程种可化为变量分离方程的类型:齐次方程形如⎪⎭⎫⎝⎛=x y dx dy ϕ的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ϕ是u 的连续函数.对方程做变量变换xyu =， 即ux y =，于是u dxdu x dx dy +=. 将,代入（），则原方程变为)(u u dxduxϕ=+， 整理后，得到x uu dx du -=)(ϕ. 方程（）是一个变量分离方程.可按前面的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（）的解.例3 求微分方程dxdyxy dx dy x y =+22的通解. 解：原方程化为()22ydxdy x xy =- ()x y ≠，即1-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy x y dxdy ， 于是，令x y u =，即xu y =，将dxdu u dx dy +=代入该方程，得 12-=+u u dx du x u ，整理，即有112-=--=u u u u u dx du x ， 分离变量，得xdx du u u =-1 ()0≠u ，两边积分，得1ln ln ln c x u u +=-，将xyu =代回来，得 ()y c c x x y x y 11ln ln =⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=， ∴ xye y c =1，即xy ce y =，其中c 为任意常数.另, 0=u 即0=y 也是原方程的解，但此解课包含于通解0=c 之中.故,方程的通解为xyce y =.形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++= 的方程，这里212121,,,,,c c b b a a 均为常数. 此方程经变量变换可化为变量分离方程.我们分三种情形来讨论：()常数k c c b b b a ===212111的情形. 这时方程化为 有通解c kx y +=，其中为任意的常数c .212111c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=，这时有 是变量分离方程.2111b b b a ≠的情形. 如果方程()1.2中21,c c 不全为零，方程右端分子、分母都是y x ,的一次多项式，因此0121=++c y b x a ，0222=++c y b x a . （） 代表Oxy 平面上两条相交直线，设交点()βα,.若令α-=x X ，β-=y Y .则（）化为011=+Y b X a ，022=+Y b X a .从而（）变为⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=X Y Y b X a Y b X a dX dY ϕ2211. 因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（）的解.如果方程（）中021==c c 可不必求解（），直接取变换xyu =即可.上述解题的方法也适用于比方程（）更一般的方程类型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy. 例4 求解方程766322-++-=y x y x dx dy （） 解： 解方程组 0322=+-y x , 0766=-+y x ,得34,61=-=y x .于是，令61-=X x ,34+=Y y ,代入方程（），则有YX YX dx dy 6622+-=. ()1.2 再令XYu =,即 uX Y =，则()5.2化为 du uu uX dX 2211--+=， 两边积分，得cu u X ~12ln ln 22+-+-=， 因此()1~2212c e u u X c =±=-+，代回原变量，得1222c X XY Y =-+，即122613461234c x y x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-.因此，方程（）的通解为c x y xy x y =--+-184737222， 其中，c 为任意常数.通过上述的求解，我们发现以上的方法是非常的准确的，但是对于像例5这种形式的的方程，我们发现还可以用另一种方法——凑微分进行求解.凑微分 当方程满足：21b a -= （）时，方程会有更简便的求解方法（全微分的知识的运用）.即：将12b a -=代入方程222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=中， 有 即 展开，得=++dx c ydx b xdx a 111dy c ydy b xdy a 222++ （）有条件（）可知，dx b xdy a ydx a xdy a xy d a 12222)(-=+= （）将（）代入（）中，得0)222(1212222=--++x c x a y c y b xy a d .很显然，这是一个全微分方程，从而原方程的通解为C x c x a y c y b xy a =--++1212222222，其中C 为任意常数.例5 求解方程85+-+-=y x y x dx dy . 解法一：，令y x u -=.则dy dx du -= 所以，原方程可化为83+=u dx du . 这是一个分离变量方程.整理可得x u u 6162=+.将y x u -=代入，可得 即，通解为c y x xy y x =-+-+1610222.其中c 为任意常数.观察例6可以发现，方程也满足条件，于是用凑微分的方法同样可以求解. 解法二：原方程变形为dx y x dy y x )5()8(+-=+-.整理得058)(=--+-+dx xdx dy ydy ydy xdy .所以0)521821(22=--+-x x y y xy d . 两边积分，得原方程的通解为x x y y xy 52182122--+-=C ，其中C 为任意常数.以上的两种方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介绍几种比较常见的课分离变量的方程.形如 ()c by ax f yx dx dy ++=--βαβα11的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，这里的c b a ,,均为常数.做变量变换c by ax u ++=βα，这时有()u f x b x a dxdy y b x a dx du ⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅=----1111ααβαβαβα， 即()dx x u f b a du1-=⋅⋅+⋅αβα.是变量分离方程.而当1==βα时，()c by ax f dxdy++=为其特殊形式. 例7 求解方程yx xy y x dx ++=3dy . 解：因为yxxy y x dx ++=3dy ， 可以化为()1dy 22++=y x yx dx .于是，令122++=y x u .则xu x dxdy y x dx du 2222+=+=, 将代入可以知道，这是一个分离变量方程. 即xdx du u =+221. 两边同时积分，得()121ln c x u +=+.再将代入，得()12222ln c x y x +=++.所以 整理得，2222x Ce y x =++，其中C 为任意常数.其他几种变量能分离的方程类型形如()()0=+dy xy xg dx xy yf ,的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.将变形为()()xy yf xy xg dx dy -= 做变量替换xy u =. 这时有2x udxxdu dy -=， 将代入中，得()()()dx xdu u uf u ug u g 1=-. 是变量分离方程.形如 ()xy f dxdy x =2， 的方程是变量分离方程.做变量替换 xy u =，则2x udx xdu dx dy -=， 代入原方程，得()dx x du u f u 11=-. 是变量分离方程.形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=2x y xf dx dy ， 的方程是变量分离方程.做变量替换2x y u =， 则，有xudx du x dy 22+=，将代入中，得()dx xdu u u f 121=-， 所以，原方程同样是变量可替换方程.形如βαby ax dxdy += （其中α、β满足βααβ-=）的方程.可令1+=αz y ，方程化为齐次方程 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-b x z dx dz ααα11， 事实上，()dxdz z dx dy αα1+=， 由于ααβαβαβααααbz x bz x by x dxdz +=+=+=+， 所以()ααααbz ax dx dz z +=+1， 即()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-b x z dx dz ααα11， 再，设xz u =，可化为变量分离变量. 除此之外，还有一些一般形式，如()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y f x x y dx dy ϕ可以通过变量替换x y u =化为变量分离方程求解；形如()()()()ydx xdy y x N ydy xdx y x M -++,,（其中M 、N 为y x ,齐次函数，次数可以不相同）也可通过变量替换θρθρsin ,cos ==y x 化为变量分离方程求解.变量代换是求解一阶微分方程的一种重要方法，在一阶微分方程的初等解法中具有重要的作用.。