可分离变量的微分方程解法分离变量法2
形如 dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
5-习题课（57）
8
解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y1n ,
5-习题课（57）
5
(3) 可化为齐次的方程
形如 dy f ( ax by c )
dx
a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 齐次方程．否则为非齐次方程．
解法 令 x X h, y Y k， 化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
5-习题课（57）
微分方程.则称 ( x, y)为方程的积分因子.
5-习题课（57）
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公式法:
若 1 (P Q y
Q) x
f (x)
若
1 P
(Q x
P ) y
g(
y)
则
(
x)
e
f
(
x )dx
;
则 ( y) e g( y)dy .
观察法:
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出 积分因子．
6
(4) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0,
上方程称为齐次的．
当Q( x) 0,
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（使用分离变量法）
5-习题课（57）
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非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
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注意： 全微分方程 P Q y x
解法 应用曲线积分与路径无关.
x
y
u( x, y) x0 P( x, y)d x y0 Q( x0 , y)dy
y
x
Q( x, y)dy
y0
x0 P( x, y0 )d x,
通解为 u( x, y) c .
用直接凑全微分的方法.
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
5-习题课（57）
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(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
欧拉方程
5-习题课（57）
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微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
非非
全微分方程
变全 量微
积分因子 可 分
常数变易法
分方
离程
特征方程法
幂级数解法 待定系数法
5-习题课（57）
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1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y 0
(1)
5-习题课（57）
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定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
5-习题课（57）
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通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
一、主要内容
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
7.伯努利方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
y1n z
e ( (1n)P( x)dx Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx c).
(6) 全微分方程
形如 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
其中 du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy
5-习题课（57）
y 2 )
xdy x2
ydx y2
d
1 ln 2
x x
y y
可选用积分因子
x
1
, y
1 x2
,
1 x2 y2
,
x2
1
y2
,
x y2
,
y x2
等.
5-习题课（57）
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3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
5-习题课（57）
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(7) 可化为全微分方程
形如 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
非全微分方程 (P Q). y x
若 ( x, y) 0连续可微函数，且可使方程 ( x, y)P( x, y)dx ( x, y)Q( x, y)dy 0成为全
5-习题课（57）
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常见的全微分表达式
xdx
ydy
d
x2
2
y2
xdy x2
ydx
d
y x
xdy x2 源自ydx y2d arctg
y x
xdy ydx d ln xy
xy
xdx x2
ydy y2
d 1 ln( x 2 2
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
5-习题课（57）
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2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
可分离变量的微分方程
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例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量Mt)随时间t 变化的规律
解 根据题意 得微分方程 即 lnMtlnC
dM M ( 是正常数)
dt 初始条件为M|t0M0
将方程分离变量 得
dM dt
M 两边积分 得
也即 MCe t
由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量Mt)随时间t变化的 规律MM0e t
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例3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得
下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞
dv mg kv
dt m
塔时速度为零 求降落伞下落 即 速度与时间的函数关系
1 k
ln(
mg
k
v)
t m
C1
解 设降落伞下落速度为 vt) 根据题意得初值问题
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
将方程分离变量得
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
例 1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得
1 dy 2xdx y
两边积分得
1dy y
2xdx
即ln|y|x2C1 来自 加常数的另一方法从而
y eC1ex2 Cex2 从而
其中 C eC1 为任意常数
ln|y|x2lnC y Cex2
§.2 可分离变量 的微分方程
❖可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成
gy)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程的解法
02 第二节 可分离变量的微分方程.
第二节可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.分布图示★可分离变量微分方程★例2 ★例6★逻辑斯谛方程★齐次方程★例1★例4 ★例5 ★例8 ★例10★例13 ★例14★例17 ★例18★例3 ★例7 ★例9★例11 ★例12★可化为齐次方程的微分方程★例15 ★内容小结★习题7—2★例16★课堂练习★返回内容要点一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程dydx=F(x,y),如果其右端函数能分解成F(x,y)=f(x)g(x)，即有dydx=f(x)g(y). (2.1)则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中f(x),g(x)都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如dy⎛y⎫=f ⎪ (2.8) dx⎝x⎭的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、可化为齐次方程的微分方程：对于形如dy⎛a1x+b1y+c1=f ax+by+cdx22⎝2⎫⎪⎪⎭的方程，先求出两条直线a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0的交点(x0,y0)，然后作平移变换⎧X=x-x0⎨⎩Y=y-y0 即⎨⎧x=X+x0⎩y=Y+y0 这时，dydx=dYdX，于是，原方程就化为齐次方程⎛a1X+b1Y=f aX+bYdX2⎝2dY⎫⎪,⎪⎭例题选讲可分离变量的微分方程例1（E01）求微分方程解分离变量得从而y=±ex例2（E02）求微分方程dx+xydy=y2dx+ydy的通解.解先合并dx及dy的各项,得y(x-1)dy=(y2-1)dx设y2-1≠0,x-1≠0,分离变量得两端积分⎰yy-122dydx=2xy的通解. dyy=dyy=2xdxx2两端积分得⎰⎰2xdxln|y|=x2+C1 2+C1=±eC1⋅e,记C=±eC1,则得到题设方程的通解 y=Cex. yy-12dy=21x-1dx dy=⎰x-11dx得 12ln|y-1|=ln|x-1|+ln|C1|于是 y2-1=±C12(x-1)2记C=±C12,则得到题设方程的通解 y2-1=C(x-1)2.注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定g(y)≠0的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使g(y)=0的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该C≠0，但这样方程就失去特解y=±1，而如果允许C=0，则y=±1仍包含在通解y-1=C(x-1)22中.例3 已知 f'(sin2x)=cos2x+tan2x, 当0<x<1时，求f(x).解设y=sin2x,则cos2x=1-2sin2x=1-2y,sincos22tan2x=xx=sin2x21-sinx=y1-y.所以原方程变为f'(y)=1-2y+⎛⎝1y1-y,即f'(y)=-2y+11-y. 所以 f(y)= -2y+⎫2⎪dy=-y-ln1(-y)+C, 1-y⎪⎭故 f(x)=-[x2+ln(1-x)]+C(0<x<1).例4 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t的变化规律.解设物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t),在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:⎧dT(1)⎪=-k(T-20) ⎨dt(2)⎪T|t=0=100⎩其中k(k>0)为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得两边积分⎰1T-20=dTT-20=-kdt; ⎰-kdt,得ln|T-20|=-kt+C11(其中C1为任意常数)， 1即 T-20=±e-kt+C=±eCe-kt=Ce-kt(其中C=±eC). 1从而T=20+Ce-kt,再将条件(2)代入,得C=100-20=80,于是，所求规律为T=20+80e-kt.注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37 C按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为35 C，并且假定周围空气的温度保持20 C 不变，试求出尸体温度T随时间t的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是30 C，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？解根据物体冷却的数学模型，有⎧dT⎪=-k(T-20),⎨dt⎪⎩T(0)=37k>0,.其中k>0是常数．分离变量并求解得T-20=Ce-kt，为求出k值，根据两个小时后尸体温度为35 C这一条件，有35=20+17e-k⋅2，求得k≈0.063，于是温度函数为T=20+17e-0.063t，将T=30代入上式求解t，有1017=e-0.063t，即得t≈8.4(小时)．于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时,即8小时24分钟,所以谋杀是在上午7点36分发生的.例6（E04）设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.解设降落伞下落速度为v(t),降落伞下落时，同时收到重力P与阻力R的作用. 降落伞所受外力为 F=mg-kv根据牛顿第二定律: F=mα,得到v(t)满足微分方程mdvdt=mg-kv (1)初始条件 vt=0=0.将方程(1)分离变量得dvmg-kvdtm=两边积分得⎰mg-1kdv-kv=⎰m tm+C1，-kmt-kC⎛e1C＝－ k⎝dtln(mg-kv)=即 mg-kv=e⎛t⎫-k +C1⎪⎝m⎭或 v=mgkmgk+Ce⎫⎪⎪⎭代入初始条件得 C=-⎫⎪. ⎪⎭k-tmg⎛m 1-e故所求特解为 v=k ⎝下面我们借助树的增长来引入一种在许多领域有广泛应用的数学模型——逻辑斯谛方程.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度, 又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t),则有dh(t)dt=kh(t)[H-h(t)] (2.8)其中k>0的是比例常数. 这个方程称为Logistic方程. 它是可分离变量的一阶常微分方程.注：Logistic的中文音译名是“逻辑斯谛”.“逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”,因此许多现象本质上都符合这种S规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染, 在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.例如，837年, 荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型dydt=y(k-by),y(t0)=y0 (2.9)其中k,b的称为生命系数.这个模型称为人口阻滞增长模型. 我们不细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得b=2，从而估计得：(1) 世界人口总数将趋于极限107.6亿.(2) 到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿.例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得，水从孔口流出的流量为Q＝dVdt=0⋅流量系数孔口截面面积重力加速度S=1cm, ∴dV=0.6222ghdt. ①2设在微小的时间间隔[t,t+∆t],水面的高度由h降至h+∆h,则dV=-πrdh,r=2-(100-h)2=200h-h, ∴dV=-π(200h-h)dh. ② 22比较①和②得:-π(200h-h)dh=0.622ghdt, 即为未知函数得微分方程.dt=-2π0.622g-(200h-h)dh,3ht=0=100, ∴C=π0.622g⨯14155⨯10,5所求规律为 t=π4.652g(7⨯10-103h3+3h).5例8 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少?解设鼓风机开动后t时刻CO2的含量为x(t)%,在[t,t+dt]内，CO2的通入量=2000⋅dt⋅0.03,CO2的通入量—CO2的排出量,即dxdt16-16t12000dx=2000dt⋅0.03-2000dt⋅x(t)=-16(x-0.03)x=0.03+Ce,e由x|t=0=0.C=0.07x=0.03+007-t,-1x|t=6=0.03+0.07e≈0.056,故6分钟后，车间内CO2的百分比降低到0.056%. 齐次方程例9（E05）求解微分方程dydx=yxyx+tandydxyx满足初始条件ydudx1x, dx.x=1=π的特解.解题设方程为齐次方程,设u=代入原方程得u+x dudx,则=u+x=u+tanu,分离变量得cotudu=两边积分得ln|sinu|=ln|x|+ln|C|sinu=Cx, 将u=yx回代，则得到题设方程的通解为sinyx=Cx.利用初始条件y|x=1=π/6,得到C=例10 求解微分方程xdx212.从而所求题设方程的特解为sinyx=12x.-xy+y2=dy2y2-xy.解原方程变形为dydx=2y-xyx-xy+y222=y⎛y⎫2 ⎪-x⎝x⎭1-⎛y⎫+ ⎪x⎝x⎭22y2,令u=yx,则dydx=u+xdudx,方程化为u+xdudx=2u-u21-u+u,分离变量得⎢两边积分得⎡1⎛1⎣2⎝u-2-1⎫21⎤dx+du=, ⎪-⎥xu⎭u-2u-1⎦ln(u-1)-32ln(u-2)-=Cx.12lnu=lnx+lnC,整理得u-1u(u-2)3/2所求微分方程的解为 (y-x)2=Cy(y-2x)3. 例11（E06）求解微分方程 y+x22dydx2=xydydx.解原方程变形为dydx=y22xy-xdudx⎛y⎫⎪⎝x⎭,（齐次方程） =y-1xdudx=u2令u=yx,则y=ux,⎛⎝dydx=u+x,故原方程变为u+xu-1,即xdudx=uu-1.分离变量得 1-回代u=yx1⎫dx⎪du=.两边积分得u-ln|u|+C=ln|x|或ln|xu|=u+C. u⎭x ,便得所给方程的通解为 ln|y|=yx+C.例12 求下列微分方程的通解:x(lnx-lny)dy-ydx=0. 解原方程变形为ln代入原方程并整理yxdy+yxdx=0,dxx令u=.yx,则dydx=u+dudx,lnuu(lnu+1)du=-两边积分得 lnu-ln(lnu+1)=-lnx+lnC,即y=C(lnu+1).变量回代得所求通解 y=C ln⎝⎛⎫+1⎪. x⎭y例13 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面——旋转抛物面. 解设旋转轴Ox轴，光源在(0,0), L:y=y(x),1设M(x,y)为L上任一点，MT为切线，斜率为y',MN为法线，斜率为-, ∠OMN=∠NMR, ∴tan∠OMN=tan∠NMR, 由夹角正切公式得-1ytan∠OMN=y'-x1-y, tan∠NMR=1y',xy'x2得微分方程 yy'+2xy'-y=0, y'=-y±⎛ x⎫y⎪⎪+1,⎝⎭2令 u=yx,方程化为 u+xdu1±1+udx=-u, 分离变量得udu=-dx,(1+u2)±+u2x令 1+u2=t2,得tdtt(t±1)=-dxx,积分得 ln|t±1|=lnCx, 即u2+1=Cx±1.平方化简得u2=C22Cx2+x, 代回u=yx,得y2=2C ⎛x+C⎫⎝2⎪.⎭y'所求旋转轴为Ox轴得旋转抛物面的方程为 y2+z2=2C x+⎝⎛C⎫⎪. 2⎭例14（E07）设河边点O的正对岸为点A, 河宽OA=h, 两岸为平行直线, 水流速度为 a, 有一鸭子从点A游向点O, 设鸭子(在静水中)的游速为b(b>a), 且鸭子游动方向始终朝着点O, 求鸭子游过的迹线的方程.解设水流速度为a(|a|=a),鸭子游速为b(|b|=b),则鸭子实际运动速度为v=a+b. 取坐标系如图，设在时刻t鸭子位于点P(x,y),则鸭子运动速度v={vx,vy}={xt,yt}, 故有dxdyxtytvxvy .现在a=(a,0),而b=be,其中ePO为与PO同方向的单位向量. po ==由PO=-{x,y},故ePO=-{x,y}于是b=-bx+y22x+y, 22{x,y},⎛ v=a+b=a-⎝bxx+y22,-byx+y22⎫⎪. ⎪⎭由此得微分方程dxdy=vxvy=-ax+yby222+xy,即 dxdy=-abxy⎛x⎫x ⎪+1+, y⎪y⎝⎭=u,则x=yu,ydxdy=yabdudy+u,代入上面的方程,得 2初始条件为x|y=h=0.令dudy=-u+1,分离变量得abduu+12=-abydy, 积分得arshu=-故x=y2[(Cy)-a/b(lny+lnC),a/b即u=shln(Cy)-a/b=1[(Cy)1-a/b12[(Cy)-a/b-(Cy)a/b], -(Cy)]=2C-(Cy)1+a/b]. 将初始条件代入上式得C=1/h,故所求迹线方程为1-a/b1+a/b⎤⎛y⎫h⎡⎛y⎫- ⎪⎢⎪⎥,0≤h≤y. x=h⎭2⎢⎝h⎭⎝⎥⎣⎦可化为齐次方程的方程例15（E08）求dydx=x-y+1x+y-3的通解.解直线x-y+1=0和直线x+y-3=0的交点是(1,2),因此作变换x=X+1,y=Y+2.代入题设方程,得dYdX=Y⎫⎛= 1-⎪X⎭X+Y⎝X-YY⎫⎛1+⎪X⎭⎝dudX12=1-u1+u,令u=YX,则Y=uX,dYdX2=u+XdudX,代入上式,得u+X2分离变量,得即u=YX1+u1-2u-udu=ln|X|+lnC1,两边积分,得-ln|1-2u-u|=ln|X|+lnC1回代得X2-2XY-Y2=C,再将X=x-1,Y=y-2回代，并整理所求题设方程的通解x2-2xy-y2+2x+6y=C. 例16（E09）利用变量代换法求方程解令x+y=u,则分离变量得du1+u2dydx=(x+y)的通解.dudx=1+u,22dydx=dudx-1,代入原方程得=dx,两边积分得arctanu=x+C,回代得arctan(x+y)=x+C,故原方程的通解为y=tan(x+C)-x.例17 求微分方程y'=解令u=x+2y,则dudx12tan(x+2y)dydx22的通解.=1+2,代入原方程得u⇒1⎛du⎫1-1⎪=tan2⎝dx⎭2dudx=1+tanu,2即dudx=secu.2分离变量得两端积分得dusecu2=dx或1+cos2u2du=dx.1⎛1⎫u+sin2u⎪=x+C,2⎝2⎭即sin[2(x+2y)]+4112(x+2y)=x+C,故所求通解为 y=x2+C-14sin(2x+4y).例18 求下列微分方程的通解. x+y222yy'=ex+x+yx22-2x.解令u=x+y,则再令v=ux,则dudxdvdx22dudx=2x+2ydydx,原方程化为dudxdxxu=ex+ux. =v+x,代入上式，并整理得e-vdv=,两边积分得 -e-v=lnx+C,变量还原得通解x+y22-ex=lnx+C.课堂练习1.求微分方程dydx+cosx-y2=cosx+y2的通解.x2.方程⎰⎡2y(t)+t2+y2(t)⎤dt=xy(x)是否为齐次方程? 0⎢⎣⎥⎦3.求齐次方程(x+ycosyx)dx-xcosyxdy=0的通解.。
可分离变量微分方程解题步骤
可分离变量微分方程解题步骤
解可分离变量微分方程的步骤如下：
1. 将方程分离变量，使其成为可分离变量的形式。
2. 将方程两边同时乘以分母中的因子，使其成为可积分的方程。
3. 对方程两边进行积分。
4. 解出积分结果，并代入初始条件求出常数项。
5. 写出通解。
需要注意的是，在解可分离变量微分方程的过程中，需要小心处理初始条件和积分常数，以确保最终得到的解能够满足初始条件。
如果得到的解不能很好地满足初始条件，可能需要重新检查解题步骤，或者考虑使用其他方法求解微分方程。
微分方程(可分离变量的微分方程)
即 y xu,
dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
6
齐次微分方程的解
1 : 当 f (u) u 0时,
du 得 ln C1 x , f ( u) u du 即 x Ce ( u ) , （ ( u ) ） f ( u) u y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
13
dy (2) 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ). dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或 y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
12
一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程
一可分离变量的微分方程
作变量代换
u
y x
,即
y
xu,
dy dx
u
x
du dx
,
代入原式
u x du dx
f (u),
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
例7
求微分方程
y
y x y
的通解
解 把原方程化为
y
dy x dx 1 y
x
令u y ，则y xu，dy u x du ，代入上式
x
dx
司将在第36年破产；
当 W0= 600 百万元时，公司将收支平衡，将资 产保持在600百万元不变；
当 W0 =700 百万元时，公司净资产将按指数 不断增大.
二、齐次方程
1.定义 形如 f x, y n f x, y，
称为n次齐次方程.
2.定义
形如
dy dx
f
(
y x
)
的微分方程称为齐次方程.
3.解法
解 方程两边同除以y，再乘dx，得
1 dy 2xdx y
两端分别积分
1 dy y
2xdx, 得
ln y x2 C1
即 y ex2 C1 eC1 ex2 Cex2
又显然y 0是方程的解，且它已包含在通解中
(当C 0)，故原方程的通解为 y Cex2 .
例3 求方程 dy 1 x y2 xy2的通解． dx
可分离变量方程求解步骤: 第一步，分离变量
g( y)dy f (x)dx
第二步，对上式两端分别积分：
g(y)dy f (x)dx
得到通解 G(y) F(x) C
其中G y与F x分别是g(y)与f x的一个原函数，
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x, y)处的切线斜率
为 dy 。 dx
根据题意有
dy x dx y
初始条件为
y 0 x 1
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
（2）质量变成一半时m=25，将其代入上式，得
25 50e0.053t
即
e0.053t 1
2
则
t ln2 1（3 年）
0.053
于是可以预测大约经过13年，该材料质量变成一半。
高等数学
两边积分，得
ln P(t) 0.08t ln C
化简，得通解
P(t) Ce0.08t
将 P(0) 80 423 代入通解中，得 C 80 423
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？
于是所求特解为
C 1 y ex2
在解微分方程时，为方便起见，遇到如
1 y
dy， 1x
dx等
形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式
不变。
例3 解微分方程 x( y2 1) dx y(x2 1) dy 0
解 分离变量，两边同乘以2，得
两边积分，得
2 y2
y 1
dy
2x x2 1
dx
dy f (x) g( y) dx
求解步骤如下： （1）分离变量 dy f (x)dx
可分离变量方程
•可分离变量方程
•齐次方程
•其它
一、可分离变量的微分方程
1. 定义： 一阶微分方程：y h( x, y )
dy 即 h( x, y ) dx
f ( x) 若 h( x , y ) g( y )
即形如
g( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
齐次方程
1、变量代换
2、求解
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2
思考题解答
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
由牛顿力学的知识可得 dv F mg kv m ma dt dv 1 mg 即 dt v mg kv m k
mg v0 0 C v k mg t , v k
Ce
k t m
k t mg 1 e m k
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过 程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间 的距离)随时间t的变化规律.
设M ( x , y)为L上任一点， M
MT为切线, 斜率为 y,
o
x
OMN NMR,
1 MN为法线, 斜率为 , y
N
L
tan OMN tan NMR,
y
M
o
T
R
x
N
L
由夹 角正 切公 式得
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法1. 可分离变量形式：dy/dx=f(x)g(y)，可以通过分离变量的方法将变量分开，然后积分求解。
具体步骤如下：1）将方程改写为g(y)dy=f(x)dx；2）同时对两边积分，即∫g(y)dy=∫f(x)dx；3）求积分，得到方程的通解；4）如果已知初始条件，将初始条件代入通解中，求解常数，得到特解。
2. 齐次方程形式：dy/dx=f(y/x)，可以通过变量代换的方法将方程转化为可分离变量的形式，然后采用可分离变量的方法求解。
具体步骤如下：1）将方程中的变量代换为u=y/x，即令y=ux；2）将方程转化为关于u和x的方程，即dy/dx=u+xdu/dx；3）将转化后的方程改写为u+xdu/dx=f(u)，得到可分离变量的形式；4）采用可分离变量的方法求解，得到方程的通解；5）根据已知初始条件求解常数，得到特解。
3. 线性一阶方程形式：dy/dx+p(x)y=q(x)，可以采用积分因子法求解，具体步骤如下：1）将方程改写为dy/dx+p(x)y=q(x)；2）确定积分因子μ(x)，计算公式为μ(x)=exp(∫p(x)dx)；3）将方程乘以积分因子μ(x)得到μ(x)dy/dx+μ(x)p(x)y=μ(x)q(x)，左边可化为d(μ(x)y)/dx；4）对方程进行积分，得到（μ(x)y=∫μ(x)q(x)dx；5）根据已知初始条件求解常数，得到特解。
1. 齐次线性方程形式：d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，可以通过特征方程的解法求解，具体步骤如下：1）将方程改写为特征方程m²+pm+q=0；2）根据特征方程的不同情况（实根、复根、重根），求解特征方程得到特征根；3）根据特征根的不同情况，构造方程的通解。
2. 非齐次线性方程形式：d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=f(x)，可以采用常数变易法求解，具体步骤如下：1）先求齐次线性方程的通解；2）根据题目给出的非齐次项f(x)，选取常数变易法的形式y=c(x)y1(x)，其中y1(x)为齐次方程的一个解；3）将常数变易法的形式代入原方程，消去常数项，得到关于c(x)的方程；4）求解c(x)的方程，得到特解；5）齐次方程的通解加上特解，得到非齐次方程的通解。
第二节 可分离变量的微分方程
π 1、 1、cos x sin ydy = cos y sin xdx , y x =0 = ； 4 π −x 2、 2、cos ydx + (1 + e ) sin ydy = 0 , y x = 0 = . 4
的质点受外力作用作直线运动, 三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比. 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在 t = 10 秒时, 秒时,速度等于50厘米 / 秒 ,外力为4克 ⋅ 厘米 / 秒 2 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 四、 船行方向始终与河岸垂直, 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 ).求小船的航行路 的乘积成正比( 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线 .
补充题: 1. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速 度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求降落伞下落速度与时间的函数关系. dv g 解: 根据牛顿第二定律列方程 m = m −kv dt 初始条件为 v t=0 = 0 分离变量, 然后积分 : 得
∫
∫
(此 mg −kv > 0) 处
x |t = 6 = 0.03 + 0.07e −1 ≈ 0.056,
,
1 − t 6
Q x |t =0 = 0.1, ∴ C = 0.07, ⇒ x = 0.03 + 0.07e
,
6分钟后 车间内 CO 2的百分比降低到 0.056%. 分钟后, 分钟后
高数课件第七章微分方程第二节可分离变量微分方程
h h r
1m
流量系数
孔口截面面积 重力加速度
O hdh
即 设在
dV k S 2 g h d t
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0 ),
对应下降体积 d V r 2 dh
h h r
1m
π
O hdh
h
t 0
14 π 10 3 3 5 2 t (1 h h 2 ) 7 7 15k S 2 g
1
则得容 以k 0.62, S 104 m2 , g 9.8 m s 2 代入上式， 器内水面高度 h 与时间 t 的关系:
5 10 3 3 t 1.068 10 (1 h 2 h 2 ) (s) 7 7 可见水流完所需时间为 t 1.068 104 (s)
y x 1 1
2
例4. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
tan u x C
所求通解: tan( x y 1) x C ( C 为任意常数 )
练习:
解法 1 分离变量 即
e y e x C ( ex C ) e y 1 0 ( C < 0 ) u 1 eu
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v t mg k m 代入上式后化简, 得特解 v (1 e ) k
例8. 有高 1 m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积 开始时容器内盛满了水, 求水