一可分离变量的微分方程
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
微分方程(可分离变量的微分方程)
即 y xu,
dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
6
齐次微分方程的解
1 : 当 f (u) u 0时,
du 得 ln C1 x , f ( u) u du 即 x Ce ( u ) , （ ( u ) ） f ( u) u y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
13
dy (2) 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ). dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或 y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
12
一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程
可分离变量的微分方程公式
可分离变量的微分方程公式可分离变量的微分方程公式，这可是数学中的一个重要知识点呢！咱们先来说说啥是可分离变量的微分方程。
简单来讲，就是能把方程中的变量和它们的导数分离开来，写成一边只有 x 和 dx，另一边只有 y 和 dy 的形式。
比如说，像 dy/dx = f(x)g(y) 这样的式子，就能通过变形变成 g(y)dy = f(x)dx 。
给大家举个例子哈，比如说有个微分方程 dy/dx = x/y ，咱们就能把它变成 ydy = xdx 。
然后两边积分，左边积分得到 1/2 * y^2 ，右边积分得到 1/2 * x^2 + C ，这就求出了方程的解。
我记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子刚开始接触可分离变量的微分方程时，那叫一个迷糊，怎么都弄不明白。
我就一点点给他讲，先从最简单的例子入手，让他自己动手去分离变量，去积分。
结果他总是在一些小细节上出错，不是积分公式记错了，就是忘了加常数 C 。
我看着他着急的样子，心里也挺着急的。
但我知道不能急，得慢慢来。
于是我又给他重新梳理了一遍知识点，让他多做几道练习题。
慢慢地，他好像找到了一点感觉，能做出一些简单的题目了。
可是，当遇到稍微复杂一点的题目，比如 dy/dx = (x^2 + 1) / (y^2 - 1) 这样的，他又懵了。
我就陪着他，一步一步地分析，告诉他怎么把方程变形，怎么确定积分的上下限。
经过好几天的努力，小李终于掌握了可分离变量的微分方程。
他开心得不行，我也为他感到高兴。
再来说说可分离变量的微分方程在实际中的应用。
比如说，在物理学中，研究物体的运动规律时，经常会用到这个公式。
还有在生物学中，分析种群的增长模型时，也能派上用场。
总之，可分离变量的微分方程公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做练习，就能轻松应对。
可别像小李刚开始那样被它给难住啦！希望大家都能学好这个知识点，在数学的海洋里畅游无阻！。
常微分方程基本公式
常微分方程基本公式一、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C，其中C为任意常数。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))- 解法：令u = (y)/(x)，即y = ux，则(dy)/(dx)=u + x(du)/(dx)。
原方程化为u + x(du)/(dx)=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的方法求解。
3. 一阶线性微分方程。
- 形式：(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)- 通解公式：y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)二、二阶常系数线性微分方程。
1. 齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = 0（其中p,q为常数）- 特征方程：r^2+pr + q=0- 当特征方程有两个不同实根r_1,r_2时，通解为y = C_1e^r_1x+C_2e^r_2x；- 当特征方程有重根r时，通解为y=(C_1+C_2x)e^rx；- 当特征方程有一对共轭复根r_1,2=α±β i时，通解为y = e^α x(C_1cosβ x + C_2sinβ x)。
2. 非齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = f(x)- 通解结构：y = y_h+y_p，其中y_h是对应的齐次方程的通解，y_p是一个特解。
- 当f(x)=P_m(x)e^λ x（P_m(x)是m次多项式）时，特解y_p的形式：- 若λ不是特征方程的根，则y_p=Q_m(x)e^λ x（Q_m(x)是m次待定多项式）；- 若λ是特征方程的单根，则y_p=xQ_m(x)e^λ x；- 若λ是特征方程的重根，则y_p=x^2Q_m(x)e^λ x。
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x, y)处的切线斜率
为 dy 。 dx
根据题意有
dy x dx y
初始条件为
y 0 x 1
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
（2）质量变成一半时m=25，将其代入上式，得
25 50e0.053t
即
e0.053t 1
2
则
t ln2 1（3 年）
0.053
于是可以预测大约经过13年，该材料质量变成一半。
高等数学
两边积分，得
ln P(t) 0.08t ln C
化简，得通解
P(t) Ce0.08t
将 P(0) 80 423 代入通解中，得 C 80 423
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？
于是所求特解为
C 1 y ex2
在解微分方程时，为方便起见，遇到如
1 y
dy， 1x
dx等
形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式
不变。
例3 解微分方程 x( y2 1) dx y(x2 1) dy 0
解 分离变量，两边同乘以2，得
两边积分，得
2 y2
y 1
dy
2x x2 1
dx
dy f (x) g( y) dx
求解步骤如下： （1）分离变量 dy f (x)dx
第七章-微分方程1
（ 复 习 ）
Y 为对应齐次方程的通解
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高 等 数 学 （ 下 ）
例11 解
求 y '' 5 y' 6 y xe 2 x 通解
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下一张
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高 等 数 学 （ 下 ）
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上面方程称为齐次的.
（ 复 习 ）
当Q( x ) 0, 上面方程称为非齐次的.
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*
1 b0 , b1 1 2
2x
（ 复 习 ）
y xe
原方程的通解为
1 ( x 1) 2
3x
y c1e
2x
c2 e
xe
2x
1 ( x 1) 2
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高 等 数 学 （ 下 ）
例12 解
求y '' 3 y' 2 y 3 xe x 通解
高 等 数 学 （ 下 ）
一、可分离变量的微分方程
g ( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 d y 2 x 2d x , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程
dx
2
2
解 d y cos x y cos x y 0,
dx
2
2
d y 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2sin
y
sin x d x, 2
2
ln csc y cot y 2cos x C 为所求通解.
22
2
例3 一个充满气体的气球突然破了一个孔，
漏气的速率正比于气球内气体的质量，
x
x
例6 求方程sin x d y y cos x 5sin x ecos x的通解 dx
解 将方程化为标准型
d y y cot x 5ecos x, dx 则, P( x) cot x, Q( x) 5ecos x ,
利用公式常数变易公式得通解
y e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x C e cot xd x 5ecos xe cotd x d x C
x,
ln y P( x)d x ln C ,
齐次线性方程的通解为：y Ce P( x)d x .
2º非齐次线性方程： d y P( x) y Q( x). dx
将 C 变易 C( x) (待定)
作变换 y C( x)e P( x)d x
y C( x) e P( x)d x C( x) [P( x)]e P( x)d x ,
第九章
第二节 可分离变量的微分方程 和一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
二 、一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
类型1. d y h( x)g( y) (1.1) dx ——可分离变量的微分方程.
求解法： 设函数g( y)和h( x)是连续的,
可分离变量的微分方程精选
可分离变量的微分方程精选
一、常微分方程
该方程由n个未知函数y（x）的n个层次拼接而成，形如：
dy/dx+p1(x)y'+p2(x)y"++pn(x)yn=f(x)
其中pi(x)（i=1，2,…,n）为p (x) 的n次可导函数，f(x)为右端函数。
2.欧拉方程
欧拉方程是一种特殊的线性常微分方程，其极限形式为：
dy/dx=f(x,y);
这里，f(x，y)为连续可导的未知函数。
3.拉普拉斯方程
拉普拉斯方程描述了变量的二阶微分的求解过程，其标准形式为：
4.高阶线性常微分方程
高阶线性常微分方程将公式拓展到包含更高次导数（如三阶及以上）的形式，其标准形式为：
常系数微分方程是m×n次方程组中m次偏微分方程组形式，其标准形式为：
其中c0,c1,…cn为常数，f(x,y)为右端函数。
方程组是m×n的多元方程组的形式，例如：
其中f1(x，y)，f2(x，y)为右端函数。
3.发展方程
发展方程是一种偏微分方程组，可求解压缩性流体流动时物质的动量、能量及密度等物理变量的变化情况。
其标准形式为：
∂ut/∂t+u∂ut/∂x+v∂ut/∂y+w∂ut/∂z=f1(x,y,z)
其中u、v、w分别表示流体的x、y、z方向的速度，t为时间；f1（x，y，z），f2（x，y，z），f3（x，y，z）为右端函数。
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作变量代换
u
y x
,即
y
xu,
dy dx
u
x
du dx
,
代入原式
u x du dx
f (u),
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
例7
求微分方程
y
y x y
的通解
解 把原方程化为
y
dy x dx 1 y
x
令u y ，则y xu，dy u x du ，代入上式
x
dx
司将在第36年破产；
当 W0= 600 百万元时，公司将收支平衡，将资 产保持在600百万元不变；
当 W0 =700 百万元时，公司净资产将按指数 不断增大.
二、齐次方程
1.定义 形如 f x, y n f x, y，
称为n次齐次方程.
2.定义
形如
dy dx
f
(
y x
)
的微分方程称为齐次方程.
3.解法
解 方程两边同除以y，再乘dx，得
1 dy 2xdx y
两端分别积分
1 dy y
2xdx, 得
ln y x2 C1
即 y ex2 C1 eC1 ex2 Cex2
又显然y 0是方程的解，且它已包含在通解中
(当C 0)，故原方程的通解为 y Cex2 .
例3 求方程 dy 1 x y2 xy2的通解． dx
可分离变量方程求解步骤: 第一步，分离变量
g( y)dy f (x)dx
第二步，对上式两端分别积分：
g(y)dy f (x)dx
得到通解 G(y) F(x) C
其中G y与F x分别是g(y)与f x的一个原函数，
C是任意常数,上式称为隐式通解.
例2 求方程y 2xy的通解．
三、可化为齐次方程的方程
1.定义 形如 dy f ( ax by c )的微分方程
dx
a1x b1 y c1
当c c1 0时, 为齐次方程, 否则为非齐次方程.
2.解法 令a1x b1 y c1 0, a2 x b2 y c2 0,
解得
x x0 , y y0
做变换 xy
§10.2 一阶微分方程的分离变量法
形如 F(x, y, y) 0 或 y f x, y
称为一阶微分方程.
一、可分离变量的微分方程
g( y)dy f (x)dx 可分离变量的微分方程.
例如
dy
2x2
4
y5
dx
4
y5
dy
2x2dx,
注：可分离变量的微分方程：把微分方程写成一
端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx.
X X
Y Y
1
Y X
1
Y X
这是齐次方程，令u Y ,则 dY u X du ,
X dX
dX
u X du 1 u , dX 1 u
整理得
1 1 2u
u u2
du
ln
|
X
|
ln
C1,
两边积分,得
1 2
ln
|1
2u
u2
|
ln
|
X
|
ln
C1
回代，化简得 X 2 2XY Y 2 C,
整理得： W 600 Ce0.05t (C C1). 将W (0) W0代入，得方程通解：
W 600 (W0 600)e0.05t， 在上述推导过程中W 600, 但当W 600时，dW 0，
dt 仍包含在通解表达式中.将W0 600称为平衡解.
(3) 由通解表达式 W 600 (W0 600)e0.05t，可知， 当 W0= 500 百万元时，净资产额单调递减，公
故所求的通解为
p CNeNkt 1 CeNkt
在上述计算过程中，用p N p除方程的两边，易见
p 0，p N
都是方程的解，而且 p 0 包含在通解中， 但 p N 不包含在通解中。
例6 某公司t年净资产有W(t)(百万元),并且资产本 身以每年5%的速度连续增长,同时该公司每年要以 300百万元的数额连续支付职工工资. (1) 给出描述净资产W(t)的微分方程; (2) 求解方程,假设初始净资产为W0;
(3) 讨论在W0 500, 600, 700三种情况下,W(t)变化的
特点.
y0
解 (1) 利用平衡法，即由 净资产增长速度
＝资产本身增长速度－职工工资支付速度 得到所求微分方程
dW 0.05W 30. dt
(2) 分离变量，得
dW 0.05dt. W 600
两端分别积分： ln |W 600 | 0.05t lnC1 (C1为正常数）
解 方程可化为
1 1 y2
dy
(1
x)dx
两端分别积分
arctan y 1 x2 x C 2
于是原方程的通解为
y tan(1 x2 x C). 2
y0
例4 求方程y y2 cos x的通解,及满足初始 条件y(0) 1的特解.
解 分离变量：1 dy cos xdx 两端分别积分 y2
X Y
x0 y0
，这时
dy dx
dY dX
就可以化为齐次方程
dY dX
f
a1 a2
X X
b1Y b2Y
.
例10 求 dy x y 1的通解. dx x y 3
解 令x y 1 0和x y 3 0，得
x 1, y 2, 作变换x X 1, y Y 2，
dY dX
方程的通解 x2 2xy y2 2x 6 y C.
例11 求 dy ( y x)2的通解. dx
解 令y x u,则 dy du 1,，代入方程 dx dx
du 1 u2 , 分离变量得, dx
du 1 u2 dx,
两边积分得 arctan u x C,
故原方程的通解为 y tan(x C) x.
1 P1 dP1 P2 P1 ， dP2 1 P1 P2
P2
这是齐次方程，令u P1 ,则 P2
du 1 u
u P2
dP2
u 1 u
分离变量，得
1 u
1 u2
du
2
dP2 P2
，
两边积分，得
1 u
ln
u
ln(C1P2
)2，
所以方程通解：
P2
P e 2 P1 P1
CP22
（C C12）
N , k 0，且0 y N.
解 这是可分离变量方程，分离变量：
dp kdt p(N p)
两端分别积分：
1p
ln N
Np
kt C1
整理得：
ln
p Np
Nkt NC1
p Np
eNktNC1
e e NC1 Nkt
p eNC1eNkt CeNkt p CNeNkt
Np
1 CeNkt
dx
整理得
1 u u2
du
1 x
dx，两边积分
1 u
ln
u
= ln
x
C1
得通解为
xy
ln y
x
= ln
x
C1
整理得
x cy y ln y =0.
整理得1 u du 1 dx，两边积分
u2
x
例8 求微分方程 x(ln x ln y)dy ydx 0 的通解， 并解其初值问题 y(1) 1.
例1 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
1 y 1 x y2 xy2 ,2(x2 y2 )dx xydy 0,
3 y 10x y ,
4
y
x y
y x
,
解 (1)是，方程可化为 dy = 1 x dx 1 y2 (2)不是
(3)是,方程可化为10 y dy 10x dx. (4)不是
1 .
代入初值条件 y(1) 1，得C 1，
故所求初值问题的解为
y
ln
y x
1 .
例9 设商品A和商品B的售价分别为P1, P2 ,
已知价格P1与P2相关, 且价格P1相对P2的弹性
为 P2dP1 P1dP2
P2 P2
P1 P1
, 求P1与P2的函数关系式..
解 所给方程为齐次方程，整理得
1 y2
dy
cos xdx,得
1 y
sin
x
C,
显然y 0是方程的解，且不包含在通解，也不 满足初始条件，是方程一个特解；
将y(0) 1代入通解中，求得C 1，
故初值问题的特解为
1 sin x 1 或 y 1 .
y
1 sin x
例3 求Logisitic方程 dp kp(N p)的解,其中 dt
解 把原方程化为
ln y dy y dx 0, xx
令u y ，则y xu，dy u x du ，代入上式ln u du dx ，两边积分
u(ln u 1)
x
ln u ln(ln u 1) ln x ln C,
即
y C(ln u 1)
得通解为
y
C
ln
y x