微分方程(可分离变量的微分方程)
可分离变量的微分方程56244
dx
如 y 2xy y tan y
x
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一阶微分方程 y f (x, y)
也可写成对称形式 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
若将x视为自变量，y为因变量，方程可改写为
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
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练习2. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
dM M
dt
M (0) M0
M M 0et
自学
指数减少模型
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例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系.
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指数减少 Exponential Decay
x0
x x0ekt
plot(3*exp(-0.3*x),x=0..10,thickness=3,view=[0..10,0..4],ytickmarks=4);
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例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
可分离变量微分方程的意义
可分离变量微分方程的意义
可分离变量微分方程（Separable Variable Differential Equation）是物体
沿某一方向移动的情况下，描述受力间相互作用产生的加速度-时间变化的一类常
见的微分方程，它具有几何和动力学的双重含义，深受科学家及数学家的喜爱。
这种微分方程式将具有可分离变量特性的函数以微分形式表示，即对函数中的
变量可以进行“分离”求解。
举个简单的例子来说，一些质点定义在直角坐标系中，在 x-y 平面中受重力影响而运动时，x、y方向上的加速度可分别由以 x 或 y 为
分离变量的函数表示。
将其积分后，就可以得到质点沿不同方向的速度及位置变化的关系式，从而可以描述出其运动规律。
可分离变量微分方程是一种常见的数学模型，大多数时间受力间变化的性质可
以被描述成可分离变量微分方程，因此具有重要的基础地位并应用广泛于物理、化学、地理学等各个领域。
此外，它还有一定的逼近性，能够更为深入地考察解析物体受力的变化特征，对理解定性及定量的物理规律具有重要的指导作用。
总而言之，可分离变量微分方程是一类特殊的微分方程，它可以用来描述复杂
的物理实验的结果，是理解物理实验结果的实用工具。
它能够准确描述某种受力间产生的变化，助力科学家们发掘科学规律、实现定量分析，从而达到更好地研究物理、化学等科学知识的目的。
可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
； 4 x 2、cos ydx (1 e ) sin ydy 0 , y x 0 . 4
1、cos x sin ydy cos y sin xdx , y x 0
三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 t 10 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在 2 50 厘米 / 秒 4 克 厘米 / 秒 秒时,速度等于 ,外力为 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 四、 小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a , 船行方向始终与河岸垂直, 设河宽 为 h , 河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线 .
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含量M ( t )
随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM M dt ,
dM
dM dt M
ln M t ln C ,
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
为所求解.
dy
y y x ln csc cot 2 cos C , 2 2 2
高数课件第七章微分方程第二节可分离变量微分方程
h h r
1m
流量系数
孔口截面面积 重力加速度
O hdh
即 设在
dV k S 2 g h d t
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0 ),
对应下降体积 d V r 2 dh
h h r
1m
π
O hdh
h
t 0
14 π 10 3 3 5 2 t (1 h h 2 ) 7 7 15k S 2 g
1
则得容 以k 0.62, S 104 m2 , g 9.8 m s 2 代入上式， 器内水面高度 h 与时间 t 的关系:
5 10 3 3 t 1.068 10 (1 h 2 h 2 ) (s) 7 7 可见水流完所需时间为 t 1.068 104 (s)
y x 1 1
2
例4. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
tan u x C
所求通解: tan( x y 1) x C ( C 为任意常数 )
练习:
解法 1 分离变量 即
e y e x C ( ex C ) e y 1 0 ( C < 0 ) u 1 eu
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v t mg k m 代入上式后化简, 得特解 v (1 e ) k
例8. 有高 1 m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积 开始时容器内盛满了水, 求水
什么是可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程是指可以通过分离变量的方法将微分方程转化为两个只包含一个变量的方程，然后分别对这两个方程进行积分的微分方程形式。
具体而言，可分离变量的微分方程可以写成以下形式：
dy/dx = f(x)g(y)
其中，f(x)是关于自变量x的函数，g(y)是关于因变量y的函数。
为了解这个微分方程，我们可以将dy/dx 移至方程的一边，将g(y) 移至方程的另一边，得到：
1/g(y) dy = f(x) dx
然后我们可以对两边同时积分，得到：
∫(1/g(y)) dy = ∫f(x) dx
这样就将原始的微分方程分离成两个只包含一个变量的方程，分别是关于y的方程和关于x的方程。
最后，通过求解这两个方程，可以得到原始微分方程的解析解或者特定的解形式。
需要注意的是，并非所有的微分方程都是可分离变量的微分方程，但可分离变量的微分方程是一类比较容易求解的常见微分方程形式。
可分离变量的微分方程精选
可分离变量的微分方程精选
一、常微分方程
该方程由n个未知函数y（x）的n个层次拼接而成，形如：
dy/dx+p1(x)y'+p2(x)y"++pn(x)yn=f(x)
其中pi(x)（i=1，2,…,n）为p (x) 的n次可导函数，f(x)为右端函数。
2.欧拉方程
欧拉方程是一种特殊的线性常微分方程，其极限形式为：
dy/dx=f(x,y);
这里，f(x，y)为连续可导的未知函数。
3.拉普拉斯方程
拉普拉斯方程描述了变量的二阶微分的求解过程，其标准形式为：
4.高阶线性常微分方程
高阶线性常微分方程将公式拓展到包含更高次导数（如三阶及以上）的形式，其标准形式为：
常系数微分方程是m×n次方程组中m次偏微分方程组形式，其标准形式为：
其中c0,c1,…cn为常数，f(x,y)为右端函数。
方程组是m×n的多元方程组的形式，例如：
其中f1(x，y)，f2(x，y)为右端函数。
3.发展方程
发展方程是一种偏微分方程组，可求解压缩性流体流动时物质的动量、能量及密度等物理变量的变化情况。
其标准形式为：
∂ut/∂t+u∂ut/∂x+v∂ut/∂y+w∂ut/∂z=f1(x,y,z)
其中u、v、w分别表示流体的x、y、z方向的速度，t为时间；f1（x，y，z），f2（x，y，z），f3（x，y，z）为右端函数。
常见的常微分方程的一般解法
常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。
如无意外，本文将不包括解的推导过程。
常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：1.可分离变量的微分方程（一阶）2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利3.二阶常系数微分方程（二阶）4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉1.可分离变量的微分方程（一阶）这类微分方程可以变形成如下形式：f ( x ) d x =g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy函数可以通过同时整合两边来解决。
难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。
p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。
2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。
解法：直接套公式：y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)多套几遍熟练就好。
伯努利方程形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x )\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x )\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu+P′(x)u=Q′(x)这是一个可以公式化的一阶线性微分方程。
可分离变量的微分方程
M t=0 = M 0 (初始条件)
对方程分离变量,
然后积分:
∫
dM M
=
∫(−λ )d t
得 ln M = −λ t + ln C, 即 M = C e−λ t
M
利用初始条件, 得 C = M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M = M 0 e−λ t . o
t
解法 1 分离变量 e− y d y = ex dx
− e−y = ex + C
即
(ex +C)ey +1= 0 ( C < 0 )
解法 2 令 u = x + y, 则u′ = 1+ y′
故有 积分
u′ =1+ eu
∫
1
d +
u eu
=
x+C
∫
(1
+ eu 1+
)− eu
eu
du
u − ln (1+ eu ) = x + C
(1 −
−
e
k m
t
)
v
≈
mg k
k
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x + y) y′ = 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
dt
初始条件为 v t=0 = 0
∫ ∫ 对方程分离变量, 然后积分 :
dv = mg − kv
dt m
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即 y xu,
dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
6
齐次微分方程的解
1 : 当 f (u) u 0时,
du 得 ln C1 x , f ( u) u du 即 x Ce ( u ) , （ ( u ) ） f ( u) u y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
13
dy (2) 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ). dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或 y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
12
一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程
(使用分离变量法)
dy P ( x ) y 0. dx
dy P ( x )dx , y
dy e dx, 2x y 7e
2x
2 ln y ln(7 e 2 x ) C 1
y e
c
dy e2 x dx, 两端积分 2x y 7e
7 e2 x
பைடு நூலகம்
C 7 e2 x
4
例题讲解
例3 求解微分方程
4xdx 3 ydy 3x 2 ydy 2xy2dx的通解
2
例题讲解
例1 求解微分方程
dy 2 xy的通解 dx
dy 解 分离变量 2 xdx , y dy 2 xdx , 两端积分 y
ln y x2 C
x2
y Ce 为所求通解.
3
例题讲解
例2 求解微分方程 (7 e2 x )dy ye2 x dx 0的通解 解 分离变量
x cu u 3
2
y y 将u 代入，x c x x x cy y 3 x
3 2 2
y 3 2 x
9
2
例题讲解
y 解：令 u , y ux x dy du ux u t anu dx dx dx du dx du x t anu x t anu ln | x | ln | sin u | c
( ) y 将 u 代入, 得通解 x Ce x , x
y y dy y 2 : 当f (u ) u时, 即f ( ) , x x dx x dx dy , ln | x | ln | y | c x y
c
得齐次方程的通解 | x | e | y |
7
例题讲解
例：求齐次微分方程
3 2
du u 3u x 2 dx 3 2u
3
8
例题讲解（续）
( 2 )du x u u 3 1 ln | x | ln | u | ln | u 2 3 | c 2
2 dx 3 2 u 1 u 分离变量方程： du ( 2 )du 3 u u 3 dx 1 u x u 3u
即 y e v ( x ) e P ( x ) dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比 C u( x )
14
解法
例题讲解
dx x 1 解 这是非齐次线性方程 . 先求对应的齐次方程的 通解. 2 dy 2 dy 2dx y C ( x 1 ) . y 0, , dx x 1 y x1 2 用常数变易法, 把C换成u,即令 y u( x 1) , dy u( x 1) 2 2u( x 1), dx 1 代入非齐次方程, 得 u ( x 1) 2 . 3 两端积分, 得 u 2 ( x 1) 2 C . 3 3 2 2 故所求通解为 y ( x 1) [ ( x 1) 2 C ]. 15 3
dy 2 2 例如 2 x y y dy 2 x dx , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
4 5
4 5
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
2
3
ln( 2 y 2 ) C
2 3 2
1 x c(2 y )
( c 0)
5
二、齐次微分方程
dy y 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x 解齐次方程的基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程 解齐次方程的基本方法：变量变换法
具体解法：作变量代换
y u , x
dx cos udu , x
sinu ln x C ,
y 微分方程的解为 sin ln x C . x
11
三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上方程称为非齐次的.
解 分离变量 (4 x 2 xy2 )dx (3 y 3x 2 y)dy 2 x(2 y 2 )dx 3 y(1 x 2 )dy
2x 3y dx dy 2 2 1 x 2 y 两端积分 2x 3y 1 x 2 dx2 2 y 2 dy,
ln(1 x 2 )
例：dy y tan y dx x x
y x c sin x
10
例题讲解
例：求解微分方程 解 令u
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x y x
x ， 则 dy xdu udx，
( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu ) 0,
dy 2y 例： 求方程 ( x 1) 的通解.
5 2
y 令 u, y ux , dy udx xdu x
du 3u 6u ux dx 3 2u 2
3
y 3 y 3( ) 6( ) dy y x x 解： f( ) y 2 dx x 3 2( ) x
dy 3 y 6 x y x 2 2 dx 3x 2 y