一阶微分方程(可分离变量法)
高数第4章第2节——一阶微分方程
例4 求解
解
分离变量,
并两端积分 得
dy y2
cos
xdx
,
解得
1 y
sin x C1,
即 1 sin x C , y
代入 y x0 1 , 得 C 1 ,
所求特解为 1 sin x 1 . y
说明：
初值问题:
g( y) dy f ( x) dx
y
x
x0
y0
的特解也可用变上限积分确定：
例1 求微分方程
解 分离变量,并两端积分,得 e ydy e2xdx,
解得 e y 1 e2x C , (C 为任意常数) 2
方程通解为 e y 1 e2x C ,(C 为任意常数). 2
例2 求微分方程
解
当
y0
时分离变量
,
得
dy y
2 xdx ,
两端积分
,
dy y
2
xdx,
得 : ln | y | x2 C1,
例8
解
由通解公式得：
y
e
4 dx x
sin x x4
e
4 dx
x dx
C
eln x4
sin x x4
e ln
x 4 dx
C
1 x4
(
sin
xdx
C
)
1 x4
(
cos
x
C
).
故所求通解为：y
1 x4
( cos
x
C ).
例9 解
由通解公式得：
故所求通解为：y cos x (tan x C ).
是线性方程 , 可用常数变易法或公式法求解.
例10 解
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法一、分离变量法：分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。
二、齐次方程法：齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。
对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。
设y = vx，其中v是未知函数。
将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。
将这两个式子代入原方程，得到v +x*dv/dx = f(v)。
将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。
进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。
三、一阶线性方程法：一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。
设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。
对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =Q(x)μ(x)。
左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。
对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。
四、可化为可分离变量的方程：有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。
例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。
然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。
最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。
总结一阶微分方程的类型及其解法
总结一阶微分方程的类型及其解法一阶微分方程是指只包含未知函数的一阶导数的方程。
一阶微分方程广泛应用于物理、工程、经济等各个领域，并且在实际问题中具有重要的作用。
下面将总结一阶微分方程的类型及其解法。
一阶微分方程可以分为可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、可化为常数系数线性方程、可化为直接积分方程等几种类型。
1.可分离变量方程：可分离变量方程指的是方程可以通过将变量分离到方程的两侧来求解。
形式为dy/dx = f(x)g(y)。
首先将方程化为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
最后可以求出y的解。
2.齐次方程：齐次方程指的是方程为dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的形式，其中f(x, y)和g(x, y)为齐次函数。
这类方程可以通过进行变量代换，令y = ux，即可将方程化为可分离变量的形式，进而解出y的解。
3.线性方程：线性方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式。
对于这类方程，可以使用线性常数变易法来求解。
通过引入一个特殊的函数u(x)，可以将方程化为du/dx + [P(x) - Q(x)]u = 0的形式。
然后可以使用可分离变量的方法来求解。
4.伯努利方程：伯努利方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n的形式，其中n为常数且n≠0。
1、对于这类方程，可以通过简单的变量代换y = u^(1-n)来将方程化为线性方程，从而方便地求解。
5.可化为常数系数线性方程：可化为常数系数线性方程指的是方程可以通过适当的变换化为形如dy/dx + Py = Q的方程，其中P和Q为常数。
一般来说，这类方程可以通过进行一些适当的代换变量和函数来求解。
6.可化为直接积分方程：可化为直接积分方程是一类特殊的一阶微分方程，形式为M(x,y) +N(x,y)dy/dx = 0。
对于这类方程，可以通过将方程两边进行积分，从而将方程转化为积分方程的形式，进而求出y的解。
高等数学课件7第二节 可分离变量的微分方程ppt
思考与练习
1. 求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
y
x
1 y2 dy 1 x2 dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y
ln tan y 2sin x C 2
4
y5,
dx
是可分离变量的微分方程．
4
y 5dy
Байду номын сангаас
2 x 2dx,
若 dy f ( x, y) dx
dy dx
f1(x) f2( y) ；
或由 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
M1( x)M2( y)dx N1( x)N2( y)dy 0 .
则均为可分离变量的微分方程．
二、分离变量法
( Q( x, y) 0 )
将它看成以 y 为自变量、x 为未知函数的方程
dx Q( x, y) dy P( x, y)
( P(x, y) 0 )
引例1. 求一阶微分方程 dy 2x 的通解． dx
解: 两端积分得通解 y x2 C ．
引例2. 求一阶微分方程 dy 2xy2 的通解． dx
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
令 C eC1
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 求下列微分方程的通解:
解: 原方程化为
dy ex e y dx
分离变量
e ydy exdx
两边积分
通解： e y e x C
(2)
反之，
当 g( y) 0 时，
由(2)式所确定的隐函数y ( x)是(1)式的解;
微分方程(可分离变量的微分方程)
即 y xu,
dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
6
齐次微分方程的解
1 : 当 f (u) u 0时,
du 得 ln C1 x , f ( u) u du 即 x Ce ( u ) , （ ( u ) ） f ( u) u y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
13
dy (2) 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ). dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或 y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
12
一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程
一可分离变量的微分方程
作变量代换
u
y x
,即
y
xu,
dy dx
u
x
du dx
,
代入原式
u x du dx
f (u),
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
例7
求微分方程
y
y x y
的通解
解 把原方程化为
y
dy x dx 1 y
x
令u y ，则y xu，dy u x du ，代入上式
x
dx
司将在第36年破产；
当 W0= 600 百万元时，公司将收支平衡，将资 产保持在600百万元不变；
当 W0 =700 百万元时，公司净资产将按指数 不断增大.
二、齐次方程
1.定义 形如 f x, y n f x, y，
称为n次齐次方程.
2.定义
形如
dy dx
f
(
y x
)
的微分方程称为齐次方程.
3.解法
解 方程两边同除以y，再乘dx，得
1 dy 2xdx y
两端分别积分
1 dy y
2xdx, 得
ln y x2 C1
即 y ex2 C1 eC1 ex2 Cex2
又显然y 0是方程的解，且它已包含在通解中
(当C 0)，故原方程的通解为 y Cex2 .
例3 求方程 dy 1 x y2 xy2的通解． dx
可分离变量方程求解步骤: 第一步，分离变量
g( y)dy f (x)dx
第二步，对上式两端分别积分：
g(y)dy f (x)dx
得到通解 G(y) F(x) C
其中G y与F x分别是g(y)与f x的一个原函数，
一阶微分方程的类型
一阶微分方程的类型
可分离变量型是一阶微分方程中最常见的类型之一。
它的特点是方程中的未知函数可以分离成两个变量的乘积，从而可以将方程化为两个变量的函数相等的形式。
具体来说，可分离变量型的一阶微分方程可以写成如下形式：
$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$
其中，$f(x)$和$g(y)$是$x$和$y$的函数。
这个方程的解法是将变量分离，即将$dy$和$dx$分别移到方程的两侧，然后对两侧同时积分：
$$\int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$$
其中，$C$是积分常数。
这个方程的解就是$y$的函数，可以通过对上式两侧的积分来求得。
举个例子，考虑如下的一阶微分方程：
$$\frac{dy}{dx}=x^2y$$
这个方程就是可分离变量型的一阶微分方程，因为它可以写成： $$\frac{dy}{y}=x^2dx$$
将两侧同时积分，得到：
$$\ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C$$
其中，$C$是积分常数。
这个方程的解就是$y=e^{\frac{1}{3}x^3+C}$。
可分离变量型的一阶微分方程在物理、生物、经济等领域中都有广泛的应用。
例如，在生物学中，可分离变量型的方程可以用来描述生物种群的增长；在经济学中，可分离变量型的方程可以用来描述货币的供应和需求之间的关系。
可分离变量型是一阶微分方程中最常见的类型之一，它的解法简单而直观，应用广泛。
一阶线性微分方程与分离变量法
一阶线性微分方程与分离变量法一阶线性微分方程是微分方程中最简单的一种形式，它可以用分离变量法来求解。
在本文中，我们将介绍一阶线性微分方程的定义、基本形式以及如何使用分离变量法来求解。
一、一阶线性微分方程的定义一阶线性微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的微分方程，其中P(x)和Q(x)均为已知函数，y = y(x)是未知函数。
需要注意的是，P(x)和Q(x)不一定是线性函数，可以是非线性函数。
二、一阶线性微分方程的基本形式一阶线性微分方程可以写成如下的标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中，P(x)为已知函数的系数函数，Q(x)为已知函数。
三、分离变量法的基本思路分离变量法是一种用于求解一阶微分方程的常用方法，其基本思路是将方程中的变量分离到方程两边，从而得到两个关于不同变量的表达式。
四、使用分离变量法求解一阶线性微分方程的步骤1. 将一阶线性微分方程的表达式写成标准形式dy/dx + P(x)y = Q(x)。
2. 将方程两边乘以一个适当的积分因子μ(x)，使得P(x)μ(x)为关于x的全导数，即P(x)μ(x) = d/dx μ(x)。
3. 对方程两边同时乘以μ(x)，得到d/dx(μ(x)y) = Q(x)μ(x)。
4. 对方程两边同时进行积分，得到∫d/dx(μ(x)y)dx = ∫Q(x)μ(x)dx。
5. 对方程两边进行积分并简化，得到μ(x)y = ∫Q(x)μ(x)dx + C，其中C为积分常数。
6. 解出y，得到y(x) = [∫Q(x)μ(x)dx + C]/μ(x)。
五、示例现在我们通过一个具体的例子来演示如何使用分离变量法来求解一阶线性微分方程。
例：求解dy/dx - 2xy = x^2解: 首先将方程写成标准形式dy/dx + 2xy = -x^2。
然后确定积分因子μ(x)，根据P(x)μ(x) = d/dx μ(x)，得到d/dx(e^(x^2)) = 2xe^(x^2)，因此积分因子为μ(x) = e^(x^2)。
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第二节 一阶微分方程
可分离变量方程
2020-8-23
1
一阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y) = 0.
2020-8-23
2
可分离变量方程
例如：形如 y = f (x) g (y)
的微分方程，称为可分离变量方程. (1) 分离变量 将方程整理为
1 dy f ( x)dx g( y)
两边积分，得
e ydy exdx
ey ex C
这就是所求方程的通解．
2020-8-23
9
例 4 求方程 y (sin x cos x) 的通解.
解 分离变量，得
dy (sin x cos x)dx
两边积分，得
dy (sin x cos x)dx
y (cos x sin x) C,
这样，方程的通解是 yC. x
求解过程可简化为：
分离变量得
dy dx , yx
两边积分得
ln y ln 1 ln C, ln y ln C ,
x
x
即通解为
yC, x
其中 C 为任意常数.
2020-8-23
13
例 5 求方程 dx + xydy = y2dx + ydy 满足初始 条件 y(0) = 2 的特解.
y Ce 2
这就是所求方程的通解．
6
练习 1 求方程 dy 2 x3 y的通解 . dx
解 分离变量，得
dy 2x3dx, y
两边积分，得
1 y
dy
2
x
3dx
ln
y
1 2
x4
C1
两边取指数，化简得
e e ln y
x2 C1
y e x2 C1 e e C1 x2
y Cex2
这就是所求方程的通解．
2020-8-23
21
2020-8-23
4
例 1 讨论下列微分方程是否可分离变量
1.y 2xy
1 dy 2xdx y
2.3x2 5x y 0
dy (3x2 5x)dx
3.(x2 y2 )dx xydy 0
4.y 1 x y2 xy2 5.y ex y 6.y x y
yx
1 1 y2
dy
(1
解 分离变量
得
y(
dy y
a)
kdx,
即
(
y
1
a
1 y
)dy
kadx.
2020-8-23
18
两边积分，得 ln y a kax ln C. y
经整理，得方程的通解为
也可写为
y
a 1 Cekax
,
y
a 1 Cekax
.
2020-8-23
19
小结
形如
y = f (x) g (y)
的微分方程，称为可分离变量方程.
x)dx
e ydy exdx
2020-8-23
5
例 2 求方程 dy 2xy的通解. dx
解 分离变量，得
dy 2xdx, y
两边积分，得
1 y
dy
2
xdx
ln y x2 C1
2020-8-23
两边取指数，化简得
e e ln y1 2x2C1
y
e1 2
x
2
C1
1
eC1 e 2
x2
1 x2
2020-8-23
7
例 3 求方程 y e x y的通解 .
解 分离变量，得
dy ex y dx eydy exdx
两边积分，得
e ydy exdx
ey ex C
这就是所求方程的通解．
2020-8-23
8
练习 2 求方程 y e x y的通解 .
解 分离变量，得
dy ex y dx e ydy exdx
2020-8-23
16
化简，得 即
e e ln y
ln 1 x2 C1
y C(1 x2 ),
为所求之通解.将初始条件 y(1) = 4 代入，得 C = 2. 故所求特解为
y 2(1 x2 ).
2020-8-23
17
例 4 求方程 dy ky( y a) 的通解 (其中 k 与
dx a 均是正的常数 ).
的形式，使方程各边都只含有一个变量.
2020-8-23
3
(2) 两边积分
两边同时积分，得
左边
1 dy, g( y)
故方程通解为
右边 f ( x)dx.
1 dy g( y)
f
( x)dx
C.
我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的 一个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上.
(1) 分离变量
将方程整理为
1 dy f ( x)dx g( y)
的形式，使方程各边都只含有一个变量.
2020-8-23
20
(2) 两边积分
两边同时积分，得
左边
1 dy, g( y)
故方程通解为
右边 f ( x)dx.
1 dy g( y)
f
( x)dx
C.
我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的 一个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上.
解 将方程整理为 y( x 1)dy ( y2 1)dx.
分离变量，得
y
2
y
1
dy
dx , x 1
两边积分，
有
1 ln( y2 1) ln(x 1) 1 ln C.
2
2
2020-8-23
14
化简，得
y2 1 C( x 1)2 , 即
y2 C( x 1)2 1
为所求之通解.将初始条件 y(0) = 2 代入，得 C = 3. 故所求特解为
这就是所求方程的通解．
2020-8-23
10
练习 3 求方程 y ex cos x 的通解.
解 分离变量，得
dy (ex cos x)dx
两边积分，得
dy (ex cos x)dx
y ex sin x C,
这就是所求方程的通解．
2020-8-23
11
练习 4
求方程
y y 的通解 . x
解 分离变量，得
两边积分，得
dy 1 dx, yx
ln |
y | ln
1 x
C1,
化简得
| y | eC1 1 , x
y eC1 1 ,
令
C2
eC1 , 则
y
C2
1 x
,C2
x 0.
2020-8-23
12
另外，y = 0 也是方程的解，所以 y C2 x
中的 C2 可以为 0， 因此 C2 为任意常数．
y2 3( x 1)2 1.
2020-8-23
15
练习 5 求方程dy =2xydx - x2 dy 满足初始条件 y(1) = 4 的特解.
解 将方程整理为 (1 x2 )dy 2xydx.
分离变量，得
1 y
dy
2xdx 1 x2
,
两边积分，有
1 y
dy
1
2
x x
2
dx,
ln y ln 1 x2 C1.