可分离变量方程
下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是
可分离变量的微分方程是微分方程中一种常见且重要的类型。
在这篇文章中，我们将深入探讨可分离变量的微分方程的概念、特点以及如何解决这类微分方程。
可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是指可以写成以下形式的微分方程：[M(x) dx = N(y) dy]其中，(M(x)) 是自变量 (x) 的函数，(N(y)) 是因变量 (y) 的函数。
这种形式的微分方程可以进行变量分离，将自变量和因变量分别集中在一个方程的不同部分。
解可分离变量的微分方程的方法解可分离变量的微分方程的一般步骤如下：1.将微分方程写成上面提到的形式：(M(x) dx = N(y) dy)。
2.将方程两边进行分离变量，移项得：[ = ]3.对两边同时积分，得到：[ = + C]其中，(C) 是常数项。
4.对上式两边进行积分计算，并化简，得到：[F(y) = G(x) + C]其中，(F(y)) 和 (G(x)) 分别是 (N(y)) 和 (M(x)) 的不定积分。
5.对于需要求解的问题，可以根据初始条件确定常数项 (C) 的值。
将初始条件代入上式，解出常数项的具体数值。
实例分析接下来，我们将通过一个例子来说明如何解决可分离变量的微分方程。
考虑如下微分方程：[x^2 + y^2 = 0]我们可以将方程进行变形，得到可分离变量的形式：[x^2 dy + y^2 dx = 0]将上述方程写成分离变量的形式：[ = -]对两边同时积分，得到：[ = -]计算左右两边的积分：[- = + C]其中，(C) 是常数项。
我们可以继续对上式进行化简：[y = -]在这个例子中，我们可以看到，在解可分离变量的微分方程时，需要进行变量分离、积分和求解常数项等步骤。
小结通过本文的探讨，我们对可分离变量的微分方程有了更深入的了解。
可分离变量的微分方程是一种常见且重要的微分方程类型，解决这类微分方程的方法是将方程进行分离，分别对自变量和因变量积分，并通过确定常数项来解决问题。
可分离变量的微分方程
dy . = 2xy 的通解 例1 求解微分方程 dx dy 解 分离变量 = 2xdx , y dy = ∫ 2 xdx , 两端积分 ∫ y
ln y = x + C1 ⇒ y = ± e x 2
. ∴ y = ce 为所求通解
x2
例2.
求微分方程 y ′ sin x = y ln y满足初始条件 y x = π = e的特解。
一阶微分方程一般可表达为
F ( x, y, y ') = 0
' 若方程式中能解出 y，即方程可表达为
y ' = f ( x, y )
更特殊地， 更特殊地， g ( y )dy = f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程.
4 4 − dy 例如 = 2 x 2 y 5 ⇒ y 5 dy = 2 x 2dx , dx
⇒ 1 − u ' = sin u ⇒ u ' = cos u
2 2
1 1 1 ⇒ u = u + sin 2u + C ⇒ u = sin 2u + C 2 4 2 1 x − y + 1 + sin 2( x − y + 1) = C 2
三、小结
分离变量法步骤: 分离变量法步骤 1.分离变量 分离变量; 分离变量 2.两端积分 两端积分-------隐式通解 隐式通解. 两端积分 隐式通解
2
dy 解：由y ′ sin x = y ln y ⇒ = csc x d x y ln y x + C ⇒ C=0 两边积分得 ln y = tan 2
x 从而特解为 ln y = tan 2
例3.
y ' = sin ( x − y + 1)
可分离变量的微分方程56244
dx
如 y 2xy y tan y
x
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一阶微分方程 y f (x, y)
也可写成对称形式 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
若将x视为自变量，y为因变量，方程可改写为
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
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练习2. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
dM M
dt
M (0) M0
M M 0et
自学
指数减少模型
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例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系.
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指数减少 Exponential Decay
x0
x x0ekt
plot(3*exp(-0.3*x),x=0..10,thickness=3,view=[0..10,0..4],ytickmarks=4);
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例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
微分方程(可分离变量的微分方程)
即 y xu,
dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
6
齐次微分方程的解
1 : 当 f (u) u 0时,
du 得 ln C1 x , f ( u) u du 即 x Ce ( u ) , （ ( u ) ） f ( u) u y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
13
dy (2) 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ). dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或 y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
12
一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程
可分离变量的微分方程公式
可分离变量的微分方程公式可分离变量的微分方程公式，这可是数学中的一个重要知识点呢！咱们先来说说啥是可分离变量的微分方程。
简单来讲，就是能把方程中的变量和它们的导数分离开来，写成一边只有 x 和 dx，另一边只有 y 和 dy 的形式。
比如说，像 dy/dx = f(x)g(y) 这样的式子，就能通过变形变成 g(y)dy = f(x)dx 。
给大家举个例子哈，比如说有个微分方程 dy/dx = x/y ，咱们就能把它变成 ydy = xdx 。
然后两边积分，左边积分得到 1/2 * y^2 ，右边积分得到 1/2 * x^2 + C ，这就求出了方程的解。
我记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子刚开始接触可分离变量的微分方程时，那叫一个迷糊，怎么都弄不明白。
我就一点点给他讲，先从最简单的例子入手，让他自己动手去分离变量，去积分。
结果他总是在一些小细节上出错，不是积分公式记错了，就是忘了加常数 C 。
我看着他着急的样子，心里也挺着急的。
但我知道不能急，得慢慢来。
于是我又给他重新梳理了一遍知识点，让他多做几道练习题。
慢慢地，他好像找到了一点感觉，能做出一些简单的题目了。
可是，当遇到稍微复杂一点的题目，比如 dy/dx = (x^2 + 1) / (y^2 - 1) 这样的，他又懵了。
我就陪着他，一步一步地分析，告诉他怎么把方程变形，怎么确定积分的上下限。
经过好几天的努力，小李终于掌握了可分离变量的微分方程。
他开心得不行，我也为他感到高兴。
再来说说可分离变量的微分方程在实际中的应用。
比如说，在物理学中，研究物体的运动规律时，经常会用到这个公式。
还有在生物学中，分析种群的增长模型时，也能派上用场。
总之，可分离变量的微分方程公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做练习，就能轻松应对。
可别像小李刚开始那样被它给难住啦！希望大家都能学好这个知识点，在数学的海洋里畅游无阻！。
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x, y)处的切线斜率
为 dy 。 dx
根据题意有
dy x dx y
初始条件为
y 0 x 1
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
（2）质量变成一半时m=25，将其代入上式，得
25 50e0.053t
即
e0.053t 1
2
则
t ln2 1（3 年）
0.053
于是可以预测大约经过13年，该材料质量变成一半。
高等数学
两边积分，得
ln P(t) 0.08t ln C
化简，得通解
P(t) Ce0.08t
将 P(0) 80 423 代入通解中，得 C 80 423
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？
于是所求特解为
C 1 y ex2
在解微分方程时，为方便起见，遇到如
1 y
dy， 1x
dx等
形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式
不变。
例3 解微分方程 x( y2 1) dx y(x2 1) dy 0
解 分离变量，两边同乘以2，得
两边积分，得
2 y2
y 1
dy
2x x2 1
dx
dy f (x) g( y) dx
求解步骤如下： （1）分离变量 dy f (x)dx
可分离变量的微分方程
y (1) 0
dy y y 2 1 ( ) dx x x y 这是齐次方程, 令u 代入方程得 x du x 1 u2 dx du dx 将变量分离后得 2 x 1 u
两边积分得: ln u 1 u 2 ln x ln c 整理后得 变量还原得
dx 2 x 1 u
du
u 1 u cx
2
y y 2 1 ( ) cx x x
最后由初始条件 (1) 0, 可定出c 1. y
故初值问题的解为
1 2 y ( x 1) 2
(II) 形如
dy a1 x b1 y c1 , dx a2 x b2 y c2
dy dx
a1 x b1 y c1 dY a1 X b1Y Y f a x b y c dX f ( a X b Y ) g ( X ) 2 2 2 2 2
此外,诸如
dy f (ax by c) u ax by c dx
(2.2)
f (x)的某一原函数 1 的某一原函数 ( y)
由(2.2)所确定的函数 ( x, c)就为(2.1)的解. y
例：
分离变量: 两边积分:
dy x2 y2 1 dx dy x 2 dx y2 1
dx C
1 3 arctan y x C 3
1 两边积分得: sin x c, y
dy cos xdx 2 y
1 因而通解为: y sin x c ,
其中c为任意常数 .
此外y 0也是方程的解 且不能在通解中取适当 c得到. , 的
再求初值问题的通解, 以y(0) 1代入通解 得c 1 ,
可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程
dx
2
2
解 d y cos x y cos x y 0,
dx
2
2
d y 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2sin
y
sin x d x, 2
2
ln csc y cot y 2cos x C 为所求通解.
22
2
例3 一个充满气体的气球突然破了一个孔，
漏气的速率正比于气球内气体的质量，
x
x
例6 求方程sin x d y y cos x 5sin x ecos x的通解 dx
解 将方程化为标准型
d y y cot x 5ecos x, dx 则, P( x) cot x, Q( x) 5ecos x ,
利用公式常数变易公式得通解
y e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x C e cot xd x 5ecos xe cotd x d x C
x,
ln y P( x)d x ln C ,
齐次线性方程的通解为：y Ce P( x)d x .
2º非齐次线性方程： d y P( x) y Q( x). dx
将 C 变易 C( x) (待定)
作变换 y C( x)e P( x)d x
y C( x) e P( x)d x C( x) [P( x)]e P( x)d x ,
第九章
第二节 可分离变量的微分方程 和一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
二 、一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
类型1. d y h( x)g( y) (1.1) dx ——可分离变量的微分方程.
求解法： 设函数g( y)和h( x)是连续的,
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Ce 6
,
dt 6
1
t
x |t0 12 C 8.4, x 3.6 8.4e 6 ,
x |t6 3.6 8.4e1 6.6902 ,
6秒钟后, 车间内CO2的百分比降低到
6.6902 100% 0.056%.
12000
高等数学（上）
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的 底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米 (如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小 孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与 孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
高等数学（上）
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
即为未知函数的微分方程. 可分离变量
dt (200 h h3 )dh,
含有0.1% 的CO2 , 为了降低车间内空气中CO2
的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机
通入含 0.03% 的CO2 的新鲜空气, 同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6秒
钟后, 车间内CO2 的百分比降低到多少?
解 设鼓风机开动后 t 时刻车间内 CO2 的含量
为 x(t)（指的是体积）
x
dx
g(u) du 0,
x u[ f (u) g(u)]
通解为
ln
|
x
|
u[
f
g(u) du (u) g(u)]
C.
高等数学（上）
例2 求解方程
(1 xy) ydx (1 xy x2 y2 )xdy 0
解 令u xy,
方程化为 u3 (1 u u2 )u x
通解为 2x2 y2 ln | y | 2xy 1 Cx2 y2 .
在[t, t dt]内,
CO2的通入量 2000 dt 0.03%
CO2的排出量
2000 dt x(t) 12000
高等数学（上）
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
x 2000 dt 0.03% 2000 dt x(t)
dx
1
(x
3.6),
x
3.6
12000
1
t
高等数学（上）
解 衰变速度 dM , 由题设条件
dt
dM M ( 0衰变系数) dM dt
dt
M
dM M
dt ,
ln M t lnC, 即M Cet ,
代入M t0 M0 得 M0 Ce0 C ,
M M0et
衰变规律
高等数学（上）
例4 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中
dx
2
2
解 dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln csc y cot y 22
2cos x C, 2
为所求解.
高等数学（上）
XT
(1)求解yy (1 y2 )sin x 0,
解 由力学知识得,水从孔 口流出的流量为
Q dV 0.62 S 2gh , dt
流量系数 孔口截面面积
高等数学（上）
S 1 cm2,
h
dV 0.62 2ghdt,
(1)
h h dh r
100 cm
设在微小的时间间隔[t, t dt],
o
水面的高度由h降至 h dh , 则 dV r 2dh,
注 : y 0也是解,可见通解不是所有解.
高等数学（上）
例2 证明方程 f (xy) ydx g(xy)xdy 0
可化为分离变量方程.
解 令u xy, 则 du xdy ydx,
f (u) ydx g(u)(du ydx) 0,
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0,
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程
高等数学（上）
河海大学理学院
一、可分离变量的一阶微分方程
形如 dy f ( x) ( y)
dy
dx
f ( x)dx
( y)
可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
0.62 2g 3
5
h |t0
100,
C
0.62
2g
14 105 15
,
所求规律为 t (7 105 103 h3 3 h5 ). 4.65 2g
高等数学（上）
思考题
求解微分方程 dy cos x y cos x y .
dx,
ln
y
1 ln(1 2
x2 ) C1
y C 1 x2为所求通解.
高等数学（上）
例 求解微分方程 dy 2 xy2 的通解. dx
解 首先 : y 0 是解.
dy
设 y 0 分离变量 y2 2 xdx,
两端积分
dy y2
2xdx, 1 x2 C
yyຫໍສະໝຸດ x21 C
为所求通解.
1 ln(1 y2 ) cos x 0.
(2)求
解cos
2
ydx
(1
e
x
)
sin
ydy
0,
y0
4
(1 e x )sec y 2 2.
高等数学（上）
dy
( y)
f
( x)dx
分离变量法
1
设函数G( y)和F(x)是依次为 ( y) 和 f (x)的原
函数,G( y) F( x) C 为微分方程的通解.
高等数学（上）
二、典型例题
例1
求解微分方程
dy dx
xy 1 x2
的通解.
解
分离变量
dy y
x 1 x2
dx,
两端积分
dy y
x 1 x2