高等数学课件：6-2 可分离变量的微分方程
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第二节可分离变量的微分方程-PPT精品
规衰变律
思考题
求解微分方程 d yco x syco x sy.
dx 2
2
思考题解答
d yco x syco x sy0 ,
dx 2
2
dy2sin xsin y0, dx 2 2
2sdiyny sin2xdx,
2
lncscy coty 22
2cosxC, 2
为所求解.
三、齐次方程
1.定义 形如 dy f(y) 的微分方程称为齐次方程. dx x
正 比 , 已 知 M t0 M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量 M(t)随时间t 变化的规律.
解 衰变速d度 M, 由题设条件
dt
dM M dt
(0衰变)系dM数 M dt
dMMdt, l|n M | t lC n 1 ,即 MC et,
代M 入 t0M 0 得M0C0e C,
M M 0et
dx
解 dy 2 y y dx x x
令u y , 则 dy u x du ,
x
dx
dx
有uxdu 2 uu, dx
1 du dx 0, 2(u u) x
2(u1 u)dudxx 0,
x( u 1) c
微分方程的解为
xy x c
四、小结
１分离变量法步骤: 分离变量;
化下列方程为齐次方程,并求出通解:
1、 y x y 1 ； x y3
2、 (2 x 5 y 3)dx (2 x 4 y 6)dy 0 .
练习题答案
一、1、y2 x2(2lnx C)；
x
2、x2yey C. 二、1、y2 x2 y3；
2、x2 y2 x y. 三、1、arctayn21ln[(x1)2 (y2)2]C；
高数第七章(2)可分离变量的微分方程.
设在
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0),
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对应下降体积
dV r 2 dh
r 1002 (100 h)2
dV (200h h2 ) dh
因此得微分方程定解问题:
200h h2 h
hr
100cm
o hdh
将方程分离变量:
dt
x
y
即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
Fx y tan x
y
Fy
因此有
y y tan x y x0 1
y 1 sec x cos x
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练习题
一、求下列微分方程的通解: 1、sec 2 x tan ydx sec 2 y tan xdy 0 ； 2、(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0 ； 3、( y 1)2 dy x 3 0. dx
mg ) m g (1
e
k m
t
)
t
足够大时
v
mg k
k
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例8.
求解微分方程
dy dx
cos
x
2
y
cos
x
2
y.
解 dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
dx
22
2
dy sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln csc y cot y 2cos x C, 为所求解.
可分离变量的微分方程
M M0
（2）解微分方程： ）解微分方程： 分离变量 两边积分
dM ∫ M = ∫ λdt ,
O
t
ln M = λt + ln C , 即M = Ce λt , 代入M t = 0 = M 0 ,得 M 0 = Ce 0 = C ,
∴ M = M 0e
λt
衰变规律
放射性物质都具有类似的衰变规律： 放射性物质都具有类似的衰变规律：
A B C ,b = , 记a = D D
若a = 0, 即A = B ,
饮食量仅够维持新陈代谢 身体快速消瘦
则w = w0 e bt . lim w ( t ) = 0
dw = a bw(t ). 若b = 0,即C = 0, 只吃饭、不锻炼 dt 只吃饭、 dw 则方程变为 = a , 解得w = at + w0 . dt 当t → ∞时，w → ∞ . 身体越来越胖 危险！ 危险！
思考题
下列微分方程是否为可分离变量方程 下列微分方程是否为可分离变量方程? 是否为可分离变量方程
y′ 1. x = y x +y
2 2
不是 是 是
2. y(1 + x 2 ) y′ x 1 y 2 = 0
3. 2e dx + ( 1 x ) dy = 0
y
作业
p.269 习题 －2 习题12－ 1. (3), (7); 2. (1), (4); 4; 6.
(1 )
y′ = f ( x , y )
问题： 问题： d y = 2 x y 2 dy = 2 xdx dy = 2 xdx dx y2 y2 dy dx 1 xy ′ y ln y = 0 = = x2 + C 例如： 例如： y ln y x y 1 ( e x + y e x ) dx + ( e x + y + e y ) dy = 0y = x 2 + C e x (e y 1)dx + e y (e y + 1)dy = 0 y e ex dy = x dx y 1e e +1 均可化为(1)的形式 的形式. 均可化为 的形式
（2）解微分方程： ）解微分方程： 分离变量 两边积分
dM ∫ M = ∫ λdt ,
O
t
ln M = λt + ln C , 即M = Ce λt , 代入M t = 0 = M 0 ,得 M 0 = Ce 0 = C ,
∴ M = M 0e
λt
衰变规律
放射性物质都具有类似的衰变规律： 放射性物质都具有类似的衰变规律：
A B C ,b = , 记a = D D
若a = 0, 即A = B ,
饮食量仅够维持新陈代谢 身体快速消瘦
则w = w0 e bt . lim w ( t ) = 0
dw = a bw(t ). 若b = 0,即C = 0, 只吃饭、不锻炼 dt 只吃饭、 dw 则方程变为 = a , 解得w = at + w0 . dt 当t → ∞时，w → ∞ . 身体越来越胖 危险！ 危险！
思考题
下列微分方程是否为可分离变量方程 下列微分方程是否为可分离变量方程? 是否为可分离变量方程
y′ 1. x = y x +y
2 2
不是 是 是
2. y(1 + x 2 ) y′ x 1 y 2 = 0
3. 2e dx + ( 1 x ) dy = 0
y
作业
p.269 习题 －2 习题12－ 1. (3), (7); 2. (1), (4); 4; 6.
(1 )
y′ = f ( x , y )
问题： 问题： d y = 2 x y 2 dy = 2 xdx dy = 2 xdx dx y2 y2 dy dx 1 xy ′ y ln y = 0 = = x2 + C 例如： 例如： y ln y x y 1 ( e x + y e x ) dx + ( e x + y + e y ) dy = 0y = x 2 + C e x (e y 1)dx + e y (e y + 1)dy = 0 y e ex dy = x dx y 1e e +1 均可化为(1)的形式 的形式. 均可化为 的形式
可分离变量方程
可分离变量方程、 齐次方程
•可分离变量方程
•齐次方程
•其它
一、可分离变量的微分方程
1. 定义： 一阶微分方程：y h( x, y )
dy 即 h( x, y ) dx
f ( x) 若 h( x , y ) g( y )
即形如
g( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
齐次方程
1、变量代换
2、求解
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2
思考题解答
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
由牛顿力学的知识可得 dv F mg kv m ma dt dv 1 mg 即 dt v mg kv m k
mg v0 0 C v k mg t , v k
Ce
k t m
k t mg 1 e m k
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过 程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间 的距离)随时间t的变化规律.
设M ( x , y)为L上任一点， M
MT为切线, 斜率为 y,
o
x
OMN NMR,
1 MN为法线, 斜率为 , y
N
L
tan OMN tan NMR,
y
M
o
T
R
x
N
L
由夹 角正 切公 式得
•可分离变量方程
•齐次方程
•其它
一、可分离变量的微分方程
1. 定义： 一阶微分方程：y h( x, y )
dy 即 h( x, y ) dx
f ( x) 若 h( x , y ) g( y )
即形如
g( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
齐次方程
1、变量代换
2、求解
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2
思考题解答
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
由牛顿力学的知识可得 dv F mg kv m ma dt dv 1 mg 即 dt v mg kv m k
mg v0 0 C v k mg t , v k
Ce
k t m
k t mg 1 e m k
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过 程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间 的距离)随时间t的变化规律.
设M ( x , y)为L上任一点， M
MT为切线, 斜率为 y,
o
x
OMN NMR,
1 MN为法线, 斜率为 , y
N
L
tan OMN tan NMR,
y
M
o
T
R
x
N
L
由夹 角正 切公 式得
同济版大一高数下第二节可分离变量的微分方程公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
1. y sin2 (x y 1)
解: 令 u x y 1, 则 u 1 y 故有 1 u sin 2 u 即 u 1 sin2 u u cos2 u
sec2 u du dx 解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
8
例5. 求下述微分方程旳通解:
拟定旳隐函数 y f (x).
解: 因积分与途径无关 , 故有
[F (x, y) cos x ] [F (x, y) y sin x]
x
y
即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
Fx y tan x
y
Fy
所以有
y y tan x y x0 1
提醒: 方程变形为
y sin(x y) sin(x y)
y 2 cos x sin y
dy 2 cos xdx sin y
ln tan y 2sin x C
2
13
y 1 sec x cos x
11
内容小结
1. 可分离变量方程旳求解措施: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 阐明: 通解不一定是方程旳全部解 .
12
思索与练习
sin A sin B 2 cos A B sin A B
2
2
求下列方程旳通解 :
y sin(x y) sin(x y)
解: 分离变量得
d y ln 1 ln C ln x2 1
C x2 1
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
5
例3 求下列方程旳通解 :
解: 令 u x y 1, 则 u 1 y 故有 1 u sin 2 u 即 u 1 sin2 u u cos2 u
sec2 u du dx 解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
8
例5. 求下述微分方程旳通解:
拟定旳隐函数 y f (x).
解: 因积分与途径无关 , 故有
[F (x, y) cos x ] [F (x, y) y sin x]
x
y
即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
Fx y tan x
y
Fy
所以有
y y tan x y x0 1
提醒: 方程变形为
y sin(x y) sin(x y)
y 2 cos x sin y
dy 2 cos xdx sin y
ln tan y 2sin x C
2
13
y 1 sec x cos x
11
内容小结
1. 可分离变量方程旳求解措施: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 阐明: 通解不一定是方程旳全部解 .
12
思索与练习
sin A sin B 2 cos A B sin A B
2
2
求下列方程旳通解 :
y sin(x y) sin(x y)
解: 分离变量得
d y ln 1 ln C ln x2 1
C x2 1
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
5
例3 求下列方程旳通解 :
6.2可分离变量方程及齐次方程 常微分方程课件
例2
求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
. xy
解
dy dx
2y2 x2 xy
xy y2
2 1
y 2
x
y x
y
y
2
,
x x
令u y , 则 dy u x du
x
dx
dx
u
xu
2u2 1 u
u u2
,
3 2
u
1
2
1 2
1 u
u
1 1
du
dx x
,
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,
dX
a1 X b1Y
得通解代回
X Y
x h, y k，
例4 求 dy x y 1 的通解. dx x y 3
解
1
1 2 0,
11
方程组hh
k k
1 0 3 0,
h
1, k
2,
令 x X 1, y Y 2. 代入原方程得
dY X Y , dX X Y
令u Y ， X
变量替换 u ax by c可化为可分离变量方程 .
例3 求 dy (x y)2的通解.
解
dx
令 x y u,
dy du 1
代入原方程得
dx dx
du 1 u2 解得 arctanu x C,
dx
代回 u x y,得 arctan( x y) x C,
原方程的通解为 y tan( x C) x.
得通解
x
( y)
Ce x ,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
可分离变量的微分方程
故所求特解为 y ecsc xcot x .
第三节 齐次方程
1. 定义
可化为形如
dy dx
y x
的一阶微分方程, 称为齐次方程.
例如，方程 (2 y2 xy)dx ( x2 xy y2 )dy
可化成
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2 1
y x y x
2
y x
原方程的通解为 sin y ln x C . x
例2
解方程
1
x
2e y
dx
x
2e y
1
x y
dy
0.
解 令 x u( y), 则 dx u y du .
y
dy
dy
代入原方程得
(1
2e
u
)
u
y
du
dy
2eu(1
u)
0
分离变量，得
1 2eu
dy
u 2eu du y 0
第二节 可分离变量的微分方程
1. 定义 形如 dy f ( x)g( y)
(1)
dx
或 M1( x)M2( y)dx N1( x)N2( y)dy 0 (1)
的微分方程, 称为可分离变量的微分方程.
2.解法 分离变量 dy f ( x)dx g( y)
两端积分
ห้องสมุดไป่ตู้
dy g( y)
f
( x)dx.
例3 求方程 ysin x y ln y 满足初始条件
y x e的 特 解. 2
解 分离变量，得 dy dx y ln y sin x
两端积分
dy y ln
y
csc
xdx
第三节 齐次方程
1. 定义
可化为形如
dy dx
y x
的一阶微分方程, 称为齐次方程.
例如，方程 (2 y2 xy)dx ( x2 xy y2 )dy
可化成
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2 1
y x y x
2
y x
原方程的通解为 sin y ln x C . x
例2
解方程
1
x
2e y
dx
x
2e y
1
x y
dy
0.
解 令 x u( y), 则 dx u y du .
y
dy
dy
代入原方程得
(1
2e
u
)
u
y
du
dy
2eu(1
u)
0
分离变量，得
1 2eu
dy
u 2eu du y 0
第二节 可分离变量的微分方程
1. 定义 形如 dy f ( x)g( y)
(1)
dx
或 M1( x)M2( y)dx N1( x)N2( y)dy 0 (1)
的微分方程, 称为可分离变量的微分方程.
2.解法 分离变量 dy f ( x)dx g( y)
两端积分
ห้องสมุดไป่ตู้
dy g( y)
f
( x)dx.
例3 求方程 ysin x y ln y 满足初始条件
y x e的 特 解. 2
解 分离变量，得 dy dx y ln y sin x
两端积分
dy y ln
y
csc
xdx
《可分离变量》课件
可分离变量的未来发展
扩展到高维空间
随着研究的深入，可分离变量有 望在高维空间中得到进一步发展 和应用，以解决更为复杂的问题
。
与其他方法的结合
未来研究可能会将可分离变量与其 他数学方法或技术相结合，以产生 更强大的分析工具。
实际应用的拓展
随着技术的进步和实际问题的复杂 性增加，可分离变量将在更多领域 得到应用，如物理、工程、经济等 。
积分法
总结词
积分法是通过对方程两边进行积分来求解可分离变量微分方程的方法。通过选 择合适的积分函数，可以将微分方程转化为更简单的方程，从而更容易求解。
详细描述
在可分离变量微分方程中，如果存在一个函数可以作为积分函数，使得方程变 得更简单，那么就可以使用积分法。具体步骤包括选择合适的积分函数，对方 程两边进行积分，然后求解得到方程的解。
分离变量
通过对方程两边同时积分，将方 程转化为 `∫f(x)dx = ∫g(y)dy` 的 形式，使得变量 `x` 和 `y` 被分离 在等式的两边
02
可分离变量的性质
线性独立性
线性独立性
在可分离变量的函数中，各变量之间 是线性独立的，即每个变量在函数中 只出现一次，没有重复或交叉项。
线性独立性的意义
量子力学中的薛定谔方程
在量子力学中，薛定谔方程是一个偏微分方程，可分离变 量方法可以将其转化为多个常微分方程，从而简化求解过 程。
数学问题中的应用
求解偏微分方程
在数学物理中，偏微分方程是常见的问题。通过可分离变量方法，可以将偏微分方程转化 为多个常微分方程，从而找到其解。
数值分析中的有限元方法
在数值分析中，有限元方法是求解偏微分方程的一种常用方法。可分离变量方法可以简化 有限元方法的实现过程，提高计算效率。
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①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
g ( ( x)) ( x) d x f ( x) d x
两边积分, 得
f ( x) d x
②
则有
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆, 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
所求通解: tan( x y 1) x C ( C 为任意常数 )
例. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. dM M ( 0 ) 解: 根据题意, 有 d t M t 0 M 0 (初始条件) 求在
思考与练习
求下列方程的通解 :
y x dy dx 提示: (1) 分离变量 2 2 1 y 1 x (2) 方程变形为 y 2 cos x sin y y ln tan 2 sin x C 2
备用题
例. 解初值问题
x yd x ( x 2 1) d y 0 y(0) 1
例3. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系. dv 解: 根据牛顿第二定律列方程 m mg k v dt 初始条件为 v t 0 0 对方程分离变量, 然后积分 : 得
( 此处 mg k v 0 )
例+. 求微分方程
的通解.
dy 解: 分离变量得 3 x 2 d x 说明: 在求解过程中 y 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 两边积分 减解. 或 3 ln y x C1 得
即
令C e
C1
ln y x 3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
ex 解： 分离变量 ydy dx. x 1 e
两端积分
ydy
ex dx . x 1 e
y2 通解为 ln( e x ) C . 1 2
e 由初始条件 y(0) 1, 可得C ln 2 2 y e x 所求特解为 ln( e ) ln 1 . 2 2
§6.2
可分离变量的微分方程
可分离变量方程
dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0
转化
解分离变量方程 g ( y) d y f ( x) d x
分离变量方程的解法:
g ( y ) d y f ( x) d x
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
例1.
解方程 x 2 y2 y'1 y.
y2 1 解： 分离变量 dy 2 dx. 1 y x
两端积分
2
y2 dx dy 2 . y 1 x
y 1 通解为 y ln | y 1 | C . 2 x
例2.
解方程 (1 e x ) yy' e x , 满足条件 y(0) 1.
对方程分离变量, 然后积分:
M
M0
得 ln M t ln C , 即 M C e t
利用初始条件, 得 C M 0 故所求铀的变化规律为 M t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) k k v mg t k mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
内容小结
1. 微分方程的概念
微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解
说明: 通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 ( x y ) y 0 有解 y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x 2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
2
例. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有 即 解得
1 u sin 2 u
tan u x C