第十五讲 比较法解题
小学数学解题方法解题技巧之比较法
小学数学解题方法解题技巧之比较法通过对应用题条件之间的比较，或难解题与易解题的比较，找出它们的联系与区别，研究产生联系与区别的原因，从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。
在用比较法解应用题时，有些条件可直接比较，有些条件不能直接比较。
在条件不能直接比较时，可借助画图、列表等方法比较，也可适当变换题目的陈述方式及数量的大小，创造条件比较。
（一）在同一道题内比较在同一道题内比较，就是在同一道题的条件与条件、数量与数量之间的比较，不涉及其他题目。
1.直接比较例1五年级甲班要种一些树。
如果每人种5棵，则剩下75棵；如果每人种7棵，则缺15棵。
问这个班有多少人？这批树苗有多少棵？（适于四年级程度）解：将两种分配方案进行比较，就会发现，第二次比第一次每人多种：7-5=2（棵）第二次比第一次多种：75+15=90（棵）90棵中含有多少个2棵就是全班的人数：90÷2=45（人）这批树苗的棵数是：5×45+75=300（棵）或7×45-15=300（棵）答略。
*例2四季茶庄购进两批茶叶，第一批有35箱绿茶和15箱红茶，共重2925千克。
第二批有35箱绿茶和28箱红茶，共重3640千克。
两种茶叶每箱各重多少千克？（适于五年级程度）解：将前后两批茶叶的箱数与箱数、重量与重量分别比较，可发现，第二批红茶箱数比第一批红茶箱数多：28-15=13（箱）第二批红茶比第一批红茶多：3640-2925=715（千克）因此，可得每一箱红茶重量：715÷13=55（千克）每一箱绿茶重量：（2925-55×15）÷35=（2925-825）÷35=2100÷35=60（千克）答略。
2.画图比较有些应用题由于数量关系复杂、抽象，不便于通过直接推理、比较看出数量关系，可借助画图作比较，就容易看出数量关系。
解：作图13-1，比较已修过米数与未修过米数的关系。
可看出，这段公路一共分为（7+2）份。
数学课件：1.5.1 比较法
=
������ ������
������ ������
������ ������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������=aa-b·aa-c·bb-c·bb-a·cc-a·cc-b
要证明
a>b>0,只要证明
a b
>
1.要
证明 b>a>0,只要证明 b > 1
a
适用于具有多项式特征 的不等式的证明
主要适用于积、商、幂、对数、 根式 形式的不等式证明
【做一做1】 设m=a+2b,n=a+b2+1,则( )
A.m>n
B.m≥n
C.m<n
D.m≤n
解析:∵n-m=b2+1-2b=(b-1)2≥0,∴n≥m.
C.④ D.①②③④
答案:A
1.用作差比较法证明不等式的一般步骤是什么? 剖析:用作差比较法证明不等式的一般步骤如下. (1)作差:把不等 式的左、右两边作差,可以是左边减右边,也可以是右边减左边;(2) 变形:把这个差变化为易于判断正负的形式,而不必考虑差的值是 多少,变形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等;(3)判断 差的符号:主要依据差的最后变形的结果来判断;(4)下结论:肯定所 证明的不等式成立.
题型一 题型二 题型三 题型四
用作商比较法证明不等式
【例2】 已知a>b>c>0,求证:a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
物理解题中的比较法
物理解题中的比较法比较法是一种常见的逻辑思维方法,人们从呱呱落地就开始观察世界,比较事物的异同,认识大小、方圆、高矮、胖瘦……，因此，比较法是一种人们最容易掌握的思维方法。
在形象思维过程中人们有意无意地运用比较法认识事物，同样在抽象思维过程中也需要应用比较法来提高认知能力。
高中物理是一门学生公认的比较抽象的学科，正确地应用比较法有助于概念的形成和规律的掌握。
笔者在普通高中从事教学十余年，面对普通生源从不懈怠，积极探求切合学生特点的教学方法。
本文旨在从习题教学角度探导如何应用比较法，以帮助学生迅速形成解题思路，提高理解能力和分析解决问题的能力。
比较法是在找到两种有一定联系的事物、概念和规律的基础上，比较它们的异同，从而找到它们的相似规律的一种思维方法。
在学习过程中要应用比较法首先必须有一个比较熟悉的物理模型，在此基础上找出与研究问题相近的规律，比较异同，从而迅速得出结论。
因此，建立物理模型是熟练运用比较法解题的基础。
高中物理教材中常见的物理模型有：自由落体运动、平抛运动、匀速圆周运动、简谐运动（弹簧振子、单摆）、竖直平面内的圆周运动等。
熟悉了这些模型的运动规律后方可灵活运用到实际问题中去。
其次，在处理问题时要有比较的意识，这样遇到与物理模型有一定联系的问题，便自然想到比较法。
当然常规的解题思路和方法固不可少，但巧妙地运用比较法能帮助学生迅速形成解题思路，降低思维难度，找到解题的捷径。
最后，就是如何选择参考模型并运用比较法进行思考，这也是运用比较法的关键。
下面就具体问题谈谈比较法的思维形成及解题方法。
1 改变初始状态，寻找参考模型物理习题都是在一定的物理模型基础上设计出来的，适当变换初始条件，使物理情景发生变化，从而产生新的物理问题。
在研究这些问题时，只要我们把题设条件转换成比较熟悉的情形，比较由于条件的变化而引起的不同结果，便能迅速得出答案。
例1、图所示，竖直固定在地面上的弹簧原长为AO，一个小球从空中某高处自由下落压缩该竖直弹簧，弹簧被压缩到最低点时长度为BO，在小球下落到弹簧被压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是：（A ）小球在A 处速度最大；（B ）小球在A 、B 中间某处速度最大；（C ）在整个运动过程中，小球在空中下落时加速度最大； （D ）在整个运动过程中，小球在B 点处加速度最大。
2020高考备考物理热点《比较法》(附答案解析版)
热点05 比较法【热点解读】比较法是将待测量与已知的标准量进行直接或间接的比较，从而测出待测量的一种测量方法，事实上，所有测量都是待测量与标准量进行比较的过程，广义上来都属于比较测量。
比较法是物理测量中最普遍、最基本、最常用的测量方法。
从比较方式的不同上看，比较法分为直接比较法和间接比较法。
1．直接比较法直接比较法是将被测量与已知的同类物理量或标准量直接进行比较，来获得实验结果的方法。
例如，用刻度尺测量长度，用量筒测量液体体积、用天平称物体的质量等均属于直接比较测量方法。
2．间接比较法借助一些中间量，或将测量进行某种变换，来间接实现比较测量的方法称为间接比较法。
【限时检测】（建议用时：25分钟）1．在探究“牛顿第二定律”时，某小组设计双车位移比较法来探究加速度与力的关系。
实验装置如图所示，将轨道分上下双层排列，两小车后的刹车线穿过尾端固定板，由安装在后面的刹车系统同时进行控制（未画出刹车系统）。
通过改变砝码盘中的砝码来改变拉力大小。
通过比较两小车的位移来比较两小车的加速度大小。
已知两车质量均为200 g，实验数据如表中所示：试根据该实验的情境，回答下列问题：（1）两小车的位移、与加速度、的关系满足________。
（2）分析表中数据可得到结论：________________________；（3）该装置中的刹车系统的作用是_________________。
【答案】（1）（2）在小车的质量相同的情况下，小车的加速度与外力成正比（3）让两个小车同时运动，同时停车，确保两车的运动时间相同【解析】（1）由s=at2可知，；（2）分析表中数据可得到结论：在小车的质量相同的情况下，小车的加速度与外力成正比；（3）该装置中的刹车系统的作用是：让两个小车同时运动，同时停车，确保两车的运动时间相同；2．要测绘标有“3V；0.6W"小灯泡的伏安特性曲线，灯泡两端的电压需要由零逐渐增加到3V，并便于操作。
运用比较法解题
运用比较法解题江苏省江阴市：蒋仪有些数学习题，有时用一般方法进行求解有一定难度，可考虑用比较的方法进行求解。
例1、一项工程，甲先做6小时，乙再接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲先做2小时后，由乙接着做，还要几小时可以完成这项工程？分析与解答：这道题如果用工程问题的一般思路分析求解显然有一定难度，可考虑用比较法进行求解。
由题目条件可知：甲6小时+乙12小时完成全工程（1）甲8小时+乙6 小时完成全工程（2）比较上面两个算式可知，甲2（8-6）小时的工作量相当于乙6（12-6）小时的工作量，即甲1小时的工作量相当于乙3小时的工作量。
因为由题知，甲先做6小时，乙再接着做12小时可以完成，现在甲先做2小时，比先做6小时少用：6- 2= 4（小时），甲少用4小时，乙则要多做：4×3=12（小时）。
因此可得，如果甲先做2小时，乙再接着做要用的时间是：12+12=24（小时）。
例2、桌子上有一些棋子，无论摆成5排、6排或7排，而且在摆时，后排总比前排多1枚，都恰好摆完，一枚也不剩下，问这些棋子最少有几枚？分析与解答：因为摆成5排，如果每排同第一排同样多，要多出：1+2+3+4=10（枚），如果将这些多出的棋子仍放进这5排中，每排可多摆2枚（10÷5），正好摆完；摆成7排，如果每排同第一排同样多，要多出：1+2+3+4+5+6=21（枚），再如果将这些多出的棋子也仍放进这7排中，每排可多摆3枚（21÷7），也正好摆完；如果摆成6排，每排也同第一排同样多，要多出：1+2+3+4+5=15（枚）。
因为，15÷6=2 ……3。
因此可知，这些棋子数是5和7的公倍数，且除以6余3。
5和7的公倍数有35、70、105……。
35和70除以6 的余数不是3，不符合题意，105÷6=17……3，符合题意，因此可知，这些棋子最少是105枚。
例3、有一项工程，甲、乙两队合做4天可以完成，甲队单独做5天可以完成。
小学数学比较法答题技巧
小学数学比拟法答题技巧
通过比照数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比拟法。
（1）找相同点必找相异点，找相异点必找相同点，不可或缺，也就是说，比拟要完整。
（2）找联系与区别，这是比拟的实质。
（3）必须在同一种关系下（同一种标准）进展比拟，这是“比拟”的根本条件。
（4）要抓住主要内容进展比拟，尽量少用“穷举法”进展比拟，那样会使重点不突出。
（5）因为数学的严密性，决定了比拟必须要精细，往往一个字，一个符号就决定了比拟结论的对或错。
这道题的意图就是要对“一个数的最高位和小数局部的最高位的区别”，还有“数位和数值”的区别等。
这是两种方案的比拟。
相同点是：六年级人数不变；相异点是：两种方案中的条件不一样。
找联系：每人种树棵数变化了，种树的总棵数也发生了变化。
找解决思路（方法）：每人多种7—5=2（棵），那么，全班就多种了75+15=90（棵），全班人数为90÷2=45（人）。
解题妙用比较法
解题妙用比较法作者：于红来源：《中学课程辅导·教师通讯》2017年第14期【内容提要】解题，在高中思想政治教学中是重要的环节。
运用比较法解题适应学生的思维能力，能取得理想的教学效果，所以正确运用比较法对锻炼学生解题能力具有重要意义。
本文从解题技巧方面归纳总结比较法的特点和规律，以体现比较法在解题中的重要性。
【关键词】解题比较单项选择题比较非选择题比较比较设问比较答案目前政治高考题目主要有两种题型，一是单项选择题，二是非选择题。
比较法对这两种类型题目的解答都有不可替代的作用。
一、比较法在解答单项选择题中的运用一般而言，解答单项选择题有两步，第一步是判断选项自身的对错。
如果题目比较简单，这一步就可以选出正确的答案。
如2017年江南十校联考第12题：截至2016年9月13日，全国已有江苏、上海、天津、山东、辽宁、重庆、海南、河北、北京等9个省份上调了最低工资标准，平均增幅在11%左右。
目前，全国月最低工资标准最高的是上海的2190元。
提高最低工资标准表明：①要提高劳动报酬在再分配中的比重；②劳动报酬增长与劳动生产率提高同步；③初次分配既要注重效率也要注重公平；④收入是提高消费水平的根本途径。
A.①③B.①④C.②④D.②③解析：①原理性錯误，要提高劳动报酬在初次分配中的比重，④原理性错误，发展生产力是提高消费水平的根本途径，所以选D。
当然在大多数情况下，仅靠判断选项的对错还不能解决问题，此时就需要用到第二步，联系知识类型、设问角度和材料内容进行综合判断，择优选择。
如2017年江南十校联考第16题：近期，电影《湄公河大案》火热上映，广受群众好评。
湄公河惨案发生后，党和政府高度重视，国家领导人在第一时间作出重要批示，要求全力做好应急处置和中国公民善后工作。
材料揭示的政治生活道理是：①中国共产党践行以人为本的执政理念；②中国共产党坚持科学执政、依法执政；③我国政府履行对人民负责的职能；④体现了我国政府对人权充分尊重。
比较法课件
当0<a<1时,因为log(a+1)a<0,log(a+2)(a+1)>0,
所以log(a+1)a<log(a+2)(a+1);
当a>1时,因为log(a+1)a>0,log(a+2)(a+1)>0,
所以
log(+1)
=log(a+1)a·log(a+1)(a+2)
证明不等式的基本方法
一
比较法
1.作差比较法
(1)原理:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)步骤:作差—变形—确定符号—下结论.
名师点拨作差比较时,为了判断差的符号,需要先对差式进行变
形,这是证明的关键步骤,变形的常用方法有:因式分解、配方、分
子(或分母)有理化等.
做一做 1 若 a<0,b<0,试比较
故 a2-b2+c2≥(a-b+c)2.
反思感悟作差比较法证明不等式的技巧
1.在作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判
断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少.
2.变形所用的方法有配方、因式分解等,要具体情况具体分析.
3.因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的符号,常将差
式变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的差式是某字母
1
1
2
解： + −
2 2 +
2
(+)+(+)-4
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比较法解题
例1：学校体育小组第一次买了3个篮球和6个足球共付294元钱，第二次买了3个篮球和2个足球共付了154元钱，那么买一个足球和一个篮球各需要多少钱？
练一练：买2本练习本和5支笔要用6元，买4本练习本和5支笔要用7元。
一个练习本和一支笔各要多少钱？
例2：星期天，妈妈从超市买了4支小梦龙和3支可爱多冰淇淋，用去24元钱。
妈妈对小丽说：“上星期我买了3支小梦龙和5支可爱多冰淇淋用去29元。
你算一算，小梦龙和可爱多每支多少元钱？”
练一练：王叔叔买3件上衣和2条裤子共用230元钱，买同样的4件上衣和3条裤子共用了320元钱。
每件上衣多少元钱？每条裤子多少元钱？
例3：小华买1支钢笔和2支圆珠笔共用15元钱，小红买同样的钢笔2支，圆珠笔1支共用21元钱，每支钢笔的价格是多少？
练一练：有5个男生和3个女生在一起喝可乐饮料。
如果男生用小杯，女生用大杯，每人一满杯，一共要倒500亳升；如果女生用大杯，男生用小杯，每人一满杯，一共要倒380亳升。
那么一个大杯可装多少毫升？
例4：饭店买回白菜、冬瓜、青豆三种菜，白菜、冬瓜共重76千克，白菜、青豆共重54千克，冬瓜、青豆共重82千克。
白菜、冬瓜、青豆各重多少千克？
练一练：奥运期间，同学们准备了一些福娃卡片，其中欢欢和迎迎共25张，迎迎和妮妮共35张，欢欢和妮妮共30张。
欢欢、迎迎和妮妮各有多少张？
例5：张阿姨买回3千克苹果、2千克梨；李阿姨买了4千克苹果、3千克梨；王阿姨买了3千克苹果、4千克梨。
李阿姨比张阿姨多花5元钱，张阿姨比王阿姨少花4元钱。
你知道他们各花了多少元钱吗？
练一练：甲、乙、丙三个同学买文具，甲买了3个练习本、2支笔；乙买了4个练习本、3支笔；丙买了3个练习本、4支笔。
乙比甲多花1.5元钱，甲比丙少花了2元钱，甲、乙、丙各花了多少元钱？
例6：王老师花了34元钱买了三本书：《童话世界》、《作文集》、《故事大王》，她告诉同学们《童话世界》比《作文集》贵2元，《童话世界》和《作文集》一共比《故事大王》贵18元钱。
你知道每本书各多少元钱吗？
练一练：李明用188元钱买了一件大衣、一条裤子和一双鞋子。
李明只记得大衣的价钱比裤子贵57元钱，大衣和裤子一共比鞋贵138元钱。
你能帮李明算出每一件东西的价钱吗？
比较法解题强化训练
1、一箱番茄加箱重25千克，一筐萝卜连筐共重48千克，其中的番茄和萝卜各卖掉一半后，剩下的番茄和萝卜连箱带筐共重38千克，一只箱和一个筐共重多少千克？
2、小强和小明一同到便利店购物，下图是他们两人购物的单据，由此计算出盐每袋___元钱，
3、期末考试，小方的语文成绩和自然成绩加起来是187分，语文成绩和数学成绩加起来是195分，数学成绩和自然成绩是190分。
小方的语文成绩是多少分？
4、买2把椅子和一张桌子要付110元钱，买8把椅子比买2张桌子要多少付140元钱，一把椅子和一张桌子的单价各是多少元钱？
5、希望小学体育课需要购买篮球、排球、足球，体育老师算了一下，如果三种球各买2个就要用去272元钱；如果买4个篮球、3个排球、2个足球，需要428元钱；如果买5个篮球、4个排球、2个足球，需要用去528元钱。
求篮球、排球的单价各是多少元钱？
6、迷宫里的灯有两种：一种是上吊3个大灯，下缀6个小灯的九星连环灯；一种是上吊3个大灯，下缀15个小灯的十八星连环灯。
已知大灯有408个，小灯有1437个，那么九星连环灯有多少个？十八星连环有多少个？
7、妈妈去超市买水果，全部钱可以买苹果6千克和梨16千克，或者买苹果9千克和梨12千克，如果将全部钱买苹果或者梨可各买多少千克？
8、如果买3千克苹果和5千克梨需要48元钱；买2千克苹果和6千克梨需要48.8元钱。
那么唐祎琳同学要买1千克苹果和5千克梨需要多少元钱？
9、甲、乙、丙在电脑上玩打坦克游戏，共击毁坦克127辆，其中甲比乙多击毁15辆，甲和乙两人一共比丙多击毁43辆。
三个人各击毁坦克多少辆？
10、唐祎琳买了3个冰棍和2个蛋筒，小亮买了4个冰棍和1个蛋筒，小军买了3个冰棍和6个蛋筒，小明比小军少花了4元钱，小亮比小明少花了0.5元钱，请你算一算他们各花了多少元钱？
11、唐祎琳去副食店买东西，他选了三袋食品，售货员阿姨告诉她，如果买甲种5袋、乙种2袋、丙种1袋共需12元钱；如果买甲种2袋、乙种1袋、丙种3袋共需13元钱；如果买甲种4袋、乙种2袋共需16元钱。
你知道这三种食品各需要多少元钱？
12、4头牛和3匹马每天吃草90千克，8头牛和2匹马每天吃草140千克，每头牛和每匹马每天各吃草多少千克？。