常微分方程初等解法_变量分离

可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx (或写成y′=ϕ(x)ψ(y)) 的形式, 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程的解法 •分离变量: 将方程写成g(y)dy =f(x)dx的形式; •两端积分: ∫ g ( y)dy = ∫ f ( x)dx , 设积分后得 G (y)=F(x )+C; •求显式解: 求方程由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数 y=Φ(x)或x=Ψ(y). 方程G(y)=F(x)+C, y=Φ(x)或x=Ψ(y)都是方程的通解, 其中 G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解.
例 1 求微分方程
dy = 2xy 的通解. dx 解 这是一个可分离变量的微分方程.
分离变量得
一个约定：对于函数 f ( x) ,在数学分析课程中，我 们曾用 ∫ f ( x )dx 表示原函数族，里面含有一个任意 常数。但是在微分方程课程中，我们常用 ∫ f ( x) dx 表示 f ( x) 的某一个原函数。例如 ∫ 2 xdx = x 等。
与 ∫ g ( x)dx ，再加上任意常数即可。
练习1：求解 解：
dy = x2 y2 +1 dx
(
)
例3 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比. 已知t=0时铀的含量为M0, 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t 变化的规律. 解 根据题意, 得微分方程 dM = −λM (λ 是正常数), dt 初始条件为M|t=0=M0. 将方程分离变量, 得 dM = −λdt . M 两边积分, 得 dM ∫ M = ∫ (−λ )dt , 即 lnM=−λt+lnC, 也即 M=Ce− λt. 由初始条件, 得M0=Ce0=C, 所以铀含量 M(t) 随时间 t 变化 的规律M=M0e − λt .
2
1 dy = 2xdx . y
两边积分得 1 ∫ y dy = ∫ 2xdx , 即
从而
注: 加常数的另一方法: ln|y|=x2+lnC,
x2
ln|y|=x2+C1,
y = ±e e = Ce ,
C1 x 2
y = Ce x .
2
其中 C = ±eC1 为任意常数.
1
例2
求 Cauchy 问题 ⎪ ⎨ dx
1 + C cos 2 x ，其中 C 为任意常 1 − C cos 2 x
⎧ ⎪m dv = mg − kv . ⎨ dt ⎪ ⎩v |t =0 = 0
提示: 降落伞所受外力为F=mg−kv(k为比例系数). 牛顿第二运动定律F=ma.
例 3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得 dv = dt 下落后, 所受空气阻力与速度 , ∫ − kv ∫ m mg 成正比, 并设降落伞离开跳伞 塔时速度为零. 求降落伞下落 即 − 1 ln(mg − kv) = t + C1 , k m 速度与时间的函数关系. −kC1 −kt mg ), 解 设降落伞下落速度为 或 v = + Ce m ( C = − e k k 根据题意得初值问题 v(t). 将初始条件v|t=0=0代入上式得 ⎧ ⎪m dv = mg − kv mg . C =− . ⎨ dt k ⎪ ⎩v |t =0 = 0 于是降落伞下落速度与时间 将方程分离变量得 的函数关系为 dv = dt , −kt mg mg − kv m v= (1− e m ) . k
可写成关于一个变元
y x
或
xy − y 2 ，因为 x 2 − 2 xy
的函数。
y ⎛y⎞ −⎜ ⎟ xy − y 2 x ⎝x⎠ = f ( x, y ) = 2 y x − 2 xy 1− ( x, y ) ，所以 f ( x, y ) =
xy − y 2 为 0 次齐次函数。 x 2 − 2 xy
2
练习 3 求解微分方程
dy = 1+ y 。 dx
练习 4 求微分方程 1 − y
(
2
) tan xdx + dy = 0 的解。
解：当 1 + y ≠ 0 即 y ≠ −1 时，将变量分离，得到
解：原方程即
dy = dx 1+ y
两边积分，得到
dy = ( y 2 − 1) tan x dx
当 y − 1 ≠ 0 即 y ≠ ±1 时，将变量分离，得到
⎧ dy
= y 2 cos x
的解。
⎪ ⎩ y (0) = 1
解：先求方程
dy = y 2 cos x 的通解：当 y ≠ 0 时，将变量分离，得到： dx
dy = cos xdx y2
对于变量已分离的微分方程
dy = g ( x)dx ，我们有下面的结果： h( y )
两边积分，即得：
命题 1 ：设 H ( y ) 是
dy = x 2 dx y2 +1
∫
dy = y +1
2
∫x
2
dx + C
arctan y =
1 3 x +C 3
= 练习2： 求 dy dx
1− y2 1 − x2
的通解。
解：将变量分离，得到
dy 1− y2 = dx 1 − x2
附注 2： 上面我们在求
两边积分，即得
dy = g(x)h( y) 的通解时，是假设了h( y) ≠ 0 。但有时往往会碰到在 dx
1 的一个原函数， G ( x) 是 g ( x) 的一个原函数，则 h( y )
因而，通解为
−
1 = sin x + C y
H ( y ) = G ( x) + C 为
中 C 为任意常数。 附注 1：为求
dy dy = g ( x)dx ，从而为 = g ( x)h( y ) 的（隐式）通解，其 h( y ) dx
例如,
或
关于 0 次齐次函数，我们有下面的命题：
f ( x, y ) =
x −1 xy − y 2 y = 2 x − 2 xy ⎛ x ⎞ 2 x ⎜ y⎟ −2 y ⎝ ⎠
齐次方程
如果一阶微分方程
y 函数, 即 f ( x, y) = ϕ ( ) , 则称这方程为齐次方程. x 例如 (1) xy′ − y − y 2 − x 2 = 0 是齐次方程. (2) 1− x 2 y′ = 1− y 2 不是齐次方程. dy y = f ( x, y) 中的函数 f (x , y)可写成 的 dx x
arcsin y = arcsin x + C1
或
y = sin [ arcsin x + C1 ] = x 1 − C + C 1 − x
2 2
中。对这样的解要特别注意 ，在求 补上 。
为所求的解，其中 C = sin C1 为属于 [ −1,1] 中的任意常数。
dy = g(x)h( y) 的所有解时，这样的解必须予以 dx
如果在通解 y = Ce − 1 中允许任意常数 C 取 0 ，则 y = −1 已含在通解中。因此原方程
x
C
y=
1 + C cos 2 x 1 − C cos 2 x
其中 C = ± e 1 为非 0 的任意常数。
的解为 y = Ce − 1 ，其中 C 为任意常数。
x
另外， y = ±1 也是方程的解，且 y = 1 可在通解中取 C = 0 得 到，即如果通解 y =
附注4：对有的微分方程，虽然表面上看 不是分离的微分方程，但若能通过一次或 几次变量变换化为变量分离的微分方程， 则原方程也可用初等解法求解。 下面介绍几种典型的可通过适当的变 量变换化为变量分离的微分方程类型。
3
1） 齐次方程
2.1.2 可以化为变量分离方程的类型
1）齐次方程 2）形如
⎛ a1 x + b1 y + c1 dy = f⎜ ⎜a x+b y+c dx ⎝ 2 2 2
⎞ ⎟ ⎟ 的方程 ⎠
如果一阶微分方程 dy = f ( x, y) dx y y 中的函数 f (x , y)可写成 的函数, 即 f ( x, y) = ϕ ( ) , x x 则称这方程为齐次方程.
定义 2：设 f ( x, y ) 为二元函数，若对任意的 t ∈ R 使得 f ( tx, ty ) = t n f ( x, y ) ， 则称 f ( x, y ) 为变量 x,y 的 n 次函数。 例如：对于函数 f ( x, y ) = x 2 y + 2 xy 2 ，因为 f (tx, ty ) = t 3 ( x 2 y + 2 xy 2 ) ， 所以 f ( x, y ) = x y + 2 xy 为 3 次齐次函数。
可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx (或写成y′=ϕ(x)ψ(y)) 的形式, 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 微分方程 y′=2xy 3x2+5x−y′=0 (x2+y2)dx−xydy=0 y′=1+x+y2+xy2 y′=10x+y y y′ = x + y x 是否可分离变量 是 y−1dy=2xdx 是 dy=(3x2+5x)dx ———— 不是 是 y′=(1+x)(1+y2) − y x 是 10 dy=10 dx ———— 不是 分离变量
2 2
命题 2： 设 f ( x , y ) 为 0 次齐次函数， 则 f ( x, y ) =
⎛x ⎞ f ( x , y ) = f ⎜ ,1 ⎟ ，即本质上 f ⎝ y ⎠
⎛ y⎞ f ⎜ 1, ⎟ ⎝ x⎠
或
x y