常微分方程的初等解法与求解技巧

山西师范大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名张娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧内容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................................................................................................................. 1 2.变量分离方程与变量变换 .. (1)2.1变量分离方程的解法 .............................................................................................. 1 2.2变量分离方程的举例 .............................................................................................. 2 2.3变量分离方程的几种类型 .. (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 ................................................................................. 6 3.2伯努利微分方程 .. (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 ......................................................................................................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dxdy变为dy dx 的形式 (18)6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 ........................................................................................................................... 21 参考文献 ........................................................................................ 错误!未定义书签。

致谢 .. (22)常微分方程的初等解法与求解技巧学生姓名：张娟 指导教师：王晓锋 1.引论常微分方程的实质就是一个关系式，这个关系式是由自变量、未知函数和未知函数的导数组成的，且自变量的个数为一个[1].其发展历史经历了一个很漫长的过程，在这个发展过程中涌现出很多科学家例如欧拉、拉格朗日、柯西等，他们对常微分方程的发展做出了很大的贡献.常微分方程的发展历史可分为三个阶段，分别是“求通解”阶段、“求定解”阶段、“求所有解”的新阶段[1].常微分方程在数学中占有很重要的地位，有很多伟人例如赛蒙斯都曾评价过常微分方程在数学中的地位，指出其在数学中的不可替代的作用[2].常微分方程非常重要，其初等解法有很多种，我们应该掌握其初等解法与技巧.2.变量分离方程与变量变换2.1变量分离方程的解法对于变量分离方程)()(y x f dxdyϕ=， 若0)(≠y ϕ，则有 ：dx x f y dy)()(=ϕ， 两边积分，得到:c dx x f y dy+=⎰)()(ϕ，c 为任意实数.如果0)(=y ϕ 得0y y =，验证一下0y y =是否包括在c dx x f y dy+=⎰)()(ϕ中，若不包括，需补上特解0y y =.2.2变量分离方程的举例（1）xy dxdy2=，求该方程的解． 解：当0≠y 时，xdx ydy2=， 两边积分，得到：12⎰⎰+=c xdx y dy，1c 为任意实数．故 2x ce y =，c 为任意实数． 显然y=0包括在2x ce y =中， 故方程的通解为：2x ce y =，c 为任意实数．2.3变量分离方程的几种类型 2.3.1齐次微分方程对于齐次微分方程)(xyg dx dy =， 解法：令xyu =则有： ux y =， （2-1） 两边对x 求导得：u dx dux dx dy +=，（2-2） 将（2-1），（2-2）代入齐次微分方程)(x yg dx dy =中可得：)(u g u dxdu x =+， 即 xuu g dx du -=)(， 从而可以求得其解．举例：求解方程)0(2<=+x y xy dxdyx .解：原方程可化解为：xy x y dx dy +=2()0<x ，这个方程为齐次微分方程，令u xy=， 则有 xu y =，两边对x 求导得：u dx du x dx dy +=，将u xy =和u dx du x dx dy +=代入原方程中得： u dxdu x 2=， 这个方程为可分离变量方程， 当0≠u 时解之可得：c x u +-=)ln(,其中c 为使等式有意义的任意常数.即当0=u 时，显然是u dxdux 2=的解，且不包含在c x u +-=)ln(中， 将u xy=代入0=u 或c x u +-=)ln(中可得： ⎩⎨⎧>+-+-=,0,0)(ln ,])[ln(2c x c x x y 当2.3.2有理比式222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=的三种类型 ①类型一==2121b b a a k c c =21（常数）情形，则原方程变为：k dxdy =， 故方程的通解为：c kx y +=，其中c 为任意常数.举例：求解下列方程的解12224++++=y x y x dx dy . 解：根据题意可得：212224=++++=y x y x dx dy ， 即2=dxdy， 故可得： c x y +=2，c 为任意常数. 因此原方程的通解为：c x y +=2，c 为任意常数.②类型二212121c c k b b a a ≠==情形，令 y b x a u 22+=，两边对x 求导可得：212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=， 这个方程是变量分离方程.举例：做适当变换求解方程25--+-=y x y x dx dy . 解：经判断为第二种类型，令 y x u -=， 两边对x 求导可得：dxdydx du -=1， 故可得:27--=u dx du ， 解之可得： 127221c x u u +-=-，1c 为任意常数.将y x u -=代入并化简可得：c x y xy y x =++-+104222，c 为任意常数.③类型三2121b b a a ≠情形，如果方程222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=中的1c ，2c 不全等于零，111c y b x a ++，222c y b x a ++都是x ，y 的一次多项式，则 ⎩⎨⎧=++=++,0,0222111c y b x a c y b x a （2-3）可以求得解为： ⎩⎨⎧==,,βαy x令 ⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X则（2-3）化解为： ⎩⎨⎧=+=+,0,02211Y b X a Y b X a故222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=化为: )(2211XY g Y b X a Y b X a dX dY =++=， 故可以解出该方程的解，解出其解，再将 ⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 带入其解中，从而得到所求方程的解.举例：解下列方程1212+-+-=y x y x dx dy . 解：显然2121b b a a ≠，故为第三种类型， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3131y Y x X 得： 31-=x ，31=y . 于是令 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,31,31Y y X x 代入原方程中，则有：XY X YYX Y X dX dY 21222--=--=， 这个方程为可变量分离方程，故令XYu =，则 uX Y =， 等式两边对X 求导可得：u dXduX dX dY +=， 将XY X Y dXdY 212--=代入u dX du X dX dY +=中得到： uuu dX du X 212--=+,化解得：uu u dX du X 212222-+-=， 解之可得：X c u u 1212)1(=+--，换入原来的变量得：c xy y x x y =--++22，其中c 为任意常数.故原方程的解为：c xy y x x y =--++22，其中c 为任意常数.上面三种类型解题方法和步骤也适用于下列类型的方程：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛=2x y xf dx dy ， (2)()c by ax f dx dy++=， (3))(2xy f dxdy x =，(4)0)()(=+dy xy xg dx xy yf .3.线性微分方程和常数变易法3.1线性微分方程与常数变易法 如果一阶线性微分方程可表示为：)()(x Q y x P dxdy+=，这里)(x P ，)(x Q 在定义域上是连续的函数.①如果0)(=x Q ，则原式变成y x P dx dy )(=，故形如y x P dxdy )(=的类型通常叫做一阶齐次线性微分方程[1].②如果0)(≠x Q ，则原式变成)()(x Q y x P dx dy +=，故形如)()(x Q y x P dxdy +=的类型通常叫做一阶非齐次线性微分方程[1].因y x P dxdy )(=为变量分离方程，其通解为： ⎰=dxx P ce y )(，c 为任意常数.下面讨论形如)()(x Q y x P dxdy+=形式的方程解的求法.由上可知其所对应的齐次微分方程的解为：⎰=dxx P ce y )(，令 ⎰=dxx P e x c y )()(， （3-1）两边对x 求导可得：⎰+⎰=dx x P dxx P e x P x c e dx x dc dxdy )()()()()(， （3-2） 将（3-1），（3-2）代入)()(x Q y x P dxdy+=中并化简可得：⎰=-dx x P e x Q dxx dc )()()(， 两边积分得：1)()()(c dx e x Q x c dxx P +⎰=⎰-，其中1c 是任意常数.因此可得原方程的通解为：))((1)()(c dx e x Q e y dxx P dxx P +⎰⎰=⎰-，这里1c 是任意常数.这种方法叫做常数变易法[1]. 举例：求解方程x y dxdysin +=.解：该方程所对应的齐次线性微分方程为：y dxdy=， 解之得：x ce y =，c 为任意常数.令()x e x c y =， （3-3）两边对x 求导可得：()x xe x c e dxx dc dx dy )(+= ，（3-4） 将（3-3），（3-4）都代到x y dxdysin +=中并化解可得： ()()()x e x c e x c e dxx dc x x xsin +=+， 因此有：()x dxx dc sin =， 从而可以求得该方程的解为：()1cos c x x c +=，1c 为任意常数.因此可得原方程的通解为：()x e c x y 1cos +=，这里1c 为任意常数.3.2伯努利微分方程定义：形如()n y x Q y x P dxdy)(+=的类型，0≠n ，1≠n ，并且n 是常数，其中()x P ，()x Q 关于x 是连续的，故我们称()n y x Q y x P dxdy)(+=为伯努利微分方程错误!未定义书签。