常微分方程的初等解法与求解技巧
如何求解常微分方程
如何求解常微分方程求解常微分方程是微积分中的重要内容，常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
常微分方程的求解方法有多种，下面我将从多个角度进行全面的回答。
1. 分离变量法，对于可分离变量的一阶常微分方程，可以通过将变量分离并进行积分来求解。
首先将方程中的未知函数和导数分离到方程的两侧，然后进行变量的移项和积分，最后得到未知函数的表达式。
2. 齐次方程法，对于一阶常微分方程，如果可以通过变量的替换将其转化为齐次方程，即方程中的未知函数和导数的比值只与自变量有关，可以使用齐次方程法求解。
通过引入新的变量替换和代换，将齐次方程转化为可分离变量的形式，然后进行求解。
3. 线性方程法，对于一阶线性常微分方程，可以使用线性方程法求解。
线性方程的特点是未知函数和其导数的一次项系数是常数，通过引入一个积分因子，将线性方程转化为可积分的形式，然后进行求解。
4. 变量替换法，对于某些形式复杂的常微分方程，可以通过引入新的变量替换，将其转化为更简单的形式，然后进行求解。
常见的变量替换包括令导数等于新的变量，令未知函数等于新的变量的幂函数等。
5. 微分方程的特殊解法，对于一些特殊的常微分方程，可以使用特殊解法求解。
例如，对于一些常见的一阶常微分方程，如指数函数、对数函数、三角函数等形式，可以直接猜测其特殊解，然后验证是否满足原方程。
6. 数值解法，对于一些无法通过解析方法求解的常微分方程，可以使用数值解法进行近似求解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，这些方法将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
总结起来，求解常微分方程的方法包括分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、特殊解法和数值解法。
根据不同的常微分方程形式和条件，选择合适的方法进行求解。
希望这些解答对你有帮助。
常微分方程初值问题的解法
常微分方程初值问题的解法随着科技的不断进步和人类社会的不断发展，工程技术和科学技术的发展已经成为推动社会进步的重要力量，而数学则是工程技术和科学技术的基础和支撑，常微分方程作为数学分支的重要组成部分，对于理论研究和实际应用都有着深远的影响。
在实际工程中，解决常微分方程初值问题是数学理论在抽象式运算与工程实践之间的重要桥梁。
本文将介绍常微分方程初值问题的概念、求解方法以及实际应用。
一、常微分方程初值问题的概念常微分方程是指未知函数一阶或高阶微商与自变量和常数的关系式，常微分方程初值问题是指在初值u(x0)=u0已知的情况下，确定函数u(x)的解的问题。
在初值问题中，自变量是独立变量，取值范围可以是任意实数，因变量是函数值，是依赖自变量而实现的数值，常数是影响函数变化的一些固定参数。
常微分方程模型经常出现在工程技术模型中，一些实际应用场景可以通过建立数学模型来进行求解。
二、常微分方程初值问题的解法常微分方程初值问题的解法大致可以分为两种，一种是解析解法，即直接利用微积分学知识对方程进行求解；另一种是数值解法，即采用数值方法对方程进行数值计算求解。
下面将分别介绍这两种方法的解法原理。
1. 解析解法解析解法是指通过数学工具对函数解析表达式进行研究，以求出常微分方程的解。
该方法的先决条件是对方程具有严格的内部结构和特殊的形式，只有在特殊情况下才能找到一些特解。
这种方法的难点在于方程方程形式和初始条件可能存在巨大的数学难度，解析解的求解需要求解一些解析式的积分、微分和级数。
往往只有在一些特殊情况下，解析解法才能一般性的解决问题，因此该方法的适用场景相对较少。
2. 数值解法数值解法是指通过数值计算的方法，通过有限个代数运算和计算机模拟的方法得出方程的解。
数值解法的优点是具有广泛的适用性，可以有效地求解各种类型的常微分方程初值问题，使得无法通过解析方法求解的问题也可以得到解答。
数值解法可分为无条件稳定和条件稳定两种情况，前者是指方法不会出现不稳定结果的情况，而后者则保证了方法收敛性的同时，存在一定的条件限制。
常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法
常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述自变量只有一个的未知函数及其导数之间关系的方程。
在物理学、工程学、经济学等领域中，常微分方程被广泛应用于各种问题的建模与求解。
本文将介绍常微分方程的基本概念和求解方法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的数学方程。
一般来说，常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两大类。
一阶常微分方程中未知函数的导数最高只有一阶导数，而高阶常微分方程中未知函数的导数可以是二阶、三阶，甚至更高阶的导数。
常微分方程的解是指能够满足方程条件的函数形式，解的形式可以是显式解或隐式解。
显式解是直接给出的解析表达式，而隐式解则是以方程的形式给出。
常微分方程的解集通常具有唯一性。
其中，初始值问题（Initial Value Problem，简称IVP）是对常微分方程的一种特殊求解方法。
在初始值问题中，除了给出方程本身的条件外，还需给出未知函数在某一点的值，用于确定解的具体形式。
二、常微分方程的求解方法常微分方程有多种求解方法，常见的方法包括分离变量法、二阶线性微分方程的特解法和常系数线性齐次微分方程的特征根法等。
具体求解方法选择取决于方程的形式和性质。
1. 分离变量法（Separation of Variables）分离变量法适用于可以将方程的变量分离并分别对各个变量积分的情况。
首先，将方程中的未知函数和其导数分别放在等号两边，然后对方程两边同时积分，最后解出未知函数。
2. 二阶线性微分方程的特解法对于二阶线性微分方程，可以采用特解法求解。
特解法的基本思想是假设未知函数的解具有特定形式，代入方程后求解得到特解。
特解法适用于方程的解一般形式已知的情况。
3. 常系数线性齐次微分方程的特征根法对于常系数线性齐次微分方程，可以采用特征根法求解。
特征根法的基本思想是假设未知函数的解具有指数形式，代入方程后求解得到特征根和特征向量。
(最新版)常微分方程的初等解法_毕业论文
1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
常微分方程的初等解法与求解技巧
山西师范大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名张娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧内容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................................................................................................................. 1 2.变量分离方程与变量变换 .. (1)2.1变量分离方程的解法 .............................................................................................. 1 2.2变量分离方程的举例 .............................................................................................. 2 2.3变量分离方程的几种类型 .. (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 ................................................................................. 6 3.2伯努利微分方程 .. (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 ......................................................................................................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dxdy变为dy dx 的形式 (18)6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 ........................................................................................................................... 21 参考文献 ........................................................................................ 错误!未定义书签。
初等解法 常微分方程 带初值的解公式
初等解法常微分方程带初值的解公式
我们要找出一个常微分方程的初等解法，并给出带初值的解公式。
首先，我们需要明确什么是常微分方程。
常微分方程是描述一个函数关于时间变化的数学模型，形式为 y' = f(t, y)。
其中，y 是我们要找的函数，f 是已知的函数，t 是时间。
假设我们的常微分方程是 y' = f(t, y)，并且给定初始条件 y(t0) = y0。
为了找到这个方程的解，我们可以使用初等解法。
初等解法通常包括分离变量法、变量代换法、积分因子法等。
对于给定的方程和初始条件，我们可以使用以下步骤来找到解：
1. 首先，尝试使用分离变量法，将方程转化为 dy/dt = g(t) - h(y) 的形式。
2. 然后，尝试使用变量代换法，将方程转化为更容易求解的形式。
3. 最后，使用积分因子法来求解方程。
通过以上步骤，我们可以找到常微分方程的解。
解的形式通常为 y = y(t)，其中 y 是我们要找的函数，t 是时间。
根据初等解法，我们可以得到常微分方程 y' = f(t, y) 的解为：
y = y(t) = ∫f(t, y) dt + C
其中，C 是积分常数，y 是我们要找的函数，t 是时间。
这个解公式包含了初始条件 y(t0) = y0，因此我们可以使用这个公式来求解给定初始条件的常微分方程。
常微分方程的基本概念及其求解方法
常微分方程的基本概念及其求解方法常微分方程是数学中一种基础而又普遍的模型，它描述了自然界中大量的现象，例如物理运动、化学反应、生物生长等。
在科学和工程中，常微分方程的应用十分广泛，因此学习和掌握它是非常重要的。
本文将从常微分方程的基本概念和求解方法两方面，为读者介绍常微分方程。
一、常微分方程的基本概念1.1 定义常微分方程是指一个包含一个或多个未知函数及其导数的等式。
通常情况下，未知函数是一个关于一元变量的的函数。
例如，下面这个方程就是一个一阶常微分方程：y' = f(x, y)其中，y'表示y关于自变量x的导数，f(x, y)是一个已知的函数。
1.2 阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。
例如，y'' + 2y' + y = 0 是一个二阶常微分方程。
1.3 初值问题常微分方程有时也被称为初值问题，因为为了求解方程，我们需要先给出初值。
初值问题指的是给定某个时刻的函数值和导数值，以及常微分方程本身，求解函数在其他时刻的值。
例如，y' = f(x, y)，y(x0) = y0 就是一个初值问题，其中y(x0) = y0表示在x = x0时函数y的值为y0。
二、常微分方程的求解方法2.1 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最基本的方法。
它的基本思路是将未知函数的导数通过分离变量的方法移到等式的一侧，将其他项移到另一侧，从而实现变量的分离。
例如，对于y' =f(x)g(y)，我们可以将其改写成dy/g(y) = f(x) dx，然后对两边积分得到：ln |g(y)| = F(x) + C其中F(x)和C是常数，|g(y)|表示g(y)的绝对值。
通过取指数，我们可以得到g(y)的表达式，从而求得未知函数。
2.2 变量代换法当分离变量法难以应用时，可以采用变量代换法。
变量代换的基本思路是将因式分解，然后进行替换。
例如，对于y' + 2y/x =x^2，我们可以将y = ux^m代入方程，其中m是一个待定的整数。
解常微分方程初值问题
解常微分方程初值问题常微分方程初值问题是求解一个确定初始值条件下的常微分方程的解。
解常微分方程的方法有很多种，下面将介绍几种常用的方法和相关参考内容。
1. 变量分离法：将微分方程中的变量分离，然后进行分离变量的积分。
这是解常微分方程最常用的方法之一。
相关参考内容：《普通微分方程教程》（陈英席著）、《普通微分方程》（王永乐著）2. 齐次方程法：对于齐次方程 dy/dx = f(x,y)（其中 f(x,y) 是关于 x 和 y 的函数），通过引入新的变量 u = y/x，将其转化为一个关于 u 的单变量方程。
然后再解这个方程。
相关参考内容：《普通微分方程与应用》（杨万明、杨卓玲著）、《数学物理方程》（尤伯杯著）3. 线性方程法：对于形如 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的线性方程，可以使用积分因子法将其转化为一个可解的方程。
相关参考内容：《普通微分方程讲义》（陈方正、李学勤著）、《分析数学基础讲义》（包维楷等著）4. 变换法：通过进行适当的变量变换，将原方程转化为易于求解的形式。
相关参考内容：《常微分方程讲义》（李鼎立著）、《常微分方程教程》（张世忠、赵寿明著）5. 解特殊的微分方程：一些特殊的微分方程有相应的解法，例如 Bernoulli 方程、Riccati 方程等。
相关参考内容：《常微分方程教程》（孙士焜著）、《微分方程教程》（刘川著）此外，常微分方程的初值问题可以利用数值方法进行求解，例如 Euler 方法、Runge-Kutta 方法等。
相关参考内容：《数值分析》（李庆扬、褚国新著）、《常微分方程数值解法》（赵义、余长星著）解常微分方程初值问题需要动用到微积分、线性代数等数学知识，因此具备扎实的数学基础是解题的前提。
上述参考内容对于理解和掌握常微分方程的解法都具有很好的帮助，读者可以根据自己的实际情况选择适合的参考教材进行学习。
此外，还可以通过参考数学相关的学术论文和网络资源来进一步深入了解常微分方程的解法。
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师大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicitdifferential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................... 1 2.变量分离方程与变量变换 . (1)2.1变量分离方程的解法 ....................... 1 2.2变量分离方程的举例 ....................... 2 2.3变量分离方程的几种类型 (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 .................... 6 3.2伯努利微分方程 . (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 .......................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dxdy变为dy dx 的形式 (18)6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 .............................. 21 参考文献 ..................... 错误!未定义书签。
致 .. (22)常微分方程的初等解法与求解技巧学生：娟 指导教师：王晓锋 1.引论常微分方程的实质就是一个关系式，这个关系式是由自变量、未知函数和未知函数的导数组成的，且自变量的个数为一个[1].其发展历史经历了一个很漫长的过程，在这个发展过程中涌现出很多科学家例如欧拉、拉格朗日、柯西等，他们对常微分方程的发展做出了很大的贡献.常微分方程的发展历史可分为三个阶段，分别是“求通解”阶段、“求定解”阶段、“求所有解”的新阶段[1].常微分方程在数学中占有很重要的地位，有很多伟人例如赛蒙斯都曾评价过常微分方程在数学中的地位，指出其在数学中的不可替代的作用[2].常微分方程非常重要，其初等解法有很多种，我们应该掌握其初等解法与技巧.2.变量分离方程与变量变换2.1变量分离方程的解法对于变量分离方程)()(y x f dxdyϕ=， 若0)(≠y ϕ，则有 ：dx x f y dy)()(=ϕ， 两边积分，得到:c dx x f y dy+=⎰)()(ϕ，c 为任意实数.如果0)(=y ϕ 得0y y =，验证一下0y y =是否包括在c dx x f y dy+=⎰)()(ϕ中，若不包括，需补上特解0y y =.2.2变量分离方程的举例（1）xy dxdy2=，求该方程的解． 解：当0≠y 时，xdx ydy2=， 两边积分，得到：12⎰⎰+=c xdx y dy，1c 为任意实数．故 2x ce y =，c 为任意实数． 显然y=0包括在2x ce y =中， 故方程的通解为：2x ce y =，c 为任意实数．2.3变量分离方程的几种类型 2.3.1齐次微分方程对于齐次微分方程)(xyg dx dy =， 解法：令xyu =则有： ux y =， （2-1） 两边对x 求导得：u dx dux dx dy +=，（2-2） 将（2-1），（2-2）代入齐次微分方程)(x yg dx dy =中可得：)(u g u dxdu x =+， 即 xuu g dx du -=)(， 从而可以求得其解．举例：求解方程)0(2<=+x y xy dxdyx .解：原方程可化解为：xy x y dx dy +=2()0<x ，这个方程为齐次微分方程，令u xy=， 则有 xu y =，两边对x 求导得：u dx du x dx dy +=，将u xy =和u dx du x dx dy +=代入原方程中得： u dxdu x 2=， 这个方程为可分离变量方程， 当0≠u 时解之可得：c x u +-=)ln(,其中c 为使等式有意义的任意常数.即当0=u 时，显然是u dxdux 2=的解，且不包含在c x u +-=)ln(中， 将u xy=代入0=u 或c x u +-=)ln(中可得： ⎩⎨⎧>+-+-=,0,0)(ln ,])[ln(2c x c x x y 当2.3.2有理比式222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=的三种类型 ①类型一==2121b b a a k c c =21（常数）情形，则原方程变为：k dxdy =， 故方程的通解为：c kx y +=，其中c 为任意常数.举例：求解下列方程的解12224++++=y x y x dx dy . 解：根据题意可得：212224=++++=y x y x dx dy ， 即2=dxdy， 故可得： c x y +=2，c 为任意常数. 因此原方程的通解为：c x y +=2，c 为任意常数.②类型二212121c c k b b a a ≠==情形，令 y b x a u 22+=，两边对x 求导可得：212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=， 这个方程是变量分离方程.举例：做适当变换求解方程25--+-=y x y x dx dy . 解：经判断为第二种类型，令 y x u -=， 两边对x 求导可得：dxdydx du -=1， 故可得:27--=u dx du ， 解之可得： 127221c x u u +-=-，1c 为任意常数.将y x u -=代入并化简可得：c x y xy y x =++-+104222，c 为任意常数.③类型三2121b b a a ≠情形，如果方程222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=中的1c ，2c 不全等于零，111c y b x a ++，222c y b x a ++都是x ，y 的一次多项式，则 ⎩⎨⎧=++=++,0,0222111c y b x a c y b x a （2-3）可以求得解为： ⎩⎨⎧==,,βαy x令 ⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X则（2-3）化解为： ⎩⎨⎧=+=+,0,02211Y b X a Y b X a故222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=化为: )(2211XY g Y b X a Y b X a dX dY =++=， 故可以解出该方程的解，解出其解，再将 ⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 带入其解中，从而得到所求方程的解.举例：解下列方程1212+-+-=y x y x dx dy . 解：显然2121b b a a ≠，故为第三种类型， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3131y Y x X 得： 31-=x ，31=y . 于是令 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,31,31Y y X x 代入原方程中，则有：XY X YYX Y X dX dY 21222--=--=， 这个方程为可变量分离方程，故令XYu =，则 uX Y =， 等式两边对X 求导可得：u dXduX dX dY +=， 将XY X Y dXdY 212--=代入u dX du X dX dY +=中得到： uuu dX du X 212--=+,化解得：uu u dX du X 212222-+-=， 解之可得：X c u u 1212)1(=+--，换入原来的变量得：c xy y x x y =--++22，其中c 为任意常数.故原方程的解为：c xy y x x y =--++22，其中c 为任意常数.上面三种类型解题方法和步骤也适用于下列类型的方程：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛=2x y xf dx dy ， (2)()c by ax f dx dy++=， (3))(2xy f dxdy x =，(4)0)()(=+dy xy xg dx xy yf .3.线性微分方程和常数变易法3.1线性微分方程与常数变易法 如果一阶线性微分方程可表示为：)()(x Q y x P dxdy+=，这里)(x P ，)(x Q 在定义域上是连续的函数.①如果0)(=x Q ，则原式变成y x P dx dy )(=，故形如y x P dxdy )(=的类型通常叫做一阶齐次线性微分方程[1].②如果0)(≠x Q ，则原式变成)()(x Q y x P dx dy +=，故形如)()(x Q y x P dxdy +=的类型通常叫做一阶非齐次线性微分方程[1].因y x P dxdy )(=为变量分离方程，其通解为： ⎰=dxx P ce y )(，c 为任意常数.下面讨论形如)()(x Q y x P dxdy+=形式的方程解的求法.由上可知其所对应的齐次微分方程的解为：⎰=dx x P ce y )(，令 ⎰=dx x P e x c y )()(， （3-1）两边对x 求导可得： ⎰+⎰=dx x P dx x P e x P x c e dxx dc dx dy )()()()()(， （3-2） 将（3-1），（3-2）代入)()(x Q y x P dx dy+=中并化简可得：⎰=-dxx P e x Q dx x dc )()()(，两边积分得：1)()()(c dx e x Q x c dx x P +⎰=⎰-，其中1c 是任意常数.因此可得原方程的通解为：))((1)()(c dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-，这里1c 是任意常数.这种方法叫做常数变易法[1]. 举例：求解方程x y dx dysin +=. 解：该方程所对应的齐次线性微分方程为：y dx dy=，解之得：x ce y =，c 为任意常数.令()x e x c y =，（3-3） 两边对x 求导可得：()x x e x c e dx x dc dx dy)(+= ，（3-4）将（3-3），（3-4）都代到x y dx dysin +=中并化解可得：()()()x e x c e x c e dx x dc x x x sin +=+，因此有：()x dx x dc sin =，从而可以求得该方程的解为：()1cos c x x c +=，1c 为任意常数.因此可得原方程的通解为：()x e c x y 1cos +=，这里1c 为任意常数.3.2伯努利微分方程定义：形如()n y x Q y x P dxdy )(+=的类型，0≠n ，1≠n ，并且n 是常数，其中()x P ，()x Q 关于x 是连续的，故我们称()n y x Q y x P dxdy )(+=为伯努利微分方程错误!未定义书签。