常微分方程初等解法的研究
(完整版)常微分方程初等解法及其求解技巧毕业论文
目录摘要 (I)关键词 (I)Abstract (I)Key words (I)1.前言 (1)2.常微分方程的求解方法 (1)2.1常微分方程变量可分离类型解法 (1)2.1.1直接可分离变量的微分方程 (3)2.1.2可化为变量分离方程 (3)2.2常数变易法 (7)2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 (7)2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 (8)2.3积分因子法 (12)3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 (14)3.1几个重要的变换技巧及实例 (14)3.1.1变为 (14)3.1.2分项组合法组合原则 (15)3.1.3积分因子选择 (15)参考文献 (16)致谢 (17)常微分方程初等解法及其求解技巧摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法.关键词变量分离法常数变易法积分因子变换技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws,and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly.Key wordsVariable separation; constant threats; points factor; transform techniques1.前言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究．应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律.2.常微分方程的求解方法2.1常微分方程变量可分离类型解法定义1 如果一阶微分方程具有形式，则该方程称为可分离变量微分方程.若设，则可将方程化为.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有的函数与，另一端只含有的函数与.对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。
常微分方程的初等解法
常微分方程的初等解法1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
常微分方程第二章第一讲
2.1.2 可化为变量分离方程的类型
引言 有的微分方程从表面上看，不是可分 离变量的微分方程，但是，通过适当的变量替 换，就可以很容易地化为“变量分离方程”， 在这里，介绍两类这样的方程。 1. 齐次方程
1)方程的类型
定义
dy y g ( ) (2.5) 的方程，称为齐次 dx x 微分方程，这里 g (u ) 是 u 的连续函数。 14
dy ( y) f ( x)dx C (2.2)
可以证明这就是方程(2.1)的通解.
2)如果存在 y0， ( y0 ) 0, 则方程（ .1 使 2 ）还有特解
y y0
(**)
微分方程(2.1)的所有解为：式(2.2)和(**).
注意：积分常数C 的相对任意性。
7
3.变量分离方程的解题步骤
即 1 , 2 1 ,
则 ON OM ,
PM 而 tan 2 , OP ON
_____ _____
则有 y'
y x x y
2 2
.
上述方程为齐次微分 方程，可用变量变换 法求解。
27
小结 1.变量分离方程的形状 dy f ( x) ( y )或M 1 ( x) N1 ( y ) dx M 2 ( x) N 2 ( y ) dy 0 dx 2.变量分离方程的求解：分离变量法 步骤：分离变量，两边积分，检查是否有遗漏的特解
2
(*)
23
分离变量，得 dX 1 u du 2 X 1 2u u 两边积分，得 ~ 2 2 ln X ln | u 2u 1 | C
即X (u 2u 1) C1 (C1 e ), 此外容易验证 u 2 2u 1 0 亦为方程（*）的解，因此方程(*)的通解为 X 2 (u 2 2u 1) C1， 其中C1为任意常数。
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(K12教育文档)
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要:本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧,分别是:特征根法;常数变易法;比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展,使之更加完善。
关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法;常数变易法；比较系数法;二阶常系数非齐次线性微分方程.1。
预备知识（1.1）其中以及f(t）都是连续函数并且区间是a t b。
如果,则方程（1）就变成了（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程,把方程(1。
1)叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程（1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程。
2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数看作是的待定函数，然后求出非齐次线性方程的通解。
求解过程如下：设，是方程(1.2)的基本解组，则(2.1.1）是方程（1。
2）的通解。
将常数看作是t的待定函数，那么方程（2。
《常微分方程》课程教学改革的探讨
关于这 门课程的教学 ， 我 院多数教师采 用“ 灌输式” 教学法 ， 以教师讲授为中心， 老师 滔滔不绝地讲 ， 学生不厌其烦地听与抄笔记． 这种教学方法的最大弊端 ： 一方面， 课堂上留 给学生思考的时间很少， 而且过多 的灌输， 只 能导致学生精疲力尽 ， 精力分散 ， 学习效率降 低； 另一 方面， 师 生在课 堂教 学 中缺乏互 动 性． 学生学习的积极性和主动性不高． 在教学 过程中， 学生总处于一种被动模式 ， 忽视了学 生学习能力 和实践能力的培养 ， 忽视 了理论
分方程课程教 学改革 的方法和 手段 ， 并且研究 了该课 程教 学的考核 办法． 关键词 ： 常微 分方程； 教 学改革 ； 教学方法 ； 教 学模式 中图分类号 ： Ｇ ６ ４ ２
常微分方 程是数学 的一个重要分支 ， 它 １ 当前常微分方程课程教学 中存在的问题 与生产实践和科学技术 的联系十分密切． 常 微分方程是数 学专业必修 的基础课程 ， 也是 理工科本科生必修 的基础 内容． 它是学习偏 微分方程、 泛函分析 、 数理方程、 微分几何 等 课程 的基础． 该课程与微积分几乎是同时产 生， 在力学、 天 文学 、 电路振 荡分析、 自动控 制、 经济学等领域有广泛的应用． 它对于提高 学生分析问题和解决实际问题能力起着十分 重要作用． 广西师范 学院师 园学 院 （ 以下 简称 “ 我 院” ） 是高等教育体制改革中创办的一所独立 学院． 自 办学 以来 ， 主要利用母体学校 （ 广西
再少一些． 由于学时数减少了， 有些章节只能 给学生 自 学或者省略不讲． 例如 ： 一阶隐式微 分方程及参数表示、 解 的延拓 、 奇解、 奇点、 极 限环等． 但是 ， 教师课堂上不讲授 的内容， 绝 院教学现状 和人才培养 目标 ， 对常微分方程 大多数学生不会去 自学的． 课程教学改革进行探讨． １ ． ３ 没有掌握好与该课程相关的知识衔接
常微分方程讲解
常微分方程讲解常微分方程第一章绪论在初等数学中，我们已经学过一些代数方程（如元个一次联立方程），并且用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。
在解析几何与微积分中，我们又碰到一类不同的方程——方程的个数少于未知量的个数，也就是通常所说的函数方程。
例如，1） (设是自变量，则是未知函数)；2），（设是自变量，则和是两个未知函数）。
这类函数方程与开头所说的代数方程相比，在概念上进了一步——确定自变量与因变量之间的函数关系。
利用这类方程可以解决一类新的问题，例如某些轨迹问题和极值问题等。
本课程所要讲述的方程与刚才说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数(即微商)。
例如:1）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数。
）2）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数等等）。
这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式,数学上称之为微分方程。
其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。
下面我们通过几个具体的例子，粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些最基本的概念。
第一节微分方程：某些物理过程的数学模型在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。
例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念，成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。
掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。
例1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。
我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。
这里我们假定空气的温度保持为。
解为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。
例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。
常微分方程初等积分法解法研究(二)伯努利方程
例题： 求解方程：
方程两端同除以 ：令有：ຫໍສະໝຸດ 利用常数变易法求出其通解为：
代换
得原方程通解为：
例题：
解以下微分方程：
两边除以 ，得：
利用分离变量法，可得：
他可以用积分因子方法求解：
两边乘以
，得：
等式的左边是
的导数，两边积分
于是：
伯努利微分方程
伯努利微分方程是形如 的常微分 方程。其中 、 为 的连续函数， 为常数 且 0,1。
求解方法：变量替换法
利用变量替换法可将伯努利方程化为线性方程。
步骤如下： ⑴ 方程两端同除以 ，得：
⑵令
即可化为一阶线性微分方程：
⑶ 通过常数变易法求得一阶线性非齐次方程 的通解。
⑷ 最后经变量代换得原方程的通解：
一阶常微分方程初等解法研究
一阶常微分方程初等解法研究1. 分离变量法：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。
2. 齐次方程：对于形如 dy/dx = f(y/x) 的方程，我们可以令 v = y/x，然后通过代换和分离变量的方式将其转化为一阶线性方程，进而求解。
3. 线性齐次方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = 0 的方程，我们可以通过乘以一个积分因子来将其转化为可分离变量的形式，进而求解。
4. 一阶线性方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = q(x) 的方程，可以通过乘以一个积分因子来将其转化为一阶线性常微分方程组的形式，然后通过求解常微分方程组得到原方程的解。
5. 可分离变量的方程：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。
以上是一阶常微分方程的初等解法研究。
这些方法广泛适用于各种类型的一阶常微分方程，能够通过简单的代数运算和积分求解方程，得到解析解。
但对于一些特殊类型的方程，可能需要借助其他方法求解，或者使用数值方法进行求解。
除了初等解法，还有一些其他的方法可以用于求解一阶常微分方程，如变量替换、常数变易法、特解叠加法等。
这些方法在特定情况下可以简化方程的求解过程，提高求解效率。
此外，对于更高阶的微分方程，可以利用一阶常微分方程的解法来进行逐步求解。
总结起来，一阶常微分方程初等解法的研究可以帮助我们理解微分方程的性质和求解方法，掌握这些解法对于解决实际问题和推导其他微分方程的解法都具有重要意义。
因此，研究一阶常微分方程的初等解法有着广泛的应用价值。
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2015届本科毕业论文(设计) 论文题目：常微分方程初等解法的研究学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-1班学生姓名：汤鹏指导老师：张新东副教授答辩日期：2015年5月5日新疆师范大学教务处目录引言 (1)1 常微分方程的定义及分类 (2)1.1 定义 (2)1.2 一阶线性微分方程 (2)1.3 一阶线性微分方程组 (2)2 一阶线性微分方程的解法 (4)2.1 分离变量法 (4)2.2 常数变易法 (5)2.3 全微分法 (6)2.4 参数法 (7)3 n阶常系数线性微分方程的解法 (9)3.1 单根的情形 (9)3.2 重根的情形 (10)4 常微分方程的应用 (11)4.1 人口动力学问题 (11)4.2 简谐运动 (11)4.3 电路理论 (12)4.4 MATLAB解常微分方程 (13)5 总结 (15)参考文献 (16)致谢 (17)常微分方程初等解法的研究摘要：本文主要对常微分方程的初等解法进行研究，使大家更深一步地了解常微分方程的分类、解法及其在其他领域的应用。
首先总结阐述常微分方程的定义和几种常见的类型，然后讲解了常微分方程的解法及方程组解的情况，最后讲述了常微分方程在以下四个方面的应用：动力学问题、简谐运动、电路理论及用MATLAB解常微分方程。
关键词：常微分方程；初等解法；方程组；动力学；MATLABResearch elementary solution of ordinary differentialequationsAbstract: This paper mainly elementary solution of ordinary differential equation is studied,make you a deeper understanding of classification,the ordinary differential equation solution and its application in other fields.Firstly summarizes the type describes the definition of ordinary differential equations and several common,then explain the ordinary differential equation solution and the solution of equations,and finally describes the application of ordinary differential equations in the following four aspects:dynamics,simple harmonic motion,boundary value problem and the solution of ordinary differential equation with MATLAB.Key words: Ordinary differential equations; The primary solution; Equations; Dynamics; MATLAB引言常微分方程是数学中的一个重要的方程之一。
常微分方程是人类在生活实践中得来的。
据史料记载它的的出现要比微积分还要早。
笛卡尔在光学问题上的研究由切线性质引出的镜面形状、伽利略研究自由落体运动等等[10]。
事实上，这些问题都要建立并求解微分方程。
本文首先给出了常微分方程的相关定义、分类及其解法，想让大家对常微分方程的相关知识进行整理和汇总，在此基础上应用实际应用例子，以体现常微分方程的重要作用。
1 常微分方程的定义及分类1.1 定义一般来说，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式[7]。
当未知函数中依赖于一个自变量时，相应的微分方程称为常微分方程[8]。
1.2一阶线性微分方程一阶线性微分方程的形式：)()(x q y x p dx dy+= （1.2.1） 其中()x p 和()x q 是区间b x a <<上的已知函数。
如果()0≡x q ,即y x p dx dy)(= （1.2.2） 则称其为一阶线性齐次方程。
如果0)(≠x q ，则称（1.2.1）式为一阶线性非齐次方程[8]。
1.3一阶线性微分方程组 一阶线性微分方程组:如果在一阶微分方程组中，函数i f ),,2,1)(,,,,(21n i y y y x n ΛΛ=关于n y y y ,,,21Λ 是线性的，一阶微分方程组可以写成：()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=x f y x a y x a y x a dx dy x f y x a y x a y x a dx dy x f y x a y x a y x a dx dy n n nn n n n n n n n ΛM ΛΛ2211222221212112121111（1.3.1）则称（1.3.1）为一阶线性微分方程组。
为了方便记忆，可以把（1.3.1）写成向量的形式。
为此，记()()()()()()()()()⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=x a x a a x a x a x a x a x a x a x A nn n n n n ΛM M M ΛΛ212222111211 及()()()()⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=x f x f x f x F n M 21（1.3.1）可以写成向量形式()()x F Y x A dx dY+= （1.3.2） 如果（1.3.2）上()0≡x F ，方程组（1.3.2）可变成()Y x A dx dY= （1.3.3） 则称（1.3.3）为一阶线性齐次方程组。
2 一阶线性微分方程的解法2.1 分离变量法1)显示变量可分离方程的解法形如()()y x f dxdyϕ=（2.1.1） 的方程，称为显示变量可分离方程。
如果()0≠y ϕ，我们可将（2.1.1）写成()()dx x f y dy=ϕ这样变量就分离开了。
两边积分可得 ()()c dx x f y dy+=⎰⎰ϕ（2.1.2） 则称（2.1.2）是（2.1.1）的通解。
如果存在0y ，使()00=y ϕ，直接代入，可知0y y =也是（2.1.1）的解，可能不在通解中，必须予以补上[9]。
例1 求解方程323a yb a dx dy -=解 分离变量得dx a dy a y b 332=- 积分得()dx a a y b a y b b3323221=-- ()33232232a x a yb a y b b=-- 这曲线就是摆线[3]。
2)微分形式变量可分离方程的解法形如()()()()dy y N x M dx y N x M 2211=（2.1.3）是变量可分离方程的微分形式表达式。
这是，y x 和在方程中的地位是“平等”的。
1）当()001=y N ，则0y y =为方程（2.1.3）的解。
同理()002=x M ，则0x x =也是方程（2.1.3）的解。
2）当()()时021≠x M y N ，分离变量可得：()()()()dx x M x M dy y N y N 2112=对上式两端同时积分得（2.1.3）的通积分()()()()C dx x M x M dy y N y N +=⎰⎰2112例2 求解方程()()01122=-+-dy x y dx y x 解 首先，易见1,1±=±=x y 是方程的解，其次，当()()01122≠--y x 时，分离变量得01122=-+-y ydyx xdx 积分，得方程的通积分C y x ln 1ln 1ln 22=-+- （0≠C ）或()()C y x=--1122（0≠C ）2.2 常数变易法常数变易法主要针对是一阶线性非齐次方程。
即)()(x f y x p dxdy=+ 对于一阶齐次方程0)(=+y x p dx dy的通解是()⎰=-dxx p Ce y 使用常数变易法解决一阶非齐次方程的解，可将常数C 变易成函数()x C ，即令()()⎰=-dx x p e x C y （2.1.4） 为方程（1.2.1）的解，其中()x C 待定。
将（2.1.4）代入（1.2.1）中并积分可以得到()()()C e x f x C dxx p +⎰=⎰将其代入（2.1.4）得（1.2.1）的通积分公式为()()()()dx e x f e Ce y dx x p dx x p dx x p ⎰⎰⎰+⎰=-- 例3 求解方程2x x ydx dy +=解 先求对应齐次方程x y dx dy = 的通解是Cx y = 由常数变易法得，令()x x C y = 为原方程的解，并代入原方程有()()()2'x x C x C x x C +=+ 整理并积分得 ()C x x C +=221 代入原方程的通解为321x Cx y +=2.3全微分法如果微分形式的一阶方程()()0,,=+dy y x N dx y x M （2.3.1） 的左端恰好是一个二元函数()y x U ,的全微分，即()()()dy y x N dx y x M y x dU ,,,+= （2.3.2） 则称（2.3.1）是全微分方程[1]。
下面将以例题的形式介绍全微分法例4 求解方程 ()()046633222=+++dy y y x dx xy x解 因为xNxy y M ∂∂==∂∂12 所以原方程是全微分方程。
为了计算方便我们取0,000==y x 故方程的通积分为()⎰⎰=++yx C dy y dx xy x3022463即C y y x x =++422332.4参数法参数法主要针对的是一阶隐式微分方程()0,,'=y y x F（1）如果能解出'y ，就得到一个或者几个显示微分方程，能用初等积分很容易解出方程的通解。
（2）如果不能解出'y ，这就要用到参数法。
本文主要介绍一类可积分类型。
即，()0,'=y x F ()()0,'=y y F （1）首先讨论()0,'=y x F （2.4.1） 1）把方程（2.4.1）化成参数形式。
即，()()⎩⎨⎧==t y t x ψϕ't 为参数 （2.4.2） 2）对于（2.4.2）和沿着（2.4.1）的任何一条积分曲线恒满足基本关系式dx y dy '= 这样，把（2.4.2）代入上式并积分得()()C dt t t y +=⎰'ϕψ于是得到方程（2.4.1）的参数通解()()()⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰C dt t t y t x 'ϕψϕ 同理，可以讨论()0,'=y y F （2.4.3）设其可以表示的参数形式()()⎩⎨⎧==t y t x ψϕ'，由于dy y dx '1=，将其代入参数方程组中积分得 ()()C dt t t x +=⎰ψϕ' 从而（2.4.3）的参数形式通解为()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰t y C dt t t x ϕψϕ' 例5 求解方程 ()'2'1y y x =+解 令()t y tan '=，有()t x sin =，原方程的参数形式为⎩⎨⎧==t y tx tan sin 由基本关系dx y dy '=有tdt dy sin =，积分可的C t y +-=cos 。