北京市重点中学2013-2014学年高二春季自主会考数学含答案

2014年春季普通高中会考数 学 试 卷第一部分 选择题（每小题3分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．如果集合{}1,3A =，{}1,4B =，那么集合AB 等于A ．∅B ．{}1C ．{}3,4D ．{}1,3,4 2．已知向量(2,1)=a ，(2,3)=-b ，那么3-a b 等于A ．4,0（）B ．4,6（）C ．8,0（）D ．8,6（）3．已知函数2,0,()2,0,x x x f x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩那么(1)f 等于A ．1B ．2C ． 3D ．4 4．如果直线1l ：230x y ++=与直线2l ：10mx y --=垂直，那么m 的值为A ．2B ．12C ．2-D ．12- 5．不等式20x x +>的解集为A ．{}0x x >B ．{}1x x <-C ．{}10x x -<<D ．{}10x x x <->或 6．在等比数列{}n a 中，已知11a =，22a =，那么前5项和5S 等于A ．5B ．15C ．16D ．317．要得到函数πsin()3y x =+的图象，只要将函数sin y x =的图象 A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位8．在函数sin y x =，2y x =， 3x y =，3log y x =中为偶函数的是A ．sin y x =B ．2y x =C ．3x y =D ．3log y x = 9．5πcos3的值为A ．BC ．12-D ．1210．某机构为调查中学生对“北京国际园林博览会”的了解程度，计划从某校初一年级160名学生和高一年级480名学生中抽取部分学生进行问卷调查．如果用分层抽样的方法抽取一个容量为32的样本，那么应抽取初一年级学生的人数为A ．8B ．16C ．24D ．32 11．在△ABC 中，如果 2a =，4b =，60C =，那么c 等于A ．B ．C ． D12．如果0m >，那么4m m+的最小值为A ． 8B ．4C ．D ．213．盒子里装有标着数字1，2，3，4的大小、材质完全相同的4张卡片，从盒子里随机地抽出2张卡片，抽到的卡片上数字之积为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．2314．已知函数()1(0,1)xf x a a a =->≠在[1,2]上的最大值是3，那么a 等于A ．14B ．C ． 2D ．415．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．若l ∥α，m α⊂，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m16．当实数,x y 满足条件 20,0,240x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩时，目标函数z x y =+的最大值是A ．1B ．2C ． 3D ．417．如图，先将边长为a 的正方形铁皮的四个角各截去一个 边长为(0)2ax x <<的小正方形，然后沿虚线折成一个 无盖的长方体盒子．设长方体盒子的体积是y ，则y 关于x 的函数关系式为A ．2(2)y x a x =-B ．2()y x a x =-C ．2(2)y a x x =-D ．2()y a x x =-18．已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[2,10)内的样 本频数为A ．8B ．32C ．40D ．4819．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积是A ．16πB ．16C ．163πD ．163主(正)视图44左（侧）视图4俯视图4•20．在矩形ABCD 中，1AD =，E 为CD 的中点. 若1AC BE ⋅=-，则AB 的长为A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分 非选择题（共40分）一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21．计算121log 43-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的结果为 ．22．坐标原点到直线l ：20x y --=的距离为 ．23．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的S 的值为 ．24．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若20142014a =，20142014S =，则1a = ；公差d = ．二、解答题（共4个小题，共28分）25．（本小题满分7分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形．（Ⅰ）证明：BC ∥平面PAD ； （Ⅱ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ．26．（本小题满分7分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =-． （Ⅰ）求π()12f ； （Ⅱ）求()f x 的最大值和单调递增区间．27．（本小题满分7分）已知圆C ：222440x y x y +-+-=，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．（Ⅰ）若直线l 过点()4,0M ，且AB =，求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，且以弦AB 为直径的圆经过原点，求直线l 的方程．28．（本小题满分7分）设二次函数()2f x ax bx c =++在[]2,2-上的最大值、最小值分别是M ，m ，集合(){}A x f x x ==．（Ⅰ）若{}1,2A =，且()02f =，求M 和m 的值；（Ⅱ）若{}2A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值．2014年春季普通高中会考数学试卷答案及评分标准第一部分选择题（每小题3分，共60分）第二部分非选择题（共40分）二、解答题（共4个小题，共28分）25.（本小题满分7分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形，BC AD．所以//又因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，BC平面PAD．……………3分所以//（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC．又PDÇBD=D，所以AC⊥平面PBD．又因为AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD．……………7分26．（本小题满分7分）解： （Ⅰ）因为()f x sin 2cos 21x x =--，所以πππ()sin cos 11266f =--= ……………3分 （Ⅱ）()f x =sin 2(1cos 2)x x -+sin 2cos 21x x =--π)14x =--当πsin(2)14x -=时，函数()f x1．令πππ2π22π242k x k -≤-≤+，得π3πππ(88k x k k -≤≤+∈Z)．所以函数()f x 的单调递增区间是π3π[π,π](88k k k -+∈Z)．……………7分27.（本小题满分7分）解：（Ⅰ）由题设知直线l 的斜率存在，设其方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=.圆C ：222440x y x y +-+-=，即22(1)(2)9x y -++=， 圆心()1,2C -，半径为3.由AB =l2=，2=，即23k -=，整理得25120k k -=， 解得，0k =或125k =. 所以直线l 的方程为0y =或125480x y --=. ……………3分（Ⅱ）由直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y x b =+.由222440x y x y y x b⎧+-+-=⎨=+⎩ ， 得2222(1)440x b x b b ++++-=.令224(1)8(44)0b b b ∆=+-+->，解得33b --<<-+（1） 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12(1)x x b +=-+，212442b b x x +-=. 以AB 为直径的圆过原点90AOB OA OB ︒⇔∠=⇔⊥⇔0OA OB ⋅= ⇔12120x x y y +=1212()()0x x x b x b ⇔+++=212122()0x x b x x b ⇔+++=.代入得2340b b +-=， 解得1b =或4b =-，满足（1）.故直线l 的方程为1y x =+或4y x =-. ………………………………7分 28.（本小题满分7分）解：（Ⅰ）由(0)2f =，可知2c =.又{}1,2A =，故1,2是方程2(1)0ax b x c +-+=的两实根.所以11212b aca -⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩. 于是22()22(1)1f x x x x =-+=-+. 在[2,2]-上，当1x =时，(1)1m f ==；当2x =-时，(2)10M f =-=.…3分 （Ⅱ）由题意知，方程2(1)0ax b x c +-+=有两相等实根122x x ==，所以12222b aca -⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得144b a c a =-⎧⎨=⎩. 于是2()(14)4f x ax a x a =+-+. 其对称轴方程为411222a x a a -==-，由1a ≥，得132[,2)22a -∈. 在[2,2]-上， 241414181()()(14)()42224a a a a m f a a a a a a a----==+-+=； 2(2)(2)(14)(2)4162M f a a a a =-=-+--+=-.811()1621644a g a M m a a a a-=+=-+=-. 由()g a 在[1,)+∞上为增函数，得()g a 的最小值为163(1)1644g =-=. ……7分。