重庆市高二数学上学期期中考试 理
高二(上学期)期中考试数学试卷及答案
高二（上学期）期中考试数学试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一直线过点(0,3),(3,0)-，则此直线的倾斜角为（ ）A ．45°B ．135°C ．－45°D ．－135°2．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和．若3133S a =+，则d =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．4．设a R ∈，若直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行，则a 的值是（ ）A ．1B ．1,1-C ．0D ．0，15．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论：①直线l 的倾斜角为a ；①无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；①若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；①若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22145x y -= B ．221810x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 7．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-+B ．[]1,5C ．][(35,3-⋃+D ．][(),15,∞∞-⋃+8．已知A ，B 为圆22:2430C x y x y +--+=上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若90ACB ∠=︒，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．221(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)1x y +++=二、多选题9．已知直线30ax y a -+-=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-10．设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）A ．若()1,2P ，则2PF =B ．若P 点到焦点的距离为3，则P 的坐标为(2,.C ．若()2,3A ，则PA PF +D ．过焦点F 做斜率为2的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则6AB =11．如图，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=的交点依次为,,,.A B C D 则下列说法正确的是（ ）A ．四边形ABCD 为正方形B ．阴影部分的面积大于3.C ．阴影部分的面积小于4.D ．四边形ABCD 的外接圆方程为222x y +=12．已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为A ．1B ．1-C ．3-D ．5-三、填空题13．设()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，若直线22a x c=上存在点P ，使22PF c =，则椭圆离心率的取值范围为______.14．已知在数列{}n a 中，12a =，111n na a +=-，*n N ∈，则2021a =________．15．已知焦点为1F ，2F 的双曲线C P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为________四、双空题16．抛物线2:2C y x =的焦点坐标是______；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=______．五、解答题17．已知{n a }为等差数列，Sn 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=．(1)求数列{n a }的通项公式；(2)求Sn ．18．已知A (4, 9), B (6, 3)两点，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．已知直线10:4l mx y ++=和直线()()2:2100,0l m x ny m n +-+=>>互相垂直，求m n 的取值范围． 20．已知①ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求①ABC 的面积.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且M 点的纵坐标为4，52p MF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,4)Q -作直线交抛物线C 于,A B 两点，试问抛物线C 上是否存在定点N 使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆C 的四个顶点为顶点的四边形面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，右焦点是F ．点P 是椭圆C 上的点（异于左、右顶点），M 为线段PA 的中点，过M 作直线PF 的平行线l ．延长PF 交椭圆C 于Q ，连接AQ 交直线l 于点B ．①求证：直线l 过定点．①是否存在定点1D 、2D ，使得12BD BD +为定值，若存在，求出1D 、2D 的坐标；若不存在说明理由．参考答案：1．A【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到tan 1α=，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为α， 由斜率公式，可得03130k -==--，即tan 1α=， 因为0180α≤<，所以45α=，即此直线的倾斜角为45.故选：A.2．C【解析】根据{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，所以113333a d a +=+，解得1d =，故选：C3．D【分析】先由椭圆方程求出a =.【详解】由椭圆2213x y +=，得：a =由题意可得ABC 的周长为:221224AC CF F B BF a a a +++=+==.故选：D.4．A【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.【详解】0a =时，两直线为10y -=、直线10x +=，显然不平行；所以0a ≠，两直线为1y ax =-+，1(1)=-+y x a， 所以1a a -=-，且11a -≠， 解得1a =．故选：A.5．C【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【详解】对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误；对于①，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故①正确；对于①，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a -，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故①正确； 对于①，由①知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故①正确；综上所述，①①①共3个正确；故选：C6．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c ，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =， 所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 故选：A ．7．C【分析】由题知圆心为(),1,4C m r =，进而根据三角形面积公式得ABC 面积最大时，AB =，圆心C 到直线AB 的距离为4PC ≤<即可得答案.【详解】解：圆222:22150C x y mx y m +--+-=，即圆()()22:116C x m y -+-=，即圆心为(),1,4C m r =， 所以ABC 的面积为21sin 8sin 82ABC S r ACB ACB =∠=∠≤△，当且仅当2ACB π∠=，此时ABC 为等腰直角三角形，AB =C 到直线AB 的距离为= 因为点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，所以4PC ≤<，即4<，所以，28(3)416m ≤-+<，解得31m -≤或53m ≤<+所以，实数m 的取值范围是][(35,3-⋃+故选：C8．B【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆C 即22(1)(2)2x y -+-=,半径r =因为CA CB ⊥,所以2AB ==又P 是AB 的中点,所以112CP AB == 所以点P 的轨迹方程为22(1)(2)1x y -+-=故选：B9．BC【分析】显然0a ≠，再分30a -=与30a -≠两种情况讨论，若30a -≠，求得直线在,x y 轴上的截距，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意可知0a ≠，所以当30a -=，即3a =时，直线30ax y a -+-=化为30x y -=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当30a -≠，即3a ≠时，直线30ax y a -+-=在x 轴上的截距为3a a-，在y 轴上的截距为3a -，故33a a a -=-，解得1a =-； 综上所述，实数3a =或1a =-.故选：BC10．AC【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =，()1,0F .对于A ，()1,2P ，2PF ，A 正确；对于B ，设(,P x ±，()22143x x -+=，2x =，P 的坐标为(2,±.B 错误；对于C,()min PA PF AF +==正确；对于D ，直线:22l y x =-，联立24y x =，得：2310x x -+=，3A B x x +=,2=5B A x x AB ++=,D 错误. 故选：AC.11．ABC【分析】根据曲线的对称性，可判定A 正确；联立方程组求得A 的坐标，求得ABCD 的面积为13S =，可判定B 正确；由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积可判定C 正确；由232OA =，得出圆的方程，可判定D 错误．【详解】由题意，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=，根据曲线的对称性， 可得四边形ABCD 为正方形，选项A 正确；联立方程组，求得A ，所以正方形ABCD 的面积为13S =， 所以阴影部分的面积大于3，选项B 正确：由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积为2=4S ，所以阴影部分的面积小于4，选项C 正确；由232OA =，所以四边形ABCD 的外接圆方程为2232x y +=，选项D 错误． 故选：ABC .12．ACD【解析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 13．0e <≤【分析】由题设易知222||a PF c c≥-，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围. 【详解】由题设，222||2a PF c c c=≥-，则22223c e a =≤，而01e <<，所以0e <≤故答案为：0e <≤14．12##0.5 【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．【详解】由题意12a =，211122a =-=，311112a =-=-，41121a =-=-， 所以数列{}n a 是周期数列，周期为3，所以202136732212a a a ⨯+===． 故答案为：12．15【分析】由2123PF PF =和双曲线定义可得12,46a PF a PF ==，再结合余弦定理和c e a ==122cos 3F PF ∠=，利用面积公式1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =∠=a =. 【详解】由题意，221123PF PF PF PF ∴=> 由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46a PF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin F PF F PF π∠∈∴∠=122121211||||sin 2422PF F S PF PF F PF a =∠=⨯=221,a ∴=又0a a >∴=故双曲线C16． ()1,0##0.5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 9. 【分析】由抛物线的解析式可知22p =，即可得出焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；过A 、B 、P 作准线的垂线且分别交准线于点M 、N 、K ，根据抛物线的定义可知AM BN AF BF +=+，由梯形的中位线的性质得出()1942212AM BN PK +==+=，进而可求出AF BF +的结果. 【详解】解：由抛物线2:2C y x =，可知22p =，则122p =， 所以抛物线2:2C y x =的焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如图，过点A 作AM 垂直于准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线交准线于N ，过点P 作PK 垂直于准线交准线于K ，由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+，再根据()4,1P 为线段AB 的中点，而四边形AMNB 为梯形， 由梯形的中位线可知()1942212AM BN PK +==+=， 则9AM BN +=，所以9AF BF +=. 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；9. 17．(1)an ＝8﹣2n ；(2)27n S n n =-+.【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求Sn . （1）设等差数列{an }的公差为d ，由a 1＝6，a 3+a 5＝0，则6+2d +6+4d ＝0，解得d ＝﹣2， 因此an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝8﹣2n ， 所以{an }的通项公式为an ＝8﹣2n ． （2）由题意知：()21172n n n S na d n n -=+=-+，18．(x -5)2＋(y -6)2＝10【分析】根据题意，求得圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程.【详解】因为线段AB 为直径，所以线段AB 的中点C 为该圆的圆心，即C (5, 6)．又因为AB ，所以所求圆的半径r ＝2AB， 因此，所求圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 19．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】通过两直线垂直的充要条件得到22n m m =+，然后两边同时除以m ，使用不等式即可解决. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()210m m n ++⨯-=，所以22n m m =+，因为0m >，所以2221m m m m n m +==+． 因为0m >，所以22m +>，所以11022m <<+，故m n 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．(1)x +2y -9=0 (2)4y x =-+ (3)12【分析】（1）求得BC k ，根据垂直关系可得12AD k =-，再根据点斜式求解高AD 所在直线的方程即可；（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边BC 所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可. （1） 因为7(1)23(1)BC k --==--，所以12AD k =-，从而边BC 上的高AD 所在直线的方程为()1512y x -=-+，即x +2y -9=0（2）因为M 是BC 的中点，所以M （1，3），从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即4y x =-+ （3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()117131y x ----=----，即210,x y BC -+==所以点A 到直线BC 的距离h ==ABC 的面积1122BC h =⋅=.21．(1)24y x =(2)存在，()44，【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点M 的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线NA 与NB 的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论. (1)（1）0(,4)M x 设 则05||22p pMF x =+=， 02x p ∴=， 2416p ∴=，0,2p p >∴=，故C 的方程为：24y x = ；(2)假设存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数， 由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不为零，(4)AB x m y =+设的方程为，2011220(,),(,),(,)4y A x y B x y N y ，()244x m y y x ⎧=+⎨=⎩由， 24160y my m --=得，所以{Δ>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−16m ， 即4m <- 或0m > ，01020102222222000012010212441444444NA NB y y y y y y y y k k y y y y y y y y y y x x ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=++---- 2001212()16y y y y y y ∴+++=，200(416)160y m y ∴-+-=恒成立，则024160160y y -=⎧⎨-=⎩ ，04y ∴=， (4,4),N ∴存在定点使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数. 22．(1)2211612x y +=；(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在，且()13,0D -、()21,0D -.【分析】（1）根据已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程； （2）（i ）分析可知直线PQ 不与x 轴重合，设设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，写出点M 的坐标，化简直线l 的方程，即可得出直线l 所过定点的坐标；（ii ）点(),B x y ，写出点B 的坐标，利用相关点法求出点B 的轨迹方程，可知点B 的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论. (1)解：由题意可得222121222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)解：（i ）易知点()2,0F 、()4,0A -，若PQ 与x 轴重合，则P 或Q 与点A 重合，不合乎题意，设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，点M 的坐标为004,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，直线MB 的方程为00422x y x m y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且002x my =+， 所以，直线l 的方程为1x my =-，因此，直线l 过定点()1,0-. （ii ）因为B 为AQ 的中点，则114,22x y B -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有221111612x y +=， 设点(),B x y ，则11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得11242x x y y =+⎧⎨=⎩， 所以，()()2224211612x y ++=，即()222143x y ++=，即点B 的轨迹方程为()222143x y ++=，因为椭圆22143x y +=的两个焦点坐标分别为()1,0-、()1,0， 椭圆()222143x y ++=可由椭圆22143x y +=向左平移2个单位得到， 故椭圆()222143x y ++=的两个焦点坐标别为()3,0-、()1,0-， 故存在定点()13,0D -、()21,0D -使得124BD BD +=为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。
重庆市万州二中高2021级高二上期期中考试 数学参考答案
14. 8 3
15. 2 m 2 2
16. 3 5 2
三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解：（1）由 a（a﹣1）﹣2×1＝0，得 a＝2 或﹣1，经检验，均满足．···············5 分
（2）由（a﹣1）×1+2a＝0，得 ．···············10 分
21.解：（Ⅰ）在线段 PD 上取一点 N，使得
，∵
，
∴MN∥DC 且
，
∵
，
∴
，AB∥DC 且 AB＝DC，
∴且 AE＝MN，
∴四边形为平行四边形，
∴ME∥AN，
又∵AN⊂平面 PFD，ME⊄平面 PFD， ∴ME∥平面 PFD．···············5 分
（Ⅱ）以 A 为坐标原点，分别以 AF，AB，AP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 A（0，0，0），
时取得最大值．···············3 分
解法二：由已知圆柱的底面半径为 1，故三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积
时等号成立． ．
设∠BAC＝α（0°＜α＜90°），则 AC＝ABcosα＝2cosα，BC＝ABsinα＝2sinα． 由于 AC•BC＝4sinαcosα＝2sin2α≤2，当且仅当 sin2α＝1 即α＝45°时等号成立，故 Vmax＝2． （2）由（1）知，V 取最大值时，OC⊥AB．于是，以 O 为坐标原点，OB 为 y 轴， OO1 为 z 轴，建立空间直角坐标系 O﹣xyz， 则 C（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2）．A1（0，-1，2）．
18.解：（1）由题意知圆心的坐标为（1，2），半径 r＝2， 当过点 M 的直线的斜率不存在时，方程为 x＝3． 由圆心（1，2）到直线 x＝3 的距离 3﹣1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当过点 M 的直线的斜率存在时，设方程为 y﹣5＝k（x﹣3），
重庆市巴蜀中学2023届高二上数学期中考试数学参考答案及评分标准
2022-2023学年第一学期期中考高二年级数学科试卷参考答案及评分标准一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 ADDABBCD8．【解析】由题意可知，22221()()33332211222=()()333999OM OG OA AG OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC ⎡⎤==+=+⨯+⎢⎥⎣⎦⎡⎤+-+-=++⎢⎥⎣⎦因为D ，E ，F ，M 四点共面，所以存在实数λ，μ，使DM DE DF λμ=+，所以()()OM OD OE OD OF OD ，所以(1)(1)OMODOEOFkOAmOBnOC ，所以2(1)92929k m n λμλμ⎧--=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以1119999(1)2222k m n λμλμ++=--++=. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9 10 11 12 ADBCACDABD12．【解析】A 选项：连接11B D ，由正方体可得1111AC B D ⊥，且1BB ⊥平面1111D C B A ，又11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥，因为1111B D BB B ⋂=，所以11A C ⊥平面11BD B ，又1BD ⊂平面11BD B ，故111AC BD ⊥；同理，连接1AD ，易证得11A D BD ⊥，因为1111A D AC A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，故A 正确；B 选项：1111P ACD C A PD V V --=，因为点P 在线段1B C 上运动，所以1112A DP S A D AB =⋅，面积为定值，且1C 到平面1A PD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离，也为定值，故体积为定值，故B 正确；C 选项：当点P 与线段1B C 的端点重合时，AP 与1AD 所成角取得最小值为60︒，故C 错误； D 选项：因为直线1BD ⊥平面11AC D ，所以若直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值最大，则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大，即P 运动到1B C 中点处，所成角为11C BD ∠，设棱长为1，在11Rt D C B中，1111cos C B C BD BD ∠==D 正确. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.(3,)+∞16．【解析】设点P 坐标为(,)m n ，由题可知存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ， 所以一定有无穷多对直线1l 和2l斜率存在满足题意，故可设直线12,l l 的方程分别为：()1(),()0y n k x m y n x m k k -=--=--≠，即：110,0kx y n km x y n m k k -+-=--++=，因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等， 由垂径定理，得圆心1C 到直线1l 与圆心2C 到直线2l 的距离相等， =化简，得(2)3m n k m n --=--，或(8)5m n k m n -+=+-，关于k 的方程有无穷多解，有2030m n m n --=⎧⎨--=⎩或8050m n m n -+=⎧⎨+-=⎩，解方程组，得点P 坐标为51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，经检验以上两点满足题意.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）依题意，直线1l 的斜率112k =-，且12l l ⊥，所以直线2l 的斜率为22k =， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 2分故直线2l 的方程为12(1)y x ＝--，即21y x -＝； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分 （2）设,0,0,A a B b ，由AB 的中点为()2,1，得4,2a b ＝＝， ┉┉┉┉┉┉┉ 7分 故直线3l 的方程为142x y＝+，即240x y +-＝． ┉┉┉┉┉┉┉ 10分18．（1）证明：连接BD 、MO ，在平行四边形ABCD 中，O 为AC 、BD 的中点， ∴M 为PD 中点，∴//PB MO ， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 又∴PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分 ∴//PB 平面ACM ； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分 （2）证明：∴45CDA ∠=，且1AD AC ==，∴90DAC ∠=，即DA AC ⊥， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分∴PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PO AD ⊥，┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 9分 ∴ACPO O =，AC 、PO ⊂平面PAC ，∴AD ⊥平面PAC ，┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 10分又∴AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PAC . ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 12分19．解：（1）2224690x y mx y m +--+-=，配方得222()(2)(3)4x m y m -+-=-+， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 2分当3m =时，圆C 的半径有最小值2，此时圆的周长最小. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分 （2）由（1）得，3m =，圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分 当直线与x 轴垂直时，方程为1x =，此时直线与圆相切，符合条件；┉┉┉┉┉┉ 7分 当直线与x 轴不垂直时，设方程为()12y k x =--，┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 8分2=，解得34k =， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 10分 所以切线方程为31144y x =-，即34110x y --=. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 11分 综上，直线方程为1x =或34110x y --=. ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 12分20．（1）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，如图所示，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 1分 则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(2C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)，(1M ，0，0)，(1N ，1，1)，∴(0MN =，1，1)，(1ND =-，1，1)-，(0PD =，2，2)- ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 2分设(m x =，y ，)z 是平面MND 的一个法向量，可得00m MN y z m ND x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+-=⎩，取1y =-，得2x =-，1z =，∴(2m =-，1-，1)是平面MND 的一个法向量，┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分同理可得(0n =，1，1)是平面PCD 的一个法向量， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分 20(1)1110m n ⋅=-⨯+-⨯+⨯=，∴m n ⊥， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分∴ 平面MND ⊥平面PCD ； ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分（2）解：由（1）得(2m =-，1-，1)是平面MND 的一个法向量，┉┉┉┉┉┉┉ 8分(0PD =，2，2)-，得0(2)2(1)(2)14PD m ⋅=⨯-+⨯-+-⨯=-， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 10分∴点P 到平面MND 的距离||||4m PD d m ⋅== ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 12分21．解：（1）在BCD △中，2CD BC ==，45BDC ∠=， 由余弦定理得：2222cos BC CD BD CD BD BDC =+-⋅∠， 即2440BD BD -+=，解得2BD =， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 在ADC 中，2,135AD BD ADC ==∠=，由余弦定理得：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，所以AC == ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分 （2）设(0π)BCD θθ∠=<<，在BCD △中，由余弦定理得：BD = ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分 由正弦定理得：sin 2sin sin BC BDC BD BDθθ∠==，AD BD == 8分 在ADC 中，由余弦定理得：2222cos(BDC)2ACAD CDAD CDπ128sin 20cos )2016sin()4BDC θθθθ=-++∠=+-=+-，┉ 10分当且仅当ππ42θ-=，即3π4θ=时，2AC 取得最大值36，即AC 取得最大值6，所以当3π4θ=时，线段AC 长度的最大值为6. ┉┉┉┉┉┉┉ 12分 22．解：（1）由题可知，设圆的方程为222()x a y r -+=， 由直线340x +=与圆相切于点，得22(1)+7=1a r ⎧--⎩，解得=4a ，4r =， ┉┉┉┉┉┉┉ 2分 ∴圆的方程为22(4)16x y -+=； ┉┉┉┉┉┉┉ 3分（2）由直线:(21)(1)74(R)l m x m y m m +++=+∈可得(27)(4)0m x y x y +-++-=；得2+7=0+4=0x y x y -⎧⎨-⎩，即 =3=1x y ⎧⎨⎩，即直线l 恒过定点(3,1)； ┉┉┉┉┉┉┉ 5分又22(34)+1=2<16-，即点(3,1)在圆C 内部； 圆C 的圆心为(4,0)C ；设直线l 恒过定点(3,1)P ；当直线l 与直线CP 垂直时，圆心到直线的距离最长，此时弦长最短；此时||CP =┉┉┉┉┉┉┉ 7分（3）由题意知，π2AOB ∠=，设直线OA 的斜率为(0)k k ≠，则直线OA 的方程为=y kx ，由22=+8=0y kx x y x ⎧⎨-⎩，得22(1)80k x x +-=，解得=0=0x y ⎧⎨⎩或228=1+8=1+x k k y k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则点A 的坐标为2288(,)11kk k ++， 又直线OB 的斜率为1k-，同理可得：点B 的坐标为22288(,)11k kk k -++ ┉┉┉┉┉┉┉ 9分 由题可知：8(8,8),(8,)C k D k-，∴12||||||||.||||||||S OA OB OA OB S OD OC OC OD ==，┉┉┉┉┉┉┉┉ 10分 又228||11||81A C x OA k OC x k +===+，同理22||||1OB k OD k =+，∴214222221111214122S k S k k k k k===++++⋅．当且仅当||1k =时等号成立．∴12S S 的最大值为14． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 12分。
重庆市第八中学校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
重庆八中2022—2023学年度（上）半期考试高二年级数学试题命题：王虎军、邓媛媛审核：伍晓琴打印：王虎军校对：邓媛媛一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．倾斜角为120°的直线经过点()2,3和()3,a ，则a =A ．0B ．23C ．233D ．4332．经过点()5,0A ，且与直线210x y +-=垂直的直线方程为A ．250x y +-=B ．250x y --=C ．210x y --=D ．2100x y +-=3．若圆221:1C x y +=与圆222:860C x y x y m +--+=内切，则m =A ．25B ．9C ．9-D ．11-4.油纸伞是中国传统工艺品，使用历史已有1000多年。
以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面。
油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶。
在某市开展的油纸伞文化艺术节中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子，此时阳光照射方向与地面的夹角为75 ，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则该椭圆的长轴长为A ．3262-B ．622-C ．326-D ．62-5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则直线CE 与1AD 所成的角的余弦值为A ．55B ．105C ．155D ．2556．已知圆22100x y y +-=，过点(2,2)P 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A ．22B ．23C ．42D ．437．设12,F F 分别是椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左､右焦点，若椭圆上存在点P ，使得22()0,OP OF F P +⋅=，其中O 为坐标原点，且12||||PF PF a =+，则该椭圆的离心率为A ．104B ．102C ．12D ．548.已知双曲线2222:1x y C a b-=，过右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为点A ，l 与C 的另一条渐近线交于点B ，若3AB AF =，则C 的离心率为A ．2B ．2C ．3D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线:230l ax y a +++=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可能是A ．12B ．12-C ．3D ．3-10.已知P 是椭圆2212516x y +=上一点，椭圆的左､右焦点分别为12,F F ，122co 1s F PF ∠=，则下列结论正确的是A ．12F PF △的周长为16B ．123F PF S =VC ．点P 到xD ．2183PF PF ⋅=uuu r uuu r 11.已知正三棱柱111ABC A B C -，各棱长均为4，且点E 为棱1CC 上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是AB ．三棱锥1B ABE -C ．直线1AB 与直线BE 恒不垂直D ．直线BE 与平面11ABB A 所成角的正弦值范围是⎣⎦12.1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了一种特殊的曲线——卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知在平面直角坐标系xOy 中，()3,0M -，()3,0N ，动点P 满足12PM PN ⋅=，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是A ．曲线C 关于y 轴对称B ．曲线C 与x 轴交点为()-,()C ．PMN △面积的最大值为6D ．OP 的取值范围是三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13.双曲线22124y x -=的渐近线方程为______________．14.已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)离心率为5，A 、B 分别为左、右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限内的任意一点，点O 为坐标原点，若PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k ⋅=_______________．15.在直三棱柱111ABC A B C -中，12,4AB AC BC AA ====，则该直三棱柱的外接球的表面积为_______________.16．已知直线1l ：()1kx y k R +=∈与直线2l ：340x ky k -+-=相交于点M ，点N 是圆()()22:3109C x y +++=上的动点，则MN 的最大值为______________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．把答案填写在答题卡相应位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率e =（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知直线l 倾斜角为135 ，经过()2,1-且与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.18.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，14AA =，,E F 分别为1,AB A C 的中点.（1）证明：11//EF AA D D 平面；（2）求点1C 到平面1ACE 的距离.19.（本小题满分12分）已知圆22:4C x y +=.（1）若圆C 与直线:320l x my m -+-=相切，求m 的值；（2）已知点()1,0M ，过点P 作圆C 的切线，切点为Q ，再过P 作圆22:(1)(1)12C x y '-+-=的切线，切点为R ，若||||PQ PR =，求||MP 的最小值.20.（本小题满分12分）已知12(3,0),(3,0)F F -，点P 满足124PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线C .斜率为k 的直线l 过点2F ，且与曲线C 相交于,A B 两点.（1）求曲线C 的方程；（2）求斜率k 的取值范围；（3）在x 轴上是否存在定点M ，使得无论直线l 绕点2F 怎样转动，总有0AM BM k k +=成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，2AC CD ==，AD =PD =，3PC =.（1）求证：AD PC⊥（2）求平面PAB 与平面PCD 的夹角的正弦值.22.（本小题满分12分）定义：若点00(,)x y ，00(,)x y ''在椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>上，并满足0000220x x y y a b''+=，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点00(,)x y 关于M 的一个共轭点为00(,)x y ''.已知点(2,1)A 在椭圆22:163x y M +=上，O 是坐标原点.（1）求点A 关于M 的所有共轭点的坐标；（2）设点P ，Q 在M 上，且PQ OA∥，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.。
重庆一中2014-2015学年高二上学期期中考试 数学理试题
俯视图侧视图正视图重庆一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学理试题2014.11.数学试题共4页。
满分150 分。
考试时间120 分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0122:=+-yxl的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.下列四条直线中, 哪一条是双曲线1422=-yx的渐近线?( )A.xy21-= B.xy41-=C.xy2= D.xy4=3.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,则该几何体的表面积是( )A.π7B.π8C.π10 D.12+π(图1)4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③x、y是平面，z是直线；④x、y、z均为平面。
其中能使“yxzyzx//⇒⊥⊥且”为真命题的是( )A.③④B.①③C.②③D.①②5.直线l不经过坐标原点O, 且与椭圆1222=+yx交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么,直线AB与直线OM的斜率之积为( )A.1-B.1C.21- D.26.已知命题:p直线2+=xy与双曲线122=-yx有且仅有一个交点；命题:q若直线l垂直于直线m,且,//α平面m则α⊥l. 下列命题中为真命题的是( )A.()()p q⌝∨⌝ B.()p q⌝∨ C.()()p q⌝∧⌝D.p q∧7.下列有关命题的说法错误．．的是( )侧视图B CA.对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥.B.“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.C.命题“若12=x , 则1=x ”的否命题为：“若12≠x ,则1≠x ”.D.命题“若5≠+y x ，则32≠≠y x 或”是假命题.8.(原创)如下图2, 在平行四边形ABCD 中, AD=2AB=2, ∠BAC=90°. 将△ACD沿AC 折起, 使得BD=5. 在三棱锥D-ABC 的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错误．．的是( ) A.面ABD ⊥面BCD B.面ABD ⊥面ACD C.面ABC ⊥面ACD D.面ABC ⊥面BCD (图2)(图3)9.(原创)如上图3, 四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形, 面PA B ⊥面ABCD. 在面PAB 内的有一个动点M, 记M 到面PAD 的距离为d . 若1||22=-d MC , 则动点M 在面PAB 内的轨迹是( ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分10.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12e =,右焦点为F （c, 0），方程20ax bx c +-=的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1, x 2)的位置( )A.必在圆222x y +=内B.必在圆222x y +=上C.必在圆222x y +=外D.以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上.11.过点P(3,1)向圆012222=+--+y x y x 作一条切线, 切点为A, 则切线段PA 的长为 .12.椭圆1002x +362y =1上一点P 到它的右准线的距离是10,那么P 点到左焦点的距离是 .13.一个几何体的三视图如图4, 则这个几何体的体积为 .A1B 1C 1E FGA B14.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是 球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 .15.(原创)设A 为椭圆12222=+by a x (0>>b a )上一点, 点A 关于原点的对称点为B, F 为椭圆的右焦点, 且AF ⊥BF. 若∠ABF ∈[12π,4π], (图4)则该椭圆离心率的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本小题13分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>实轴长为2。
重庆市第一中学2021-2022高二数学上学期期中试题.doc
重庆市第一中学2021-2022高二数学上学期期中试题注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 的公差为2，且3a 是1a 与7a 的等比中项，则1a 等于( ) A. 6B.4C.3D.1-2. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4,30a A ==，60B =，则b 等于( )B.6C. D.93. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为y =，则其离心率为（ ）D.24. 已知直线1:10l x ay +-=与直线2:210l x y -+=平行，则1l 与2l 的距离为（ ）A.15C.355．已知抛物线C ：28x y =的焦点为F ，()00A x y ，是C 上一点，且02AF y =，则0x =（ ） A.2B.2±C.4D.4±6．椭圆221259x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON 的值为（ ） A. 8B. 4C.3D.27.已知双曲线方程为2222x y -=，则以点(2,3)A 为中点的双曲线的弦所在的直线方程为（ ）A.4310x y -+=B.210x y --=C.3460x y -+=D. 10x y -+=8. 若圆222:(0)C x y r r +=>与圆22:(3)(4)16E x y -+-=有公共点，则r 的范围（ ）A. (3,6)B. [1,7]C. [1,9]D. [4,8]9. 若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ）A.2B.3C.6D.810. 过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F ，作斜率大于0的直线l 交抛物线于,A B 两点（A 在B 的上方），且l 与抛物线E 的准线交于点C ，若3CB BF =，则||||AF BF =（ ） A.2B.52C.3D.9411. 设1F 是双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一个焦点，1A ，2A 是C 的两个顶点，C上存在一点P ，使得1PF 与以12A A 为直径的圆相切于Q ，且Q 是线段1PF 的中点，则C 的渐近线方程为（ ）A.y x =±B.y =C. 2y x =±D. 12y x =±12．设,A B 分别是双曲线2213y x -=的左右顶点，设过1(,)2P t 的直线,PA PB 与双曲线分别交于点,M N ,直线MN 交x 轴于点Q ，过Q 的直线交双曲线的于,S T 两点，且2SQ QT =，则BST ∆的面积（ ）D. 32二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
巴蜀中学高二数学上学期期中试题
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．综合题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自行保存．一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．直线l 的方程是3260x y -+=，则直线l 经过（ )A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限2．已知椭圆22:14y C x +=,则椭圆C 的（ ）A ．焦距为B ．焦点在x 轴上C ．离心率为12D ．长轴长为43．下列说法正确的是( ） A ．直四棱柱是正四棱柱B ．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥4．下列双曲线中，渐近线方程为43y x =±的是( ） A ．22143x y -=B ．22143y x -=C ．221169x y -=D ．221169y x -=5．直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直，则它们的交点坐标为（ ）A ．(1,3)--B ．(2,1)--C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(1,2)-- 6．直线10()x my m R ++=∈与椭圆2212x y +=的位置关系是(）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种关系都可能7．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥,因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米;当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ )A ．10米B ．C ．D ． 8．已知,αβ是空间中两个不同的平面，m ,n 是空间中两条不同的直线,则下列命题正确的是（ ）A ．若//,//m n αβ,且//αβ，则//m nB ．若m α⊥，//n β,且αβ⊥，则m n ⊥C ．若,m ααβ⊥⊥，则//m βD ．若//,m m αβ⊥，则αβ⊥ 9．已知(4,0)A -,B 是圆22(1)(4)1x y -+-=上的点,点P在双曲线22197x y -=的右支上，则||||PA PB +的最小值为( ） A ．9 B ．6+ C ．10 D ．1210．已知F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，点F 关于直线:1m y x =+的对称点为Q ，若直线l 过点Q ,且//l m ，则椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值为（ ）AB C D11．已知点P是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一动点，AB 为圆2224a x y +=的直径，若PA PB ⋅最小值为22c ，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D12．已知三棱锥P ABC -的所有棱长均为2，点M 为BC 边上一动点，若AN PM ⊥且垂足为N ，则线段CN 长的最小值为（ ）A B C D ．1二、填空题（本大题共4小题，每题5分,共20分．） 13．已知双曲线2222mx my -=的一个顶点是(0,1),则m 的值是_______________． 14．过两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=交点的直线方程为____________．15．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体,它们的棱长都相等,其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二十四等边体的体积为____________．16．如图,已知P 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上的点，点A 、B 分别在直线12y x =与12y x =-上，点O 为坐标原点，四边形OAPB 为平行四边形，若平行四边形OAPB 四边长的平方和为定值,则椭圆C 的离心率为________．三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分） 已知12,F F 分别是双曲线C :22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==．（1)求双曲线C 的标准方程；(2)若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1PA =,直线PB 、PD 与平面ABCD 所成角分别为30°、45°，E 为CD 的中点．（1)已知点F 为PB 中点，求证://CF 平面PAE ； （2）求二面角P BD A --的余弦值． 19．（本小题满分12分） 已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1）求椭圆C 的标准方程；(2)直线:1l y x =+与椭圆C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若点E 满足()OE t OM ON =+，且点E 在椭圆C 上，求实数t 的值． 20．（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在第一象限内，圆C 关于直线3y x =对称,与x 轴相切，被直线y x =截得的弦长为27． (1)求圆C 的方程；（2）若点P 在直线10x y ++=上运动，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B 点,求四边形PACB 面积的最小值．21．（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD A B C D '-'''的侧棱长为4，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E 为BC 中点，直线AE 和CD 交于点H ，C H '⊥面ABCD ．（1）求证:BD A H ⊥'；（2)若3BAD π∠=,在线段AA '上是否存在一点M ，使得平面MBD 与平面BCC '所成锐二面角为60°,若存在，求||MA AA'的值；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，P是椭圆上的点，当点P 在椭圆上运动时，12PF F 面积的最大值为4，当1PF x ⊥轴时，12PF F 面积为22．(1）求椭圆C 的标准方程；（2)如图，若直线1PF 、2PF 交椭圆另一点分别是A 、B ，点P 不在x 轴上，且||||2PA PB +=P 的坐标．高2022届高二（上）期中考试参考答案数学一、单选题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A DCD BAC DCB A A二、填空题答案131415162-240x y --=52332解析：9题:设点(1,4)C ，点B 在圆上，则||||||1PB PC r PC ≥-=-，由点P 在双曲线右支上，点A 为双曲线左焦点，设A '为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知|?|||2||6PA PA a PA =+=+'， 所以||||||6||61||55510PA PB PA PB PA PC A C '+=++≥++-≥+=+=''，故选C ． 10题：由点2(1,0)F 关于直线1PF ：1y x =+对称点为(1,2)Q -，所以直线:3l y x =+，设椭圆的参数方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设点(2cos ,sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离为：|2cos 3sin ||33sin()|33222d θθθφ+--++==≤，故选B ．11题：222223()()()()44a a PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA a ⋅=++=+-=-≥-=，所以222233422a c c a =⇒=，所以23622e e =⇒=，故选A ．12题：取PA 中点O ,因为AN PM ⊥，所以点N 在以O 为球心，半径为1的球面上，又点N 在平面PBC 上,故N 的轨迹为一段圆弧,设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，且点1O PS ∈（S 为BC 中点)，则点N在以1O 为圆心的圆弧上，经计算得163OO=,则133NO =，1213CO=,当点N 在1CO 上时,CN 取最小值2133-,故选A．14解：两圆方程相减就得公共弦的方程:240x y --=．152，则正方体的体积为22又截去的8个三棱锥为全等三棱锥，都有三条互相垂直的棱长，故截去体积为211832223⎛⨯⨯⨯⨯= ⎝⎭,所以24等边体的体积为V ==．16解：（法一）设()0,P x y ，则直线PA 的方程为0122xy x y =-++，直线PB 方程为00122x y x y =-+，联立方程组0012212x y x y y x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得0000,242x x y A y ⎛⎫++⎪⎝⎭， 联立方程组0012212x y x y y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得0000,242x x y B y ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， 则2222222200000000005524224282x x y x x y PA PB y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-++++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又点P 在椭圆上，则有22222200b xa y ab +=，因为22005582x y +为定值,则22222213,,44b a b e e a a -====法二：设()121200,,,,,22x x A x B x P x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AB 和OP 中点相同，则1201202x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 所以()222221201204224x x x AB x x y ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭平行四边形性质边长平方和等于222222220000004544x x AB OP y x y y ⎛⎫+=+++=+ ⎪⎝⎭为定值,又点P 在椭圆上,则有2222220b xa y ab +=，因为220014x y +为定值,则22222213,,44b a b e e a a -====．三、解答题答案： 17．解：(1)1222a PF PF =-=，所以1a =，在三角形12PF F 中，2221212100F F PF PF =+=，所以24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为：22124y x -=(5分） (2）设()()1122,,,A x y B x y ，有222212122112222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩,所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+==⋅--+ 又121212126,32ABy y y y kx x x x -+===-+，所以3248AB AB k k ⋅=⇒=,所以直线AB 方程为：68(2)810y x y x -=-⇒=-,满足0∆>，符合题意 （10分）18．（1）取AB 中点G ，连结GF ，CG ,∵在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为CD 的中点，∴//,//CG AE FG PA ， ∵,CG FG G AE PA A ⋂=⋂=，∴//CG 平面PAE ，//FG 平面PAE ∴平面//CFG 平面PAE ，∵CF ⊂平面CFG ,∴//CF 平面PAE ． （6分）(2)由PA ⊥面ABCD ，所以PBA ∠为PB 与面ABCD 所成角，30PBA ∠=︒ 所以PDA ∠为PB 与面ABCD 所成角，45PDA ∠=︒由1PA =，所以1AB AD ==，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为x ，y ,z 正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D P ，平面PBD 中：(3,0,1)PB =-，(0,1,1)PD =-，设法向量(,,)n x y z =,则0PB n PDn ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩，0z y z -=-=⎪⎩取z =则1,x y ==,则(1,3,n =，又PA ⊥平面ABCD ，故平面ABD 的法向量为：(0,0,1)m =， 设二面角P BD A --的平面角为θ，所以||3cos ||77m n m n θ⋅===． （12分）也可以不建系，直接找出二面角的平面角来求．19．解：（1）122c a c a =⇒=，所以22224,3a c b c ==，所以椭圆方程为：22243x y c +=,过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2914143c =+=，所以椭圆方程为：22143x y +=，（4分）（2)设()()1122,,,M x y N x y ,联立2212212817788043817x x x y x x x x y x ⎧⎧+=-⎪⎪+=⎪⎪⇒+-=⇒⎨⎨⎪⎪=-=+⎪⎪⎩⎩所以12128611277yy x x +=+++=-+= 又()()()121286(),,77t t OE t OM ON t xx t y y ⎛⎫=+=++=- ⎪⎝⎭，所以点86,77t t E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，带入椭圆中：2226436749491434t t t t +=⇒=⇒= （12分）20．解：（1)设圆C 的标准方程为：222()(),(0,0)x a y b r a b -+-=>>，所以圆心C 为(,)a b由圆C 关于直线3y x =对称有：3b a = ① 与x 轴相切：3r b a == ② 点C 到y x =的距离为:d ===， 被直线y x =截得的弦长为有:222r d =+,结合②有：22927a a =+，所以21a=,又0a >,所以1a =,33r b a ===, 所以圆的标准方程为：22(1)(3)9x y -+-=， （6分）(2）由,PA PB 与圆相切，所以,,3CA PA CB PB CA CB ⊥⊥==,由PAC PAB≌，所以12232PABPACBSSCA PA PA ==⨯⨯=四边形，又PA ==C l PC d →≥==（当PC l ⊥时取等）所以3PACBSPA =≥=四边形（当PC l ⊥时取等）所以四边形PACB 面积的最小值为2 （12分） 21．解：（1）由菱形ABCD 中：BD AC ⊥，又//AC A C ''，所以BD A C ⊥''， 又C H '⊥面ABCD，所以C H BD '⊥，所以BD ⊥面A C H'',所以BD A H '⊥（4分) （2）在HAD 中,1//,2CE AD CE AD =，所以 CE 为中位线,则C 为DH 中点，CD CH=,∴AB CH =又//AB CH ，所以ABHC 为平行四边形,∴,//BH AC BH AC =，又ACC A ''为平行四边形,∴BH A C =''，//BH A C '',∴BHC A ''为平行四边形 ∴//,C H A B C H A B ''''=又C H '⊥面ABCD ,所以A B '⊥面ABCD ． 在RtC CH'中，4,2CC CH ='=，则23C H '=,三角形ABD 中,,3AB AD BAD π=∠=，所以2BD AB ==，所以三角形BCD 为正三角形，以点B 为坐标原点,,BA BA '为y ，z 轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,0),(3,1,0),(0,2,23)(0,2,0),(0,0,23),(3,1,0)B C B A A D -''-设(0,2,23),(01),(0,223)AM AA BM BA AM λλλλλλ'==-≤≤=+=-，所以点(0,22,23)M λλ-，面MBD 中：(3,1,0)BD =,(0,22,23)BM λλ=-,设法向量(,,)n x y z =00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则30(22)30x y y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取3y λ=, 则,1x z λλ=-=-，所以(,3,1)n λλλ=--平面BB C '中，(3,1,0),(0,2,23)BC BB =-=-'，设法向量(,,)m x y z =，00m BC m BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 则302230x y y z -=-+=⎪⎩,取3y =，则1,1x z ==，所以(1,3,1)m =若存在，则22||1cos60254(1)n m n m λλ⋅︒===+-∣∣，化简有：()2224(31)54(1)λλλ-=+- 有2111410λλ--=，所以7215λ-=7215+由721572151-+<>，且01λ≤≤，所以在线段AA '上不存在点M ． （12分) 22．解（1）2222422222bc a b c a b c a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪⇒=⎨⎨==⎪⎩⎪⎪=+⎩，所以椭圆方程为22184x y +=(4分）（2）设直线1PF 为：2x my =-，2PF ：2x ny =+联立方程22228x my x y =-⎧⎨+=⎩,消x 有：()222440m y my +--=，则()21221223214242m m y y m y y m ⎧∆=+⎪⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩则()2212224211||142122m PA m y y m m +⎫=+-==-⎪++⎭同理可得：)2212224211||142122n PB n y n n +⎫=+-==-⎪++⎭，由||||2PA PB +=，所以2211211222m n ⎫-+-=⎪++⎭2222122m n ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，则224||2m n mn =⇒=， 又00001212y m x y n x ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩，则20201142y mn x ==±-，若22200020112442y y x mn x ==-⇒=--,又220028x y +=，有220048x x +-=，矛盾,不成立,若22200020112442y y x mn x ==⇒=--，又220028x y +=，所以2002006611x x y y ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨==±⎪⎪⎩⎩所以点P 的坐标为6,1),(6,1),(6,1),(6,1)--． （12分）。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
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万州二中高2014级高二上期期中考试数学试题满分150分．考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则BA CB CD +-等于A ．DAB ．ADC ．DBD ．AC2．正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的12，则它的体积是原来的 A ．14B ． 18C ． 116D ．1323．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 A ． 25π B ． 50π C ． 125π D ． 都不对4．平面α的一个法向量n ＝(1，－1,0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π45．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ ②⎭⎪⎬⎪⎫α ⊥βm ∥α⇒m ⊥β ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α 其中，正确的是A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 6．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是A ． 6 2B ．8C ．10D ．8 2 7．若已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形， 则原△ABC 的面积为A ．32a 2 B ．34a 2 C ．62a 2 D ．6a 28．已知一个直平行六面体的底面是面积等于Q 的菱形，两个对角面面积分别是M 和N ，则这个平行六面体的体积是A ．12B ．C ．D ．129．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球 与正三棱锥所得的图形，如右图所示，则A ． 以上四个图形都是正确的B ． 只有(2)(4)是正确的C ． 只有(4)是错误的D ． 只有(1)(2)是正确的10．如图所示，已知在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝2，BO ＝6，D 为A 1B 1的中点，且异面直线OD 与A 1B 垂直， 则三棱柱ABO －A 1B 1O 1的高是A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡对应的横线上)11．两条不重合的直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2，0,2)，则l 1与l 2的位置关系是 ▲12．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于 ▲13．已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为 ▲14．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a ，且长为a 则a 的取值范围是 ▲15．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的所有图形的序号是 ▲三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．（13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．17．（13分）如图，在棱长均为4的三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 、D 1分别是BC 和B 1C 1的中点，(1)求证：A 1D 1∥平面AB 1D ；(2)若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∠B 1BC=60°,求三棱锥B 1-ABC 的体积. 18．（13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PD ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明PB ∥平面ACM ； (2)证明AD ⊥平面PAC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．19．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，⊥AE 面ABC ，AE DB //，且1====AE BC AB AC ，,2=BD F 为CD 中点。
(1）求证：⊥EF 平面BCD ；（2）求平面ECD 和平面ACB 所成的锐二面角的余弦值20．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD ABC D -中，12,1AA AB ==，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上，设二面角1A DN M --的大小为θ。
（1）当090θ=时，求AM 的长；（2）当cos θ=时，求CM 的长21．（12分）如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，/,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。
(1）证明：MN ∥平面//A ACC ;(2）若二面角/A MN C --为直二面角，求λ的值。
万州二中高2014级高二上期期中考试数学试题参考答案一、选择题： ABBBC CCDCB二、填空题：11、平行 12、64 13、14、 15、①④三、解答题：16、（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。
又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。
又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E =，，∴AD ⊥平面11BCC B 。
又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。
（2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。
又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。
又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。
由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。
又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE 17、(1)如图，连结DD 1.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，因为D,D 1分别是BC 与B 1C 1的中点， 所以B 1D 1∥BD ，且B 1D 1=BD,所以四边形B 1BDD 1为平行四边形， 所以BB 1∥DD 1,且BB 1=DD 1. 又因为AA 1∥BB 1,AA 1=BB 1, 所以AA 1∥DD 1，AA 1=DD 1,所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形，所以A 1D 1∥AD. 又A 1D 1⊄平面AB 1D,AD ⊂平面AB 1D, 故A 1D 1∥平面AB 1D.(2)方法一：在△ABC 中，因为AB=AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC. 因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A-B 1BC 的高.在△ABC 中，由AB=AC=BC=4得AD=在△B 1BC 中，B 1B=BC=4,∠B 1BC=60°,所以△B 1BC 的面积12B BCS44=⨯=所以三棱锥B 1-ABC 的体积，即三棱锥A-B 1BC 的体积,1B BC11V SAD 833=⨯=⨯=.方法二：在△B 1BC 中，因为B 1B=BC,∠B 1BC=60°, 所以△B 1BC 为正三角形，因此B 1D ⊥BC. 因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB,交线为BC ，B 1D ⊂平面B 1C 1CB,所以B 1D ⊥平面ABC ，即B 1D 是三棱锥B 1-ABC 的高. 在△ABC 中，由AB=AC=BC=4，得△ABC的面积2ABCS 4==在△B 1BC 中,因为B 1B=BC=4，∠B 1BC=60°， 所以B 1D=所以三棱锥B 1-ABC 的体积ABC111V SB D 833=⨯=⨯=.18、(1)连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点， 又M 为PD 的中点，所以PB∥MO . 因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， 所以PB ∥平面ACM .(2)因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD ，而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .(3)取DO 中点N ，连接MN 、AN ，因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52，从而AN ＝12DO ＝54， 在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455， 即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为45519、（1）找BC 中点G 点，连接AG ，FG ∴F ，G 分别为DC ，BC 中点∴FG EA DB ////21== ∴四边形EFGA 为平行四边形 ∴AGEF // ∵AE AE BD ABC //,平面⊥ ∴ABC DB 平面⊥又∵BCD DB 平面⊂ ∴平面ABC ⊥平面BCD又∵G 为BC 中点且AC=AB=BC ∴AG ⊥BC ∴AG ⊥平面BCD ∴EF ⊥平面BCD(2）以H 为原点建立如图所示的空间直角坐标系则113131,1),ED(,,1),CF(,,1)2424---- 设平面CEF 的法向量为n (x,y,z)=， 由31CE n y z 0231CF n y z 04⎧∙=--+=⎪⎪⎨⎪∙=--+=⎪⎩得n (3,1,1)=-平面ABC 的法向量为u (0,0,1)=则n u cos(n,u)|n ||u |5⋅===∴平面角ECD 和平面ACB 所成的锐二面角的余弦值为5520、 以D 为原点，DA 为x 轴正半轴，DC 为y 轴正半轴，DD 1为z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A 1(1,0,2),N(12,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z), 面MDN 的法向量1111(,,)n x y z =，11(1,0,2),(,1,0),(0,1,)2DA DN DM z ===设面A 1DN 的法向量为000(,,)n x y z =，则00100200,0,102x z DA n DN n x y +=⎧⎪==∴⎨+=⎪⎩取0002,1,1,x y z ==-=-则即(2,1,1)n =--(1)由题意：11111111111020,0,,0020x y DN n DM n nn y zz x y z ⎧+=⎪⎪===∴+=⎨⎪--=⎪⎩取11112,1,5,;5x y z z ==-==则AM ∴==（2）由题意：111160,0,,nn DNn DM n n n ===即111121111111102034420x y y zz x x y x z y z ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪--+=⎪⎩取 11112,1,2,;2x y zz ==-==则1.2CM ∴=21、。